5x2 x 108 0 теорема виета - Универсальный справочник

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение квадратного уравнения.

С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение.

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
– с помощью дискриминанта
– с помощью теоремы Виета (если возможно).

Причём, ответ выводится точный, а не приближенный.
Например, для уравнения (81x^2-16x-1=0) ответ выводится в такой форме:

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: ( x, y, z, a, b, c, o, p, q ) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x – 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 – 5&6/5z +1/7z^2
Результат: ( 3frac<1> <3>– 5frac<6> <5>z + frac<1><7>z^2 )

При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Немного теории.

Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения

Каждое из уравнений
( -x^2+6x+1<,>4=0, quad 8x^2-7x=0, quad x^2-frac<4><9>=0 )
имеет вид
( ax^2+bx+c=0, )
где x – переменная, a, b и c – числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения называют квадратными уравнениями.

Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причём ( a neq 0 ).

Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число c — свободным членом.

В каждом из уравнений вида ax 2 +bx+c=0, где ( a neq 0 ), наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
( x^2-11x+30=0, quad x^2-6x=0, quad x^2-8=0 )

Если в квадратном уравнении ax 2 +bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 – неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax 2 +c=0, где ( c neq 0 );
2) ax 2 +bx=0, где ( b neq 0 );
3) ax 2 =0.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +c=0 при ( c neq 0 ) переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a:
( x^2 = -frac Rightarrow x_ <1,2>= pm sqrt< -frac> )

Так как ( c neq 0 ), то ( -frac neq 0 )

Значит, неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0 при ( b neq 0 ) всегда имеет два корня.

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0 равносильно уравнению x 2 =0 и поэтому имеет единственный корень 0.

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.

Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0

Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
( x^2+fracx +frac=0 )

Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
( x^2+2x cdot frac<2a>+left( frac<2a>right)^2- left( frac<2a>right)^2 + frac = 0 Rightarrow )

Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» по латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
( D = b^2-4ac )

Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
( x_ <1,2>= frac < -b pm sqrt> <2a>), где ( D= b^2-4ac )

Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень ( x=-frac <2a>).
3) Если D 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D

Теорема Виета

Приведённое квадратное уравнение ax 2 -7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x₁ и x₂ приведённого квадратного уравнения x 2 +px+q=0 обладают свойством:
( left< begin x_1+x_2=-p \ x_1 cdot x_2=q end right. )

Теорема Виета

Теорема Виета:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения

равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену

Если приведённое квадратное уравнение имеет вид

то его корни равны:

где D = p 2 – 4q. Чтобы доказать теорему, сначала найдём сумму корней:

а теперь найдём их произведение:

Равенства, показывающие зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения:

называются формулами Виета.

Примечание: если дискриминант равен нулю (D = 0), то подразумевается, что уравнение имеет не один корень, а два равных корня.

Обратная теорема

Теорема:

Если сумма двух чисел равна -p, а их произведение равно q, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения:

Это доказывает, что число x₁ является корнем уравнения x 2 + px + q = 0. Точно так же можно доказать, что и число x₂ является корнем для этого уравнения.

Решение примеров

Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения позволяет в некоторых случаях находить корни уравнения устно, не используя формулу корней.

Пример 1. Найти корни уравнения:

Решение: Так как

очевидно, что корни равны 1 и 2:

Подставив числа 1 и 2 в уравнение, убедимся, что корни найдены правильно:

1 2 – 3 · 1 + 2 = 0

2 2 – 3 · 2 + 2 = 0.

Пример 2. Найти корни уравнения:

Методом подбора находим, что корни равны -3 и -5:

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно составлять квадратное уравнение по его корням.

Пример 1. Составить квадратное уравнение по его корням:

Решение: Так как x₁ = -3, x₂ = 6 корни уравнения x 2 + px + q = 0, то по теореме, обратной теореме Виета, составим уравнения:

Следовательно, искомое уравнение:

Пример 2. Записать приведённое квадратное уравнение, имеющее корни:

-5x²+18x-13=0 (минус 5 умножить на x в квадрате плюс 18 умножить на x минус 13 равно 0) решить через дискриминант и по теореме Виета, найти корни.

Калькулятор квадратных уравнений

Введите данные:

Округление:

Уравнение:

(a * x^ <2>+ b * x + c) = (-5 * x^ <2>+ 18 * x – 13) = 0

Дискриминант:

(D = b^ <2>– 4 * a * c) = (18^ <2>– 4 *(-5) *(-13)) = (324 – 260) = 64

Корни квадратного уравнения:

Решение по теореме Виета

Преобразование в приведённый вид

Преобразуем квадратное уравнение в приведенное (разделим все части нашего уравнения на коэффициент a):
(fracx^<2>+frac*x+frac) = (x^<2>+frac<18><-5>*x+frac<-13><-5>) = (x^ <2>-3.6 * x + 2.6)

Итого, имеем приведенное уравнение:
(x^ <2>-3.6 * x + 2.6 = 0)

Теорема Виета выглядит следующим образом:
(x_<1>*x_<2>=c)
(x_<1>+x_<2>=-b)

Мы получаем следующую систему уравнений:
(x_<1>*x_<2>=2.6)
(x_<1>+x_<2>=3.6)

Методом подбора получаем:
(x_ <1>= 1)
(x_ <2>= 2.6)

Разложение на множители

Разложение происходит по формуле:
(a*(x-x_<1>)*(x-x_<2>) = 0)

То есть у нас получается:
(-5*(x-1)*(x-2.6) = 0)

источники:

http://izamorfix.ru/matematika/algebra/teorema_vieta.html

http://calcon.ru/5xz2v18x-13p0p0-reshit/

Источник

Запишемо рівняння відносно x.

2x-3y=1

2x=1+3y

x= $frac{1}{2}+frac{3}{2}y$

При чому y ∈ R;

Немає сталої пари чисел, як розв’якзу. Підставте будь-яке раціональне число замість <em>y</em> і буде вам пара)

…………………………

— 4 1/6 : 1/6=- 25/6 : 1/6=-25/6* 6/1=-25/1=-25

-11/18 — 169/18=(-11-169)/18=-180/18=-10

3 3/14* (-14)=45/14* (- 1/14=)-45/1=-45

4) a1 = 3,6; d = 0,4; a(n) = 6,4

a(n) = a1 + d(n — 1)

6,4 = 3,6 + 0,4(n — 1) = 3,6 + 0,4n — 0,4 = 3,2 + 0,4n

0,4n = 6,4 — 3,2 = 3,2

n = 3,2/0,4 = 8

Это 8 член прогрессии.

6) 2x — 1 = b1; x + 3 = b2 = b1*q; x + 15 = b3 = b1*q^2

{ b1 = 2x — 1

{ b1*q = (2x — 1)*q = x + 3

{ b1*q^2 = (2x — 1)*q^2 = x + 15

Преобразуем

{ b1 = 2x — 1

{ q = (x + 3)/(2x — 1)

{ (2x — 1)*q*q = (x + 3)(x + 3)/(2x — 1) = x + 15

(x + 3)^2 = (2x — 1)(x + 15)

x^2 + 6x + 9 = 2x^2 + 29x — 15

0 = x^2 + 23x — 24 = 0

(x — 1)(x + 24) = 0

x1 = 1;

Прогрессия b1 = 1; q = (x+3)/(2x-1) = 4/1 = 4; b2 = x+3 = 4; b3 = x+15 = 16

x2 = -24;

Прогрессия b1 = -49; q = (x+3)/(2x-1) = 21/49 = 3/7;

b2 = x+3 = -21; b3 = x+15 = -9

Источник

Опубликовано 3 года назад по предмету
Алгебра
от Неформал666

Ответ

Ответ дан
Paul2910

По теореме Виета произведение корней квадратного трёхчлена равняется свободному члену, в данном случае равняется -108.
Ответ

Ответ дан
marina3639

Корінь (0,0)

Область визначення xєR

Мінімум (0,0)

Перетин з віссю ординат (0, 0)

Самые новые вопросы

Математика — 3 года назад

Решите уравнения:
а) 15 4 ∕19 + x + 3 17∕19 = 21 2∕19;
б) 6,7x — 5,21 = 9,54

Информатика — 3 года назад

Помогите решить задачи на паскаль.1)
дан массив случайных чисел (количество элементов
вводите с клавиатуры). найти произведение всех элементов массива.2)
дан массив случайных чисел (количество элементов
вводите с клавиатуры). найти сумму четных элементов массива.3)
дан массив случайных чисел (количество элементов
вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива.4)
дан массив случайных чисел (количество элементов
вводите с клавиатуры). найти максимальный элемент массива среди элементов,
кратных 3.

География — 3 года назад

Почему япония — лидер по выплавке стали?

Математика — 3 года назад

Чему равно: 1*(умножить)х? 0*х?

Русский язык — 3 года назад

В каком из предложений пропущена одна (только одна!) запятая?1.она снова умолкла, точно некий внутренний голос приказал ей замолчать и посмотрела в зал. 2.и он понял: вот что неожиданно пришло к нему, и теперь останется с ним, и уже никогда его не покинет. 3.и оба мы немножко удовлетворим свое любопытство.4.впрочем, он и сам только еле передвигал ноги, а тело его совсем застыло и было холодное, как камень. 5.по небу потянулись облака, и луна померкла.

Информация

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

Источник

Калькулятор онлайн.
Решение квадратного уравнения.

С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение.

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
— с помощью дискриминанта
— с помощью теоремы Виета (если возможно).

$$ x_1 = frac{8+sqrt{145}}{81}, quad x_2 = frac{8-sqrt{145}}{81} $$

а не в такой: ( x_1 = 0,247; quad x_2 = -0,05 )

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода квадратного многочлена

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: ( x, y, z, a, b, c, o, p, q ) и т.д.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &

Ввод: 3&1/3 — 5&6/5z +1/7z^2
Результат: ( 3frac{1}{3} — 5frac{6}{5} z + frac{1}{7}z^2 )

Примеры подробного решения >>

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения

Каждое из уравнений
( -x^2+6x+1{,}4=0, quad 8x^2-7x=0, quad x^2-frac{4}{9}=0 )
имеет вид
( ax^2+bx+c=0, )
где x — переменная, a, b и c — числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения
называют квадратными уравнениями.

Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax²+bx+c=0, где x — переменная, a, b и c — некоторые числа,
причём ( a neq 0 ).

В каждом из уравнений вида ax²+bx+c=0, где ( a neq 0 ), наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название:
квадратное уравнение.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x² равен 1, называют приведённым квадратным уравнением.
Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
( x^2-11x+30=0, quad x^2-6x=0, quad x^2-8=0 )

Если в квадратном уравнении ax²+bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют
неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x²+7=0, 3x²-10x=0, -4x²=0 — неполные
квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax²+c=0, где ( c neq 0 );
2) ax²+bx=0, где ( b neq 0 );
3) ax²=0.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Для решения неполного квадратного уравнения вида ax²+c=0 при ( c neq 0 ) переносят его свободный член в правую часть
и делят обе части уравнения на a:
( x^2 = -frac{c}{a} Rightarrow x_{1,2} = pm sqrt{ -frac{c}{a}} )

Так как ( c neq 0 ), то ( -frac{c}{a} neq 0 )

Если ( -frac{c}{a}>0 ), то уравнение имеет два корня.

Если ( -frac{c}{a}<0 ), то уравнение не имеет корней (квадратный корень из отрицательного числа извлекать нельзя).

Для решения неполного квадратного уравнения вида ax²+bx=0 при ( b neq 0 ) раскладывают его левую часть на множители
и получают уравнение
( x(ax+b)=0 Rightarrow left{ begin{array}{l} x=0 \ ax+b=0 end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l} x=0 \ x=-frac{b}{a} end{array} right. )

Значит, неполное квадратное уравнение вида ax²+bx=0 при ( b neq 0 ) всегда имеет два корня.

Неполное квадратное уравнение вида ax²=0 равносильно уравнению x²=0 и поэтому имеет единственный корень 0.

Формула корней квадратного уравнения

Решим квадратное уравнение ax²+bx+c=0

Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
( x^2+frac{b}{a}x +frac{c}{a}=0 )

Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
( x^2+2x cdot frac{b}{2a}+left( frac{b}{2a}right)^2- left( frac{b}{2a}right)^2 + frac{c}{a} = 0 Rightarrow )

( x^2+2x cdot frac{b}{2a}+left( frac{b}{2a}right)^2 = left( frac{b}{2a}right)^2 — frac{c}{a} Rightarrow )

( left( x+frac{b}{2a}right)^2 = frac{b^2}{4a^2} — frac{c}{a} Rightarrow left( x+frac{b}{2a}right)^2 = frac{b^2-4ac}{4a^2} Rightarrow )

( x+frac{b}{2a} = pm sqrt{ frac{b^2-4ac}{4a^2} } Rightarrow x = -frac{b}{2a} + frac{ pm sqrt{b^2-4ac} }{2a} Rightarrow )

( x = frac{ -b pm sqrt{b^2-4ac} }{2a} )

Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax²+bx+c=0 («дискриминант» по латыни —
различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
( D = b^2-4ac )

Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
( x_{1,2} = frac{ -b pm sqrt{D} }{2a} ), где ( D= b^2-4ac )

Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень ( x=-frac{b}{2a} ).
3) Если D<0, то квадратное уравнение не имеет корней, т.к. извлекать корень из отрицательного числа нельзя.

Таким образом, в зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня (при D > 0), один корень
(при D = 0) или не иметь корней (при D < 0).

При решении квадратного уравнения по данной формуле целесообразно поступать следующим образом:
1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулём;
2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записать,
что корней нет.

Теорема Виета

Приведённое квадратное уравнение ax²-7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10.
Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному
члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.

Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x₁ и x₂ приведённого квадратного уравнения x²+px+q=0
обладают свойством:
( left{ begin{array}{l} x_1+x_2=-p \ x_1 cdot x_2=q end{array} right. )

Источник

Квадратное уравнение — это уравнение вида:

[a*x^{2}+b*x+c=0]

Решается это уравнение через вычисление дискриминанта и нахождение корней. В зависимости от знака дискриминанта, количество корней:

больше нуля — два корня
равен нулю — один корень
меньше нуля — нет корней

Решить квадратное уравнение через дискриминант с формулами позволяет наш калькулятор:

Числовые значения в таблице заполняются числом (5; 5.16; -3.12), либо математическим выражением (5/7; (1-5)*2.13)