2ая теорема вейерштрасса

Функция
непрерывна
на отрезке
,
если она непрерывна во всех точках
интервала
и
непрерывна справа в точкеи
слева в точке.

Теорема
(первая теорема Вейерштрасса).
Если
функция
непрерывна
на отрезке,
то она ограничена на нем
. (Необходимо
доказать, что существует,
что для всехвыполняется.).

Доказательство(от противного). Пусть для всякогонайдется
такая точка,
что:
длянайдется;
длянайдетсяи
т. д..…длянайдетсяи
т. д. Итак, построена последовательностьтакая,
что для всех:.
Ясно, что.
Последовательность,
т. е. ограничена. Следовательно, по
теореме Больцано – Вейерштрасса (!!!!),
существует подпоследовательностьтакая,
что.
Так как функциянепрерывна
на отрезке,
она непрерывна и в точке.
Итак, имеем,
но по построению,
что является противоречием.

Пример.На интервале теорема, вообще говоря,
неверна. Функциянепрерывна
на,
но не ограничена на нем.

Теорема
(вторая теорема Вейерштрасса).
Непрерывная функция
на
отрезкедостигает
в некоторых точках отрезкасвоих
точных верхней и нижней границ, т.е.
существуюттакие,что

Доказательство.
Докажем существование точки максимума
функции
,
т.е. точки,
в которой значение функции равно точной
верхней грани множества значений функции.
По предыдущей теореме(первая
теорема Вейерштрасса)

непрерывная
на отрезке
функцияявляется
ограниченной на этом отрезке, следовательно,
ограничена сверху, например, числом,
т. е. для всех.
Тогда существует точная верхняя границамножества
значений функциина
отрезке,
т.е. такое число,
что 1) для всех;

2)
для любого
существует
точка.
Возьмем последовательные значенияТогда построена последовательность.
Эта последовательность ограничена.
Следовательно, по теореме Больцано –
Вейерштрасса (!!!!)
из нее можно выделить подпоследовательностьтакую,
что.
Функциянепрерывна
в точке.

Следовательно,
,
но, с другой стороны, для всехвыполняется.
В силу свойства (Если
для
всех
n
и

,то
сходящихся последовательностей
заключаем, что
.
Итак,.

Замечание
6.2.1.
Если функция разрывна, то теорема
(вторая теорема Вейерштрасса), вообще
говоря, неверна. Например,,(см.
рис.). Значение, равное,
функцией не достигается.

22. Теорема Больцано-Коши о нулях функции.

Теорема
6.2.3.

Если
функция
непрерывна
на отрезке,
ее значения на концах отрезкаине
равны нулю и имеют разные знаки, то на
интервалеимеется
по крайней мере одна точкатакая,
что
.

Доказательство
(метод Больцано деления отрезка пополам).
Пусть
(см.
рис.).

Обозначим
отрезок
.
Разделим его пополам. Если в середине
отрезкафункция
равна нулю, то все доказано. Если нет,
то обозначим зату
из половин отрезка,
на концах которой функцияимеет
разные знаки:.
Разделим отрезокпополам.
Если в середине отрезкафункция
равна нулю, то все доказано. Если нет,
то обозначим зату
из половин отрезка,
на концах которой функцияимеет
разные знаки:.
Рассуждая таким образом, мы либо на
каком-то шаге получим точку, в которой
функция обращается в нуль, и все доказано,
либо построим систему вложенных отрезков,
длины которых стремятся к нулю, и для
всехвыполняются неравенства.
Следовательно, по теореме Кантора (Пусть
задана система вложенных отрезков
на,
т. е. таких, что

и
длины отрезков
при.
Тогда существует, и притом единственная,
точка, одновременно принадлежащая всем
отрезкам.
)
существует точка
,
принадлежащая всем отрезкам.
Поэтомуи.
Тогда, с одной стороны,с
другой стороны, в силу непрерывности
функциив
точке,Следовательно,.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #

    23.02.201542.34 Mб17Матан — Зорич.pdf

  • #

    23.02.201524.48 Mб83Матан — Фихтенгольц 2.pdf

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Первая и вторая теоремы Вейерштрасса. Теория локального экстремума. Аксиомы вещественных чисел

Страницы работы

Содержание работы

1 и 2 теоремы Вейерштрасса

Первая теорема Вейерштрасса : Всякая непрерывная
функция , заданная на отрезке , ограничена, т.е. числа
m и M такие, что  .

Доказательства: Докажем ограниченность сверху,
т.к. снизу аналогично!!!

1) -ограничена сверху, — это надо доказать. Предположим, что это
неверно.

2) т.е. , такое что

3) Возьмем , что

4) Меняем получаем
последовательность . Выделяем сходящуюся
подпоследовательность:

5) т.к. — непрерывная

6) Если в 3) взять n=1 ,  но ,
противоречие => 2) – не верно т.к. верно1) => теорема доказана для M, а для m – аналогично

Вторая теорема Вейерштрасса: Всякая непрерывная
функция, достигает своих наибольшего и наименьшего
значений, т.е. если  , то и , что  а

Доказательство: Только для sup,
т.к. inf аналогично. Надо доказать, что, такие что  где .
Допустим, такой точки нет, т.е. . Рассмотрим ,  для  по построению и
непрерывна, т.к. 1-непрерывна и разность тоже => -непрерывна
=> по 1-ой теореме Вейерштрасса она ограничена сверху, т.е. А1>0, что  , подставим вместо   

Аксиомы вещественных чисел:

Аксиомы  чисел. R – это произвольное множество, в котором определены
операции,  операции сравнения

Аксиомы поля:

1.

2.

3. что

4. ,
что

5.

6.

7.  что

8. что

9.

Упорядоченное поле:

1. Из

2. Если

3.  либо , либо

4. если

5.

Архимедово поле

 целое

Аксиома непрерывности:  —
вложенные отрезки,  и . Æ —
это значит, что на прямой нет дырок

Выпуклые функции: веществ. функция , B – выпуклое
множество, называется выпуклой, если выполняется неравенство:  для где . Если n=2 , то
будем рассм. формулу Иенсена.

Интегрирование по частям

Теорема: пусть функции  и — непрер. диф-мые на выполняется

Доказательство: 1) — по
определению, ; 2) ; 3) ; 4)  ; 5)

γ- и β-функции.

Определение: Эйлеров интеграл первого рода. Так
называется ( по предложению Лежандра) интеграл вида:

 где p, q>0.

Он представляет функцию от двух переменных параметров p и q: функцию B(«Бета»).

Определение: Эйлеров интеграл второго рода. Это
название было присвоено Лежандром замечательному интегралу:

Который сходится при любом s>0 и
определяет функцию G («Гамма»).

Докажем, что: 1. G(s+1)=s*G(s);

                         2.

G(1)=1; G(2)=G(1)=1; G(3)=2*G(1)=2!;…;
G(n+1)=n!,
nN, то есть G-это аналог факториала, а B- аналог
биномиального коэффициента.

Доказательство:

1. где в
пределе

2. Рассмотрим

Составим  и
проинтегрируем по t

Левую:

Правую: ,
все доказано, так как G(p+q)*B(p,q)=G(p)*G(q)

Классы интегрируемых функций.

Теорема 1:.Если функция f(x) – непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на [a,b].

Доказательство:Составим
разность: Sn-Sǹ
= (Mk  — mk )∆xk = (f(ξk) — f(ξ
̀k)) ∆xk

Т.к. функция f(x) – непрерывна на [a,b] => f(x)
– непрерывна на [xk-1,xk] => $ ξ̀k и ξ ̀k Î [xk-1,xk], что Mk = f(ξk),
mk = f(ξ ̀k)  Т.к. f(x) непрерывна на [a,b] =>  равномерно непрерывна на [a,b] => для  e >0 $ d, что ½x — x’½< d => ½
f(x) — f(x’)½< e Возьмём разбиение мелкости ln< d => ½(f(ξk) — f(ξ
̀k)) ∆xk ½£ e×∆xk 
= e×(b-a)®0 теорема  доказана!!!

Теорема 2: Монотонная,
ограниченная функция f(x) на
отрезке [a,b], интегрируема.

Доказательство: Монотонная =>
x £ x’ => f(x) £ или ³ f(x’)
Пусть f(x) – монотонно
неубывающая  функция =>  êSn— Sn ̀ê=(Mk  — mk )∆xk , Mk = f(xk),
mk = f(xk-1) => 

êSn— Sn ̀ê=( f(xk) — f(xk-1))∆xk£ êêпусть мелкость разбиения ln< e => ∆xk £ ln £ e êê£ e×( f(xk) — f(xk-1))∆xk = e×(f(b)-f(a)), а т.к. e —
произвольное => êSn— Sn ̀ê0, при ln ® 0, Ч.Т.Д.

Критерий Коши – существование предела: для того чтобы
имела конечный предел при , необходимо и достаточно, чтобы для , что для всех  и  и таких, что .
Доказывается сведением к последовательности.

Критерий Коши:для того чтобы
последовательность  сходилась, необходимо и
достаточно, чтобы она была фундаментальной.

ДоказательствоНеобходимость. если , то для любого  существует
, такое, что для всякого  имеем .

Следовательно, для любых  

.

Поэтому  — фундаментальная
последовательность.

Достаточность. По условию последовательность  является фундаментальной.

1. Докажем, что  ограничена. В самом
деле, возьмем =1. Тогда найдется n0=n0(1) такое,
что для всех  имеем . Но
тогда  . Отсюда .

2.  В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса существует
сходящаяся подпоследовательность  при . Условие её сходимости можно записать так:
  такое
что  имеем . Пусть
 и .
Тогда  для всех n>N и nk>N имеем  , т.е. последовательность  сходится.

Похожие материалы

  • Предел функции. Основные понятия. Предел дробно-рациональной функции
  • Приближенные числа и оценка погрешностей при вычислениях
  • Приложения частных производных и дифференциала

Информация о работе

Вводится аналогично ограниченности функции одной переменной.

Аналогично вводится понятие точных верхней и нижней граней:

, .

Теорема 1 (первая теорема Вейерштрасса)*

Функция U=F(M), непрерывная на замкнутом ограниченном множестве {M}, ограничена на этом множестве.

Доказано самостоятельно:

Пусть U=F(M) Не ограничена сверху на {M}.

Выделим последовательность точек таких, что .

В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса из можно выделить сходящуюся подпоследовательность , предел которой принадлежит множеству {M}.

— бесконечно большая.

В силу непрерывности функции в {M}

сходится к F(M).

Полученное противоречие доказывает теорему.

Ч. т. д.

Теорема 2 (вторая теорема Вейерштрасса)*

Функция U=F(M), непрерывная на замкнутом ограниченном множестве {M}, достигает на этом множестве своих точных верней и нижней граней.

Доказано самостоятельно:

По первой теореме Вейерштрасса

U=F(M) ограничена на множестве {M} => она имеет точную верхнюю и нижнюю грань.

Пусть F(M)<A, , т. е. не достигает точной верхней грани.

.

Т. к. F(M) непрерывна и F(M)<A, F(M) является непрерывной.

По первой теореме Вейерштрасса

: для .

,

для .

Получено противоречие тому, что А – точная верхняя грань.

ч. т. д.

< Предыдущая   Следующая >

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *