3 этапа математического моделирования 7 класс алгебра

1. Построение математической модели.

2. Решение математической задачи.

3. Анализ полученного на втором этапе результата, исходя из смысла рассматриваемой задачи.

На первом этапе необходимо проанализировать исходные данные и сделать постановку задачи. Обычно это — составить уравнение или систему двух или трёх уравнений. Вместо уравнений могут быть неравенства. Подготовить таблицы для построения графиков. 

На втором этапе выполняются чисто математические операции: решение уравнений, неравенств, систем уравнений или неравенств, построение графиков, нахождение значений выражений и т.д.

На третьем этапе анализируется полученный результат, исходя из условия задачи и даётся ответ.

_____________________________________________________________________________

Приведем пример.

К 4 кг сплава  золота с серебром добавили 1 кг золота при этом процентное содержание золота в сплаве увеличилась на 15 процентов.  Сколько кг золота было в сплаве первоначально?

1-й этап   Постановка задачи и составление математической модели.

Пусть первоначально в сплаве было х кг золота, тогда процентное содержание золота в сплаве было х/4 *100%

После добавления 1 кг золота масса сплав стала 5 кг, а золота в нем (х+1) кг.

Процентное содержание золота в новом сплаве стало (х+1)/5 *100%.

Составим уравнение: (х+1)/5 *100% — х/4 *100% = 15%

Полученное уравнение — математическая модель задачи.

2-й этап.   Решение уравнения.

20(х+1) -25х = 15

20х + 20 -25х = 15

-5х = -5

х=1

3-й этап.  Анализ результата.

1 кг золота не превышает массу всего сплава.

Ответ: 1 кг золота было в сплаве первоначально.

Проверка.

1/4 *100%=25% — было сначала

2/5 *100%=40% — стало

40%-25% = 15%

Повторение этапов решения текстовых задач

Повторим, что при решении текстовых задач осуществляется переход от словесного описания к математическому описанию. В процессе решения таких задач выделяются три этапа:

1-й: Составление математической модели;

2-й: Работа с математической моделью;

3-й: Получение ответа на вопрос задачи.

Первый пример решения текстовых задач

Задача 1: В одном доме на 86 квартир больше, чем в другом. Сколько квартир в каждом доме, если в двух домах 792 квартиры?

Первый этап: Составим математическую модель, для чего введем переменные.

Пусть  – число квартир в первом доме. Исходя из условия, () — это число квартир во втором доме. Тогда общее количество квартир есть равно . По условию это число квартир равняется 792. Получаем уравнение:

Второй этап: необходимо решить полученное уравнение и найти .

Третий этап: в задаче необходимо ответить на вопрос: сколько квартир в одном доме и сколько в другом доме.

В одном доме у нас  квартир.

А во втором доме  квартир.

Ответ: число квартир в одном доме 353 и 439 в другом доме.

Второй пример решения текстовых задач

Задача 2: В двух залах кинотеатра 460 мест. Сколько мест в большом зале, если в нём в три раза больше мест, чем в малом?

Первый этап: Пусть  – число мест в малом зале. По условию задачи в большом зале мест в три раза больше, тогда  — число мест в большом зале. Общее количество мест равно . В задаче сказано, что общее количество мест равно 460.

Второй этап: Решим уравнение.

Третий этап: Необходимо ответить на вопрос: сколько мест в большом зале?

Нам нужно найти . Мы получили значение  = 115, значит:

Ответ: в большом зале 345 мест.

Третий пример решения текстовых задач

Задача 3: Маме и дочке вместе 35 лет. Сколько лет дочке, если она на 25 лет моложе мамы?

Первый этап: Пусть – число лет дочки. Тогда  – число лет мамы. По условию задачи маме и дочке вместе 35 лет. Значит,

Второй этап: Решим уравнение.

Третий этап: Ответим на вопрос, сколько лет дочке.

Мы обозначили возраст дочери через , и нашли, что  = 5.

Ответ: дочке 5 лет.

Задача 4: На двух книжных полках всего 48 книг. Сколько книг на первой полке, если известно, что их в два раза больше, чем на второй полке?

Первый этап: Пусть  – число книг на первой полке, их в два раза больше, чем на второй полке. Значит, – число книг на второй полке. Тогда:

Второй этап: Решим уравнение.

Третий этап: Необходимо узнать, сколько книг на первой полке. Мы обозначили их число через , значит, ответ на вопрос задачи следующий: на первой полке 32 книги.

Ответ: на первой полке 32 книги.

Итак, мы рассмотрели метод математического моделирования на примере четырех задач. В каждой задаче была составлена математическая модель, решено соответствующее уравнение и получен ответ.

Список рекомендованной литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра 7. 4 издание. М.: Мнемозина. 2001 г.
  2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ
  3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

  1. Школьный помощник (Источник).
  2. В помощь учащимся (Источник).
  3. Методическая копилка учителя информатики (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. №№ 95, 97, 100-102. Мордкович А.Г. Алгебра 7. 4 издание. М.: Мнемозина. 2001 г.

2. Решить задачу:

В папке «Video» размещалось втрое больше фильмов, чем мультфильмов. После удаления трех фильмов и скачивания пяти мультиков, их соотношение стало два к одному. Сколько фильмов было в папке изначально?

3. Решить задачу:

На клумбе росли лилии и тюльпаны, причем лилий было в два раза больше. После того, как посадили еще пять тюльпанов, и выкопали две лилии, их количество сравнялось. Сколько лилий было на клумбе изначально?

Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования:
На двух книжных полках всего 48 книг. Сколько книг на первой полке, если известно, что их в 2 раза больше, чем на второй?

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебре 7 класс Мордкович. §3. Что такое математическая модель. Номер №3.36.

Решение

1 этап.
Пусть x книг на второй полке, тогда:
2x (книг) − на первой полке.
Так как, на двух полках всего 48 книг, значит:

x +
2x = 48 − математическая модель.

 
2 этап.

x +
2x = 48
3x = 48

x =
48 : 3

x =
16

 
3 этап.

x =
16 (книг) − на второй полке;
2x = 2 * 16 = 32 (книги) − на первой полке.
Ответ: 32 книги.

Слайд 1

Математическая модель

Слайд 2

Перевести на язык математики следующие выражения: Сумма удвоенного числа а и утроенного числа b Произведение суммы чисел a и b и числа 10 Частное разности чисел а и х и суммы чисел b и 5

Слайд 3

Проверка: 2а + 3 b (а + b )10 (а — х) : ( b + 5)

Слайд 4

Ученик каменщика укладывает за 1 час n кирпичей Каменщик укладывает в 5 раз больше Записать на математическом языке: 1)За 3 часа каменщик и его ученик уложили 360 кирпичей 2) Ученик работал 3 часа, а каменщик — 6 часов, и за это время уложил на 540 кирпичей больше, чем его ученик 3)Число кирпичей, которые уложил каменщик за 3 часа, меньше 350 4) Число кирпичей, которые уложил ученик за 3 часа, больше 50

Слайд 5

Проверка 3(n + 5n) = 360 18 n=360 6 ×5n – 3 n= 540 30 n -3 n=540 27n=540 15 n <350 3 n > 50

Слайд 6

Реальная ситуация В школе четыре седьмых класса. В 7А учатся 15 девочек и 13 мальчиков, в 7Б – 12 девочек и 12 мальчиков, в 7В – 9 девочек и 18 мальчиков, в 7Г классе – 20 девочек и 10 мальчиков. Сколько учеников в каждом из седьмых классов. в 7А 15 + 13 = 28 учеников; в 7Б 12 + 12 = 24 ученика; в 7В 9 + 18 = 27 учеников; в 7Г 20 + 10 = 30 учеников.

Слайд 7

Математическая модель Используя математический язык , можно все эти четыре разные ситуации объединить: в классе учатся a девочек и b мальчиков, значит, всего учеников a + b . Эту запись a + b называют математической моделью данной реальной ситуации.

Слайд 8

Алгебра и математические модели Алгебра в основном занимается тем, что описывает различные реальные ситуации на математическом языке в виде математических моделей , а затем имеет дело уже не с реальными ситуациями, а с этими моделями, используя разные правила, свойства, законы, выработанные в алгебре.

Слайд 9

От реальной ситуации к математической модели a = b a = 2 b a + 1 = b + 3 b = 3( a – 3)

Слайд 10

В обратном направлении Что означает (при тех же обозначениях, что и в таблице) такая математическая модель a – 5 = b + 5 ? Ответ: Если из класса уйдут 5 девочек и придут 5 мальчиков, то девочек и мальчиков в классе станет поровну.

Слайд 11

Задача В классе девочек вдвое больше, чем мальчиков. Если из этого класса уйдут три девочки и придут три мальчика, то девочек будет на 4 больше, чем мальчиков. Сколько учеников в данном классе? Решение. Пусть х – число мальчиков в классе, тогда 2 х – число девочек. Если уйдут три девочки, то останется (2 х – 3) девочек. Если придут три мальчика, то станет ( х + 3) мальчиков. По условию девочек будет тогда на 4 больше, чем мальчиков; на математическом языке это записывается так: (2 х – 3) – ( х + 3) = 4. Это уравнение – математическая модель задачи. Используя известные правила решения уравнений, последовательно получаем: 2 х – 3 – х – 3 = 4 (раскрыли скобки); х – 6 = 4 (привели подобные слагаемые); х = 6 + 4; х = 10. Теперь мы можем ответить на вопрос задачи. В классе 10 мальчиков, а значит, 20 девочек (вы помните, их по условию было в 2 раза больше). Ответ: всего в классе 30 учеников.

Слайд 12

Три этапа решения задачи На первом этапе , введя переменную х и переведя текст задачи на математический язык, мы составили математическую модель – в виде уравнения (2 х – 3) – ( х + 3) = 4. На третьем этапе мы использовали полученное решение, чтобы ответить на вопрос задачи. На этом этапе мы снова вернулись к девочкам, мальчикам и интересующему нас классу. На втором этапе , используя наши знания, мы это уравнение решили, точнее, довели до самого простого вида ( х = 10). На этом этапе мы не думали ни про девочек, ни про мальчиков, а занимались «чистой» математикой, работали только с математической моделью.

Слайд 13

Три этапа решения задачи Первый этап. Составление математической модели. Второй этап. Работа с математической моделью. Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *