400 способов доказательства теоремы пифагора

Доказательства теоремы Пифагора

Содержание:

  • Теорема Пифагора — краткая история
  • Формулировка теоремы
  • Уравнение
  • Доказательство через подобные треугольники
  • Другие способы доказательства теоремы

    • Методом площадей
    • Методом бесконечных малых
  • Следствие из теоремы Пифагора
  • Применение теоремы

    • Расстояние между точками
    • Евклидова метрика
    • Теория чисел
  • Примеры решения задач

Этот одна из базовых теорем евклидовой геометрии, определяющая соотношение между сторонами в прямоугольном треугольнике. Несложность доказательства и широкое применение обеспечили ей массовую известность.

Теорема Пифагора — краткая история

Соотношение между сторонами прямоугольного треугольника в том или ином виде было известно многим древним цивилизациям (египетской, шумерской и др.), но первая известная формулировка принадлежит греческому философу и математику Пифагору в V в. до н.э. Об этом известно из труда «Начала», который написал Евклид приблизительно в 300 г. до н. э.

Теорема Пифагора используется для доказательства многих других теорем геометрии. Математиками разработано несколько обобщений, например, для произвольных треугольников, для многомерных пространств. При этом, теорема Пифагора выполняется только в евклидовых геометриях, в иных случаях она не действует.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Формулировка теоремы

Изначальная (геометрическая) формулировка Пифагора гласила:

Теорема

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Позднее появился алгебраический вариант:

Теорема

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Оба этих определения эквивалентны. Алгебраическое более элементарно, так как оно не оперирует понятием площади, поэтому теорему в этом виде можно проверить просто – измерив длину гипотенузы и катетов, сделав затем необходимое вычисление.

Уравнение

В виде формулы теорема Пифагора записывается следующим образом:

a2+b2=c2, где:

  • а и b – длины двух катетов,
  • с – длина гипотенузы.

Доказательство через подобные треугольники

Это доказательство – одно из наиболее простых, так как является прямым следствием аксиом и не оперирует понятием площади.

Имеется прямоугольный треугольник ABC, где C = 90º. Высота, проведенная из прямого угла пересечет гипотенузу в точке H.

Теорема Пифагора

 

Полученные треугольники ACH и CHB подобны треугольнику АВС по двум углам. Отсюда получаем:

CB/AB=HB/CB, AC/AB=AH/AC

Это соответствует:

CB2=ABxHB, AC2=ABxAH

Сложив между собой квадраты катетов, получаем:

AC2+CB2=ABx(HB+AH)=AB2

Это и требовалось доказать.

Другие способы доказательства теоремы

Зафиксировано более 400 доказательств теоремы Пифагора. Это связано с простотой ее формулировки, популярностью и широким применением в геометрии. К числу распространенных доказательств относятся методы площадей и бесконечно малых.

Методом площадей

Первоначально требуется дополнительное построение – рисуется квадрат, каждая из сторон которого равна сумме длин катетов a и b. Отложив эти длины, проведем гипотенузы у прямоугольных треугольников:

Метод площадей

 

Очевидно, что внутренний четырехугольник, образованный четырьмя гипотенузами, будет квадратом, так как все его стороны равны, а углы прямые. Последнее следует из того, что сумма двух углов треугольника, построенных на гипотенузе равна 90º. Вычитая это значение из развернутого угла в 180º получаем как раз прямой угол.

Площадь внешнего квадрата включает в себя:

  • сумму площадей четырех прямоугольных треугольников;
  • площадь внутреннего квадрата.

Изменив расположение отрезков на сторонах квадрата и проведя новое построение, можно получить два внутренних квадрата и два прямоугольника. При этом, прямоугольники всегда будут равны, а квадраты будут равными только в частном случае – при равенстве сторон a и b.

Метод площадей 2

 

Значит:

4ab2=2ab ⇒ c2=a2+b2, что и нужно было доказать.

Методом бесконечных малых

Данное доказательство делается с помощью интегрального исчисления. Рассматривается ситуация для бесконечно малых приращений сторон треугольника, составляется дифференциальное уравнение и находится его производная.

Метод бесконечных малых

 

В начале вводится величина d. На это значение увеличивается катет а и гипотенуза с, а катет b остается неизменным. Отсюда имеем

da/ca = c/a, b = const

Разделяя переменные составляется дифференциальное уравнение:

c x dc = a x da

Для его решения необходимо проинтегрировать обе части, при этом получается соотношение:

c2 = a2 + const

определяя из начальных условий константу интегрирования, получим:

a = 0 ⇒ c2 = b2 = const

Таким образом мы определяем, что

c2 = a2 + b2

Теорема доказана!

Следствие из теоремы Пифагора

Его так же называют обратной теоремой Пифагора:

Определение

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник прямоугольный.

В алгебраическом виде это можно представить так:

c2=a2+b2, где:

  • c – гипотенуза треугольника;
  • a и b – его катеты.

Применение теоремы

Благодаря своей универсальности, теорема Пифагора находит себе применение в разных областях математики и других наук. К числу преимуществ ее применения относится прозрачность производимых вычислений.

Расстояние между точками

Одно из главных применений – это определение расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат:

( s=sqrt{(a-с)^{2} + (b-d)^{2}}), где:

  • s – необходимое расстояние;
  • (a; b) и (с; d) – координаты двух точек.

Евклидова метрика

В этом случае с помощью теоремы Пифагора находится расстояние в многомерном пространстве:

(d(p,;q)=sqrt{sum_{i=1}^n{(p_i-q_i)}^2}), где:

  • n – число измерений данного пространства;
  • d (p, q) – необходимое расстояние;
  • p(p1,….,pn) и q(q1,….,qn) – две точки, расстояние между которыми нужно найти.

Теория чисел

Арифметическим аналогом теоремы Пифагора стали пифагоровы тройки чисел.

Определение

Пифагоровы тройки – группа из трех натуральных чисел x, y и z, удовлетворяющих равенству x2+y2=z2.

Например, к таким числам можно отнести группы (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) и другие. Пифагоровы тройки широко применяются в разных областях деятельности, например, в программировании и криптографии.

Примеры решения задач

Задача 1

В прямоугольном треугольнике АВС, катет ВС = 36 см, гипотенуза АВ = 85 см. Необходимо найти катет АС.

Решение

По теореме Пифагора ВС2+АС2=АВ2, значит

(АС;=;sqrt{АВ^2;-;АС^2})

Для нахождения ответа подставим в формулу исходные значения:

(АС;=;sqrt{85^2;-;36^2};=;sqrt{7225;-;1296;}={;sqrt{5929};=;77;})

Задача 2

Является ли прямоугольным треугольник со сторонами 46, 56 и 76 см.

Решение. Если указанный треугольник прямоугольный, то две меньшие стороны в 46 и 56 см – это катеты, а большая, в 76 см – гипотенуза. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов должна быть равна квадрату гипотенузы. Проверим это:

  • 46²+56²= 5252;
  • 76²= 5776;
  • 5252 ≠ 5776, значит, указанный треугольник не является прямоугольным.

Задача 3.

Диагонали ромба ABCD равны 24 и 18 см. Чему равна сторона ромба.

Решение

Диагонали ромба AC и BD пересекаются под прямым углом и точкой пересечения O делятся пополам. В этом виде задача сводится к поиску гипотенузы АВ в прямоугольном треугольнике ABO с катетами АО=24/2=12 см и ВО=18/2=9 см.

По теореме Пифагора:

АО2+BO2=AB2, значит

(АС;=;sqrt{85^2;-;36^2};=;sqrt{7225;-;1296;}={;sqrt{5929};=;77;})

Теорема Пифагора
Изображение
Названо в честь Пифагор
Описывающая закон или теорему формула c^{2}=a^{2}+b^{2}
Обозначение в формуле a, b и c
Элемент или утверждение описывает прямоугольный треугольник
Описывается по ссылке geogebra.org/m/ZF…​ (англ.)
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

Схема, объясняющая доказательство теоремы Пифагора через равнодополняемость[⇨]

Теоре́ма Пифаго́ра — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Соотношение в том или ином виде предположительно было известно различным древним цивилизациям задолго до нашей эры; первое геометрическое доказательство приписывается Пифагору.
Утверждение появляется как Предложение 47 в «Началах» Евклида[⇨].

Также может быть выражена как геометрический факт о том, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Верно и обратное утверждение[⇨]: треугольник, у которого сумма квадратов длин двух сторон равна квадрату длины третьей стороны, является прямоугольным.

Существует ряд обобщений данной теоремы[⇨] — для произвольных треугольников, для фигур в пространствах высших размерностей. В неевклидовых геометриях теорема не выполняется[⇨].

История[править | править код]

По мнению историка математики Морица Кантора, в Древнем Египте во времена царя Аменемхета I (около XXIII век до н. э.) было известно о прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4, 5 — его использовали гарпедонапты — «натягиватели верёвок»[1]. В древневавилонском тексте, относимом ко временам Хаммурапи (XX век до н. э.), приведено приближённое вычисление гипотенузы[2]. По мнению Ван-дер-Вардена, очень вероятно, что соотношение в общем виде было известно в Вавилоне уже около XVIII века до н. э.

В древнекитайской книге «Чжоу би суань цзин», относимой к периоду V—III веков до н. э., приводится треугольник со сторонами 3, 4 и 5, притом изображение можно трактовать как графическое обоснование соотношения теоремы[3]. В китайском сборнике задач «Математика в девяти книгах» (X—II веков до н. э.) применению теоремы посвящена отдельная книга.

Общепринято, что доказательство соотношения дано древнегреческим философом Пифагором (570—490 до н. э.). Имеется свидетельство Прокла (412—485 н. э.), что Пифагор использовал алгебраические методы, чтобы находить пифагоровы тройки[⇨][4], но при этом в течение пяти веков после смерти Пифагора прямых упоминаний о доказательстве его авторства не находится. Однако когда Плутарх и Цицерон пишут о теореме Пифагора, из содержания следует, будто авторство Пифагора общеизвестно и несомненно[5][6]. Существует предание, сообщённое Диогеном Лаэртским, согласно которому Пифагор якобы отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков[7].

Приблизительно в 400 году до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Около 300 года до н. э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора[8].

Формулировки[править | править код]

Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты a и b, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе c

Основная формулировка содержит алгебраические действия — в прямоугольном треугольнике, длины катетов которого равны a и b, а длина гипотенузы — c, выполнено соотношение a^{2}+b^{2}=c^{2}.


Возможна и эквивалентная геометрическая формулировка, прибегающая к понятию площади фигуры: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
В таком виде теорема сформулирована в «Началах» Евклида.

Для того чтобы треугольник являлся прямоугольным, необходимо и достаточно, чтобы сумма квадратов двух сторон треугольника была равна квадрату третьей стороны[9].

Пифагор, 572–500 г. до н. э.

Обратная теорема Пифагора — утверждение о прямоугольности всякого треугольника, длины сторон которого связаны соотношением a^{2}+b^{2}=c^{2}. Как следствие, для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a^{2}+b^{2}=c^{2}, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. Предложение, обратное теореме Пифагора, сформулированное в условной форме: «Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то угол, лежащий против этой стороны, является прямым». Это же предложение в категоричной форме: «Угол треугольника, лежащий против стороны, квадрат которой равен сумме квадратов двух других сторон, прямой». Именно данное корректное предложение, обратное теореме Пифагора, является также теоремой[10].

Доказательства[править | править код]

В научной литературе зафиксировано не менее 400 доказательств теоремы Пифагора[11], что объясняется как фундаментальным значением для геометрии, так и элементарностью результата. Основные направления доказательств: алгебраическое использование соотношений элементов треугольника (таков, например, популярный метод подобия[⇨]), метод площадей[⇨], существуют также различные экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

Через подобные треугольники[править | править код]

Podobnye treugolniki proof.png

Одним из наиболее популярных в учебной литературе доказательств алгебраической формулировки является доказательство с использованием техники подобия треугольников, при этом оно почти непосредственно выводится из аксиом и не задействует понятие площади фигуры[12].
В нём для треугольника triangle ABC с прямым углом при вершине C со сторонами a,b,c, противолежащими вершинам A,B,C соответственно, проводится высота {displaystyle CH}, при этом (согласно признаку подобия по равенству двух углов) возникают соотношения подобия: {displaystyle triangle ABCsim triangle ACH} и {displaystyle triangle ABCsim triangle CBH}, из чего непосредственно следуют соотношения

{displaystyle {frac {a}{c}}={frac {|HB|}{a}},quad {frac {b}{c}}={frac {|AH|}{b}}.}

При перемножении крайних членов пропорций выводятся равенства

{displaystyle a^{2}=ccdot |HB|,quad b^{2}=ccdot |AH|,}

покомпонентное сложение которых даёт требуемый результат:

{displaystyle a^{2}+b^{2}=ccdot {big (}|HB|+|AH|{big )}=c^{2}quad Longleftrightarrow quad a^{2}+b^{2}=c^{2}.}

Доказательства методом площадей[править | править код]

Большое число доказательств задействуют понятие площади.
Несмотря на видимую простоту многих из них, такие доказательства используют свойства площадей фигур, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

Доказательство через равнодополняемость[править | править код]

Схема доказательства через равнодополняемость

Доказательство через равнодополняемость использует четыре копии прямоугольного треугольника с катетами a,b и гипотенузой c, расположенные таким образом, чтобы образовывать квадрат со стороной a+b и внутренний четырёхугольник со сторонами длиной c. Внутренний четырёхугольник в этой конфигурации является квадратом, так как сумма двух противоположных прямому острых углов — 90°, а развёрнутый угол — 180°. Площадь внешнего квадрата равна {displaystyle (a+b)^{2}}, он состоит из внутреннего квадрата площадью c^{2} и четырёх прямоугольных треугольников, каждый площадью {frac  {ab}{2}}, в результате из соотношения {displaystyle (a+b)^{2}=4cdot {frac {ab}{2}}+c^{2}} при алгебраическом преобразовании следует утверждение теоремы.

Доказательство Евклида[править | править код]

Чертёж к доказательству Евклида. Основное направление доказательства — установление конгруэнтности {displaystyle triangle ACKcong triangle ABD}, площадь которых составляет половину площади прямоугольников {displaystyle AHJK} и {displaystyle ACED} соответственно

Классическое доказательство Евклида направлено на установление равенства площадей между прямоугольниками, образованными из рассечения квадрата над гипотенузой высотой из прямого угла с квадратами над катетами[13].

Конструкция, используемая для доказательства следующая: для прямоугольного треугольника triangle ABC с прямым углом C, квадратов над катетами {displaystyle ACED} и {displaystyle BCFG} и квадрата над гипотенузой {displaystyle ABIK} строится высота {displaystyle CH} и продолжающий её луч s, разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника {displaystyle AHJK} и {displaystyle BHJI}. Доказательство нацелено на установление равенства площадей прямоугольника {displaystyle AHJK} с квадратом над катетом AC; равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат над гипотенузой, и прямоугольника над другим катетом устанавливается аналогичным образом.

Равенство площадей прямоугольника {displaystyle AHJK} и {displaystyle ACED} устанавливается через конгруэнтность треугольников {displaystyle triangle ACK} и {displaystyle triangle ABD}, площадь каждого из которых равна половине площади прямоугольников {displaystyle AHJK} и {displaystyle ACED} соответственно в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника к общей стороне является другой стороной прямоугольника. Конгруэнтность треугольников следует из равенства двух сторон (стороны квадратов) и углу между ними (составленного из прямого угла и угла при A).

Таким образом, доказательством устанавливается, что площадь квадрата над гипотенузой, составленного из прямоугольников {displaystyle AHJK} и {displaystyle BHJI}, равна сумме площадей квадратов над катетами.

Доказательство Леонардо да Винчи[править | править код]

К методу площадей относится также доказательство, приписываемое Леонардо да Винчи. По данным немецкого математика Франца Леммермейера (нем. Franz Lemmermeyer), в действительности это доказательство было придумано Иоганном Тобиасом Майером[14]. Пусть дан прямоугольный треугольник triangle ABC с прямым углом C и квадраты {displaystyle ACED}, {displaystyle BCFG} и ABHJ (см. рисунок). В этом доказательстве на стороне {displaystyle HJ} последнего во внешнюю сторону строится треугольник, конгруэнтный triangle ABC, притом отражённый как относительно гипотенузы, так и относительно высоты к ней (то есть {displaystyle JI=BC} и {displaystyle HI=AC}). Прямая CI разбивает квадрат, построенный на гипотенузе на две равные части, поскольку треугольники triangle ABC и {displaystyle triangle JHI} равны по построению. Доказательство устанавливает конгруэнтность четырёхугольников CAJI и DABG, площадь каждого из которых, оказывается, с одной стороны, равной сумме половин площадей квадратов на катетах и площади исходного треугольника, с другой стороны — половине площади квадрата на гипотенузе плюс площадь исходного треугольника. Итого, половина суммы площадей квадратов над катетами равна половине площади квадрата над гипотенузой, что равносильно геометрической формулировке теоремы Пифагора.

Через площади подобных треугольников[править | править код]

Следующее доказательство основано на том, что площади подобных треугольников относятся как квадраты соответственных сторон[15].

Altitude of a right triangle.svg

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник, AD — перпендикуляр, опущенный на гипотенузу из вершины прямого угла.
Треугольники ABC, {displaystyle DBA} подобны, так как имеют по прямому углу и ещё общий угол B.
Значит

{displaystyle {frac {{text{площадь}}~DBA}{{text{площадь}}~ABC}}={frac {AB^{2}}{BC^{2}}}.}

Точно также получаем, что

{displaystyle {frac {{text{площадь}}~DAC}{{text{площадь}}~ABC}}={frac {AC^{2}}{BC^{2}}}.}

Поскольку треугольники {displaystyle DBA} и {displaystyle DAC} вместе составляют triangle ABC, сумма площадей
{displaystyle triangle DBA} и {displaystyle triangle DAC} равна площади triangle ABC.
Отсюда

{displaystyle {frac {AB^{2}+AC^{2}}{BC^{2}}}=1}

или
{displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}.}

Доказательство методом бесконечно малых[править | править код]

Доказательство методом бесконечно малых

Существует несколько доказательств, прибегающих к технике дифференциальных уравнений. В частности, Харди приписывается доказательство, использующее бесконечно малые приращения катетов a и b и гипотенузы c. Например, приращение катета {displaystyle da} при постоянном катете b приводит к приращению гипотенузы {displaystyle dc}, так что

{displaystyle {frac {da}{dc}}={frac {c}{a}}.}

Методом разделения переменных из них выводится дифференциальное уравнение {displaystyle c,dc=a,da},
интегрирование которого даёт соотношение {displaystyle c^{2}=a^{2}+mathrm {const} }. Применение начальных условий {displaystyle a=0, c=b} определяет константу как b^{2}, что в результате даёт утверждение теоремы.

Квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.

Вариации и обобщения[править | править код]

Подобные геометрические фигуры на трёх сторонах[править | править код]

Обобщение для подобных треугольников, сумма площадей зелёных фигур равна площади синей

Теорема Пифагора с использованием подобных прямоугольных треугольников

Важное геометрическое обобщение теоремы Пифагора дал Евклид в «Началах», перейдя от площадей квадратов на сторонах к площадям произвольных подобных геометрических фигур[16]: сумма площадей таких фигур, построенных на катетах, будет равна площади подобной им фигуры, построенной на гипотенузе.

Главная идея этого обобщения заключается в том, что площадь подобной геометрической фигуры пропорциональна квадрату любого своего линейного размера и в частности квадрату длины любой стороны. Следовательно, для подобных фигур с площадями A, B и C, построенных на катетах с длинами a и b и гипотенузе c соответственно, имеет место соотношение:

{displaystyle {frac {A}{a^{2}}}={frac {B}{b^{2}}}={frac {C}{c^{2}}},Rightarrow ,A+B={frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{frac {b^{2}}{c^{2}}}C}.

Так как по теореме Пифагора a^{2}+b^{2}=c^{2}, то выполнено {displaystyle A+B=C}.

Кроме того, если возможно доказать без привлечения теоремы Пифагора, что для площадей трёх подобных геометрических фигур на сторонах прямоугольного треугольника выполнено соотношение {displaystyle A+B=C}, то с использованием обратного хода доказательства обобщения Евклида можно вывести доказательство теоремы Пифагора. Например, если на гипотенузе построить конгруэнтный начальному прямоугольный треугольник площадью C, а на катетах — два подобных ему прямоугольных треугольника с площадями A и B, то оказывается, что треугольники на катетах образуются в результате деления начального треугольника его высотой, то есть сумма двух меньших площадей треугольников равна площади третьего, таким образом {displaystyle A+B=C} и, применяя соотношение для подобных фигур, выводится теорема Пифагора.

Теорема косинусов[править | править код]

Теорема Пифагора — это частный случай более общей теоремы косинусов, которая связывает длины сторон в произвольном треугольнике[17]:

{displaystyle a^{2}+b^{2}-2abcos {theta }=c^{2}},

где theta  — угол между сторонами a и b. Если угол равен 90°, то {displaystyle cos theta =0}, и формула упрощается до обычной теоремы Пифагора.

Произвольный треугольник[править | править код]

Обобщение, установленное Сабитом ибн Куррой. Нижний рисунок демонстрирует подобие треугольника {displaystyle triangle DBA} треугольнику triangle ABC

Существует обобщение теоремы Пифагора на произвольный треугольник, оперирующее исключительно соотношением длин сторон. Считается, что оно впервые было установлено сабийским астрономом Сабитом ибн Куррой[18]. В нём для произвольного треугольника со сторонами a,b,c в него вписывается равнобедренный треугольник с основанием на стороне c, вершиной, совпадающей с вершиной исходного треугольника, противолежащей стороне c и углами при основании, равными углу theta , противолежащему стороне c. В результате образуются два треугольника, подобных исходному: первый — со сторонами a, дальней от неё боковой стороной вписанного равнобедренного треугольника, и r — части стороны c; второй — симметрично к нему от стороны b со стороной s — соответствующей частью стороны c. В результате оказывается выполнено соотношение[19][20]

{displaystyle a^{2}+b^{2}=c(r+s),}

вырождающееся в теорему Пифагора при {displaystyle theta =pi /2}. Соотношение является следствием подобия образованных треугольников:

{displaystyle {frac {c}{a}}={frac {a}{r}},quad {frac {c}{b}}={frac {b}{s}}quad Rightarrow quad cr+cs=a^{2}+b^{2}.}

Теорема Паппа о площадях[править | править код]

Теорема Паппа о площадях, позволяющая для произвольного треугольника и произвольных параллелограммов на двух его сторонах построить параллелограмм на третьей стороне таким образом, чтобы его площадь была равна сумме площадей двух заданных параллелограммов, также может быть рассмотрена как обобщение теоремы Пифагора[21]: в случае, когда исходный треугольник — прямоугольный, а на катетах в качестве параллелограммов заданы квадраты, квадрат, построенный на гипотенузе оказывается удовлетворяющим условиям теоремы Паппа о площадях.

Многомерные обобщения[править | править код]

Обобщением теоремы Пифагора для трёхмерного евклидова пространства является теорема де Гуа: если в одной вершине тетраэдра сходятся три прямых угла, то квадрат площади грани, лежащей напротив этой вершины, равен сумме квадратов площадей других трёх граней. Этот вывод может быть обобщён и как «n-мерная теорема Пифагора» для евклидовых пространств высших размерностей[22] — для граней ортогонального n-мерного симплекса с площадями {displaystyle S_{1},dots ,S_{n}} ортогональных граней и противолежащей им грани площадью S_{0} выполнено соотношение:

{displaystyle S_{0}^{2}=sum _{i=1}^{n}S_{i}^{2}}.

Ещё одно многомерное обобщение возникает из задачи нахождения квадрата длины диагонали прямоугольного параллелепипеда: для её вычисления необходимо дважды применить теорему Пифагора, в результате она составит сумму квадратов длин трёх смежных сторон параллелепипеда. В общем случае, длина диагонали n-мерного прямоугольного параллелепипеда со смежными сторонами с длинами a_{1},dots ,a_{n} составляет:

{displaystyle d^{2}=sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}},

как и в трёхмерном случае, результат является следствием последовательного применения теоремы Пифагора к прямоугольным треугольникам в перпендикулярных плоскостях.

Обобщением теоремы Пифагора для бесконечномерного пространства является равенство Парсеваля[23].

Неевклидова геометрия[править | править код]

Теорема Пифагора выводится из аксиом евклидовой геометрии и недействительна для неевклидовой геометрии[24] — выполнение теоремы Пифагора равносильно постулату Евклида о параллельности[25][26].

В неевклидовой геометрии соотношение между сторонами прямоугольного треугольника обязательно будет в форме, отличной от теоремы Пифагора. Например, в сферической геометрии все три стороны прямоугольного треугольника, которые ограничивают собой октант единичной сферы, имеют длину pi/2, что противоречит теореме Пифагора.

При этом теорема Пифагора справедлива в гиперболической и эллиптической геометрии, если требование о прямоугольности треугольника заменить условием, что сумма двух углов треугольника должна равняться третьему[27].

Сферическая геометрия[править | править код]

Для любого прямоугольного треугольника на сфере радиусом R (например, если угол gamma в треугольнике прямой) со сторонами a,b,c соотношение между сторонами имеет вид[28]

{displaystyle cos {frac {c}{R}}=cos {frac {a}{R}}cdot cos {frac {b}{R}}.}

Это равенство может быть выведено как особый случай сферической теоремы косинусов, которая справедлива для всех сферических треугольников:

{displaystyle cos {frac {c}{R}}=cos {frac {a}{R}}cdot cos {frac {b}{R}}+sin {frac {a}{R}}cdot sin {frac {b}{R}}cdot cos gamma .}

Применяя ряд Тейлора в функции косинуса ({displaystyle cos xapprox 1-{dfrac {x^{2}}{2}}}) можно показать, что если радиус R стремится к бесконечности, а аргументы {displaystyle {dfrac {a}{R}}}, {displaystyle {dfrac {b}{R}}} и {displaystyle {dfrac {c}{R}}} стремятся к нулю, то сферическое соотношение между сторонами в прямоугольном треугольнике приближается к теореме Пифагора.

Геометрия Лобачевского[править | править код]

В геометрии Лобачевского для прямоугольного треугольника со сторонами a,b,c со стороной c, противолежащей прямому углу, соотношение между сторонами будет следующим[29]:

{displaystyle operatorname {ch} c=operatorname {ch} acdot operatorname {ch} b},

где {displaystyle operatorname {ch} } — гиперболический косинус[30]. Эта формула является частным случаем гиперболической теоремы косинусов, которая справедлива для всех треугольников[31]:

{displaystyle operatorname {ch} c=operatorname {ch} acdot operatorname {ch} b-operatorname {sh} acdot operatorname {sh} bcdot cos gamma },

где gamma  — угол, вершина которого противоположна стороне c.

Используя ряд Тейлора для гиперболического косинуса ({displaystyle operatorname {ch} xapprox 1+{dfrac {x^{2}}{2}}}) можно показать, что если гиперболический треугольник уменьшается (то есть, когда a, b и c стремятся к нулю), то гиперболические соотношения в прямоугольном треугольнике приближаются к соотношению классической теоремы Пифагора.

Применение[править | править код]

Расстояние в двумерных прямоугольных системах[править | править код]

Важнейшее применение теоремы Пифагора — определение расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат: расстояние s между точками с координатами (a, b) и {displaystyle (c,d)} равно

{displaystyle s={sqrt {(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}}.}

Для комплексных чисел теорема Пифагора даёт естественную формулу для нахождения модуля комплексного числа — для {displaystyle z=x+yi} он равен длине радиус-вектора на комплексной плоскости к точке (x, y):

{displaystyle |z|={sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}

Расстояние между комплексными числами {displaystyle z_{1}=x_{1}+y_{1}i} и {displaystyle z_{2}=x_{2}+y_{2}i} также представляется в форме теоремы Пифагора[32]:

{displaystyle |z_{1}-z_{2}|={sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.}

Расстояние между двумя точками в плоскости Лобачевского[править | править код]

ds^{2}=dx^{2}+operatorname {ch} ^{2}left({frac {y}{R}}right)dy^{2}.

Здесь R — радиус кривизны плоскости Лобачевского, ch — гиперболический косинус.

Евклидова метрика[править | править код]

Евклидова метрика — функция расстояния в евклидовых пространствах, определяемая по теореме Пифагора, непосредственным её применением в двумерном случае, и последовательным в многомерном; для точек n-мерного пространства {displaystyle p=(p_{1},dots ,p_{n})} и {displaystyle q=(q_{1},dots ,q_{n})} расстояние {displaystyle d(p,q)} между ними определяется следующим образом:

{displaystyle d(p,q)={sqrt {sum _{i=1}^{n}{(p_{i}-q_{i})^{2}}}}}.

Теория чисел[править | править код]

Пифагорова тройка — набор из трёх натуральных чисел (x,;y,;z), которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника, то есть натуральные числа, удовлетворяющие диофантову уравнению x^{2}+y^{2}=z^{2}. Пифагоровы тройки играют важную роль в теории чисел, задача их эффективного нахождения породила широкий пласт работ, начиная с древнейших времён и вплоть до современности. Формулировка Великой теоремы Ферма аналогична задаче нахождения пифагоровых троек для степени более 2.

Единственная пифагорова тройка, состоящая из трёх последовательных чисел — это 3, 4 и 5: {displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}[33].

В массовой культуре[править | править код]

С одним из изображений доказательства теоремы связано популярное в русском школьном фольклоре выражение «Пифагоровы штаны на все стороны равны», получившее особенную известность благодаря комической опере 1915 года «Иванов Павел»[34][35].

Примечания[править | править код]

  1. Кантор ссылается на папирус 6619 Берлинского музея
  2. History topic: Pythagoras’s theorem in Babylonian mathematics. Дата обращения: 1 июня 2009. Архивировано 6 июня 2011 года.
  3. Наука, техническая и военная мысль, здравоохранение и образование // Духовная культура Китая: энциклопедия в 5 томах / Титаренко М. Л. — М.: Восточная литература РАН, 2009. — Т. 5. — С. 939—941. — 1055 с. — ISBN 9785020184299. Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
  4. Euclid, 1956, p. 351.
  5. Heath, 1921, vol I, p. 144.
  6. Kurt Von Fritz. The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum (англ.) // The Annals of Mathematics, Second Series : journal. — Annals of Mathematics, 1945. — April (vol. 46, no. 2). — P. 242—264. — JSTOR 1969021.: «Принадлежит ли эта формула лично перу Пифагора…, но мы можем уверенно считать, что она принадлежит древнейшему периоду пифагорейской математики».
  7. Георг Гегель. Лекции по истории философии. — Litres, 2016-09-08. — С. 282. — 1762 с. — ISBN 9785457981690.
  8. Asger Aaboe. Episodes from the early history of mathematics (англ.). — Mathematical Association of America, 1997. — P. 51. — ISBN 0883856131. Архивная копия от 9 августа 2016 на Wayback Machine. — «…it is not until Euclid that we find a logical sequence of general theorems with proper proofs.».
  9. Шахмейстер А. Х. Треугольники и параллелограммы // Геометрические задачи на экзаменах. Часть 1. Планиметрия : книга / А. Х. Шахмейстер. — СПб. : «Петроглиф» : «Виктория плюс» ; М. : Издательство МЦНМО, 2015. — С. 102. — 392 с. : илл. — (Математика. Элективные курсы). — 1500 экз. — ББК 22.141я71.6. — УДК 373.167.1:512(G). — ISBN 978-5-98712-083-5. — ISBN 978-5-91673-155-2. — ISBN 978-5-4439-0347-7.
  10. Тимофеева И. Л. Глава 3. Математические определения и теоремы и их строение (п. 3.3. Обратная теорема) // Вводный курс математики: учебное пособие для студентов учреждений высш. пед. проф. образования / И. Л. Тимофеева, И. Е. Сергеева, Е. В. Лукьянова; под ред. В. Л. Матросова. — М.: Издательский центр «Академия», 2011. — С. 134—136. — 240 с. — ISBN 978-5-7695-7960-8, ББК 22.1я73, УДК 51 (075.8).
  11. Elisha Scott Loomis. Pythagorean Proposition
  12. См. например Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, § 196.
  13. См. например Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, § 259.
  14. Franz Lemmermeyer. Leonardo da Vinci’s Proof of the Pythagorean Theorem (англ.). The College Mathematics Journal 47(5):361 (ноябрь 2016). Дата обращения: 22 октября 2021. Архивировано 7 июня 2022 года.
  15. См. например Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, § 263.
  16. Euclid’s Elements: book VI, proposition VI 31: «In right-angled triangles the figure on the side subtending the right angle is equal to the similar and similarly described figures on the sides containing the right angle».
  17. Lawrence S. Leff. Cited work. — Barron’s Educational Series, 2005. — С. 326. — ISBN 0764128922.
  18. Howard Whitley Eves. § 4.8: …generalization of Pythagorean theorem // Great moments in mathematics (before 1650) (англ.). — Mathematical Association of America, 1983. — P. 41. — ISBN 0883853108. Архивная копия от 9 августа 2016 на Wayback Machine
  19. Aydin Sayili. Thâbit ibn Qurra’s Generalization of the Pythagorean Theorem (англ.) // Isis : journal. — 1960. — March (vol. 51, no. 1). — P. 35—37. — doi:10.1086/348837. — JSTOR 227603.
  20. Judith D. Sally, Paul Sally. Exercise 2.10 (II) // Cited work. — 2007. — С. 62. — ISBN 0821844032. Архивная копия от 9 августа 2016 на Wayback Machine
  21. George Jennings. Figure 1.32: The generalized Pythagorean theorem // Modern geometry with applications: with 150 figures (англ.). — 3rd. — Springer  (англ.) (рус., 1997. — P. 23. — ISBN 038794222X.

  22. Rajendra Bhatia. Matrix analysis. — Springer  (англ.) (рус., 1997. — С. 21. — ISBN 0387948465.
  23. Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 194
  24. Stephen W. Hawking. Cited work. — 2005. — С. 4. — ISBN 0762419229. Архивная копия от 17 августа 2016 на Wayback Machine
  25. Eric W. Weisstein. CRC concise encyclopedia of mathematics. — 2nd. — 2003. — С. 2147. — ISBN 1584883472. Архивная копия от 17 августа 2016 на Wayback Machine. — «The parallel postulate is equivalent to the Equidistance postulate, Playfair axiom, Proclus axiom, the Triangle postulate and the Pythagorean theorem.».
  26. Alexander R. Pruss. The principle of sufficient reason: a reassessment (англ.). — Cambridge University Press, 2006. — P. 11. — ISBN 052185959X. Архивная копия от 9 августа 2016 на Wayback Machine. — «We could include… the parallel postulate and derive the Pythagorean theorem. Or we could instead make the Pythagorean theorem among the other axioms and derive the parallel postulate.».
  27. Victor Pambuccian. Maria Teresa Calapso’s Hyperbolic Pythagorean Theorem (англ.) // The Mathematical Intelligencer : journal. — 2010. — December (vol. 32). — P. 2. — doi:10.1007/s00283-010-9169-0.
  28. Barrett O’Neill. Exercise 4 // Elementary differential geometry. — 2nd. — Academic Press, 2006. — С. 441. — ISBN 0120887355.
  29. Saul Stahl. Theorem 8.3 // The Poincaré half-plane: a gateway to modern geometry (англ.). — Jones & Bartlett Learning  (англ.) (рус., 1993. — P. 122. — ISBN 086720298X.
  30. Микиша А. М., Орлов В. Б. Толковый математический словарь. Основные термины. — М. Русский язык, 1989 г.
  31. Jane Gilman. Hyperbolic triangles // Two-generator discrete subgroups of PSL (2, R) (англ.). — American Mathematical Society Bookstore, 1995. — ISBN 0821803611.
  32. Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon. Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica (англ.). — 3rd. — CRC Press, 2006. — P. 194. — ISBN 1584884487.
  33. Siegel E. This One Equation, 10² + 11² + 12² = 13² + 14², Takes Pythagoras To A Whole New Level (англ.). Forbes (6 марта 2020). Дата обращения: 28 апреля 2020. Архивировано 4 апреля 2020 года.
  34. Легендарная опера: текст и ноты. LiveJournal (4 августа 2016). Дата обращения: 9 января 2020. Архивировано 9 июня 2020 года.
  35. Словарь современных цитат. Litres, 20 мар. 2019 г. С. 9.

Литература[править | править код]

  • Ван-дер-Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. — М., 1959.
  • Глейзер Г. И. История математики в школе. — М., 1982.
  • Еленьский Щ. По следам Пифагора. — М.: Детгиз, 1961. — 486 с. : ил., карт.
  • Клауди Альсина. Секта чисел. Теорема Пифагора. — М.: Де Агостини, 2014. — 152 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 5). — ISBN 978-5-9774-0633-8.
  • Литцман В. Теорема Пифагора. — М., 1960.
    • Сайт о теореме Пифагора с большим числом доказательств, материал взят из книги В. Литцмана, большое число чертежей представлено в виде отдельных графических файлов.
  • Скопец З. А. Геометрические миниатюры. — М., 1990
  • Euclid. The Elements (3 vols.) / Translated by Johan Ludvig Heiberg with an introduction and commentary by Thomas L. Heath. — Reprint of 1908. — Dover, 1956. — Vol. 1 (Books I and II). — ISBN 0-486-60088-2.
  • Heath S. A History of Greek Mathematics (2 Vols.). — Edition of Dover Publications, Inc. (1981). — Clarendon Press, Oxford, 1921. — ISBN 0-486-24073-8.

Ссылки[править | править код]

  • История теоремы Пифагора
  • Глейзер Г., академик РАО, Москва. О теореме Пифагора и способах её доказательства
  • Ролик серии «Математические этюды», посвящённый теореме Пифагора (для компьютера, iPhone, iPad)
  • Теорема Пифагора и пифагоровы тройки. Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine Глава из книги Д. В. Аносова «Взгляд на математику и нечто из неё»
  • Теорема Пифагора на WolframMathWorld (англ.)
  • Cut-The-Knot, секция, посвящённая теореме Пифагора, около 70 доказательств и обширная дополнительная информация (англ.)

Обновлено: 17.04.2023

Этот одна из базовых теорем евклидовой геометрии, определяющая соотношение между сторонами в прямоугольном треугольнике. Несложность доказательства и широкое применение обеспечили ей массовую известность.

Теорема Пифагора — краткая история

Теорема Пифагора используется для доказательства многих других теорем геометрии. Математиками разработано несколько обобщений, например, для произвольных треугольников, для многомерных пространств. При этом, теорема Пифагора выполняется только в евклидовых геометриях, в иных случаях она не действует.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Формулировка теоремы

Изначальная (геометрическая) формулировка Пифагора гласила:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Позднее появился алгебраический вариант:

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Оба этих определения эквивалентны. Алгебраическое более элементарно, так как оно не оперирует понятием площади, поэтому теорему в этом виде можно проверить просто – измерив длину гипотенузы и катетов, сделав затем необходимое вычисление.

Уравнение

В виде формулы теорема Пифагора записывается следующим образом:

a 2 +b 2 =c 2 , где:

  • а и b – длины двух катетов,
  • с – длина гипотенузы.

Доказательство через подобные треугольники

Это доказательство – одно из наиболее простых, так как является прямым следствием аксиом и не оперирует понятием площади.

Имеется прямоугольный треугольник ABC, где C = 90º. Высота, проведенная из прямого угла пересечет гипотенузу в точке H.

Теорема Пифагора

Полученные треугольники ACH и CHB подобны треугольнику АВС по двум углам. Отсюда получаем:

CB 2 =ABxHB, AC 2 =ABxAH

Сложив между собой квадраты катетов, получаем:

AC 2 +CB 2 =ABx(HB+AH)=AB 2

Это и требовалось доказать.

Другие способы доказательства теоремы

Зафиксировано более 400 доказательств теоремы Пифагора. Это связано с простотой ее формулировки, популярностью и широким применением в геометрии. К числу распространенных доказательств относятся методы площадей и бесконечно малых.

Методом площадей

Первоначально требуется дополнительное построение – рисуется квадрат, каждая из сторон которого равна сумме длин катетов a и b. Отложив эти длины, проведем гипотенузы у прямоугольных треугольников:

Метод площадей

Очевидно, что внутренний четырехугольник, образованный четырьмя гипотенузами, будет квадратом, так как все его стороны равны, а углы прямые. Последнее следует из того, что сумма двух углов треугольника, построенных на гипотенузе равна 90º. Вычитая это значение из развернутого угла в 180º получаем как раз прямой угол.

Площадь внешнего квадрата включает в себя:

  • сумму площадей четырех прямоугольных треугольников;
  • площадь внутреннего квадрата.

Изменив расположение отрезков на сторонах квадрата и проведя новое построение, можно получить два внутренних квадрата и два прямоугольника. При этом, прямоугольники всегда будут равны, а квадраты будут равными только в частном случае – при равенстве сторон a и b.

4ab 2 =2ab ⇒ c 2 =a 2 +b 2 , что и нужно было доказать.

Методом бесконечных малых

Данное доказательство делается с помощью интегрального исчисления. Рассматривается ситуация для бесконечно малых приращений сторон треугольника, составляется дифференциальное уравнение и находится его производная.

Метод бесконечных малых

В начале вводится величина d. На это значение увеличивается катет а и гипотенуза с, а катет b остается неизменным. Отсюда имеем

da/ca = c/a, b = const

Разделяя переменные составляется дифференциальное уравнение:

Для его решения необходимо проинтегрировать обе части, при этом получается соотношение:

c 2 = a 2 + const

определяя из начальных условий константу интегрирования, получим:

a = 0 ⇒ c 2 = b 2 = const

Таким образом мы определяем, что

Следствие из теоремы Пифагора

Его так же называют обратной теоремой Пифагора:

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник прямоугольный.

В алгебраическом виде это можно представить так:

c2=a2+b2, где:

  • c – гипотенуза треугольника;
  • a и b – его катеты.

Применение теоремы

Благодаря своей универсальности, теорема Пифагора находит себе применение в разных областях математики и других наук. К числу преимуществ ее применения относится прозрачность производимых вычислений.

Расстояние между точками

Одно из главных применений – это определение расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат:

  • s – необходимое расстояние;
  • (a; b) и (с; d) – координаты двух точек.

Евклидова метрика

В этом случае с помощью теоремы Пифагора находится расстояние в многомерном пространстве:

  • n – число измерений данного пространства;
  • d (p, q) – необходимое расстояние;
  • p(p1,….,pn) и q(q1,….,qn) – две точки, расстояние между которыми нужно найти.

Теория чисел

Арифметическим аналогом теоремы Пифагора стали пифагоровы тройки чисел.

Пифагоровы тройки – группа из трех натуральных чисел x, y и z, удовлетворяющих равенству x2+y2=z2.

Например, к таким числам можно отнести группы (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) и другие. Пифагоровы тройки широко применяются в разных областях деятельности, например, в программировании и криптографии.

Примеры решения задач

Задача 1

В прямоугольном треугольнике АВС, катет ВС = 36 см, гипотенуза АВ = 85 см. Необходимо найти катет АС.

Решение

По теореме Пифагора ВС 2 +АС 2 =АВ 2 , значит

Для нахождения ответа подставим в формулу исходные значения:

Задача 2

Является ли прямоугольным треугольник со сторонами 46, 56 и 76 см.

Решение. Если указанный треугольник прямоугольный, то две меньшие стороны в 46 и 56 см – это катеты, а большая, в 76 см – гипотенуза. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов должна быть равна квадрату гипотенузы. Проверим это:

  • 46²+56²= 5252;
  • 76²= 5776;
  • 5252 ≠ 5776, значит, указанный треугольник не является прямоугольным.

Задача 3.

Диагонали ромба ABCD равны 24 и 18 см. Чему равна сторона ромба.

Решение

Диагонали ромба AC и BD пересекаются под прямым углом и точкой пересечения O делятся пополам. В этом виде задача сводится к поиску гипотенузы АВ в прямоугольном треугольнике ABO с катетами АО=24/2=12 см и ВО=18/2=9 см.

Сложно представить, но в научной литературе существует 367 доказательств теоремы Пифагора. В школьной программе мы проходим гораздо меньше — в этом материале познакомимся с главными формулами и их доказательствами.

О чем эта статья:

Основные понятия

Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.

Формула Теоремы Пифагора выглядит так:

где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из этой формулы можно вывести следующее:

  • a = √c 2 − b 2
  • b = √c 2 − a 2
  • c = √a 2 + b 2

в любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин двух катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Для треугольника со сторонами a, b и c, где c — большая сторона, действуют следующие правила:

  • если c 2 2 + b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является острым.
  • если c 2 = a 2 + b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является прямым.
  • если c 2 > a 2 +b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является тупым.

Теорема Пифагора: доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

Доказать: a 2 + b 2 = c 2 .

Пошаговое доказательство:

  • Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.
  • Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам:
  • Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.
  • Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b.
  • Значит a 2 = c * HB, b 2 = c * AH.
  • Сложим полученные равенства:

a 2 + b 2 = c * HB + c * AH

a 2 + b 2 = c * (HB + AH)

a 2 + b 2 = c * AB

Обратная теорема Пифагора: доказательство

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.

Дано: ∆ABC

Доказать: ∠C = 90º

Пошаговое доказательство:

  • Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.
  • Отложим на его сторонах отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.
  • Проведём отрезок A₁B₁.
  • Получилась фигура ∆A₁B₁C₁, в которой ∠C₁=90º.
  • В этой фигуре ∆A₁B₁C₁ применим теорему Пифагора: A₁B₁ 2 = A₁C₁ 2 + B₁C₁ 2 .
  • Таким образом получится:
  • Значит, в фигурах треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:
  1. C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB по результату построения,
  2. A₁B₁ = AB по доказанному результату.
  • Поэтому, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC по трем сторонам.
  • Из равенства фигур следует равенство их углов: ∠C =∠C₁ = 90º.

Обратная теорема доказана.

Решение задач

Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 8 см. Какое значение у гипотенузы?

Как решаем:

Пусть катеты a = 6 и b = 8.

По теореме Пифагора c 2 = a 2 + b 2 .

Подставим значения a и b в формулу:
c 2 = 6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100
c = √100 = 10.

Читайте также:

      

  • Русский повал лошадей кратко
  •   

  • Саудовская аравия географическое положение кратко
  •   

  • Хронологическая таблица васильева бориса львовича кратко
  •   

  • Путешествие на берег маклая кратко
  •   

  • Административно территориальное устройство субъектов российской федерации кратко

4.1. Древнекитайское доказательство [4]

На древнекитайском
чертеже четыре равных прямоугольных
треугольника с катетами a,
b
и гипотенузой с
уложены так, что их внешний контур
образует квадрат со стороной a+b,
а внутренний – квадрат со стороной с,
построенный на гипотенузе


a2
+ 2ab +b
2
= c
2
+ 2ab

a2
+b
2
= c
2

4.2. Доказательство Дж. Гардфилда (1882 г.) [4]

Расположим
два равных прямоугольных треугольника
так, чтобы катет одного из них был
продолжением другого.


Площадь
рассматриваемой трапеции находится
как произведение полусуммы оснований
на высоту

S
=

C
другой стороны, площадь трапеции равна
сумме площадей полученных треугольников:

S
=

Приравнивая данные
выражения, получаем:


или с2
=
a2
+
b2

4.3. Старейшее доказательство (содержится в одном из произведений Бхаскары). [4]

Пусть АВСD
квадрат, сторона которого равна гипотенузе
прямоугольного треугольника АВЕ (АВ =
с, ВЕ = а,

АЕ = b);

Пусть СКВЕ
= а, DLCK,
AMDL

ΔABE =
∆BCK = ∆CDL = ∆AMD,

значит
KL = LM = ME = EK = a-b.


.

4.4. Доказательство простейшее [21]

Это
доказательство получается в простейшем
случае равнобедренного прямоугольного
треугольника.

Вероятно, с него
и начиналась теорема.

В
самом деле, достаточно просто посмотреть
на мозаику равнобедренных прямоугольных
треугольников, чтобы убедиться в
справедливости теоремы.

Например,
для треугольника АВС: квадрат,
построенный на гипотенузе АС, содержит
4 исходных треугольника, а
квадраты, построенные на катетах, —
по два. Теорема доказана.

4.5. Доказательство древних индусов [2]

а)
б)

Квадрат со стороной
(a+b),
можно разбить на части либо как на
рисунке а), либо как на рисунке b).
Ясно, что части 1,2,3,4
на обоих рисунках одинаковы. А если от
равных (площадей) отнять равные, то и
останутся равные, т.е. с2
= а
2
+
b2.

Впрочем,
древние индусы, которым принадлежит
это рассуждение, обычно не записывали
его, а сопровождали лишь одним словом:

Смотри!

4.6. Доказательство Евклида [1, 20]

В течение двух
тысячелетий наиболее распространенным
было доказательство теоремы Пифагора,
придуманное Евклидом. Оно помещено в
его знаменитой книге «Начала».

Евклид опускал
высоту BН
из вершины прямого угла на гипотенузу
и доказывал, что её продолжение делит
достроенный на гипотенузе квадрат на
два прямоугольника, площади которых
равны площадям соответствующих квадратов,
построенных на катетах.

Чертёж, применяемый
при доказательстве этой теоремы, в шутку
называют «пифагоровы штаны». В течение
долгого времени он считался одним из
символов математической науки.

Доказательство
теоремы Пифагора учащиеся средних веков
считали очень трудным и называли его
Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство
«убогих», так как некоторые «убогие»
ученики, не имевшие серьезной математической
подготовки, бежали от геометрии. Слабые
ученики, заучившие теоремы наизусть,
без понимания, и прозванные поэтому
«ослами», были не в состоянии
преодолеть теорему Пифагора, служившую
для них вроде непреодолимого моста.
Из-за чертежей, сопровождающих теорему
Пифагора, учащиеся называли ее также
«ветряной мельницей», составляли
стихи вроде «Пифагоровы штаны на все
стороны равны», рисовали карикатуры.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Сколько доказательств теоремы пифагора?

awm_ kot

27 ноября 2018  · 2,2 K

ОтветитьУточнить

Александр Сепп598

Ярый спортивный болельщик и, возможно, будущий политолог.   · 27 нояб 2018

На данный момент наукой зафиксировано более 400 способов доказательства теоремы Пифагора. Такое огромное количество объясняется элементарностью результата, а также тем, что сама теорема имеет фундаментальное значение для всей геометрии, что приковывает к ней повышенное внимание.

1,4 K

Комментировать ответ…Комментировать…

Вы знаете ответ на этот вопрос?

Поделитесь своим опытом и знаниями

Войти и ответить на вопрос

1 ответ

скрыт(Почему?)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *