Теоремы. Методика обучения теоремам и их доказательствам
3.1. Теоретические
сведения о теоремах
Суждение — понятие
формальной логики, одна из форм мышления
наряду с понятием. В суждениях отображаются
свойства объектов, понятий, свойства
отношений между ними. Суждение -аналог
высказывания в математической логике.
Относительно каждого суждения можно
сказать, истинно оно или ложно.
Суждение может
быть непосредственным, полученным из
наблюдений, ощущений или по интуиции,
и опосредованным, полученным из
других суждений с помощью логического
вывода. Опосредованные суждения
называются умозаключениями.
Пример непосредственного
суждения: четырехугольник ABCD
является
параллелограммом. Пример опосредованного
суждения: четырехугольник, у которого
диагонали, пересекаясь, делятся пополам,
является параллелограммом, в
четырехугольнике Л BCD
диагонали,
пересекаясь, делятся пополам, следовательно,
четырехугольник
ABCD
—
параллелограмм.
Умозаключения
могут быть получены индуктивно и
дедуктивно. Индукция
(наведение)
— способ рассуждения от частного к
общему, от фактов — к обобщениям. Пример:
т. к. 5 х 7= 7 х 5 и 2×3= 3 х 2, то а
• в = в
• а. Вывод,
полученный по индукции, недостоверен,
носит вероятностный характер.
Дедукция —
способ рассуждения от общего к частному.
Пример дедуктивно полученного
умозаключения из двух данных суждений:
число, сумма цифр которого делится на
3, делится на 3; сумма цифр числа 738
делится на 3; значит, число 738 делится на
3.
Индукция и дедукция
в процессе развития науки математики.
тесно переплетаются. Точно также
неразрывны, дополняя друг друга, они в
процессе обучения. Индукция оснащает
мышление конкретными чувственными
данными, играет роль эвристического
метода для получения нового знания,
которое должно в дальнейшем
подвергнуться логической обработке.
Аристотелю
принадлежит открытие формального
характера логического вывода, состоящего
в том, что одно суждение получается
из других независимо от их конкретного
содержания, в силу своей определенной
структуры, формы. Математическая логика
уточняет формальный аппарат, правила
вывода новых суждений из имеющихся.
Приведем примеры
логических законов и правил вывода,
которые используются теми, кто
проводит дедуктивное доказательство,
независимо от того осознаются они ими
или нет.
1. Закон тождества.
А≡А.
Наличие
этого закона диктуется необходимостью
понимать друг друга, вкладывать в один
и тот же термин, понятие, суждение один
и тот же смысл. В шутке: «Когда
вагоновожатый ищет новые пути — трамвай
сходит с рельс» происходит подмена
смысла, в данном случае понятия «искать
новые пути».
2. Закон достаточного
основания. Фразерство, декларирование
не должны иметь места ни в науке, ни в
образовании, ни в обычной жизни. По
этому’поводу приведем слова Г. Лейбница:
«Все существующее имеет достаточное
основание для своего существования».
Ни одно явление не может считаться
действительным без указания его
основания. Обосновать утверждение —
значит привести достаточное основание.
Эта действие имеет следующую форму:
(если из А следует
В и есть А, то есть и В).
3. Закон исключенного
третьего:
Av
A
— истина (из
двух противоречащих суждений хотя бы
одно истинно).
4. Закон исключения
противоречия:
А & А -ложно
(два противоречащих суждения одновременно
истинными быть не могут).
Приведем примеры
наиболее часто применяемых правил
вывода:
1. Модус Barbara,
схема
которого:
ПРИМЕР: если
четырехугольник — ромб, то он является
параллелограммом, если четырехугольник
— параллелограмм, то его диагонали,
пересекаясь, делятся пополам; следовательно,
диагонали ромба, пересекаясь, делятся
пополам.
2. Модус tollens,
имеющий
вид:
ПРИМЕР: симметричные
относительно оси фигуры равны, данные
фигуры не равны, значит, они не симметричны.
3. Двойное отрицание:
℩℩A⟺A
ПРИМЕР: высказывание
«неверно, что прямые а и в
непараллельны»
эквивалентно высказыванию «прямые а
и в параллельны».
4. Отрицание
эквивалентности:
↿↿(A⇔B)⇔(A&
)v(B&
).
ПРИМЕР: «ромб
и квадрат — несовпадающие понятия» и
«существуют ромбы, не являющиеся
квадратами, или существуют квадраты,
не являющиеся ромбами» — равносильные
высказывания.
Перечисленные и
многие другие законы и правила вывода
составляют логическое основание
доказательств теорем. Они в неявном
виде включены в соответствующее
содержание. Ими интуитивно пользуются
в доказательствах, не осознавая их вида
и вообще присутствия.
В математике
изучаются два вида суждений — аксиомы
и теоремы. Аксиомы
— утверждения,
принимаемые без доказательства в данной
теории. Теоремы
— утверждения,
истинность которых устанавливается
посредством доказательства. Без
доказательства аксиомы принимаются
не в силу своей простоты, очевидности.
Отдельные теоремы могут быть не менее
очевидными. Проведение доказательства
— восходящий процесс, использующий
доказанные предложения, а их — конечное
число. Поэтому необходимо какие-то
предложения принять без доказательства.
Первая теорема теории доказывается с
использованием только аксиом, последующая
— с помощью аксиом и уже доказанной
теоремы.
| Лекция 3. Теоремы.
Методика обучения теоремам…
Система аксиом,
положенная в основу некоторой теории,
должна удовлетворять требованиям
непротиворечивости, независимости,
полноты.
Эти требования
выполняются при строгом построении
теории, I
в школьном курсе, для его упрощения,
система аксиом, как правило, избыточна.
С теоремами учащиеся
имеют дело в различных разделах школьного
курса: в арифметике, алгебре, началах
анализа, но наиболее выпукло они
представлены в курсе геометрии, и именно
перед этим курсом ставится важная общая
задача — научить учащихся доказывать
теоремы.
В современном
понимании о строгом доказательстве
можно говорить в рамках формализованной
системы, которая ограничивается не
только перечнем неопределяемых понятий
и описывающих их аксиом, но и
используемыми правилами вывода. Тогда
понятие «доказать логическим путем» в
рамках такой теории приобретает
конкретный смысл. В школьном курсе
математики таких жестких правил нет,
и используется так называемая «логика
здравого смысла». В некоторых случаях
учителя считают возможным специально
знакомить учащихся с отдельными
правилами вывода на соответствующих
примерах.
Формулировка любой
теоремы, как и любая задача, содержит
условие (данные) и заключение (требование).
По количеству данных и требований
теоремы можно разделить на простые и
сложные. Если теорема содержит одно
данное и одно требование, она называется
простой, в
противном случае — сложной.
Если число
заканчивается на 0, то оно делится на 5
— пример простой теоремы. Средняя линия
треугольника параллельна основанию
и равна его половине — пример сложной
теоремы, содержащей два требования.
Теорема о трех перпендикулярах содержит
несколько данных и одно заключение. Это
тоже пример сложной теоремы.
Если некоторую
теорему записать в виде Р
⇒
Q,
то тогда
теорема Q
⇒
Р называется
обратной, 
⇒
— противоположной,
⇒
— противоположной
обратной или обратной противоположной.
Методика преподавания
математики в средней школе |
В математической
логике с помощью таблиц истинности
доказывается, что прямая теорема и
обратная противоположной эквивалентны.
Эта эквивалентность является основанием
метода доказательства от противного.
Точно также эквивалентны обратная
и противоположная теоремы.
Довольно часто в
доказательствах теорем используется
метод от противного. В чем заключается
смысл доказательства этим методом?
При необходимости доказать, что А⇒
В, предполагают,
что требование В
не выполняется.
Тогда выполняется суждение, противоречащее
В—
.
Затем из
допущения В
и других
известных суждений теории на основании
законов логики и правил вывода
получают следствия до тех пор, пока не
получится противоречие: либо с
условием теоремы, либо с другим каким-либо
положением, принятым в данной теории
(аксиомой, теоремой — с условием
теоремы в расширенном его понимании).
Полученное противоречие и доказывает
теорему, т. к. одновременно быть истинными
Л и А не
могут согласно закону исключения
противоречия.
ПРИМЕР. Доказать,
что срединные перпендикуляры к сторонам
треугольника пересекаются (рис. 43).
Рис. 43
Доказательство.
1. Пусть с
— срединный
перпендикуляр к отрезку АВ,
а — срединный
перпендикуляр к отрезку ВС
и пусть
утверждение, которое надо доказать,
неверно, т. е. а
параллелен
с.
2. а ||
с, с ⊥
АВ, следовательно,
а ⊥
АВ по теореме:
если одна из параллельных прямых
перпендикулярна некоторой прямой, то
и другая из параллельных прямых
перпендикулярна этой прямой.
3. ВС
1а, а 1 АВ, следовательно,
ВС и
АВ —
параллельны, т. к. два перпендикуляра к
одной прямой — параллельны.
4.BC
и AB
-параллельны.
Следовательно, треугольника ABC
не существует.
5. Треугольник ABC
существует
по условию задачи, а из предположения,
что срединные перпендикуляры к сторонам
треугольника параллельны, следует,
что треугольника ABC
не существует.
6. Противоречие
могло возникнуть лишь из неверного
предположения, т. к. к доказательству
привлекались лишь доказанные суждения.
Значит, предположение, что а || с,
неверно, а
верно суждение, ему противоречащее,
следовательно, а и с пересекаются.
В чем трудность
проведения доказательства методом от
противного? Трудно предположить
противоречие тому, что очевидно, и
еще подкрепить
это рисунком, получить следствия из
предположения. Трудно соблюсти
довольно громоздкую схему рассуждения
этим методом. Сам же метод является
мощным средством доказательства теорем.
Из различных по
виду теорем можно выделить теоремы,
предъявленные в форме необходимых,
достаточных, необходимых и достаточных
условий (если А⇒В,
то А
называется
достаточным условием для В,
а В- необходимым
для А; если А
является
необходимым и достаточным условием для
В, то
условия А и
В называются
эквивалентными). Сейчас эти формы теорем
встречаются в школьных учебниках
крайне редко, т. к. имевшийся опыт их
использования в школьном курсе выявил
при восприятии учащимися этих форм
значительные трудности, связанные с
расхождением смысла термина
«необходимо» в математике и в жизни
вообще.
3.2. Методика обучения
учащихся теоремам и их доказательствам
Принципы подхода
к обучению учащихся теоремам и их
доказательствам следуют из двух
соображений. Во-первых, теорема -это
новый материал, подлежащий изучению, и
с этой точки зрения в изучении теоремы
можно выделить следующие этапы:
подготовка к изучению нового
(пропедевтика), мотивация изучения
нового материала, введение нового —
организация его восприятия, понимания,
закрепление, применение. Во-вторых,
теорема является задачей на доказательство,
выражающей некоторое важное отношение,
свойство, и поэтому на методику изучения
теорем распространяются рекомендации,
относящиеся к различным этапам
решения задач, таким как обучение поиску
закономерности, идеи доказательства,
обучение анализу условия и исследованию
полученного решения.
При обучении
учащихся теоремам могут иметь место
различные методы: объяснительно-иллюстративный,
эвристический, исследовательский. Выбор
метода обучения диктуется содержанием
теоремы, методом ее доказательства,
конкретными возможностями учащихся.
Выбор метода
осуществляется при логико-математическом
анализе материала, подлежащего изучению.
Как при объяснении
нового материала учителем, так и при
организации поисковой деятельности
учащихся имеют место все перечисленные
ранее этапы изучения нового материала,
которые далее будут рассмотрены на
конкретных примерах.
Пропедевтика
заключается в актуализации необходимых
знаний. Например, перед доказательством
формулы площади параллелограмма
целесообразно вспомнить основные
свойства площадей простых фигур,
формулу для нахождения площади
прямоугольника, признаки равенства
треугольников. Пропедевтика также
заключается в снятии определенных
трудностей — вынесении некоторых моментов
доказательства в самостоятельные
задачи, которые можно решить до изучения
основного материала, до доказательства
теоремы. Возможные трудности определяются
учителем в результате анализа самого
доказательства.
Аргументом в пользу
привлечения пропедевтических упражнений
является наличие таких ситуации, когда
трудные моменты доказательства поглощают
все внимание ученика, заставляя забыть,
что доказывается. При этом оказывается,
что учащиеся попадают в облегченные
условия, когда трудности не преодоле-ваются,
а предупреждаются, что является
контраргументом в использовании
пропедевтических упражнений.
Приведем пример
пропедевтического упражнения.
Если тео’рема
Пифагора доказывается методом «штанов»,
то перед ее изучением можно предложить
доказать, что если фигура
AiBlClDl
— квадрат,
АВХ
= ВСХ
= CD{
= DAV
то
ABCD
— тоже
квадрат (см. рис. 44).
Другой
пример. Для
того чтобы выяснить положение центра
вписанной в правильную пирамиду сферы,
полезно предварительно доказать,
что любая точка высоты правильной
пирамиды одинаково удалена от всех
боковых граней пирамиды.
Для того чтобы
повысить интерес к изучаемой теореме,
чтобы ее изучение стало лично значимой
целью, полезно перед изучением теоремы
предъявлять интересные задачи, желательно
практического содержания, которые
для своего решения требуют изучения
нового материала. Отсутствие необходимых
знаний побуждает к поиску. Мы вернемся
еще раз к этому вопросу и рассмотрим
его более подробно в разделе, посвященном
проблемному обучению. В настоящий момент
ограничимся двумя примерами:
а) вычислите устно
, 
— задания, предъявляемые перед изучением
свойств квадратного корня;
б) как построить
медиану равнобедренного треугольника,
проведенную к его основанию, если
вершина треугольника недоступна —
перед изучением соответствующего
свойства равнобедренного треугольника.
Очень часто
приходится встречаться с таким фактом,
когда учащиеся заучивают формулировки
теорем, не осознавая полностью их
смысла. Если ученик сам находит
закономерность, сам формулирует теорему,
то это позволяет избавиться от формализма
в знании формулировок. Для самостоятельного
получения формулировок теорем
учащиеся могут использовать различные
построения, вычисления, измерения,
модели. Приведем примеры.
1. Перед изучением
теоремы Фалеса учащихся просят построить
произвольный угол, отложить на одной
стороне угла равные отрезки, через их
концы провести параллельные прямые и
измерить получившиеся отрезки на
другой стороне угла. Сопоставление
результатов, полученных разными
учениками, приводит к гипотезе о
существовании определенного отношения.
2. Перед изучением
свойств арифметического квадратного
корня можно предложить провести следующие
вычисления: 
и
• 
, затем сравнить результаты.
Аналогично с
помощью выполнения измерений, вычислений,
использования наглядных пособий можно
привести учащихся к самостоятельному
формулированию любой теоремы. После
того как закономерность учащимися
выявлена, необходимо скорректировать
формулировку, привлекая к этому учеников
и аргументируя эту корректировку.
Можно также предложить учащимся
проанализировать формулировку теоремы,
содержащую ошибку. Ошибки в формулировках
теорем выявляются с помощью приведения
контрпримеров. Эту работу можно отнести
к этапу закрепления формулировки
теоремы.
Например, если
учащимися предлагается следующая
формулировка теоремы: «Против большего
угла лежит и большая сторона», то
можно предложить рассмотреть в качестве
контрпримера два неравных треугольника,
для которых сформулированное предложение
неверно.
Для понимания
формулировки и доказательства теоремы,
для снятия трудностей в ее использовании
необходимо выделять в формулировке
условие и заключение, данные и требование.
Это выполнить труднее, если теорема
сформулирована в категоричной, а не
условной форме. Поэтому категоричную
форму полезно переделывать в условную
и наоборот, что не всегда легко
осуществляется. Задания для учащихся
при этом могут выглядеть следующим
образом:
1. Сформулировать
в условной форме: а) теорему Пифагора;
б) теорему о сумме углов треугольника;
3) теорему Виета; г) теорему о средней
линии трапеции.
2. Сформулировать
в категоричной форме: а) признаки
равенства треугольников; б) признаки
параллельности прямых и т. д.
При формулировании
теоремы учащиеся часто вместо требуемой
теоремы произносят ей обратную. Этой
логической ошибки можно избежать, изучая
вопрос об обратных теоремах, формируя
умения различать свойства и признаки
понятий. Поэтому понятие об обратной
теореме рассматривается в начале курса
геометрии. При этом необходимо научить
ученика строить предложение, обратное
данной теореме, и определять его
истинность. Рассмотрение ситуаций,
когда предложение, обратное некоторой
теореме, не является верным, способствует
разграничению двух понятий: прямой и
обратной теоремы и правильному их
использованию.
При конструировании
формулировок обратных теорем могут
возникнуть трудности, например, для
теорем: а) в ромбе диагонали
перпендикулярны; б) в параллелограмме
диагонали, пересекаясь, делятся
пополам.
Для выхода из этой
ситуации было предложено (см. [2]) выделять
в формулировке теоремы разъяснительную
часть, которая остается инвариантной
в формулировках как прямой, так и
обратной теорем. Для последнего
примера это будет выглядеть следующим
образом: если четырехугольник является
параллелограммом, то его диагонали
пересекаются и точкой пересечения
делятся пополам. Термин четырехугольник
составляет разъяснительную часть
условия теоремы.
Переходим к вопросу
о краткой записи формулировки теоремы.
Переход от правильной формулировки к
правильной схематической записи
условия и заключения является работой,
требующей достаточно развитого
логического мышления. В начале
систематического курса геометрии
возникает вопрос, насколько подробно
следует записывать условие и заключение
теорем. Могут иметь место следующие
рекомендации. Если схематическая запись
условия теоремы вызывает существенные
затруднения, то от нее в некоторых
случаях вообще следует отказаться.
Записи условия и заключения теоремы
должны быть настолько подробными,
чтобы по записи можно было полностью
восстановить текст формулировки теоремы.
И в то же время запись условия не должна
содержать ничего лишнего.
Чему отдавать
предпочтение в краткой записи, понятиям
или отношениям? Как записать: AM—
медиана или
MB
– ВС? На этот
вопрос
нет однозначного ответа. Раскрытие
содержания определения для начинающих
изучать курс геометрии является
отдельной операцией осуществляемого
решения, поэтому на первых порах
предпочтительнее запись в виде понятий,
а отношения получаются как следствия
условия.
О
методах поиска идеи решения задачи (а
теорема — та же задача) много говорилось
в разделе о задачах, поэтому специально
останавливаться на этом вопросе не
будем. Эвристики, рассмотренные нами
выше, находят свое применение при поиске
доказательств теорем. Две же из них
— методы восходящего анализа и
переформулирования используются при
поиске доказательства почти каждой
теоремы.
Доказательство
теоремы учащиеся могут получить с
большой долей самостоятельности, если
это доказательство предъявлено ученикам
в виде последовательности задач,
доступных для самостоятельного
решения. Например, чтобы доказать
свойство вписанного в окружность
угла, достаточно предъявить учащимся
три задачи с конкретными числовыми
данными на нахождение числового
значения величины вписанного угла по
значению величины центрального угла в
случаях, когда центр окружности лежит
на стороне вписанного угла, внутри и
вне угла.
По
поводу оформления доказательств можно
высказать ряд соображений. Оформление
доказательств с выделением утверждений
и их обоснований, фактов и аргументов
необходимо для понимания доказательства,
для понимания построения всего
дедуктивного курса геометрии, для
воспитания потребности в доказательстве.
Краткой записи полученных доказательств
учащихся необходимо обучать специально.
Следует также обучать записи
доказательств, представленных в учебнике.
Это специальная, трудная и необходимая
работа. В алгебраических доказательствах,
при различных алгебраических
преобразованиях используется запись
аргументов над знаками равенства.
Рассмотрим
пример записи доказательства теоремы.
При изучении теоремы косинусов
возможна следующая запись ее
доказательства:
Дано:
ААВС.
Доказать:
а2
= с2
+ в2—
вс* cosA
(см.
рис. 45).
Запись доказательства
этой же теоремы может быть осуществлена
иначе, например, в строчку, и те же
аргументы тогда могли бы быть записаны
над знаками «=».
Эту же теорему,
как и любую другую, можно записать в
виде последовательности умозаключений
с использованием слов «так как» и
«следовательно».
Запись с выделением
больших и малых посылок, например, такая:
1. В параллелограмме
диагонали, пересекаясь, делятся пополам,
A
BCD
— параллелограмм,
О- точка
пересечения диагоналей, следовательно,
АО= ОС, ВО =
OD.
2. …
является наиболее
полной, т. к. содержит все посылки, при
этом она громоздкая и трудная и поэтому
признана нецелесообразной, но в отдельных
случаях, например, при обучении чтению
учебника, она может оказать неоценимую
услугу.
После получения
и осуществления идеи доказательства
теоремы, после записи доказательства
теоремы необходим этап закрепления
полученного доказательства. Этот этап
является закреплением самого
доказательства и предшествует закреплению
и применению формулировки теоремы. На
уроках этот этап иногда неоправданно
не находит своего места.
Этап закрепления
доказательства в изучении теоремы
предполагает работу по выявлению,
поняты ли идея, метод доказательства
и отдельные его шаги. Вопросы: «Понятно
ли доказательство?», «Кто не понял
доказательства?» дают мало или вообще
не дают информации учителю, насколько
доказательство теоремы оказалось
усвоенным учащимися. При осуществлении
этапа закрепления полученного
доказательства можно с помощью вопросов,
обращенных к учащимся, снова «пройтись»
по всему доказательству, можно
попросить объяснить отдельные шаги
доказательства, перечислить все
аксиомы, теоремы и определения, которые
используются в доказательстве, выяснить,
где используется какое-либо данное,
все ли условия оказались использованными,
какое и почему дополнительное построение
оказалось полезным при поиске
доказательства, в чем заключается
основная идея доказательства, что
оказалось несущественным для
доказательства и что может быть
изменено, нет ли других способов
доказательства рассматриваемой
теоремы, всегда ли полученное
доказательство имеет смысл.
Повторение
доказательства приобретает большую
ценность, если оно варьирует обозначения
на неизменном чертеже, а также сам
чертеж.
Например,
если теорема о сумме углов треугольника
изучается по чертежу, представленному
на рис. 46, то закрепление полезно
провести по другому чертежу (рис. 47).
Все рассмотренные
этапы изучения теоремы имеют место при
любом методе изучения, как при
частично-поисковом, так и при
объяснительно-иллюстративном. Разница
— в уровне активности и самостоятельности
учащихся при получении доказательства
теоремы.
Следующий этап
изучения теоремы — закрепление и
применение формулировки теоремы.
Требования к системе упражнений на этом
этапе рассмотрим в разделе, посвященном
системам упражнений, а сейчас отметим
цели названного этапа.
На этапе закрепления
теоремы возможна работа над формулировкой
теоремы, над ее запоминанием, обучением
узнаванию изученной теоремы в
различных ситуациях и применением в
простейших случаях и в различных
комбинациях.
Поэлементной
отработке каждого слова формулировки
и ее запоминанию способствует компактный
метод Я.И. Груденова, когда формулировка
теоремы, как и ранее рассмотренные
формулировки определений, разбиваются
на составные части и произносятся
вслух и используются по частям. Такая
работа способствует и осознанию, и
запоминанию теорем. Рассмотрим, как
может проходить закрепление
формулировки теоремы компактным методом
на примере теоремы о трех перпендикулярах.
Учитель вместе с
учащимися разбивает формулировку
теоремы на составные части и отмечает
наличие каждой части в рассматриваемой
ситуации (см. рис. 48): 1) прямая, лежащая
в плоскости (показывает прямую PD);
2) перпендикулярная
проекций наклонной (показывает проекцию
СВ и
наклонную АВ);
3) проведенная
через основание наклонной (показывает
точку В —
основание
наклонной); 4) перпендикулярна и самой
наклонной (показывает прямой угол A
BD).
На этапе закрепления
формулировки теоремы о трех перпендикулярах
можно выяснить, является ли обязательным
требование прохождения прямой,
лежащей в плоскости, через основание
наклонной и принадлежности плоскости
PCD.
Получается
более широкая формулировка теоремы.
.
Узнавание теоремы
о трех перпендикулярах в различных
ситуациях может быть организовано
на задачах:
1. SABC—
пирамида с
высотой SO.
OD
— перпендикуляр
к А С. Доказать,
что SD
— высота
боковой грани.
2. К плоскости
треугольника А
ВС из центра
О вписанной
окружности проведен перпендикуляр
ОК. Окружность
касается сторон АС,
ВС и АВ
соответственно
в точках D,
Е, F.
Определить
взаимное положение прямых KD
я А С, ВС и КЕ, А В и KF.
3. На изображении
куба построить несколько прямых,
перпендикулярных диагонали куба.
Узнаванию теорем
в практических ситуациях, в частности
теоремы о трех перпендикулярах, будет
способствовать выполнение задания
в соответствии с рекомендацией Е.Н.
Кабановой-Меллер: выяснить, какие условия
несущественны для применения теоремы,
что можно варьировать в условиях задач,
решаемых с помощью рассматриваемой
теоремы.
Еще один этап,
рассматриваемый нами как этап изучения
теоремы, — этап систематизации знаний.
Известно, что никакой факт нельзя считать
усвоенным, пока он не занял определенного
места в имеющейся системе знаний. Понимая
взаимосвязи между теоремами, ученик
может восстановить самостоятельно
забытые формулировки теорем, формулы.
Для систематизации теорем важно
выяснить место
теоремы в системе других сведений:
признаком или свойством некоторого
понятия является теорема, следствием
каких теорем она является и что является
ее следствиями. Например, нельзя
считать знание теоремы косинусов
систематизированным, если учащиеся
не понимают, что теорема Пифагора —
частный случай этой теоремы. Для
выяснения взаимосвязей между теоремами,
для запоминания способов доказательства
теорем полезно строить генеалогические
деревья зависимостей между теоремами,
например, для-теоремы о косинусе разности
двух углов такая зависимость может
выглядеть следующим образом:
cos
(a
-1
Такая работа,
особенно на начальных этапах обучения
геометрии, способствует пониманию
дедуктивного характера построения
самой геометрии.
Как относиться к
рассмотренным этапам изучения теоремы?
Наличие всех рассмотренных этапов при
обучении каждой теореме требует
большого расхода времени. И в полном,
развернутом виде все этапы могут
быть представлены лишь в отдельных,
удобных для этого случаях. А в различных
конкретных ситуациях на первый план
выдвигается то один, то другой этап,
предпочтение отдается то поиску
формулировки, то обучению записи
полученного доказательства, то поиску
идеи доказательства, то исследованию
— в зависимости от требований ситуации.
Трудности и ошибки
учащихся при применении теорем те же,
что и при решении задач. Очень
распространенной ошибкой являются
смешивание определений и теорем,
признаков и свойств понятий; использование
вместо прямой теоремы обратной и
наоборот; использование в доказательстве
теоремы, которую предстоит доказать;
доказательство того, что дано в теореме;
использование недоказанных утверждений
и другие.
Все эти ошибки
одного порядка — непонимание логики
построения курса, логических
взаимосвязей между элементами теории.
В этих условиях особое значение
приобретают выполнение заданий
Методика преподавания
математики в средней школе |
на систематизацию
понятий и теорем, выяснение логики
построения формулировки и доказательства
теорем. При исправлении логических
ошибок учащихся необходимо учесть
следующую рекомендацию: замене
неверных ответов на верные должны
предшествовать совместный анализ
учителем и учащимися неверных ответов
и выявление допущенных ошибок. Обучение
доказательству, выявление допущенных
при доказательстве ошибок — составная
часть важнейшей задачи развития
логического мышления.
Какие цели развития
учащихся (общие учебные задачи) могут
ставиться и решаться учителем при
обучении учащихся доказывать ту или
другую теорему? Это и развитие творческого
мышления (обучение поиску доказательства),
и развитие логического мышления. При
доказательстве теорем учащиеся учатся
понимать, в чем заключается смысл
доказательства; формулировать предложения
в различный формах; проводить доказательство
вообще: выделять тезис-требование и
условия, в которых оно доказывается,
разделять доказательство на шаги и
обосновывать каждый шаг; учатся
неосознанному использованию законов
логики и правил вывода; учатся различать
прямую и обратную теорему, свойства и
признаки понятий, необходимые и
достаточные условия; учатся различным
методам доказательства (синтетическому,
аналитическому, методу от противного).
А доказывать, обосновывать свою точку
зрения необходимо уметь каждому
культурному человеку не только в
математике, но и в жизни вообще.
В заключение
раздела выделим возможные уровни
усвоения учащимися теорем. Учащийся:
1) правильно формулирует теорему,
понимает каждое слово в формулировке;
2) может привести свой пример на применение
формулировки; 3) может повторить
доказательство; 4) понимает идею и план
доказательства, может варьировать
обозначения, чертеж, метод доказательства;
5) узнает и применяет теорему в знакомой
ситуации; 6) узнает и применяет теорему
в незнакомой ситуации.
Приведенные уровни
усвоения теоремы являются перечислением
дидактических целей — целей обучения,
которые учитель ставит на отдельных
уроках по изучению той или иной теоремы.
В соответствии с выделенными целями
строится урок — выбираются методы и
формы работы, строятся системы упражнений.
ОБЩИЕ МЕТОДЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ: АНАЛИЗ И СИНТЕЗ
- Авторы
- Файлы работы
- Сертификаты
Печикина Д.И. 1
1ЕГУ им.И.А.Бунина
Комментарии
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF
Приоритетным направлением в современном образовательном процессе называют гуманизацию и гуманитаризацию. Новые целевые установки в системе образования предполагают направленность обучения на развитие личности, в частности на формирование логического мышления, чему способствует обучение доказательству. Формирование и использование умений рассуждать, проводить доказательства, аргументировать высказывания проводится во всех учебных предметах. Однако бесспорно, что развитию способностей школьников анализировать данные, принимать решения и обосновывать свой выбор в наибольшей мере способствует изучение математики.
Основную нагрузку по формированию у учащихся умения доказывать несёт курс геометрии. Д. Пойа указывал на важную роль, которую играют доказательства при построении геометрической системы: «Геометрическая система цементирована доказательствами. Каждая теорема связана с предшествующими аксиомами, определениями и теоремами каким-нибудь доказательством. Без понимания таких доказательств нельзя понять самую сущность системы»
Существуют частные и общие методы доказательств теорем. К частным методам доказательства относят метод геометрических преобразований, векторный, координатный, алгебраический методы и т. д. Но в данной статье более подробно остановимся на общих методах, которые более часто встречающиеся в школьном курсе математике, а именно синтетический, аналитический методы (нисходящий и восходящий анализ), доказательство от противного и т.д.
Среди всех методов доказательства теорем в школьном курсе геометрии основную нагрузку несет синтетический метод, ибо он является составной частью доказательства любым другим методом.
Доказательство математического предложения M: A(x)=* => В(х) называется синтетическим, если оно осуществляется по следующей логической схеме: (А(х)^Т)=>В1(х)=>В2(х)=* …=*=>Вn(х)=>В(х), где Т — определенная совокупность предложений той математической теории, в рамках которой доказывается данное предложение и которой принадлежат В1(х), В2(х), …, Вn(х), составляющих доказательство, а также суждения А(х) и В(х).
Таким образом, при синтетическом методе доказательства теоремы цепочка силлогизмов строится так, что мысль движется от условия теоремы к ее заключению.
Рассмотрим синтетическое доказательство теоремы «о сумме внутренних углов треугольника.»
Дано:АВС – треугольник (рис.1)
Доказать:
1+2+3=180
Доказательство:
Рис.1
-
Проведем через вершину В прямую, а, параллельную АС.
-
Рассмотрим 1 и 4; они являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых, а и АС и секущей АВ, а значит, 1=4.
-
Рассмотрим 3 и 5; они накрест лежащие при пересечении параллельных прямых, а и АС и секущей ВС, а значит, 3=5.
-
Сумма 4, 2, 5 равна развернутому углу с вершиной В, т.е. 4+2+5= 180°.
-
Значит, 1+2+3=180
Теорема доказана. [2]
При аналитическом доказательстве теоремы M: A(x)=>В(х) цепочка силлогизмов строится так, что мысль движется от заключения теоремы к ее условию. Различают два вида аналитического метода: восходящий анализ (анализ Паппа), нисходящий анализ (анализ Евклида).
Восходящим анализом (совершенным анализом) называется такая разновидность аналитического метода, при которой, отталкиваясь от заключения, подбирают для него достаточное условие — такое суждение В1(х), что В1(х)=>В(х), затем подбирают достаточное условие В2(х) для В1(х), такое, чтобы В2(х):=>В1(х) было истинным, и так далее до тех пор, пока не получат такое достаточное условие Вn(х) для Вn-1(х), что Вn(х) => Вn-1(х) и Вn(х) выполняется (истинно). При этом используется как условие А(х) доказываемого предложения, так и некоторая совокупность Т связанных с А(х) и В(х) предложений данной теории, истинность которых уже была установлена.
Сущность метода восходящего анализа состоит в том, что рассуждения строятся по схеме: для того, чтобы В(х) было верно, достаточно, чтобы было верно С(х), и т. д.
Рассмотрим доказательство теоремы методом восходящего анализа. Теорема: «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны».
Доказательство:
-
Для того чтобы доказать, что ACBD (рис. 2), достаточно доказать, что ВОАС.
-
Для того чтобы доказать, что ВОАС, достаточно доказать, что ВО — высота треугольника ABC.
Рис.2
-
Для того чтобы доказать, что ВО является высотой треугольника ABC у достаточно доказать, что треугольник ABC равнобедренный и ВО в нем является медианой.
-
Для того чтобы доказать, что треугольник ABC равнобедренный, достаточно доказать, что в нем АВ = ВС.
-
Но АВ = ВС по условию (ABCD — ромб) и ВО — медиана треугольника ABC (так как АО = ОС по свойству диагоналей параллелограмма).
-
Теперь, идя обратным путем, от пункта 5 к пункту 1, мы и докажем сформулированную теорему. [2]
Нисходящим анализом (несовершенным анализом) называют такую разновидность аналитического метода, при которой, отталкиваясь от заключения В(х) доказываемого предложения А(х)=>В(х), рассуждения ведут путем последовательного получения логических следствий: В(х) =>В1(х)=>В2(х)=>…=> Вn(х), где Вn(х) есть предложение, истинное значение которого нам точно известно. При выведении следствий из В(х) временно допускают, что оно истинно.
При нисходящем анализе, так же, как и при восходящем, рассуждения ведут от заключения теоремы, но подбирают уже не достаточные, а необходимые условия.
Для примера рассмотрим доказательство теоремы: «Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то четырехугольник — параллелограмм».
Доказательство:
-
Пусть ABCD — параллелограмм (рис. 3). (В(х))
Рис.3
-
Тогда ВС || AD и АВ || DC. (В1(х))
-
Тогда ACB=CAD, BAC = ACD (как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей). (В2(х))
-
Из равенства этих углов с учетом того, что АС — общая сторона треугольников ABC и ADC, следует: ∆ABC = ∆ADC. (B3(x))
-
Тогда AD = BC, AB = DC, АС=АС. (А(х))
Итак, имеем В(х)^Вг(х)=>В2(х)=>В3(х)=>А(х)> где А(х) — истинно.
Проведя теперь рассуждения в обратном порядке А(х)=>В3(х)=>В2(х)=>В1(х)=>В(х), мы получим синтетическое доказательство. [2]
Рис.4
Рассмотрим еще несколько примеров, в которых используется несколько способов доказательства теоремы, а именно рассмотрим аналитико-синтетический метод.
На наш взгляд, ярким примером можно считать доказательство следующей теоремы: «Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм».
В методических руководствах приводят одно изолированное так называемое синтетическое доказательство, но я приведу соответствующее доказательство к выше отмеченной теореме, с помощью аналитико-синтетического метода:
-
Требуется доказать, что ВС параллельно АД.
-
Для этого достаточно доказать, чтобы внутренние накрест лежащие углы ВСО и ОАД, образованные прямыми ВС и АД и секущей АС были равны.
-
А для того, чтобы доказать, что эти углы равны надо доказать равенство треугольников ВОС и ДОА, и что интересующие нас углы лежат против соответственно равных сторон. В последнем убеждаешься из чертежа, так как ВО=ОД по условию.
-
Для того, чтобы треугольники ВОС и ДОА были равны достаточно доказать либо первый, либо второй, либо третий признак равенства треугольников. В данном случае нам удобнее доказать первый признак, т.к. ВО=ОД и СО=ОА по условию теоремы, а углы ВОС и ДОА равны, как вертикальные.
Далее составляем схему проведенного анализа:
|
Чтобы доказать ——-> |
Надо доказать |
|
I. ВС || АД |
II. ВСО=ОАД, как внутренние накрест лежащие, образованные прямыми ВС, АД и секущей АС |
|
II. ВСО=ОАД |
III. ВОС=ДОА, и углы ВСО и ОАД лежат против равных сторон |
|
III. Треугольник ВОС= Треугольник ДОА |
IV. Равенство трех его элементов и определить признак равенства треугольников ОА=ОС – по условию ВО=ОД – по условию АОД=СОВ – вертикальные Треугольник ВОС= Треугольник ДОА по I. признаку |
|
ТО II>III>IV), перебираясь, каждый раз от заключения к его основанию, происходит рассуждение по схеме: «чтобы доказать (I), надо доказать (II) и т.д.» [1]
Проще говоря, мы создаем некую цепь определенных действий и условий: каждое верхнее суждение есть необходимое условие для нижнего. После проведенного анализа нужно воссоединить все в одно целое, т.е. провести синтез. Предположим, что будет проводиться рассуждение справа налево (IV>III>II>I), нанизывая цепь достаточных условий от основания к заключению, и рассуждая так: «если IV, то III, если III, то II и т.д.» На основании всего этого происходит обучение анализу, немедленно перерастающему в синтез – в этом как раз заключатся одно из направлений совершенствование дидактики. Как отмечают методисты, анализ ведет к более глубокому и сознательному усвоению учебного материала и способствует активному и творческому развитию логического мышления учащихся, нежели синтез. Но как уже отмечалось ранее, анализ и синтез неотделимы друг от друга. Таким образом, можно сделать вывод, о том, что использование таким таких общих методов доказательств, как анализ и синтез является одни из самых хороших инструментов для воспитания у учащихся потребностей обосновывать каждый шаг. Хотя первоначальное знакомство с таким обучением и требует значительной затраты времени, но в дальнейшем это все окупается. Чтобы такой урок дал эффект учителю необходимо продумывать каждый шаг, вести школьников от ступеньки к ступеньке, следить, чтобы мысли учащихся шли в нужном направлении, чтобы не ускользало от их внимания главное, чтобы все даже самые слабые ученики принимали участие в открытии нового. Не всегда, конечно, можно его применить, но там, где это, возможно, наблюдается наиболее глубокий интерес школьников, развивается логическое мышление, повышается познавательная активность. Такая кропотливая работа, в конечном счете, приносит свои плоды, потому что ученики приобретают исследовательские навыки и, что не менее важно, с большим интересом работают на уроке. Список литературы:
4
|
Просмотров работы: 7999
Код для цитирования:
Известно, что доказательство теорем
является главным камнем преткновения учащихся
при изучении школьного курса геометрии. Они
заучивают теоремы, воспроизводят их учителю и …
забывают. Если изменить положение чертежа,
обозначить его другими буквами, то учащиеся
часто не могут справиться с доказательством.
Изучение теорем у многих учащихся остаётся на
уровне простого заучивания, не приводит к
формированию приёмов доказательства,
составляющих важную часть математического
мышления. Эта проблема является объектом
внимания не только преподавателей геометрии,
математиков-методистов, но и психологов.
Центральным звеном доказательства
геометрических утвер
ждений,
является нахождение пути его осуществления, что
во многом зависит от овладения учащимися ориентировочной
деятельностью. Выделим компоненты
ориентировочной деятельности, кратко
рассмотрим сущность каждого из них.
1. Распознавание понятий.
Умение распознавать геометрические
понятия, входящие в условие доказываемых
утверждений, особенно важно тогда, когда
признаки этих понятий содержатся в условии в
опосредованном виде, т.е. заданы через системы
признаков других понятий. Существует довольно
большая категория теорем (как и задач на
доказательство), доказательство которых
сводится к обоснованию наличия в условиях этих
теорем того или иного геометрического понятия.
Доказать такого рода теорему– это значит
подвести заданные в её условии геометрические
явления под искомое понятие, т.е. проверить
обладают ли геометрические явления, заданные в
условии, всеми необходимыми и достаточными
признаками искомого понятия, содержащегося в
заключении.
Рассмотрим примеры.
В равнобедренном треугольнике
биссектриса, проведённая к основанию, является
медианой и высотой.
Посмотрим, какие признаки заданы в
условии.
- BD – это биссектриса, значит BD – 1) отрезок, 2)
проведённый из В, 3) соединенный с точкой на
противолежащей стороне, 4) делящий
В пополам (ABD
=CBD). 
ABC –
равнобедренный означает, что 1) AB = BC, 2)BAC = BCA.
В пополам (
ABD
CBD).
BCA. Выделим признаки, по которым можно
указать, что требуется.
- Доказать, что BD — медиана ABC, значит установить, что BD – 1) отрезок,
2)проведённый из вершины В, 3) соединяющий В с
серединой противолежащей стороны и 4) AD = DC. - Доказать, что BD — высота ABC, значит установить, что BD — это 1)
отрезок, 2) проведённый из В, 3) соединяющий B с
точкой на противолежащей стороне и 4) BD
AC.
Но даже хорошо владея действиями
“распознавание понятий” и зная признаки
искомого понятия, ученик может не знать, как
найти их, как системой одних обнаружить систему
других. Например, чтобы доказать, что BD – высота,
надо “ развернуть” понятие и увидеть, что
скрывается за этим понятием. Таким образом,
формирование полноценной системы понятий
является очень важным условием целостности
доказательства теорем, однако это лишь
предварительные условия.
2. Проведение анализа состава
доказываемого утверждения.
Необходимо обучать учащихся этому.
Успешному осуществлению такого рода анализа
способствует использование следующей системы
указаний по его проведению:
1) Выделить условие и требование
доказываемого утверждения; сделать их
сокращённую запись.
2) Начать изучение условия по чертежу.
При выполнения рисунка избегать частных случаев,
выделить на рисунке (цветом или толщиной линии)
данные и искомые величины.
3) Сформулировать определения тех
понятий, которые содержатся в условии и
заключении.
3. Поиск плана доказательства.
При поиске плана доказательства
утверждений полезно использовать следующие
указания:
1) Вспомнить и применить теорему (или
другое истинное утверждение), которое
непосредственно устанавливает зависимость
между данными и искомыми величинами.
2) Сделать попытку расчленить данное
утверждение на ряд более простых утверждений,
последовательное доказательство которых может
привести к искомому доказательству.
3) Вспомнить утверждение, аналогичное
данному. Воспользоваться способом его
доказательства.
4) Если возникает трудность при
доказательстве равенства двух величин, то одну
из них или обе заменить равносильными и
доказывать равенство последних.
5) При необходимости заменить
утверждение, которое надо доказать, другим,
равносильным данному.
Вернёмся к нашему примеру.
Сопоставим заключение с условием. Из
условия видно, что BD – это 1) отрезок, 2)
проведённый из вершины В, 3) соединяющий В с
точкой на противолежащей стороне.
1.Чтобы доказать, что BD – медиана,
достаточно показать, что AD = DC.
Вспомним признаки равенства отрезков,
мы знаем, что
а) два отрезка равны, если при
наложении они совпадают;
б) два отрезка равны, если их длины
равны;
в) два отрезка равны , если каждый из
них равен третьему;
г) два отрезка равны, если они являются
отрезками соответственно равных фигур.
Выберем признак, который нам нужен. Это
г).
Осталось доказать, что 
ABD = CBD
ABD = CBD по 1 признаку
AB = BC по условию, т.к. ABC – равнобедренный
BD – общая.
ABD = CBD, т.к. BD биссектриса.
Из равенства треугольников следует AD =
DC.
2. Что бы доказать, что BD – высота,
достаточно показать, что BD 
AC.
Развернем условие BD AC.
а) прямые BD и AC пересекаются под прямым
углом;
б) ADB –
прямой, CDB – прямой;
в) хотя бы один из углов прямой;
г) ADB и CDB смежные и равны.
Подходит г).
АВD = CBD, значит ADB = CDB, кроме того они смежные, т.е. BD – высота АВC.
Для доказательства теоремы необходимо
было подвести данное условие, под понятие
“медиана” и “высота”. Как видно из этого
примера при доказательстве теорем учащийся
должен обладать умением выводить следствие из
условия. А это необходимо формировать.
4. Доказательства вспомогательных
утверждений.
Этот компонент ориентировочной
деятельности часто облегчает пути
доказательства основного утверждения. Важное
значение при этом имеет выработка умения
переносить принцип доказательства со
вспомогательного утверждения на основное. Это
умение, как показали исследования, базируется на
проведении анализа условия вспомогательного
утверждения через его соотнесения с требованием
данного.
Например, утверждение “Если AОB = CОB, то DB AC и AB = AC, BAD = CAD.
Доказать, что DC = DB.” являются вспомогательными
для теоремы о свойстве биссектрисы, проведенной
к основанию равнобедренного треугольника.
5. Применение указаний по
использованию конкретных методов доказательств.
Группой ученых психологов под
руководством Н. Талызиной проведены
исследования, которые позволили установить, что
все теоремы, изучаемые в школе, могут быть
доказаны с помощью трех методов:
а) метод подведения под понятие, путем
выделения системы необходимых признаков,
скрытых за другими понятиями;
б) метод доказательства от противного;
в) использование дополнительных
построений.
Суть метода от противного.
- Допускаем, что истинно утверждение, которое
противоречит тому, что требуется доказать. - Преобразуем это утверждение, получая
необходимые признаки его справедливости.
Используем при этом данные условия и другие
истинные положения. - Доказательство окончено, если получено
утверждение, которое противоречит условию, или
ранее доказанному утверждению, или какой либо
аксиоме. - Обосновываем правильность доказываемого
утверждения.
Если одна из двух прямых лежит в
некоторой плоскости, а другая прямая пересекает
эту плоскость в точке, не лежащей на первой
прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
Т.е. получим противоречие с условием
теоремы. Таким образом, утверждение, что AB и CD
скрещивающиеся верно. Теорема доказана.
6. Применение обучающих алгоритмов
доказательств определенных типов утверждений.
Следует отметить, что, чем лучше
учащиеся владеют различными алгоритмами
доказательства тех или иных типов утверждений,
тем выше уровень их умений осуществлять поиски
доказательств. Если обратиться к задачникам
геометрии, то нетрудно заметить, что можно
выделить ряд общих алгоритмов доказательства
определенных типов теорем. Рассмотрим некоторые
из них.
Доказать, что высота прямоугольного
треугольника, проведенная из вершины прямого
угла, есть среднее пропорциональное между
отрезками на которые делится гипотенуза этой
высотой.
Катет прямоугольного треугольника
есть среднее пропорциональное между гипотенузой
и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом
и высотой, проведенной из вершины прямого угла.
Сравнивая эти теоремы можно увидеть
общие логические шаги. Найденный обобщенный
прием работы по доказательству оформим в виде
алгоритма.
- Выделить на чертеже нужные треугольники.
- Обосновать их подобие.
- Составить пропорции из соответственных сторон
этих треугольников. - Получить из пропорции доказываемое равенство.
При обучении учащихся самостоятельно
конструированию алгоритмов в процессе
доказательства теорем можно использовать
различные проблемные ситуации, ставящие ученика
в положение исследователя. Чем отличаются
доказательства рассмотренных теорем? Что общего
можно выделить в рассмотренных доказательствах?
Выпишите общие компоненты обоих доказательств.
Такова должна быть методика по обучению
доказательств с помощью алгоритмов.
Опыт показывает, что систематическое
проведение работы по ориентировочной
деятельности учащихся по усвоению и обучению
доказательств теорем обеспечивает повышение
умения доказывать утверждения и решать задачи.
Литература
- Груденов Я.И. “О психологических основах
построения системы упражнений по математике и
методике преподавания геометрии”. Канд. дис.
Калинин, 1963 г. - Волович М.В. “Математика без перегрузок”. М. :
Педагогика, 1991 г. - Боковнев О.А. “Преподавание алгебры и геометрии
в школе”. М. : “Просвещение”, 1982 г.