300 доказательство теоремы пифагора

4.1. Древнекитайское доказательство [4]

На древнекитайском
чертеже четыре равных прямоугольных
треугольника с катетами a,
b
и гипотенузой с
уложены так, что их внешний контур
образует квадрат со стороной a+b,
а внутренний – квадрат со стороной с,
построенный на гипотенузе


a2
+ 2ab +b
2
= c
2
+ 2ab

a2
+b
2
= c
2

4.2. Доказательство Дж. Гардфилда (1882 г.) [4]

Расположим
два равных прямоугольных треугольника
так, чтобы катет одного из них был
продолжением другого.


Площадь
рассматриваемой трапеции находится
как произведение полусуммы оснований
на высоту

S
=

C
другой стороны, площадь трапеции равна
сумме площадей полученных треугольников:

S
=

Приравнивая данные
выражения, получаем:


или с2
=
a2
+
b2

4.3. Старейшее доказательство (содержится в одном из произведений Бхаскары). [4]

Пусть АВСD
квадрат, сторона которого равна гипотенузе
прямоугольного треугольника АВЕ (АВ =
с, ВЕ = а,

АЕ = b);

Пусть СКВЕ
= а, DLCK,
AMDL

ΔABE =
∆BCK = ∆CDL = ∆AMD,

значит
KL = LM = ME = EK = a-b.


.

4.4. Доказательство простейшее [21]

Это
доказательство получается в простейшем
случае равнобедренного прямоугольного
треугольника.

Вероятно, с него
и начиналась теорема.

В
самом деле, достаточно просто посмотреть
на мозаику равнобедренных прямоугольных
треугольников, чтобы убедиться в
справедливости теоремы.

Например,
для треугольника АВС: квадрат,
построенный на гипотенузе АС, содержит
4 исходных треугольника, а
квадраты, построенные на катетах, —
по два. Теорема доказана.

4.5. Доказательство древних индусов [2]

а)
б)

Квадрат со стороной
(a+b),
можно разбить на части либо как на
рисунке а), либо как на рисунке b).
Ясно, что части 1,2,3,4
на обоих рисунках одинаковы. А если от
равных (площадей) отнять равные, то и
останутся равные, т.е. с2
= а
2
+
b2.

Впрочем,
древние индусы, которым принадлежит
это рассуждение, обычно не записывали
его, а сопровождали лишь одним словом:

Смотри!

4.6. Доказательство Евклида [1, 20]

В течение двух
тысячелетий наиболее распространенным
было доказательство теоремы Пифагора,
придуманное Евклидом. Оно помещено в
его знаменитой книге «Начала».

Евклид опускал
высоту BН
из вершины прямого угла на гипотенузу
и доказывал, что её продолжение делит
достроенный на гипотенузе квадрат на
два прямоугольника, площади которых
равны площадям соответствующих квадратов,
построенных на катетах.

Чертёж, применяемый
при доказательстве этой теоремы, в шутку
называют «пифагоровы штаны». В течение
долгого времени он считался одним из
символов математической науки.

Доказательство
теоремы Пифагора учащиеся средних веков
считали очень трудным и называли его
Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство
«убогих», так как некоторые «убогие»
ученики, не имевшие серьезной математической
подготовки, бежали от геометрии. Слабые
ученики, заучившие теоремы наизусть,
без понимания, и прозванные поэтому
«ослами», были не в состоянии
преодолеть теорему Пифагора, служившую
для них вроде непреодолимого моста.
Из-за чертежей, сопровождающих теорему
Пифагора, учащиеся называли ее также
«ветряной мельницей», составляли
стихи вроде «Пифагоровы штаны на все
стороны равны», рисовали карикатуры.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Потенциал к творчеству обычно приписывают гуманитарным дисциплинам, естественно научным оставляя анализ, практический подход и сухой язык формул и цифр. Математику к гуманитарным предметам никак не отнесешь. Но без творчеств в «царице всех наук» далеко не уедешь – об этом людям известно с давних пор. Со времен Пифагора, например.

Школьные учебники, к сожалению, обычно не объясняют, что в математике важно не только зубрить теоремы, аксиомы и формулы. Важно понимать и чувствовать ее фундаментальные принципы. И при этом попробовать освободить свой ум от штампов и азбучных истин – только в таких условиях рождаются все великие открытия.

К таким открытиям можно отнести и то, которое сегодня мы знаем как теорему Пифагора. С его помощью мы попробуем показать, что математика не только может, но и должна быть увлекательной. И что это приключение подходит не только ботаникам в толстых очках, а всем, кто крепок умом и силен духом.

Из истории вопроса

Строго говоря, хоть теорема и называется «теоремой Пифагора», сам Пифагор ее не открывал. Прямоугольный треугольник и его особенные свойства изучались задолго до него. Есть две полярных точки зрения на этот вопрос. По одной версии Пифагор первым нашел полноценное доказательство теоремы. По другой доказательство не принадлежит авторству Пифагора.

Сегодня уже не проверишь, кто прав, а кто заблуждается. Известно лишь, что доказательства Пифагора, если оно когда-либо существовало, не сохранилось. Впрочем, высказываются предположения, что знаменитое доказательство из «Начал» Евклида может принадлежать как раз Пифагору, и Евклид его только зафиксировал.

Также сегодня известно, что задачи о прямоугольном треугольнике встречаются в египетских источниках времен фараона Аменемхета I, на вавилонских глиняных табличках периода правления царя Хаммурапи, в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» и древнекитайском сочинении «Чжоу-би суань цзинь».

Как видите, теорема Пифагора занимала умы математиков с древнейших времен. Подтверждением служит и около 367 разнообразных доказательств, существующих сегодня. В этом с ней не может тягаться ни одна другая теорема. Среди знаменитых авторов доказательств можно вспомнить Леонардо да Винчи и двадцатого президента США Джеймса Гарфилда. Все это говорит о чрезвычайной важности этой теоремы для математики: из нее выводится или так или иначе с нею связано большинство теорем геометрии.

Доказательства теоремы Пифагора

В школьных учебниках в основном приводят алгебраические доказательства. Но суть теоремы в геометрии, так что давайте рассмотрим в первую очередь те доказателства знаменитой теоремы, которые опираются на эту науку.

Доказательство 1

Для самого простого доказательства теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника нужно задать идеальные условия: пусть треугольник будет не только прямоугольным, но и равнобедренным. Есть основания полагать, что именно такой треугольник первоначально рассматривали математики древности.

Утверждение «квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах» можно проиллюстрировать следующим чертежом:

Доказательство теоремы Пифагора

Посмотрите на равнобедренный прямоугольный треугольник ABC: На гипотенузе АС можно построить квадрат, состоящий из четырех треугольников, равных исходному АВС. А на катетах АВ и ВС построено по квадрату, каждый из которых содержит по два аналогичных треугольника.

Кстати, этот чертеж лег в основу многочисленных анекдотов и карикатур, посвященных теореме Пифагора. Самый знаменитый, пожалуй, это «Пифагоровы штаны во все стороны равны»:

Доказательство теоремы Пифагора

Доказательство 2

Этот метод сочетает в себе алгебру и геометрию и может рассматриваться как вариант древнеиндийского доказательства математика Бхаскари.

Постройте прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c (рис.1). Затем постройте два квадрата со сторонами, равными сумме длин двух катетов, – (a+b). В каждом из квадратов выполните построения, как на рисунках 2 и 3.

В первом квадрате постройте четыре таких же треугольника, как на рисунке 1. В результате получаться два квадрата: один со стороной a, второй со стороной b.

Во втором квадрате четыре построенных аналогичных треугольника образуют квадрат со стороной, равной гипотенузе c.

Сумма площадей построенных квадратов на рис.2 равна площади построенного нами квадрата со стороной с на рис.3. Это легко проверить, высчитав площади квадратов на рис. 2 по формуле. А площадь вписанного квадрата на рисунке 3. путем вычитания площадей четырех равных между собой вписанных в квадрат прямоугольных треугольников из площади большого квадрата со стороной (a+b).

Записав все это, имеем: a2+b2=(a+b)2 – 2ab. Раскройте скобки, проведите все необходимые алгебраические вычисления и получите, что a2+b2= a2+b2. При этом площадь вписанного на рис.3. квадрата можно вычислить и по традиционной формуле S=c2. Т.е. a2+b2=c2 – вы доказали теорему Пифагора.

Доказательство теоремы Пифагора

Доказательство 3

Само же древнеиндийское доказательство описано в XII веке в трактате «Венец знания» («Сиддханта широмани») и в качестве главного аргумента автор использует призыв, обращенный к математическим талантам и наблюдательности учеников и последователей: «Смотри!».

Но мы разберем это доказательство более подробно:

Доказательство теоремы Пифагора

Внутри квадрата постройте четыре прямоугольных треугольника так, как это обозначено на чертеже. Сторону большого квадрата, она же гипотенуза, обозначим с. Катеты треугольника назовем а и b. В соответствии с чертежом сторона внутреннего квадрата это (a-b).

Используйте формулу площади квадрата S=c2, чтобы вычислить площадь внешнего квадрата. И одновременно высчитайте ту же величину, сложив площадь внутреннего квадрата и площади всех четырех прямоугольных треугольников: (a-b)22+4*12*a*b.

Вы можете использовать оба варианта вычисления площади квадрата, чтобы убедиться: они дадут одинаковый результат. И это дает вам право записать, что c2=(a-b)2+4*12*a*b. В результате решения вы получите формулу теоремы Пифагора c2=a2+b2. Теорема доказана.

Доказательство 4

Это любопытное древнекитайское доказательство получило название «Стул невесты» — из-за похожей на стул фигуры, которая получается в результате всех построений:

Доказательство теоремы Пифагора

Рис.1.

Доказательство теоремы Пифагора

Рис. 2.

В нем используется чертеж, который мы уже видели на рис.3 во втором доказательстве. А внутренний квадрат со стороной с построен так же, как в древнеиндийском доказательстве, приведенном выше.

Если мысленно отрезать от чертежа на рис.1 два зеленых прямоугольных треугольника, перенести их к противоположным сторонам квадрата со стороной с и гипотенузами приложить к гипотенузам сиреневых треугольников, получится фигура под названием «стул невесты» (рис.2). Для наглядности можно то же самое проделать с бумажными квадратами и треугольниками. Вы убедитесь, что «стул невесты» образуют два квадрата: маленькие со стороной b и большой со стороной a.

Эти построения позволили древнекитайским математикам и нам вслед за ними прийти к выводу, что c2=a2+b2.

Доказательство 5

Это еще один способ найти решение для теоремы Пифагора, опираясь на геометрию. Называется он «Метод Гарфилда».

Постройте прямоугольный треугольник АВС. Нам надо доказать, что ВС2=АС2+АВ2.

Для этого продолжите катет АС и постройте отрезок CD, который равен катету АВ. Опустите перпендикулярный AD отрезок ED. Отрезки ED и АС равны. Соедините точки Е и В, а также Е и С и получите чертеж, как на рисунке ниже:

Доказательство теоремы Пифагора

Чтобы доказать терему, мы вновь прибегаем к уже опробованному нами способу: найдем площадь получившейся фигуры двумя способами и приравняем выражения друг к другу.

Найти площадь многоугольника ABED можно, сложив площади трех треугольников, которые ее образуют. Причем один из них, ЕСВ, является не только прямоугольным, но и равнобедренным. Не забываем также, что АВ=CD, АС=ED и ВС=СЕ – это позволит нам упростить запись и не перегружать ее. Итак, SABED=2*1/2(AB*AC)+1/2ВС2.

При этом очевидно, что ABED – это трапеция. Поэтому вычисляем ее площадь по формуле: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Для наших вычислений удобней и наглядней представить отрезок AD как сумму отрезков АС и CD.

Запишем оба способа вычислить площадь фигуры, поставив между ними знак равенства: AB*AC+1/2BC2=(DE+AB)*1/2(AC+CD). Используем уже известное нам и описанное выше равенство отрезков, чтобы упростить правую часть записи: AB*AC+1/2BC2=1/2(АВ+АС)2. А теперь раскроем скобки и преобразуем равенство: AB*AC+1/2BC2=1/2АС2+2*1/2(АВ*АС)+1/2АВ2. Закончив все преобразования, получим именно то, что нам и надо: ВС2=АС2+АВ2. Мы доказали теорему.

Конечно, этот список доказательств далеко не полный. Теорему Пифагора также можно доказать с помощью векторов, комплексных чисел, дифференциальный уравнений, стереометрии и т.п. И даже физики: если, например, в аналогичные представленным на чертежах квадратные и треугольные объемы залить жидкость. Переливая жидкость, можно доказать равенство площадей и саму теорему в итоге.

Пару слов о Пифагоровых тройках

Этот вопрос мало или вообще не изучается в школьной программе. А между тем он является очень интересным и имеет большое значение в геометрии. Пифагоровы тройки применяются для решения многих математических задач. Представление о них может пригодиться вам в дальнейшем образовании.

Так что же такое Пифагоровы тройки? Так называют натуральные числа, собранные по трое, сумма квадратов двух из которых равна третьему числу в квадрате.

Пифагоровы тройки могут быть:

  • примитивными (все три числа – взаимно простые);
  • не примитивными (если каждое число тройки умножить на одно и то же число, получится новая тройка, которая не является примитивной).

Еще до нашей эры древних египтян завораживала мания чисел Пифагоровых троек: в задачах они рассматривали прямоугольный треугольник со сторонами 3,4 и 5 единиц. К слову, любой треугольник, стороны которого равны числам из пифагоровой тройки, по умолчанию является прямоугольным.

Примеры Пифагоровых троек: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) и т.д.

Практическое применение теоремы

Теорема Пифагора находит применение не только в математике, но и в архитектуре и строительстве, астрономии и даже литературе.

Сначала про строительство: теорема Пифагора находит в нем широкое применение в задачах разного уровня сложности. Например, посмотрите на окно в романском стиле:

Теорема Пифагора

Обозначим ширину окна как b, тогда радиус большой полуокружности можно обозначить как R и выразить через b: R=b/2. Радиус меньших полуокружностей также выразим через b: r=b/4. В этой задаче нас интересует радиус внутренней окружности окна (назовем его p).

Теорема Пифагора как раз и пригодиться, чтобы вычислить р. Для этого используем прямоугольный треугольник, который на рисунке обозначен пунктиром. Гипотенуза треугольника состоит из двух радиусов: b/4+p. Один катет представляет собой радиус b/4, другой b/2-p. Используя теорему Пифагора, запишем: (b/4+p)2=(b/4)2+(b/2-p)2. Далее раскроем скобки и получим b2/16+ bp/2+p2=b2/16+b2/4-bp+p2. Преобразуем это выражение в bp/2=b2/4-bp. А затем разделим все члены на b, приведем подобные, чтобы получить 3/2*p=b/4. И в итоге найдем, что p=b/6 – что нам и требовалось.

С помощью теоремы можно вычислить длину стропила для двускатной крыши. Определить, какой высоты вышка мобильной связи нужна, чтобы сигнал достигал определенного населенного пункта. И даже устойчиво установить новогоднюю елку на городской площади. Как видите, эта теорема живет не только на страницах учебников, но и часто бывает полезна в реальной жизни.

Что касается литературы, то теорема Пифагора вдохновляла писателей со времен античности и продолжает это делать в наше время. Например, немецкого писателя девятнадцатого века Адельберта фон Шамиссо она вдохновила на написание сонета:

Свет истины рассеется не скоро,
Но, воссияв, рассеется навряд
И, как тысячелетия назад,
Не вызовет сомнения и спора.

Мудрейшие, когда коснется взора
Свет истины, богов благодарят;
И сто быков, заколоты, лежат –
Ответный дар счастливца Пифагора.

С тех пор быки отчаянно ревут:
Навеки всполошило бычье племя
Событие, помянутое тут.

Им кажется: вот-вот настанет время,
И сызнова их в жертву принесут
Какой-нибудь великой теореме.

(перевод Виктора Топорова)

А в двадцатом веке советский писатель Евгений Велтистов в книге «Приключения Электроника» доказательствам теоремы Пифагора отвел целую главу. И еще полглавы рассказу о двухмерном мире, какой мог бы существовать, если бы теорема Пифагора стала основополагающим законом и даже религией для отдельно взятого мира. Жить в нем было бы гораздо проще, но и гораздо скучнее: например, там никто не понимает значения слов «круглый» и «пушистый».

А еще в книге «Приключения Электроника» автор устами учителя математики Таратара говорит: «Главное в математике – движение мысли, новые идеи». Именно этот творческий полет мысли порождает теорема Пифагора – не зря у нее столько разнообразных доказательств. Она помогает выйти за границы привычного, и на знакомые вещи посмотреть по-новому.

Заключение

Эта статья создана, чтобы вы могли заглянуть за пределы школьной программы по математике и узнать не только те доказательства теоремы Пифагора, которые приведены в учебниках «Геометрия 7-9» (Л.С. Атанасян, В.Н. Руденко) и «Геометрия 7-11» (А.В. Погорелов), но и другие любопытные способы доказать знаменитую теорему. А также увидеть примеры, как теорема Пифагора может применяться в обычной жизни.

Во-первых, эта информация позволит вам претендовать на более высокие баллы на уроках математики – сведения по предмету из дополнительных источников всегда высоко оцениваются.

Во-вторых, нам хотелось помочь вам прочувствовать, насколько математика интересная наука. Убедиться на конкретных примерах, что в ней всегда есть место творчеству. Мы надеемся, что теорема Пифагора и эта статья вдохновят вас на самостоятельные поиски и волнующие открытия в математике и других науках.

Расскажите нам в комментариях, показались ли вам приведенные в статье доказательства интересными. Пригодились ли вам эти сведения в учебе. Напишите нам, что думаете о теореме Пифагора и этой статье – нам будет приятно обсудить все это с вами.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Right triangle blue.png

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Содержание

  • 1 История
  • 2 Формулировки
  • 3 Доказательства
    • 3.1 Через подобные треугольники
    • 3.2 Доказательства методом площадей
      • 3.2.1 Доказательство через равнодополняемость
      • 3.2.2 Доказательство Евклида
      • 3.2.3 Доказательство Леонардо да Винчи
    • 3.3 Доказательство методом бесконечно малых
  • 4 Вариации и обобщения
    • 4.1 Подобные геометрические фигуры на трех сторонах
    • 4.2 Теорема косинусов
    • 4.3 Произвольный треугольник
    • 4.4 Обобщение для произвольных треугольников через параллелограммы
    • 4.5 Комплексные числа
    • 4.6 Стереометрия
    • 4.7 Векторное пространство
    • 4.8 Неевклидова геометрия
      • 4.8.1 Сферическая геометрия
      • 4.8.2 Гиперболическая геометрия
    • 4.9 Дифференциальная геометрия
    • 4.10 Векторное произведение
  • 5 См. также
  • 6 Примечания
  • 7 Литература
    • 7.1 На русском языке
    • 7.2 На английском

История

Чу-пей 500—200 лет до нашей эры. Слева надпись: сумма квадратов длин высоты и основания есть квадрат длины гипотенузы.

В древнекитайской книге Чу-пей (англ.) (кит. 周髀算經) говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5. В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Мориц Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели верёвок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмём верёвку длиною в 12 м и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 м от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключённым между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становится излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, — например, рисунки, изображающие столярную мастерскую.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммурапи, то есть к 2000 году до н. э., приводится приближённое вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника[1]. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой — на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал вывод о большой вероятности того, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около XVIII века до н. э.

Согласно комментарию Прокла к Евклиду, Пифагор (годами жизни которого принято считать 570—490 гг. до н. э.) использовал алгебраические методы, чтобы находить пифагоровы тройки. Однако Прокл писал между 410 и 485 гг. н. э. Томас Литтл Хит (en:Thomas Little Heath) считал, что не существует явного упоминания, относящегося к периоду продолжительностью 5 веков после смерти Пифагора, что Пифагор был автором теоремы.[2] Однако, когда авторы, такие как Плутарх и Цицерон, пишут о теореме Пифагора, они пишут так, как будто авторство Пифагора было широко известным и несомненным.[3][4] «Принадлежит ли эта формула лично перу Пифагора…, но мы можем уверенно считать, что она принадлежит древнейшему периоду пифагорейской математики».[5] По преданию, Пифагор отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков[6].

Приблизительно в 400 г. до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Приблизительно в 300 г. до н. э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора.[7]

Формулировки

Теорема Пифагора: Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты (a и b), равна площади квадрата, построенного на гипотенузе (c).

Геометрическая формулировка:

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка:

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:

a^2 + b^2 = c^2

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.

Обратная теорема Пифагора:

Доказательства

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы[8]. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

Через подобные треугольники

Следующее доказательство алгебраической формулировки — наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.

Podobnye treugolniki proof.png

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения

 |BC|=a, |AC|=b, |AB|=c

получаем

 frac{a}{c}=frac{|HB|}{a}; frac{b}{c}=frac{|AH|}{b}.

Что эквивалентно

a^2=ccdot |HB|; b^2=ccdot |AH|.

Сложив, получаем

a^2+b^2=ccdotleft(|HB|+|AH|right)=c^2.

или

a^2+b^2=c^2, что и требовалось доказать

Доказательства методом площадей

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

Доказательство через равнодополняемость

Рис.1

  1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке 1.
  2. Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол — 180°.
  3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата.
(a+b)^2=4cdotfrac{ab}{2}+c^2;
a^2+2ab+b^2=2ab+c^2;frac{}{}
c^2=a^2+b^2;frac{}{}

Что и требовалось доказать.

Доказательство Евклида

Чертеж к доказательству Евклида

Иллюстрация к доказательству Евклида

Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны.

Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника — BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах.

Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK.

Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, — это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно: треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно — AB=AK, AD=AC — равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата — 90°).

Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично.

Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах. Идея данного доказательства дополнительно проиллюстрирована с помощью анимации, расположенной выше.

Данное доказательство также получило название «Пифагоровы штаны».

Доказательство Леонардо да Винчи

Доказательство Леонардо да Винчи

Главные элементы доказательства — симметрия и движение.

Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению).

Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки вокруг точки A, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и DABG.

Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей маленьких квадратов (построенных на катетах) и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади большого квадрата (построенного на гипотенузе) плюс площадь исходного треугольника. Таким образом, половина суммы площадей маленьких квадратов равна половине площади большого квадрата, а следовательно сумма площадей квадратов, построенных на катетах равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Доказательство методом бесконечно малых

Следующее доказательство при помощи дифференциальных уравнений часто приписывают известному английскому математику Харди, жившему в первой половине XX века.

Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и наблюдая изменение стороны a, мы можем записать следующее соотношение для бесконечно малых приращений сторон с и a (используя подобие треугольников):

Доказательство методом бесконечно малых

frac {da}{dc} = frac {c}{a}

Пользуясь методом разделения переменных, находим

c, dc = a, da

Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов

c dc = a, da + b, db

Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем

c^2 = a^2 +b^2 + mathrm{constant}.
a = b = c = 0 Rightarrow mathrm{constant} = 0

Таким образом, мы приходим к желаемому ответу

c^2 = a^2 +b^2.

Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.

Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения (в данном случае катет b). Тогда для константы интегрирования получим

a=0 Rightarrow c^2 = b^2 = mathrm{constant}.

Вариации и обобщения

Подобные геометрические фигуры на трех сторонах

Обобщение для подобных треугольников, площадь зеленых фигур A + B = площади синей C

Теорема Пифагора с использованием подобных прямоугольных треугольников

Обобщение теоремы Пифагора сделал Евклид в своей работе Начала, расширив площади квадратов на сторонах до площадей подобных геометрических фигур[9]:

Если построить подобные геометрические фигуры (см. Евклидова геометрия) на сторонах прямоугольного треугольника, тогда сумма двух меньших фигур будет равняться площади большей фигуры.

Главная идея этого обобщения заключается в том, что площадь подобной геометрической фигуры пропорциональна квадрату любого своего линейного размера и в частности квадрату длины любой стороны. Следовательно, для подобных фигур с площадями A, B и C построенных на сторонах с длиной a, b и c, имеем:

frac{A}{a^2} = frac{B}{b^2} = frac{C}{c^2}, ,
Rightarrow A + B = frac{a^2}{c^2}C + frac{b^2}{c^2}C, .

Но, по теореме Пифагора, a2 + b2 = c2, тогда A + B = C.

И наоборот, если мы сможем доказать, что A + B = C для трех подобных геометрических фигур без использования теоремы Пифагора, тогда мы сможем доказать саму теорему, двигаясь в обратном направлении. Например, стартовый центральный треугольник может быть повторно использован как треугольник C на гипотенузе, и два подобных прямоугольных треугольника (A и B), построенные на двух других сторонах, которые образуются в результате деления центрального треугольника его высотой. Сумма двух меньших площадей треугольников тогда, очевидно, равна площади третьего, таким образом A + B = C и, выполняя предыдущее доказывания в обратном порядке, получим теорему Пифагора a2 + b2 = c2.

Теорема косинусов

Теорема Пифагора — это частный случай более общей теоремы косинусов, которая связывает длины сторон в произвольном треугольнике:[10]

a^2+b^2-2abcos{theta}=c^2, ,

где θ — угол между сторонами a и b.

Если θ равен 90 градусов, тогда cosθ = 0 и формула упрощается до обычной теоремы Пифагора.

Произвольный треугольник

Обобщение теоремы Пифагора от Сабита ибн Курра.[11] Нижний рисунок: отражение треугольника ABD (сверху), чтобы образовать треугольник DBA, подобный трейгольнику треугольника ABC (верхний).

В любой выбранный угол произвольного треугольника со сторонами a, b, c впишем равнобедренный треугольник таким образом, чтобы равные углы при его основании θ равнялись выбранному углу. Предположим, что выбранный угол θ расположен напротив стороны, обозначенной c. В результате мы получили треугольник ABD с углом θ, что расположен напротив стороны a и стороны r. Второй треугольник образуется углом θ, что расположен напротив стороны b и стороны с длиной s, как показано на рисунке. Сабит Ибн Курра[12] утверждал, что стороны в этих трех треугольниках связаны следующим образом:[13][14]

 a^2 +b^2 =c(r+s)  .

Когда угол θ приближается к π/2, основание равнобедренного треугольника уменьшается, и две стороны r и s перекрывают друг друга все меньше и меньше. Когда θ = π/2, ADB превращается в прямоугольный треугольник, r + s = c и получаем начальную теорему Пифагора.

Рассмотрим один из доводов. Треугольник ABC имеет такие же углы, как и треугольник ABD, но в обратном порядке. (Два треугольника имеют общий угол при вершине B, оба имеют угол θ и также имеют одинаковый третий угол, по сумме углов треугольника) Соответственно, ABC — подобен отражению ABD треугольника DBA, как показано на нижнем рисунке. Запишем соотношение между противоположными сторонами и прилегающими к углу θ,

frac{c}{a} = frac{a}{r}  .

Так же отражение другого треугольника,

frac{c}{b} = frac{b}{s}  .

Перемножим дроби и добавим эти два соотношения:

 cr +cs = a^2 +b^2  ,

что и требовалось доказать.

Обобщение для произвольных треугольников через параллелограммы

Обобщение для произвольных треугольников,
площадь зеленого участка = площади синего

Доказательство тезиса, что на рисунке выше

Сделаем дальнейшее обобщение для непрямоугольных треугольников, используя параллелограммы на трех сторонах вместо квадратов.[15] (квадраты — частный случай.) Верхний рисунок демонстрирует, что для остроугольного треугольника площадь параллелограмма на длинной стороне равна сумме параллелограммов на двух других сторонах, при условии что параллелограмм на длинной стороне построен, как изображено на рисунке (размеры, отмеченные стрелками, одинаковые и определяют стороны нижнего параллелограмма). Эта замена квадратов параллелограммами имеет четкое сходство с начальной теоремой Пифагора, считается, что её сформулировал Папп Александрийский в 4 г. н. э.[15]

Нижний рисунок показывает ход доказательства. Посмотрим на левую сторону треугольника. Левый зеленый параллелограмм имеет такую же площадь, как левая часть синего параллелограмма, потому что они имеют такое же основание b и высоту h. Кроме того, левый зеленый параллелограмм имеет такую же площадь, как левый зеленый параллелограмм на верхнем рисунке, потому что они имеют общее основание (верхняя левая сторона треугольника) и общую высоту, перпендикулярную к этой стороне треугольника. Аналогично рассуждая для правой стороны треугольника докажем, что нижний параллелограмм имеет такую же площадь, как у двух зеленых параллелограммов.

Комплексные числа

Теорему Пифагора используют, чтобы найти расстояние между двумя точками в декартовой координатной системе, и эта теорема справедлива для всех истинных координат: расстояние s между двумя точками (a, b) и (c, d) равно

s = sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2}.

Не возникает проблем с формулой, если к комплексным числам относиться как к векторам с действительными компонентами x + i y = (x, y).. Например, расстояние s между 0 + 1i и 1 + 0i рассчитываем как модуль вектора (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), или

 s = sqrt{ (-1)^2 +1^2} = sqrt{2}.

Тем не менее, для операций с векторами с комплексными координатами необходимо провести определенное усовершенствование формулы Пифагора. Расстояние между точками с комплексными числами (a, b) и (c, d); a, b, c, и d все комплексные, сформулируем используя абсолютные величины. Расстояние s основано на векторной разнице (ac, bd) в следующем виде:[16] пусть разница ac = p + i q, где p — действительная часть разницы, q — мнимая часть, и i = √(−1). Аналогично, пусть bd = r + is. Тогда:


begin{align}
s &= sqrt{(p+iq)overline{(p+iq)} + (r+is)overline{(r+is)}} \
  &= sqrt{(p+iq)(p-iq) + (r+is)(r-is)} \
  &= sqrt{p^2 + q^2 + r^2 + s^2},
end{align}

где overline{mathit z} — это комплексное сопряженное число для mathit z . Например, расстояние между точками (a, b) = (0, 1) и (c, d) = (i, 0), рассчитаем разницей (ac, bd) = (−i, 1) и в результате мы бы получили 0, если бы не были использованы комплексные сопряженные. Следовательно, используя усовершенствованную формулу, получим

s = sqrt{(-i)cdot(overline{-i}) + 1 cdotoverline{1}}= sqrt{(-i)cdot{i} + 1 cdot{1}} = sqrt{2}. ,

Модуль определен следующим образом:

|mathbf p | = sqrt{mathbf {p cdot overline{p}}} = sqrt{|p_1|^2 + |p_2|^2 + dots +|p_n|^2}  ,

что представляет собой Эрмитово скалярное произведение[17]

Стереометрия

Значительным обобщением теоремы Пифагора для трехмерного пространства является теорема де Гуа, названная в честь Ж.-П. де Гуа: если тетраэдр имеет прямой угол (как в кубе), тогда квадрат площади грани, лежащей напротив прямого угла, равен сумме квадратов площадей других трех граней. Этот вывод может быть обобщен как «n-мерная теорема Пифагора»:[18]

Теорема Пифагора в трехмерном пространстве связывает диагональ AD с тремя сторонами.

Другое обобщение: Теорема Пифагора может быть применена для стереометрии в следующем виде. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, как показано на рисунке. Найдем длину диагонали BD по теореме Пифагора:

 overline{BD}^{,2} = overline{BC}^{,2} + overline{CD}^{,2}  ,

где три стороны образуют прямоугольный треугольник. Используем горизонтальную диагональ BD и вертикальное ребро AB, чтобы найти длину диагонали AD, для этого снова используем теорему Пифагора:

 overline{AD}^{,2} = overline{AB}^{,2} + overline{BD}^{,2}  ,

или, если все записать одним уравнением:

 overline{AD}^{,2} = overline{AB}^{,2} + overline{BC}^{,2} + overline{CD}^{,2}   .

Этот результат — это трехмерное выражение для определения величины вектора v (диагональ AD), выраженного через его перпендикулярные составляющие {vk} (три взаимно перпендикулярные стороны):

|mathbf{v}|^2 = sum_{k=1}^3 |mathbf{v}_k|^2.

Это уравнение можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора для многомерного пространства. Однако, результат на самом деле есть не что иное, как неоднократное применение теоремы Пифагора к последовательности прямоугольных треугольников в последовательно перпендикулярных плоскостях.

Векторное пространство

В случае ортогональной системы векторов {v_k}frac{}{} имеет место равенство, которое тоже называют теоремой Пифагора:

sum_{k=1}^{n} |v_k |^2 = left|sum_{k=1}^{n} v_k right|^2.

Если {v_k}frac{}{} — это проекции вектора на координатные оси, то эта формула совпадает с расстоянием Евклида — и означает, что длина вектора равна корню квадратному суммы квадратов его компонентов.

Аналог этого равенства в случае бесконечной системы векторов имеет название равенства Парсеваля.

Неевклидова геометрия

Теорема Пифагора выводится из аксиом евклидовой геометрии и, фактически, не действительна для неевклидовой геометрии, в том виде, в котором записана выше.[19] (То есть теорема Пифагора оказывается своеобразным эквивалентом постулату Евклида о параллельности[20][21]) Другими словами, в неевклидовой геометрии соотношение между сторонами треугольника обязательно будет в форме, отличной от теоремы Пифагора. Например, в сферической геометрии все три стороны прямоугольного треугольника (скажем a, b и c), которые ограничивают собой октант (восьмую часть) единичной сферы, имеют длину π/2, что противоречит теореме Пифагора, потому что a2 + b2c2.

Рассмотрим здесь два случая неевклидовой геометрии — сферическая и гиперболическая геометрия; в обоих случаях, как и для евклидова пространства для прямоугольных треугольников, результат, который заменяет теорему Пифагора, следует из теоремы косинусов.

Однако, теорема Пифагора остается справедливой для гиперболической и эллиптической геометрии, если требование о прямоугольности треугольника заменить условием, что сумма двух углов треугольника должна равняться третьему, скажем A+B = C. Тогда соотношение между сторонами выглядит так: сумма площадей кругов с диаметрами a и b равна площади круга с диаметром c.[22]

Сферическая геометрия

Сферический треугольник

Для любого прямоугольного треугольника на сфере радиусом R (например, если угол γ в треугольнике прямой) со сторонами a, b, c соотношение между сторонами будет иметь такой вид:[23]

 cos left(frac{c}{R}right)=cos left(frac{a}{R}right)cos left(frac{b}{R}right).

Это равенство может быть выведено как особый случай сферической теоремы косинусов, которое справедливо для всех сферических треугольников:

 cos left(frac{c}{R}right)=cos left(frac{a}{R}right)cos left(frac{b}{R}right) +sinleft(frac{a}{R}right) sinleft(frac{b}{R}right) cos gamma  .

Применяя ряд Тейлора в функции косинуса cos x ≈ 1 − x2/2 можно показать, что если радиус R приближается к бесконечности, а аргументы a/R, b/R и c/R приближаются к нулю, сферическое соотношение между сторонами в прямоугольном треугольнике приближается к теореме Пифагора. Подставим приближенные значения для каждого косинуса:

1-left(frac{c}{R}right)^2= left[1-left(frac{a}{R}right)^2 right]left[1-left(frac{b}{R}right)^2 right] + o(a^2+b^2)

Перемножим выражения в скобках, получим теорему Пифагора для больших радиусов R:

left(frac{c}{R}right)^2= left(frac{a}{R}right)^2 + left(frac{b}{R}right)^2 + o(a^2+b^2),

где «higher order terms» — слагаемые высшего порядка, которыми можно пренебречь при больших значениях R.

Гиперболическая геометрия

Гиперболический треугольник

Для прямоугольного треугольника в гиперболической геометрии со сторонами a, b, c, если сторона c расположена напротив прямого угла, соотношение между сторонами будет такое[24]

 cosh c=cosh a,cosh b

где cosh — это гиперболический косинус. Эта формула является частным случаем гиперболической теоремы косинусов, которая справедлива для всех треугольников:[25]

cosh c = cosh a  cosh b - sinh a  sinh b  cos gamma  ,

где γ — это угол, вершина которого противоположна стороне c.

Используя ряд Тейлора для гиперболического косинуса cosh x ≈ 1 + x2/2, можно доказать, что если гиперболический треугольник уменьшается (то есть, когда a, b, и c приближаются к нулю), то гиперболические соотношение в прямоугольном треугольнике приближаются к теореме Пифагора.

Дифференциальная геометрия

Расстояние между точками, удаленными друг от друга на бесконечно малую величину в декартовых (вверху) полярных координатах (внизу), согласно теореме Пифагора

В трехмерном пространстве для двух точек, удаленных друг от друга на бесконечно малое расстояние, запишем теорему Пифагора:

ds^2 = dx^2 + dy^2 +dz^2,,

где ds — это расстояние между точками, а (dx, dy, dz) — компоненты вектора, соединяющие эти две точки. Такое пространство называется евклидовым. Однако, обобщение этого выражения пригодно для общих координат (не только декартовых) и общих пространств (не только евклидовых) и имеет вид:[26]

ds^2 = sum_{i,j}^n g_{ij}, dx_i, dx_j

где gij называется метрическим тензором. Он может быть функцией позиции. Такие криволинейные пространства включают Риманову геометрию как общий пример. Это формулировка также подходит для Евклидова пространства при применении криволинейных координат. Например, для полярных координат:

ds^2 = dr^2 + r^2 dtheta^2  .

Векторное произведение

Площадь параллелограмма как векторное произведение; векторы a і b задают плоскость, а вектор a × b перпендикулярен к этой плоскости.

Теорема Пифагора связывает два выражения величины векторного произведения. Один из подходов к определению векторного произведения требует, чтобы он удовлетворял уравнению:[27]

 |mathbf{a} times mathbf{b}|^2  = |mathbf{a}|^2  |mathbf{b}|^2 - (mathbf{a} cdot mathbf{b})^2 ,

в этой формуле используется скалярное произведение. Правая сторона уравнения называется детерминант Грамма для a и b, что равно площади параллелограмма, образованного этими двумя векторами. Исходя из этого требования, а также требования о перпендикулярности векторного произведения к его составляющим a и b следует, что, за исключением тривиальных случаев из 0- и 1-мерного пространства, векторное произведение определено только в трех и семи измерениях.[28] Используем определение угла в n-мерном пространстве:[29]

 (mathbf{a cdot b}) = ab  cos theta  ,

это свойство векторного произведения дает его величину в таком виде:

 |mathbf{ a times b} |^2 =a^2 b^2 left(1 - cos^2 theta right). ,

Через фундаментальное тригонометрическое тождество Пифагора[30] получаем другую форму записи его величины:

  |mathbf{ a times b}|=  ab sin theta. ,

Альтернативный подход к определению векторного произведения использует выражение для его величины. Тогда, рассуждая в обратном порядке, получаем связь со скалярным произведением:

 |mathbf{a} times mathbf{b}|^2  = |mathbf{a}|^2  |mathbf{b}|^2 - (mathbf{a} cdot mathbf{b})^2

См. также

  • Пифагорова тройка
  • Пифагоровы штаны
  • Гиппократовы луночки
  • Великая теорема Ферма

Примечания

  1. History topic: Pythagoras’s theorem in Babylonian mathematics
  2. (Euclid 1956, С. 351) С. 351
  3. (Heath 1921, Vol I, p. 144)
  4. Обсуждение исторических фактов приведено в (Euclid 1956, С. 351) С. 351
  5. Kurt Von Fritz (Apr., 1945). «The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum». The Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics) 46 (2): 242–264.
  6. Льюис Кэррол, «История с узелками», М., Мир, 1985, с. 7
  7. Asger Aaboe Episodes from the early history of mathematics. — Mathematical Association of America, 1997. — P. 51. — ISBN 0883856131
  8. Pythagorean Proposition, by Elisha Scott Loomis
  9. Euclid’s Elements: Book VI, Proposition VI 31: «In right-angled triangles the figure on the side subtending the right angle is equal to the similar and similarly described figures on the sides containing the right angle.»
  10. Lawrence S. Leff cited work. — Barron’s Educational Series. — P. 326. — ISBN 0764128922
  11. Howard Whitley Eves §4.8:…generalization of Pythagorean theorem // Great moments in mathematics (before 1650). — Mathematical Association of America, 1983. — P. 41. — ISBN 0883853108
  12. Tâbit ibn Qorra (full name Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826—901 AD) was a physician living in Baghdad who wrote extensively on Euclid’s Elements and other mathematical subjects.
  13. Aydin Sayili (Mar. 1960). «Thâbit ibn Qurra’s Generalization of the Pythagorean Theorem». Isis 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
  14. Judith D. Sally, Paul Sally Exercise 2.10 (ii) // Cited work. — P. 62. — ISBN 0821844032
  15. 1 2 For the details of such a construction, see George Jennings Figure 1.32: The generalized Pythagorean theorem // Modern geometry with applications: with 150 figures. — 3rd. — Springer, 1997. — P. 23. — ISBN 038794222X
  16. Arlen Brown, Carl M. Pearcy Item C: Norm for an arbitrary n-tuple … // An introduction to analysis. — Springer, 1995. — P. 124. — ISBN 0387943692 See also pages 47-50.
  17. Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica. — 3rd. — CRC Press, 2006. — P. 194. — ISBN 1584884487
  18. Rajendra Bhatia Matrix analysis. — Springer, 1997. — P. 21. — ISBN 0387948465
  19. Stephen W. Hawking cited work. — 2005. — P. 4. — ISBN 0762419229
  20. Eric W. Weisstein CRC concise encyclopedia of mathematics. — 2nd. — 2003. — P. 2147. — ISBN 1584883472
  21. Alexander R. Pruss The principle of sufficient reason: a reassessment. — Cambridge University Press, 2006. — P. 11. — ISBN 052185959X
  22. Victor Pambuccian (December 2010). «Maria Teresa Calapso’s Hyperbolic Pythagorean Theorem». The Mathematical Intelligencer 32. DOI:10.1007/s00283-010-9169-0.
  23. Barrett O’Neill Exercise 4 // Elementary differential geometry. — 2nd. — Academic Press, 2006. — P. 441. — ISBN 0120887355
  24. Saul Stahl Theorem 8.3 // The Poincaré half-plane: a gateway to modern geometry. — Jones & Bartlett Learning, 1993. — P. 122. — ISBN 086720298X
  25. Jane Gilman Hyperbolic triangles // Two-generator discrete subgroups of PSL(2,R). — American Mathematical Society Bookstore, 1995. — ISBN 0821803611
  26. Tai L. Chow Mathematical methods for physicists: a concise introduction. — Cambridge University Press, 2000. — P. 52. — ISBN 0521655447
  27. WS Massey (Dec. 1983). «Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces». The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 90 (10): 697–701. DOI:10.2307/2323537.
  28. Although a cross-product involving n − 1 vectors can be found in n dimensions, a cross-product involving only two vectors can be found only in 3 dimensions and in 7 dimensions. See Pertti Lounesto §7.4 Cross product of two vectors // Clifford algebras and spinors. — 2nd. — Cambridge University Press, 2001. — P. 96. — ISBN 0521005515
  29. Francis Begnaud Hildebrand Methods of applied mathematics. — Reprint of Prentice-Hall 1965 2nd. — Courier Dover Publications, 1992. — P. 24. — ISBN 0486670023
  30. Lawrence S. Leff PreCalculus the Easy Way. — 7th. — Barron’s Educational Series, 2005. — P. 296. — ISBN 0764128922

Литература

На русском языке

  • Скопец З. А. Геометрические миниатюры. М., 1990
  • Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., 1961
  • Ван-дер-Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959
  • Глейзер Г. И. История математики в школе. М., 1982
  • В. Литцман, «Теорема Пифагора» М., 1960.
  • Сайт о теореме Пифагора с большим числом доказательств, материал взят из книги В. Литцмана, большое число чертежей представлено в виде отдельных графических файлов.
  • Теорема Пифагора и пифагоровы тройки глава из книги Д. В. Аносова «Взгляд на математику и нечто из неё»
  • История теоремы Пифагора
  • О теореме Пифагора и способах её доказательства Г. Глейзер, академик РАО, Москва
  • Ролик серии «Математические этюды», посвящённый теореме Пифагора (для компьютера, iPhone, iPad)

На английском

commons: Теорема Пифагора на Викискладе?
  • Теорема Пифагора на WolframMathWorld  (англ.)
  • Cut-The-Knot, секция, посвящённая теореме Пифагора, около 70 доказательств и обширная дополнительная информация (англ.)

Стоило мне более суток окунуться в глубокие дебри геометрии.

Вы понимаете, что развёрнутому ответу с описанием всех возможных доказательств теоремы Пифагора можно было бы уделить отдельный ресурс и посвятить книгу. Геометрия, тригонометрия, алгебра — точные науки, как и бухгалтерия свода копейки к копейке, предполагают такое множество выведенных формул и пропорций, что применив их возрастает количество комбинаций как доказательств.

Теорема пифагора устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Возьмём прямоугольный треугольник, в котором один угол прямой, т.е. = 90°.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами.

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой.

Итак, теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

A² + B² = C²

Это утверждение одно из основных в геометрии, на котором построено множество вычислений, и на основе которого строятся даже здания и передаются данные GPS. Теорема названа в честь гревнеческого философа и математика 6 столетия до н.э. Однако свою известность теорема получила более чем через тысячу лет. Вавилонская глиняная табличка содержала в себе 15 наборов чисел, удовлетворяющих условию этой теоремы.

Некоторые историки считают, что теорема была придумана ещё древними египтянами, использующими набор цифр 3, 4, 5. Эта теория основана на том, что в распоряжении геодезистов находилась верёвка с 12 промежутками, где узлы завязаны через равные промежутки. Из этой верёвки можно было сформировать треугольник со сторонами, где количество промежутков каждой стороны удовлетворяло бы этим цифрам.

Притом такой треугольник получился бы прямоугольным.

Ранняя индийская запись, датированная между 800 и 600 годами до н.э. утверждает, что длина верёвки, растянутой по диагонали квадрата может послужить новой стороной для квадрата в два раза больше начального.

Вот где прослеживается связь с теоремой Пифагора.

Но это не доказывает, что теорема выполняется для каждого прямоугольного треугольника на плоскости. Мы должны просто поверить древним геодезистам? Нет, мы знаем множество способов доказательства данной теоремы. Сегодня теорема Пифагора насчитывает около 500 возможных, включая глупые доказательства. Из них до 350 вполне достойны гениальности.

Такие доказательства построены на математических законах и логике.

________________­_________________­_________________­___

1.Классическое доказательство теоремы Пифагора заключается в перестановочном способе.

Возьмём четыре прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой c.

Расположим их так, чтобы гипотенузы образовали квадрат.

Ясно, что на полученной плоскости, площадь такого квадрата равна c².

Теперь сделаем из треугольников два прямоугольника, направив меньшие катеты друг к другу.

Площади получившихся квадратов равны a² и b².

И вот, в чём весь смысл. Общая площадь фигур не изменилась при одинаковых площадях треугольников.

Следовательно, пустые области на равной площади равны. То есть, c² = a² + b².

2.Ещё одно доказательство принадлежит Евклиду, на которое почти 2000 лет наткнулся и 12-летний Эйнштейн. Нам понадобится один большой треугольник и два меньших, из которых он состоит. В этом случае один большой прямоугольный треугольник делится на два других (под прямым углом).

Используется принцип, что если соответственные углы треугольника равны, то соотношение их сторон также равно.

Для трёх подобных треугольников мы можем написать соотношение их сторон.

Теперь раскроем пропорции: AC² = BC × DC и AB² = BC × BD.

Сложим одинаковые части AC² + AB² = BC × (DC + BD).

Видим, DC + BD является гипотерузой BC исходного треугольника, следовательно DC + BD = BC.

Отсюда, AC² + AB² = BC² или A² + B² = C².

3.Более современное доказательство при тиселяции — повтора геометрического рисунка для наглядного визуального доказательства.

Пояснение.

Возьмём прямоугольный треугольник. У нас есть три ключевых элемента:

1)чёрная площадь со стороной равной длине одного катета (a).

2)серая площадь со стороной равной длине другого катета (b).

3)большая площадь синего квадрата, являющегося квадратом гипотенузы (c, d).

Чёрная и серая площади закономерно укладывются в большую площадь синего квадрата. При внимательном рассмотрении замечаем, что каждый синий квадрат вмещает ровно все составные площади для целого серого квадрата (одного катета) плюс площади для целого чёрного квадрата (другого катета). Ни больше, ни меньше.

4.Ещё один оригинальный способ доказательства, заключается в наполнении ёмкостей жидкостью. Можно попробовать соорудить вращающийся механизм, где к трём граням вала прямоугольного тетраэдра прикрепить равные по толщине квадратные ёмкости, и начать вращать вал. Жидкость начнёт вытекать из большей ёмкости в две меньшие, и ровно войдёт в обе, заполнив их.

Наша школьная учительница по математике на уроке заявила, что нашла очередной способ доказательства теоремы Пифагора. Беда в том, что дело было 20 лет назад.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *