Треугольники. Признаки равенства треугольников
Треугольник − это геометрическая фигура, образованная соединением отрезками трех, не лежащих на одной прямой точек .
Эти точки называются вершинами треугольника. Отрезки, соединяющие эти точки называются сторонами треугольника.
Треугольник обозначается знаком ⊿. Например треугольник ABC обозначается так: ⊿ABC. Этот же треугольник можно обозначать так: ⊿BAC, ⊿CBA и т.д.
Углы треугольника обозначают так ∠BAC, ∠ABC, ∠BCA. Эти же углы коротко обозначают также ∠A, ∠B, ∠C, соответственно. Углы треугольника принято также обозначать греческими буквами α, β, γ и т.д. Стороны тркеугольника обозначают так AB, BC, AC. Принято также стороны обозначать одной строчной буквой, причем сторона напротив угла A ,обозначается буквой a, сторона напротив угла B− b, сторона напротив угла C− c. Сумма трех сторон треугольника называется периметром треугольника.
Как известно, две треугольники называются равными, если при наложении друг на друга их можно совместить. На Рис.2 представлены два треугольника ABC и A1B1C1. Треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, чтобы вершины и стороны этих треугольников попарно совместились. Очевидно, что при этом совместятся и соответствующие углы.
Вышеизложенное можно сформулировать так:
Если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Равенство треугольников ABC и A1B1C1 обозначается так:
Первый признак равенства треугольников
Теорема 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1 (Рис.3). Пусть AB=A1B1, AС=A1С1 и ∠A=∠A1. Докажем, что .
Так как ∠A=∠A1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, чтобы вершины A и A1 совпадали, а стороны AB и AС наложились на лучи A1B1 и A1C1, соответственно.
Так как по условию теоремы AB=A1B1, AС=A1С1, то сторона AB совместится со стороной A1B1, а сторона AС − со стороной A1С1.Тогда совместятся B и B1, C и С1. Следовательно сторона BC совместится со стороной B1C1. То есть треугольники ABC и A1B1C1 полностью совместятся. Теорема доказана.
Второй признак равенства треугольников
Теорема 2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1С1 (Рис.4). Пусть AB=A1B1, ∠A=∠A1, ∠B=∠B1. Докажем, что .
Наложим треугольник ABC на треугольник A1B1С1 так, чтобы вершина A совмещалась с вершиной A1, сторона AB − со стороной A1B1 (по условию теоремы AB=A1B1), а вершины C и С1 оказались по одну сторону от прямой A1B1.
Так как ∠A=∠A1 и ∠B=∠B1, то сторона AС наложится на луч A1C1 а сторона BС − на луч B1С1. Тогда вершина C окажется на луче A1C1 и на луче B1C1. Т.е. она окажется на пересечении этих лучей и, следовательно, вершина C совместится с общей точкой лучей A1C1 и B1C1, т.е. с вершиной C1. Таким образом совместятся стороны AC и A1C1, BC и B1C1. То есть треугольники ABC и A1B1С1 полностью совместятся, поэтому они равны. Теорема доказана.
Третий признак равенства треугольников
Теорема 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1С1. Пусть AB=A1B1, AC=A1C1 и BC=B1C1. Докажем, что . Приложим треугольник ABC к треугольнику A1B1С1 так, чтобы вершина A совмещалась с вершиной A1, вершина B совмещалась с вершиной B1, а вершины С и С1 находились по разные стороны от прямой A1B1.
Возможны три варианта: луч CC1 проходит внутри угла ACB(Рис.6); луч CC1 совпадает с одной из сторон угла ACB (Рис.7); луч CC1 проходит вне угла ACB(Рис.8). Рассмотрим эти три случая по отдельности.
Вариант 1 (Рис.6). Так как по условию теоремы AC=A1C1 и BC=B1C1, то треугольники AСС1 и BСС1 равнобедренные. Тогда ∠1=∠2 и ∠3=∠4 и, следовательно:
Имеем AC=A1C1, BC=B1C1 ∠ACB=∠A1C1B1 и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.
Вариант 2 (Рис.7). Так как по условию теоремы AC=A1C1 и BC=B1C1, то треугольник BСС1 равнобедренный. Тогда ∠1=∠2. Имеем: AC=A1C1, BC=B1C1, ∠1=∠2 и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.
Вариант 3 (Рис.8). Так как по условию теоремы AC=A1C1 и BC=B1C1, то треугольники AСС1 и BСС1 равнобедренные. Тогда ∠1=∠2 и и, следовательно:
Имеем AC=A1C1, BC=B1C1 и по первому признаку равенства треугольников
. Теорема доказана.
Задачи и решения
Задача 1. На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на отрезке AC, а точка E − на отрезке AD, причем AC=AD и AB=AE. Докажите, что ∠CBD=∠DEC (Рис.9).
Доказательство. AC=AD, AE=AB, ∠CAD общий для треугольников CAE и DAB. Тогда, по первому признаку равенства треугольников (теорема 1) ⊿ACE=⊿ADB. Следовательно ∠DBA=∠AEC. Поскольку углы CBD и DBA смежные, то CBD=180°−∠DBA. Аналогично CED=180°-∠AEC. То есть ∠CBD=∠DEC. Конец доказательства.
Задача 2. По данным рисунка рис.10 докажите, что OP=OT, ∠P=∠T
Доказательство. OC=OB, ∠TCO=∠PBO=90°. Углы TOC и POB вертикальные (следовательно равны) тогда, повторому признаку равенства треугольников (теорема 2), ⊿TCO=⊿PBO. Конец доказательства.
Признаки равенства треугольников — это теоремы, на основании которых можно доказать, что некоторые треугольники равны.
В геометрии используются три признака равенства треугольников.
Первый признак равенства треугольников
(по двум сторонам и углу между ними)
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Второй признак равенства треугольников
(по стороне и двум прилежащим к ней углам)
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Третий признак равенства треугольников
(по трем сторонам)
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Кроме трех общих случаев, существуют еще четыре признака равенства прямоугольных треугольников.
Краткий конспект учебника по геометрии за 7 класс (А.Г.Мерзляк и др.) в 4-х частях. Цитаты из учебника помогут учащимся, которые сдали учебник в библиотеку при переходе в старший класс, быстро освежить знания, полученные в 7 классе. Часть 2-я.
Перейти к Главе 1
Перейти к Главе 3
Перейти к Главе 4
Глава 2. Треугольники
СОДЕРЖАНИЕ: 7) Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника. 8) Первый и второй признак равенства треугольников. 9) Равнобедренный треугольник и его свойства. 10) Признаки равнобедренного треугольника. 11) Третий признак равенства треугольников. 12) Теоремы.
§ 7. Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника
Рассмотрим три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Соединим их отрезками АВ, ВС, СА. Полученная фигура ограничивает часть плоскости, выделенную на рисунке 108 зеленым цветом. Эту часть плоскости вместе с отрезками АВ, ВС и СА называют треугольником.
Точки А, В, С называют вершинами, а отрезки АВ, ВС, СА — сторонами треугольника. Треугольник называют и обозначают по его вершинам. Треугольник, изображённый на рисунке 108, обозначают так: ΔАВС, или ΔВСА, или ΔАСВ (читают: «треугольник АВС», «треугольник ВСА», «треугольник АСВ»).
Углы ВАС, АВС, ВСА (рис. 109) называют углами треугольника АВС. В треугольнике АВС (рис. 109), например, угол В называют , противолежащим стороне АС, углы А и С — углами, прилежащими к стороне АС, сторону АС — стороной, противолежащей углу В, стороны АВ и АС — сторонами, прилежащими к углу А.
§ 8. Первый и второй признак равенства треугольников
§ 9. Равнобедренный треугольник и его свойства
Определение. Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.
Равные стороны треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника. Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон. При этом угол В называют углом при вершине, а углы А и С — углами при основании равнобедренного треугольника.
Определение. Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.
Равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного треугольника.
§ 10. Признаки равнобедренного треугольника
§ 11. Третий признак равенства треугольников
§ 12. Теоремы
Формулировки всех теорем, которые мы доказали, состоят из двух частей. Первую часть теоремы (то, что дано) называют условием теоремы, вторую часть теоремы (то, что требуется доказать) — заключением.
Например, в теореме 8.1 (первый признак равенства треугольников) условием является то, что две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, а заключением — равенство
ников.
Все знакомые вам теоремы можно условно разделить на теоремы-свойства и теоремы-признаки. Например, теорема 1.1 устанавливает свойство пересекающихся прямых, теорема 9.1 — свойство равнобедренного треугольника.
Теоремы-признаки перечисляют свойства, по которым можно распознать фигуру, т. е. отнести её к тому или иному виду (классу). Так, теоремы-признаки равенства треугольников указывают требования, по которым два треугольника можно причислить к классу равных. Например, в теоремах 10.1-10.4 сформулированы свойства, по которым распознают равнобедренный треугольник.
Теоремы, которые следуют непосредственно из аксиом или теорем, называют теоремами-следствиями или следствиями. Например, свойство углов, противолежащих равным сторонам треугольника, является следствием из теоремы 9.1.
Если в теореме 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра поменять местами условие и заключение, то получим теорему 11.2. Такие теоремы называют взаимно обратными. Если какую-то из этих теорем назвать прямой, то вторую теорему будем называть обратной.
Меняя местами условие и заключение теоремы, надо быть очень внимательными: не всегда можно получить истинное утверждение. Например, утверждение, обратное теореме 4.1 о сумме смежных углов, неверно. Действительно, если сумма каких-то двух углов равна 180°, то совершенно не обязательно, чтобы эти углы были смежными.
Вы знаете, что справедливость теоремы устанавливают путём логических рассуждений, т. е. доказательства. Теорема 1.1 была доказана методом от противного. Название этого метода фактически отражает его суть. Мы предположили, что заключение теоремы 1.1 неверно. На основании этого предположения с помощью логических рассуждений был получен факт, который противоречил основному свойству прямой.
Методом от противного также были доказаны и другие теоремы, например теоремы 5.1, 10.3. Очень важно, чтобы доказательство теоремы было полным, т. е. рассмотрены все возможные случаи. Так, полное доказательство теоремы 11.1 (третий признак равенства треугольников) потребовало рассмотрения всех трёх возможных случаев.
Умение видеть все тонкости и нюансы доказательства — важнейшее качество, формирующее математическую культуру. Если бы, например, при доказательстве теоремы 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра мы не рассмотрели отдельно случай, когда точка X является серединой отрезка то обращение к треугольникам АХМ и ВХМ было бы не совсем «законным».
При доказательстве теоремы 10.4 (признак равнобедренного треугольника) мы использовали приём дополнительного построения: чертёж дополнили элементами, о которых не шла речь в условии теоремы. Этот метод является ключом к решению многих задач и доказательству ряда теорем. Поэтому очень важно научиться видеть «выгодное» (результативное) дополнительное построение.
ИТОГИ ГЛАВЫ 2.
Определение. Равные фигуры
Две фигуры называют равными, если их можно совместить наложением.
Основное свойство равенства треугольников
Для данного треугольника АВС и луча А1М существует треугольник A1B1C1 равный треугольнику АВС, такой, что АВ = А1В1, ВС = В1С1, АС = А1С1 и сторона A1B1 принадлежит лучу А1М, а вершина С1 лежит в заданной полуплоскости относительно прямой А1М.
ТЕОРЕМА 7.1. О единственности прямой, перпендикулярной данной
Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только одна прямая, перпендикулярная данной.
Высота треугольника
Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону, называют высотой треугольника.
Медиана треугольника
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называют медианой треугольника.
Биссектриса треугольника
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны, называют биссектрисой треугольника.
ТЕОРЕМА 8.1. Первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Серединный перпендикуляр отрезка
Прямую, перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину, называют серединным перпендикуляром отрезка.
ТЕОРЕМА 8.2.
Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудалена от концов этого отрезка.
ТЕОРЕМА 8.3. Второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Равнобедренный треугольник
Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.
Равносторонний треугольник
Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.
ТЕОРЕМА 9.1. Свойства равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании равны; 2) биссектриса треугольника, проведённая из угла при вершине, является медианой и высотой.
Свойства треугольников, следующие из свойств равнобедренного треугольника
• В треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
• В равнобедренном треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведённые из его вершины, совпадают.
• В равностороннем треугольнике все углы равны.
• В равностороннем треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведённые из одной вершины, совпадают.
Признаки равнобедренного треугольника
• Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный (Теорема 10.1)
• Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный (Теорема 10.2)
• Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный (Теорема 10.3)
• Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный (Теорема 10.4)
ТЕОРЕМА 11.1.Третий признак равенства треугольников: по трём сторонам
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Это конспект по теме «Мерзляк Геометрия 7 Глава 2». Выберите дальнейшие действия:
- Перейти Главе 1 «Простейшие геометрические фигуры»
- Перейти Главе 3 «Параллельные прямые. Сумма углов треугольника»
- Перейти Главе 4 «Окружность и круг. Геометрические построения»
- Вернуться к Списку конспектов по геометрии
Признаки равенства треугольников
- Первый признак равенства треугольников
- Второй признак равенства треугольников
- Третий признак равенства треугольников
- Признаки равенства прямоугольных треугольников
Два треугольника считаются равными, если их можно совместить наложением. Но, чтобы не выполнять каждый раз наложение, для доказательства равенства треугольников, установили три признака, по которым можно определить, совместятся треугольники или нет. Эти признаки называются признаками равенства треугольников.
Первый признак равенства треугольников
Теорема:
Два треугольника равны, если у них равны две стороны и угол, лежащий между этими сторонами.
Доказательство:
Рассмотрим два треугольника ABC и
A1B1C1, у которых:
AB = A1B1, AC = A1C1, ∠A = ∠A1.
Требуется доказать, что
ABC =
A1B1C1.
Если наложить A1B1C1 на
ABC так, чтобы точка A1 совместилась с точкой A и сторона A1B1 совместилась со стороной AB, то точка B совместится с точкой B1, так как A1B1 = AB. Сторона A1C1 совместится со стороной AC, так как ∠A = ∠A1. Точка C1 совпадёт с точкой C, так как A1C1 = AC. Стороны B1C1 и BC совместятся, так как совместились их концы. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.
Второй признак равенства треугольников
Теорема:
Два треугольника равны, если у них равна одна из сторон и два прилежащих к ней угла.
Доказательство:
Рассмотрим два треугольника ABC и
A1B1C1, у которых:
AC = A1C1, ∠A = ∠A1 и ∠C = ∠C1.
Требуется доказать, что
ABC =
A1B1C1.
Если наложить A1B1C1 на
ABC так, чтобы точка A1 совместилась с точкой A и сторона A1C1 совместилась со стороной AC, то точка C1 совпадёт с точкой C, так как A1C1 = AC. Сторона A1B1 совпадёт со стороной AB, так как ∠A = ∠A1. Сторона C1B1 совпадёт со стороной CB, так как ∠C = ∠C1. Вершина B1 совпадёт с вершиной B, так как B и B1 будут служить точками пересечения одних и тех же отрезков. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.
Третий признак равенства треугольников
Теорема:
Два треугольника равны, если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого.
Доказательство:
Рассмотрим два треугольника ABC и
A1B1C1, у которых:
AB = A1B1, BC = B1C1, AC = A1C1.
Требуется доказать, что
ABC =
A1B1C1.
Приложим треугольники ABC и A1B1C1 один к другому так, чтобы вершина A совместилась с A1, вершина C — с C1, а вершины B и B1 оказались по разные стороны от прямой AC.
Соединив точки B и B1, получим два равнобедренных треугольника BAB1 и BСB1.
В треугольнике BAB1 ∠1 = ∠4, в BСB1 ∠2 = ∠3 (как углы при основании). Следовательно,
∠1 + ∠2 = ∠4 + ∠3, поэтому ∠ABC = ∠AB1C.
Итак, AB = A1B1, BC = B1C1, ∠ABC = ∠A1B1C1.
Из этого следует, что треугольники ABC и A1B1C1 равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Для прямоугольных треугольников, кроме перечисленных трёх признаков равенства, имеются ещё дополнительные признаки, так как у них у всех есть прямой угол, а все прямые углы равны между собой.
Два прямоугольных треугольника будут равны в следующих четырёх случаях:
- Если катеты одного треугольника равны катетам другого.
- Если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему к нему острому углу другого.
- Если гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого.
- Если гипотенуза и катет одного треугольника равны гипотенузе и катету другого.
Содержание
- Признаки равенства треугольников
- Первый признак равенства треугольников
- Второй признак равенства треугольников
- Третий признак равенства треугольников
- Что такое равенство треугольников
- Медиана, биссектриса и высота треугольника
- Равные треугольники
- Признаки равенства треугольников
- Треугольник
- Треугольник произвольный
- Свойства
- Признаки равенства треугольников
- Биссектриса, высота, медиана
- Средняя линия треугольника
- Вписанная окружность
- Описанная окружность
- Соотношение сторон в произвольном треугольнике
- Площадь треугольника
- Равные треугольники
- Определение
- Признаки равенства
- Алгоритм доказательства равенства фигур
- Пример
- Что мы узнали?
- Геометрия. 7 класс
Признаки равенства треугольников
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Первый признак равенства треугольников
Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.
Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.
Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
При наложении △A1B1C1 на △ABC вершина A1 совмещается с вершиной A, и сторона A1B1 накладывается на сторону AB, AC — на сторону A1C1.
Сторона A1B1 совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B1, сторона A1С1 совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C1.
Значит, происходит совмещение вершин В и В1, С и С1.
Второй признак равенства треугольников
Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Путем наложения △ABC на △A1B1C1, совмещаем вершину А с вершиной A1, вершины В и В1 лежат по одну сторону от А1С1.
Тогда АС совмещается с A1C1, вершина C совпадает с C1, поскольку мы знаем, что АС = A1C1.
AB накладывается на A1B1, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A1.
CB накладывается на C1B1, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C1.
Вершина B совпадает с вершиной B1.
Третий признак равенства треугольников
Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство 3 признака равенства треугольников:
Приложим △ABC к △A1B1C1 таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A1, вершина B — с вершиной B1, вершина C и вершина C1 лежат по разные стороны от прямой А1В1.
Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.
Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.
Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.
Источник
Что такое равенство треугольников
Треугольник — фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами.
Треугoльник — жесткая фигура. Это свойство используют при строительстве мостовых арок, конструировании подъемных кранов и т.д. Свойства треугольника системно изложены в «Началах» Эвклида. Знак для обозначения треугольника еще в I в. н.э. применил древнегреческий учений Герон, а знак Δ применяется с IV в. н.э.
Медиана, биссектриса и высота треугольника
Равные треугольники
Аксиома существования треугольника, равного данному.
Каким бы ни был треугольник, существует треугольник, равный ему в заданном расположении относительно данной полупрямой.
Свойства равных треугольников
1. В равных треугольниках соответствующие стороны равны.
2. В равных треугольниках соответствующие углы равны.
3. Периметры равных треугольников равны.
4. Площади равных треугольников равны.
5. Против равных сторон лежат равные углы.
6. Против равных углов лежат равные стороны.
Признаки равенства треугольников
Дополнительные признаки равенства
• Если две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне треугольника, соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне другого треугольника, такие треугольники равны.
• Если два угла и высота,проведенная к стороне, к которой прилегают эти углы, одного треугольника, соответственно равны двум углам и высоте, проведенной к стороне, к которой прилегают эти углы, другого треугольника, то такие треугольники равны.
• Если сторона, высота и медиана, проведенные к стороне одного треугольника, соответственно равны стороне, высоте и медиане, проведенным к этой стороне другого треугольника, то эти треугольники равны.
• Если медиана и углы, на которые она делит угол, одного треугольника, соответственно равны медиане и углам,на которые она делит угол, другого треугольника, эти треугольники равны.
Это конспект по теме «Треугoльник. Равенство треугольников». Выберите дальнейшие действия:
Источник
Треугольник
Треугольник произвольный
Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (тремя углами).
Виды треугольников :+ показать
Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые (то есть меньше 90˚).
Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов тупой (больше 90˚).
Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90˚).
Равносторонний (правильный) треугольник – треугольник, у которого все три стороны равны.
Свойства
1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
4. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
не смежных с ним:
(Внешний угол образуется в результате продолжения одной из сторон треугольника).
5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Признаки равенства треугольников
1. Треугольники равны, если у них соответственно равны две стороны и угол между ними.
3. Треугольники равны, если у них соответственно равны три стороны.
Биссектриса, высота, медиана
Здесь подробно о биссектрисе, высоте, медиане треугольника.
Средняя линия треугольника
Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Вписанная окружность
Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника.
Описанная окружность
Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.
Соотношение сторон в произвольном треугольнике
Теорема косинусов:
Теорема синусов:
Площадь треугольника
Через сторону и высоту
Через две стороны и угол между ними
Через радиус описанной окружности
Через радиус вписанной окружности
, где
– полупериметр
, где
– полупериметр
Смотрите также площадь треугольника здесь.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Есть пара ошибок в формулах. В частности в формуле вычисления площади через 2 стороны и угол между ними, в теореме Синусов, в разделе “свойства”.
А вообще отличные статьи, очень выручают, всё понятно и доступно, премного благодарен 😉
Анатолий, спасибо!
В разделе “свойства” ошибок не нашла…
В теореме синусов, – да… не пропечаталась буква гамма. Подправила.
В формуле площади треугольника, вы правы – картинка не соответствовала формуле. Исправила.
К сожалению, ошибки сразу не всегда замечаются.
Благодарю еще раз!
В разделе свойства:
Да, не хватало значка «» у А. Спасибо! 😉
Здраствуйте! Мне нужна ваша помощь!
Задача: ВЕРШИНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ДЕЛЯТ ОПИСАННУЮ ОКОЛО НЕГО ОКРУЖНОСТЬ НА ТРИ ДУГИ, ДЛИНЫ КОТОРЫХ ОТНОСЯТСЯ КАК 6:7:33. НАЙДИТЕ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ МЕНЬШАЯ ИЗ СТОРОН РАВНА 11.
Подозреваю, у вас опечатка в условии…
Если длины дуг (а значит и их градусные меры) находятся в отношении , то выходим на уравнение
Откуда
Значит угол треугольника, что напротив меньшей стороны, есть
Применяем теорему синусов: , откуда
спасибо я так и думал а то не могу решить и всё
СПАСИБО!
Здравствуйте. Пожалуйста, объясните, как решить задачу:
Вписанная в теругольник ABC окружность касается сторон AB, BC и AC в точках K,L и М соответственно.Найдите KL, если AM=2, МС=3 и угол С=π/3
Очевидно,
Примите за
.
Примените к треугольнику теорему косинусов:
Найдете , далее можно найти угол
и из треугольника
найти
Спасибо большое за ваш сайт. Очень радует, тот факт, что когда люди не понимают какую-нибудь задачу, вы помогаете решить. Спасибо. Побольше бы таких сайтов, всё понятно и доступно
Источник
Равные треугольники
Всего получено оценок: 302.
Всего получено оценок: 302.
Изучая тему треугольников, стоит обратить внимание на признаки равенства двух фигур. Их можно использовать во время решений различных заданий. О том, как определить признаки и свойства равенства треугольников – поговорим в этой статье.
Определение
Исходя из определения равных треугольников, в равных треугольниках все соотвествующие стороны равны и все соответствующие углы равны. Используем это свойство для доказательства признаков равенства треугольников способом наложения.
Математик Фалес, чтобы вычесть расстояние от корабля до суши построил треугольник на суше равный треугольнику на «море». Он, таким образом, узнал точное расстояние.
Признаки равенства
Выделяют три признака равенства треугольников:
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответствующим двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие фигуры равны.
Рис. 1. Первый признак равенства
2. Если сторона и два прилегающих к ней угла одного треугольника равны соответствующей стороне и двум прилегающим к ней углам другого треугольника, то такие фигуры равны.
Рис. 2. Второй признак равенства
3. Если три стороны в одном треугольнике равны трем сторонам в другом треугольнике, то такие треугольники равны.
Кроме того, стоит выделить некоторые свойства:
Алгоритм доказательства равенства фигур
Порядок названия вершин одного треугольника должен быть одинаковым с порядком названия вершин другого треугольника.
Стойки стремянки могут свободно раздвигаться, до того момента, когда их не зафиксировали перемычкой. Жесткость такой конструкции основывается на третьем признаке равенства фигур.
Пример
Решение:
Стоит обратить внимание на рисунок
Рис. 3. Два треугольника
Что мы узнали?
Для того, чтобы доказать равенство фигур необходимо использовать один из трех признаков равенства треугольников. Треугольники могут быть равными по двум сторонами и углу между ними, по стороне и двум прилегающим к ней углам, а также по трем сторонам.
Источник
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Повторение. Треугольник. Равенство треугольников
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.
Сумма углов треугольника равна 180°.
Признаки равенства треугольников.
1 признак. Если две стороны и угол между ними одного
треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
2 признак. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3 признак. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.
В любом треугольнике:
Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.
На рисунке изображены равные треугольники ABC и А1В1С1. Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины, стороны и углы.
Первый признак равенства треугольников:
По двум сторонам и угол между ними.
Второй признак равенства треугольников:
По стороне и двум прилежащим к ней углам.
Третий признак равенства треугольников:
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Свойства прямоугольных треугольников.
Разбор решения заданий тренировочного модуля.
Решение задач по теме: «Прямоугольный треугольник».
Дано: ∠C = 44°.Найдите: ∠ABD.
Помним, что сумма острых углов равна 90°. Равные углы отмечены на рисунке. ∠ABD = 44°.
Дано: AB = 6. Найдите: AC.
Указания к решению: помним, что против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. На рисунке найдите три треугольника, в каждом из которых, есть угол 30°.
В треугольнике ABC против угла С = 30°, лежит катет AB = ½AC. Значит, AC = 12.
Задача 3. В ∆АВС: ∠А = 30°, ∠В = 80°. Биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Найти величину ∠АОВ.
Сумма углов А и В равна 110°. Сумма их половинок равна 55°. Тогда: ∠АОВ = 180° – 55° = 125°.
Может ли существовать треугольник со сторонами: 14 см, 17 см, 10 см?
Источник