7 формул сокращенного умножения 7 класс алгебра словами

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто формулы фсу позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы кратко перечислим основные формулы сокращенного умножения по алгебре, сгруппируем их в правильную таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул, которые придется изучать и запоминать.

Формулы сокращенного умножения
  1. формула квадрата суммы: a+b2=a2+2ab+b2
  2. квадратная формула разности: a-b2=a2-2ab+b2
  3. формула куба суммы: a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3
  4. формула куба разности: a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3
  5. формула разности квадратов: a2-b2=a-ba+b
  6. формула суммы кубов: a3+b3=a+ba2-ab+b2
  7. формула разности кубов: a3-b3=a-ba2+ab+b2

Английскими буквами a, b, c во всех формулах сокращенного умножения (в выражениях) могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул или уравнений наизусть. Чтобы вам было проще учить, сведем их в таблицу сокращенного умножения и приведем ниже, обведя рамкой. Это будет ваш своеобразный онлайн гайд, важный и нужный.

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Первые четыре формулы сокращенного умножения на математическом языке позволяют правильно вычислять соответственно квадрат суммы или кубическую сумму, или разности двух выражений.

Пятая формула скор умножения вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы сокращенного умн. — соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы. 

Формулу сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

Чтобы решить практические примеры, часто в качестве помощи используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Также есть формулы сокращенного умножения под корнем.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса уроков по алгебре и математике и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул. 

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

a+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-2·b2+..+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn

Здесь Cnk — биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля.  Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

Cnk=n!k!·(n-k)!=n(n-1)(n-2)..(n-(k-1))k!

Другими словами, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы — это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.

Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

a1+a2+..+an2=a12+a22+..+an2+2a1a2+2a1a3+..+2a1an+2a2a3+2a2a4+..+2a2an+2an-1an

Как читается эта формула? Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Еще одна формула, которая может пригодиться — формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

an-bn=a-ban-1+an-2b+an-3b2+..+a2bn-2+bn-1

Эту формулу обычно разделяют на две формулы — соответственно для четных и нечетных степеней. 

Для четных показателей 2m:

a2m-b2m=a2-b2a2m-2+a2m-4b2+a2m-6b4+..+b2m-2

Для нечетных показателей 2m+1:

a2m+1-b2m+1=a2-b2a2m+a2m-1b+a2m-2b2+..+b2m

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n=2 и n=3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на -b.

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере формулы сокращенного умножения. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

a+b2=a2+2ab+b2.

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a-b2=a2-2ab+b2  запишем:

квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Прочитаем формулу a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3. Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений,  утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Переходим к чтению формулы для разности кубов a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3. Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула a2-b2=a-ba+b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a2+ab+b2 и a2-ab+b2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом их разности.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитывать нужно так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Доказательство ФСУ

Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

a-b2=a2-2ab+b2.

Чтобы возвести выражение во вторую степень, нужно это выражение умножить само на себя.

a-b2=a-ba-b.

Раскроем скобки:

a-ba-b=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2.

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Где можно применять ФСУ на примерах

Цель использования формул сокращенного умнож-я — быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, когда нужно раскладывать многочлены на множители. Приведем примеры.

Пример задачи 1. ФСУ

Сделаем выражение упрощенным 9y-(1+3y)2.

Применим формулу суммы квадратов по правилу и получим следующую форму:

9y-(1+3y)2=9y-(1+6y+9y2)=9y-1-6y-9y2=3y-1-9y2

Пример 2. ФСУ

Сократим дробь 8×3-z64x2-z4.

Замечаем, что выражение в числителе — разность кубов, а в знаменателе — разность квадратов.

8×3-z64x2-z4=2x-z(4×2+2xz+z4)2x-z2x+z.

Сокращаем и получаем:

8×3-z64x2-z4=(4×2+2xz+z4)2x+z

Также ФСУ помогают быстрым способом вычислять значения выражений. Главное — уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79. Вместо громоздких вычислений, запишем:

79=80-1;792=80-12=6400-160+1=6241.

Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием метода математических формул умножения, приведенных сокращенно, и таблицы умножения.

Еще один важный момент — выделение квадрата двучлена. Выражение 4×2+4x-3 можно преобразовать в вид 2×2+2·2·x·1+12-4=2x+12-4. Такие преобразования широко используются в интегрировании.

Формулы сокращённого умножения позволяют сократить вычисления.

1. Квадрат суммы: 

a+b2=a2+2ab+b2

.

Чтобы сумму возвести в квадрат, можно к сумме квадратов первого и второго выражений прибавить удвоенное их произведение.

Действительно:

a+b2=a+b⋅a+b=a⋅a+a⋅b+b⋅a+b⋅b==a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2.

Пример:

z+52=z2+2⋅z⋅5+52=z2+10z+25

.

2. Квадрат разности: 

a−b2=a2−2ab+b2

.

Чтобы разность возвести в квадрат, можно от суммы квадратов первого и второго выражений вычесть удвоенное их произведение.

Действительно:

a−b2=a−b⋅a−b=a⋅a+a⋅−b−b⋅a−b⋅−b==a2−ab−ba+b2=a2−2ab+b2.

Эта формула отличается от первой только знаком перед удвоенным произведением.

Пример:

z−52=z2−2⋅z⋅5+52=z2−10z+25

.

3. Разность квадратов: 

a−ba+b=a2−b2

.

Чтобы перемножить сумму и разность двух выражений, можно каждое выражение возвести в квадрат и найти их разность.

Действительно:

a−ba+b=a⋅a+a⋅b−b⋅a−b⋅b==a2+ab−ab−b2=a2−b2.

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются
формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо
«a» и «b» в формулах могут стоять как числа, так и любые другие
алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Запомните!
!

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

a2 − b2 = (a − b)(a + b)

Примеры:

  • 152 − 22 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
  • 9a2 − 4b2с2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

Квадрат суммы

Запомните!
!

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе
плюс квадрат второго числа.

(a + b)2 =
a2 + 2ab + b2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить
квадраты больших чисел
, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Найти 1122.

  • Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.


    112 = 100 + 1
  • Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.

    1122 = (100 + 12)2
  • Воспользуемся формулой квадрата суммы:

    1122 = (100 + 12)2 = 1002 +
    2 · 100 · 12 + 122 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

  • (8a + с)2 = 64a2 + 16ac + c2

Предостережение!

(a + b)2 не
равно (a2 + b2)

Квадрат разности

Запомните!
!

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе
плюс квадрат второго числа.

(a b)2 =
a2 2ab + b2

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

(a − b)2 = (b − a)2

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a − b)2 =
a2 −2ab + b2 = b2 − 2ab + a2 = (b − a)2

Куб суммы

Запомните!
!

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа
на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a + b)3 =
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Как запомнить куб суммы

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

  • Выучите, что в начале идёт «a3».
  • Два многочлена посередине имеют коэффициенты
    3.
  • Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1.
    (a0 = 1, b0 = 1). Легко заметить, что в формуле
    идёт понижение
    степени «a» и увеличение степени
    «b». В этом можно убедиться:

    (a + b)3 =
    a3b0 +
    3a2b1 + 3a1b2 +
    b3a0 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Предостережение!

(a + b)3
не равно a3 + b3

Куб разности

Запомните!
!

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное
произведение квадрата первого числа на второе
плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

(a − b)3 =
a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и
«».
Перед первым членом «a3 »
стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем).
Значит, перед следующим членом будет
стоять «», затем опять «+» и т.д.


(a − b)3 =
+ a3
3a2b
+ 3ab2
b3
=
a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

Сумма кубов

Не путать с кубом суммы!

Запомните!
!

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a3 + b3 =
(a + b)(a2 ab + b2)

Сумма кубов — это произведение двух скобок.

  • Первая скобка — сумма двух чисел.
  • Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
    (a2− ab + b2)

    Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов

Не путать с кубом разности!

Запомните!
!

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a3 − b3 =
(a − b)(a2 + ab + b2)

Будьте внимательны при записи знаков.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

Примеры:

  • a2 + 2a + 1 = (a + 1)2
  • (aс − 4b)(ac + 4b) = a2c2 − 16b2

Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе
«Шпаргалки».


Ваши комментарии

Важно!
Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:


Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Содержание

  • 1 Формулы для квадратов
    • 1.1 Разность квадратов
      • 1.1.1 Доказательство
  • 2 Формулы для кубов
  • 3 Формулы для четвёртой степени
  • 4 Формулы для n-й степени
  • 5 В комплексных числах
  • 6 Некоторые свойства формул
  • 7 См. также
  • 8 Примечания
  • 9 Литература

Формулы для квадратов[править | править код]

  • (apm b)^{2}=a^{2}pm 2ab+b^{2} — квадрат суммы (разности) двух чисел (многочленов)
  • left(a+b+cright)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc (квадрат суммы трех чисел (многочленов))

Разность квадратов[править | править код]

Разность квадратов двух чисел (многочленов) может быть представлена в виде произведения по формуле[1]:

{displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}

Доказательство[править | править код]

Математическое доказательство закона простое. Применив распределительный закон к правой части формулы, получим:

{displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}+ba-ab-b^{2}}

Из-за коммутативности умножения средние члены уничтожаются:

{displaystyle ba-ab=0}

и остаётся

{displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}

Полученная идентичность — одна из наиболее часто используемых в математике. Среди множества применений она дает простое доказательство неравенства о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом для двух переменных.

Доказательство справедливо в любом коммутативном кольце.

Наоборот, если это тождество выполняется в кольце R для всех пар элементов a и b, то R коммутативно. Чтобы убедиться в этом, применим закон распределения к правой части уравнения и получим:

{displaystyle a^{2}+ba-ab-b^{2}}.

Чтобы это было равно {displaystyle a^{2}-b^{2}}, мы должны иметь

{displaystyle ba-ab=0}

для всех пар a, b, поэтому R коммутативно.

Формулы для кубов[править | править код]

  • (apm b)^{3}=a^{3}pm 3a^{2}b+3ab^{2}pm b^{3} — куб суммы (разности) двух чисел
  • a^3pm b^3=(apm b)(a^2mp ab+b^2) — сумма (разность) кубов
  • left(a+b+cright)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc — куб суммы

Формулы для четвёртой степени[править | править код]

  • (apm b)^{4}=a^{4}pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}pm 4ab^{3}+b^{4}
  • {displaystyle a^{4}-b^{4}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})} (выводится из a^{2}-b^{2})
  • {displaystyle a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{sqrt {2}}ab+b^{2})}

Формулы для n-й степени[править | править код]

  • {displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})}
  • {displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2}-...-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})}, где nin N
  • {displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})}
  • {displaystyle a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-...+a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})}, где nin N

В комплексных числах[править | править код]

  • {displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)}
  • {displaystyle a^{3}pm b^{3}=left(apm bright)left(a+{frac {mp 1+{sqrt {3}}i}{2}}bright)left(a+{frac {mp 1-{sqrt {3}}i}{2}}bright)}
  • {displaystyle a^{4}-b^{4}=(a+b)(a+ib)(a-b)(a-ib)}
  • {displaystyle a^{4}+b^{4}=left(a+{frac {1+i}{sqrt {2}}}bright)left(a+{frac {-1+i}{sqrt {2}}}bright)left(a+{frac {-1-i}{sqrt {2}}}bright)left(a+{frac {1-i}{sqrt {2}}}bright)}

Для произвольной чётной степени:

  • {displaystyle a^{n}pm b^{n}=prod (a+{sqrt[{n}]{mp 1}}b)}, где {displaystyle {sqrt[{n}]{mp 1}}} пробегает все n возможных значений

Для произвольной нечётной степени:

  • {displaystyle a^{n}pm b^{n}=prod (a+{sqrt[{n}]{pm 1}}b)}, где {displaystyle {sqrt[{n}]{pm 1}}} пробегает все n возможных значений

Некоторые свойства формул[править | править код]

  • {displaystyle (a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}}, где nin N
  • {displaystyle (a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1}}, где nin N

См. также[править | править код]

  • Многочлен
  • Бином Ньютона
  • Факторизация многочленов

Примечания[править | править код]

  1. Разность квадратов (рус.). Математика для всех.

Литература[править | править код]

  • М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. — Москва, 1958.

Формулы сокращенного умножения

Рассмотрим формулы сокращенного умножения, вспомним основные правила и решим несколько примеров

Формулы сокращенного умножения. Фото: SHVETS production, pixals.com

В математике есть формулы, которые просто необходимо держать всегда в памяти, так как большинство заданий ЕГЭ не могут обойтись без их применения. Это формулы сокращенного умножения. Изучать ФСУ начинают в 7-м классе. Тема считается непростой, но знание их поможет избежать утомительных вычислений и снизить вероятность ошибки.

Что такое формула сокращенного умножения

Из названия следует, что эти формулы позволяют проводить умножение, возведение в степень чисел и многочленов сокращенно, то есть быстрее при более компактной записи решения. Эти тождества служат для разложения многочленов на множители, упрощения выражений и приведения многочленов к стандартному виду.

Таблица формул сокращенного умножения

Для удобства мы собрали все формулы сокращенного умножения в одну таблицу. Ее можно использовать при выполнении домашних заданий по алгебре. При решении задач вы можете заменить буквы a и b числами, переменными или даже целыми выражениями.

Квадрат суммы (a + b)²= a² + 2ab + b²
Квадрат разности (a – b)²= a² – 2ab + b²
Разность квадратов a² – b²=(a – b)·(a + b)
Сумма кубов a³ + b³=(a + b)·(a² – ab + b²)
Разность кубов a³ – b³=(a – b)·(a² + ab + b²)
Куб суммы (a + b)³= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Куб разности (a – b)³= a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Формулы сокращенного умножения следует выучить. Без первой тройки формул о «тройке» и мечтать нельзя, без остальных — о «четверке» и «пятерке».

Как запомнить все эти, на первый взгляд, сложные формулы? Можно использовать метод аналогии. Присмотритесь к ФСУ внимательнее и вы увидите, что формула квадрата суммы очень похожа на формулу квадрата разности: здесь нужно запомнить только одно отличие — «плюс» меняется на «минус».

Также легко запомнить куб суммы и куб разности: их формулы практически одинаковы, снова поменялись только знаки. Сумма кубов и разность кубов тоже похожи, к тому же они напоминают первые две формулы.

И еще: научитесь правильно проговаривать формулы сокращенного умножения. Очень частая ошибка учеников — говорить «формула суммы квадратов». Такой формулы не существует!

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7-го класса по алгебре и добавим еще несколько формул.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и большего количества слагаемых:

(a1+a2+…+an)2=a12+a22+…+an−12+an2+2·a1·a2+2·a1·a3+2·a1·a4+…+2·a1·an−1+2·a1·an+ +2·a2·a3+2·a2·a4+…+2·a2·an−1+2·a2·an+…+2·an−1·an.

Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых. Для примера возведем в квадрат с использованием этой формулы сумму трех слагаемых x, y и z. Имеем: (x+y+z)2=x2+y2+z2+2·x·y+2·x·z+2·y·z. В частном случае при n=2 эта формула становится уже известной нам формулой квадрата суммы двух слагаемых.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и большего количества слагаемых:

an−bn=(a−b)·(an−1+an−2·b+an−3·b2+…+a2·bn−3+a·bn−2+bn−1)

Частными случаями этой формулы являются: разность квадратов (при n=2), разность кубов (при n=3) и сумма кубов (при n=3 и если b заменить на −b).

Важно!

При выполнении заданий необходимо знать некоторые свойства формул:

(a – b)2n = (b – a)2n, где n ∈ N
(a – b)2n+1 = –(b – a)2n+1, где n ∈ N

N – множество натуральных чисел

Примеры использования формул сокращенного умножения

Лучше всего формулы запоминаются на практике. Решайте как можно больше примеров, и все формулы запомнятся сами собой, а вы избавитесь от скучной и малоэффективной зубрежки. Итак, рассмотрим примеры и их решения с помощью формул сокращенного умножения.

Пример №1

Упростим выражение:

Применим формулу разности квадратов и получим:

Пример №2

Найдем значение выражения:

Применим формулы квадрата разности и квадрата суммы, раскроем скобки, приведем подобные слагаемые, сократим дробь и получим:

Тригонометрические формулы

Таблица с основными тригонометрическими формулами, которые помогут при решении задач на ЕГЭ

ПОДРОБНЕЕ

Популярные вопросы и ответы

Почему формулы сокращенного умножения изучают на алгебре в 7 классе?

Формулы сокращенного умножения изучаются в 7 классе, так как именно на этом этапе ребята знакомятся с понятием многочлена и действиям с ними.

Как появились формулы сокращенного умножения?

О существовании этих формул люди узнали около 4-х тысяч лет назад. Еще жители древнего Вавилона и Египта пользовались ими. Впервые математическую закономерность квадрата суммы доказал древнегреческий ученый Евклид, живший в в III веке до н.э.

Он использовал геометрический способ вывода формулы, так как ученые древней Эллады не использовали буквы для обозначения чисел: не «a2», а «квадрат на отрезке a», не «ab», а «прямоугольник, заключенный между отрезками a и b». На общепринятом языке математические формулы обосновал Исаак Ньютон.

Сколько всего формул сокращенного умножения?

В школьной практике используются 7 формул сокращенного умножения.

Где используются формулы сокращенного умножения?

Центральное применение формул сокращенного умножения было найдено в выполнении тождественных преобразований:

упрощении выражений;
решении уравнений;
умножении многочленов;
сокращении дробей;
выделении квадрата двучлена, в основе которого лежит формула сокращенного умножения — квадрат суммы.

В 10-м и 11-м классах можно применять ФСУ для преобразования выражений всех других видов (например, дробных, иррациональных, логарифмических, тригонометрических), а также при решении интегралов.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *