8 сынып геометрия теорема

Определения

Многоугольник-геометрическая
фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной
прямой, а несмежные-не имеют общих точек.

Выпуклый
многоугольник
,
если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через  две его
соседние вершины.

Параллелограмм-четырехугольник,
у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Трапеция-четырёхугольник,
у которого две стороны параллельны, а две другие-не параллельны.

Основания
трапеции
-её
параллельные стороны, две другие не параллельные-боковые стороны трапеции.

Равнобедренна
трапеция
,
если её боковые стороны равны.

Прямоугольная
трапеция
,
если один из её углов прямой.

Прямоугольник-параллелограмм,
у которого все углы прямые.

Ромб-параллелограмм,
у которого все стороны равны.

Квадрат-прямоугольник,
у которого все стороны равны.

Точки А и А1
симметричны относительно прямой, если эта прямая проходит через середину
отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.

Фигура
симметрична относительно прямой
, если для каждой точки фигуры
симметричная ей точка относительно данной прямой также принадлежит этой фигуре(это
осевая симметрия).

Ось
симметрии
-данная
прямая, относительно которой происходит симметрия.

Точки А и А1
симметричны относительно точки О, если О середина отрезка АА1.

Фигура симметрична
относительно точки
, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка
относительно точки О также принадлежит этой фигуре(это центральная
симметрия).

Отношение
отрезков
АВ
и С
D-отношение
их длин, т.е.
.

Отрезки АВ и СD пропорциональны
отрезкам
А1В1 и С1
D1, если .

Стороны
треугольника
АВ
и А1В1, ВС и В1С1, СА и С1А1
сходственны, если
.

Два
треугольника подобны
, если их углы соответственно равны и
стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого

где kкоэффициент
подобия.

Средняя
линия треугольника
-отрезок, соединяющий середины двух сторон
треугольника.

Синус острого
угла прямоугольного треугольника- отношение противолежащего катета к
гипотенузе.

Косинус острого
угла прямоугольного треугольника- отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого
угла прямоугольного треугольникаотношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс острого
угла прямоугольного треугольникаотношение синуса к косинусу этого
угла.

Касательная
к окружности
-прямая,
имеющая с окружностью только одну общую точку-точку касания прямой и
окружности.

Полуокружность-дуга,
если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром окружности.

Центральный
угол-
угол
с вершиной в центре окружности.

Серединный
перпендикуляр
к отрезку-прямая, проходящая через середину отрезка и
перпендикулярная к нему.

Окружность,
вписанная
в
многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности. А многоугольник,
описанный 
около этой окружности.

Окружность,
описанная
около
многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на окружности. А многоугольник,
вписанный
в окружность.

Вектор(направленный
отрезок)-
отрезок,
для которого указано, какой его конец является началом, а какой-концом.

Нулевой
вектор
,
если начало совпадает с его концом.

Длина или модуль
вектора
— длина отрезка
АВ.

Векторы
коллинеарные
, если они
лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Нулевой вектор
коллинеарен любому вектору.

Векторы
сонаправленные
, если они
направлены в одну сторону.

Векторы
противоположно направленные
, если они
направлены в разные стороны.

Векторы
равны
,
если они сонаправлены и их длины равны.

Сумма двух векторов  (правило треугольника)-вектор с
началом в начале первого вектора и концом в конце второго вектора.

Сумма n— векторов
(правило многоугольника)
, если А12,…,Аn-произвольные
точки плоскости, то ,
где n_количество векторов.

Разность
двух векторов

 и — вектор , равный сумме векторов  и .

Произведение
вектора
 на число k-вектор , длина
которого , причем и при  и при .

Средняя
линия трапеции
-отрезок, соединяющий середины её боковых сторон или
середины её оснований (вторая средняя линия трапеции).

Правила и теоремы

5.1. Сумма
углов выпуклого
n-угольника
равна , где n-количество сторон многоугольника.

5.2. Сумма
углов выпуклого четырехугольника равна 3600.

5.3. Свойства
параллелограмма:

10.
В
параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

20. Диагонали
параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

5.4. Признаки
параллелограмма:

10.
Если
в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник
параллелограмм.

20. Если в
четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник
параллелограмм.

30.
Если
в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам,
то этот четырёхугольник параллелограмм.

5.5. Теорема
Фалеса.
Если
на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и
через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они
отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

5.6.
Свойство прямоугольника:

10.
Диагонали
прямоугольника равны.

5.7.
Признак  прямоугольника:

10.
Если
в параллелограмме диагонали равны, значит этот параллелограмм-прямоугольник.

5.8.
Свойство ромба:

10.
Диагонали
ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

5.9. Свойства
квадрата:

10. Все углы
квадрата прямые.

20. Диагонали
квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и
делят углы квадрата пополам.

6.1. Свойства
суммы многоугольников:

10.
Равные
многоугольники имеют равные площади.

20. Если
многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна
сумме площадей этих многоугольников.

30.
Площадь
квадрата равна квадрату его стороны.

6.2. Теорема
(о площади прямоугольника).
Площадь прямоугольника равна произведению
его смежных сторон.

6.3. Теорема
(о площади параллелограмма).
Площадь параллелограмма равна
произведению его основания на высоту.

6.4. Теорема
(о площади треугольника).
Площадь треугольника равна половине
произведения его основания на высоту.

Следствия
из теоремы:

1.     Площадь
прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

2.     Если
высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

6.5. Теорема (о площади двух треугольников).
Если
угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих
треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

6.6. Теорема
(о площади трапеции).
Площадь трапеции равна произведению полу
суммы её оснований на высоту.

6.7. Теорема
Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

6.8. Обратная
теорема Пифагора.
Если квадрат одной стороны треугольника
равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

6.9. Свойства
биссектрис параллелограмма:

10. Биссектриса
угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

20. Биссектрисы
смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

30. Биссектрисы
противоположных углов, равны и параллельны.

6.10. Свойства
биссектрис трапеции:

10. Биссектриса
отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой
фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона. 
AB=BK.

20. Биссектрисы
углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом.

30. Точка
пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней
линии трапеции.

40. Точка
пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому
основанию.

6.11. Свойство
второй средней линии  трапеции:
Пусть средняя К
N-вторая
средняя линия трапеции с основаниями ВС и А
D, проходящая через точку
пересечения диагоналей трапеции М. Тогда
.

7.1. Теорема
(об отношение площадей подобных треугольников).
Отношение площадей
двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

7.2. Биссектриса
треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные
прилежащим сторонам треугольника.

7.3. Признаки
подобия треугольников:

Теорема 1.
Если
два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти
треугольники подобны.

Теорема 2.
Если
две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого
треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то эти
треугольники подобны.

Теорема 3.
Если
три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то эти
треугольники подобны.

7.4. Теорема
(о средней линии треугольника).
Средняя линия треугольника
параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

7.5. Свойство
медианы треугольника:

10.
Медианы
треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в
отношение 2:1, считая от вершины.

7.6. Высота
прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит
треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых
подобен данному треугольнику.

7.7. Если
острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого
прямоугольного треугольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны.

8.1. Если
расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (
d<r), то
прямая и окружность имеют две общие точки.

8.2. Если
расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности (
d=r), то
прямая и окружность имеют только одну общую точку.

8.3. Если
расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности (
d>r), то
прямая и окружность не имеют общих точек.

8.4. Теорема
(о касательной и радиусе).
Касательная к окружности перпендикулярна
к радиусу, проведенному в точку касания.

8.5. Отрезки
касательных к окружности, проведенные из одной точки. Равны и составляют равные
углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

8.6. Теорема
(признак касательной).
Если прямая проходит через конец радиуса,
лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является
касательной.

8.7. Теорема
(о касательной и секущей).
Если из точки М, лежащей вне окружности,
проведены 
касательная МС и секущая МВ, то квадрат длины касательной
равен произведению секущей на ее внешнюю часть

, где А и В-точки пересечения с
окружностью секущей соответственно, считая от М.

8.8. Если дуга
АВ окружности с центром О меньше полуокружности или является полуокружностью,
то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ.
Если же дуга АВ больше полуокружности, то её градусная мера считается равной
.

8.9. Сумма
градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 3600.

8.10. Теорема
(о вписанном угле).
Вписанный угол измеряется половиной дуги,
на которую он опирается.

Следствия
из теоремы:

1.     Вписанные
углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2.     Вписанный
угол, опирающийся на полуокружность, -прямой.

8.11. Теорема (о произведении отрезков
пересекающихся хорд).
Если две хорды окружности пересекаются, то
произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

8.12. Четыре замечательные точки
треугольника:
точка пересечения медиан, точка пересечения
биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка
пересечения высот (или их продолжения).

Теорема (о биссектрисе угла). Каждая
точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. Обратно:
каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его
биссектрисе.

Следствие из теоремы: Биссектрисы
треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема (о серединном перпендикуляре
к отрезку).
Каждая точка серединного перпендикуляра  к отрезку
равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудаленная от
концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Следствие из теоремы:
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема (о пересечении высот
треугольника).
Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются
в одной точке.

8.13. Теорема (об окружности, вписанной
в треугольник).
В любой треугольник можно вписать только одну
окружность.

8.14. В любом описанном
четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

8.15. Теорема (об окружности, описанной
около треугольника).
Около любого треугольника можно описать только
одну окружность.

8.16. В любом вписанном
четырехугольнике сумма противоположных углов равна 1800.

8.17. Если сумма
противоположных углов четырёхугольника равна 1800, то около него
можно описать окружность.

8.18. Свойства
равностороннего треугольника:

10.
Высотамедиана и биссектриса,
проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают.

20.
Точка
пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного
треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в
равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей
совпадают).

30. Расстояние от точки пересечения
высот, биссектрис и медиан до любой вершины    треугольника равно радиусу 
описанной окружности.

40. Все высоты равностороннего
треугольника равны.

9.1. От любой
точки можно отложить только один вектор, равный данному.

9.2. Теорема
(правило параллелограмма).
Для любых векторов и справедливы равенства:

1.  (переместительный
закон)

2.  (сочетательный
закон).

9.3. Теорема (о разности векторов). Для любых
векторов
 и справедливо
равенство
.

9.4. Произведение
любого вектора на 0-это нулевой вектор.

9.5. Векторы  и коллинеарны при
любых
 и .

9.6. Свойства произведения вектора на
число:

10.  (сочетательный закон)

20.  (первый распределительный закон)

30.  (второй распределительный закон)

9.7. Теорема (о средней линии
трапеции).
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна
их полу сумме.

9.8. Сумма
противолежащих углов трапеции равна 1800.

Формулы

Основное
тригонометрическое тождество

Таблица
углов

Радиан.

0

0

1

0

-1

0

1

0

-1

0

1

0

1

-1

0

0

градусы

00

300

450

600

900

1200

1350

1800

2400

2700

3600

*знать
таблицу наизусть для 8 класса (зелёный), для 9 класса
(зелёный и
жёлтый).

ВСЕ определения и теоремы по учебнику Атанасяна

Геометрия 7 класс

1) Смежными углами называют два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой;

2) Вертикальными угламиназываются углы если стороны одного угла являются продолжениями другого.

3) Перпендикулярными прямыминазываются две пересекающиеся прямые, если они образуют четыре прямых угла.

4) Периметром треугольниканазывается сумма длин всех сторон.

5) Первый признак треугольника:Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

6) Перпендикуляр к прямой: Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой и при том только один.

7) Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

8) Биссектрисой треугольника называетсяотрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

9) Высотой треугольника называетсяперпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

10) Замечательное свойство треугольника:В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, биссектрисы пересекаются в одной точке, высоты или их продолжения так же пересекаются в одной точке.

11) Равнобедренным треугольником называется треугольник, если две его стороны равны.

12) Равные стороны равнобедренного треугольниканазываются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием.

13) Равносторонним треугольником называется треугольник, все стороны которого равны.

14) 1 свойство равнобедренного треугольника: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

15) 2 свойство равнобедренного треугольника: в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

16) Следствие 1:Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.

17) Следствие 2: Медианаравнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

18) Второй признак равенства треугольника:Если сторона, и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

19) Третий признак равенства треугольников: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

20) Параллельными прямыми называютсядве прямые, лежащие на плоскости, если они не пересекаются.

21) Признаки параллельности двух прямых: 1)Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 2)Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. 3)Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны.

22) Аксиомами называются исходные положения в геометрии.

23) Аксиомы: 1)Через любые две точки проходит прямая, и при том только одна. 2)На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и при том только один. 3)От любого луча, в заданную сторону можно отложить угол, равный данному, не развёрнутому углу, и при том только один.

24) Аксиомы параллельных прямых:Через точку, не лежащую на данной прямой проходит только одна прямая, параллельная данной.

25) Следствие 1:Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

26) Следствие 2: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

27) Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей:

Теорема 1:Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Следствие 1:Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

Теорема 2: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Теорема 3: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 градусов.

28) Теорема о сумме углов треугольников:Сумма углов треугольников равна 180 градусов.

29) Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

30) В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой, или прямой.

31) Треугольник называется остроугольным,если все три угла острые.

32) Треугольник называется тупоугольным,если один из углов тупой.

33) Треугольник называется прямоугольным,если один из углов прямой.

35) Катет – это другая сторона прямоугольного треугольника.

36) Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: 1) В треугольнике против большей стороны лежит больший угол; 2) Против большего угла лежит большая сторона.

Следствие 1: В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Следствие 2: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

37) Теорема «Неравенство треугольника»:

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон

Следствие:Для любых трёх точек А, В, С не лежащих на одной прямой справедливо неравенство: АВ

Источник

Многоугольник- геометрическая фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные-не имеют общих точек.

Трапеция- четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие-не параллельны.

Прямоугольник- параллелограмм, у которого все углы прямые.

Ромб- параллелограмм, у которого все стороны равны.

Синус острого угла прямоугольного треугольника- отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника- отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника отношение синуса к косинусу этого угла.

Центральный угол- угол с вершиной в центре окружности.

Серединный перпендикуляр к отрезку-прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

Окружность, вписанная в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности. А многоугольник, описанный около этой окружности.

Окружность, описанная около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на окружности. А многоугольник, вписанный в окружность.

Вектор(направленный отрезок)- отрезок, для которого указано, какой его конец является началом, а какой-концом.

1 0 . В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2 0 . Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

1 0 . Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник параллелограмм.

2 0 . Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник параллелограмм.

3 0 . Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник параллелограмм.

5.5. Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

1 0 . Диагонали прямоугольника равны.

1 0 . Если в параллелограмме диагонали равны, значит этот параллелограмм-прямоугольник.

1 0 . Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

1 0 . Все углы квадрата прямые.

2 0 . Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

6.1. Свойства суммы многоугольников:

1 0 . Равные многоугольники имеют равные площади.

2 0 . Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

3 0 . Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

6.2. Теорема (о площади прямоугольника). Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

6.3. Теорема (о площади параллелограмма). Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

6.4. Теорема (о площади треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Следствия из теоремы:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

6.5. Теорема (о площади двух треугольников). Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

6.6. Теорема (о площади трапеции). Площадь трапеции равна произведению полу суммы её оснований на высоту.

6.7. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

6.8. Обратная теорема Пифагора. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

6.9. Свойства биссектрис параллелограмма:

1 0 . Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

2 0 . Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

3 0 . Биссектрисы противоположных углов, равны и параллельны.

6.10. Свойства биссектрис трапеции:

2 0 . Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом.

3 0 . Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции.

4 0 . Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.

7.1. Теорема (об отношение площадей подобных треугольников). Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

7.2. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

7.3. Признаки подобия треугольников:

Теорема 1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то эти треугольники подобны.

Теорема 3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то эти треугольники подобны.

7.4. Теорема (о средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

7.5. Свойство медианы треугольника:

1 0 . Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношение 2:1, считая от вершины.

7.6. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

7.7. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны.

8.1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности ( d r ), то прямая и окружность имеют две общие точки.

8.2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности ( d = r ), то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

8.3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности ( d > r ), то прямая и окружность не имеют общих точек.

8.4. Теорема (о касательной и радиусе). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

8.5. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки. Равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

8.6. Теорема (признак касательной). Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

8.7. Теорема (о касательной и секущей). Если из точки М, лежащей вне окружности, проведены касательная МС и секущая МВ, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

, где А и В-точки пересечения с окружностью секущей соответственно, считая от М.

8.10. Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Следствия из теоремы:

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

8.11. Теорема (о произведении отрезков пересекающихся хорд). Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

8.12. Четыре замечательные точки треугольника: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжения).

Теорема (о биссектрисе угла). Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Следствие из теоремы: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема (о серединном перпендикуляре к отрезку). Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Следствие из теоремы: Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема (о пересечении высот треугольника). Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

8.13. Теорема (об окружности, вписанной в треугольник). В любой треугольник можно вписать только одну окружность.

8.14. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

8.15. Теорема (об окружности, описанной около треугольника). Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

8.18 . Свойства равностороннего треугольника:

1 0 . Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают.

2 0 . Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).

3 0 . Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности.

4 0 . Все высоты равностороннего треугольника равны.

9.1. От любой точки можно отложить только один вектор, равный данному.

9.2. Теорема (правило параллелограмма). Для любых векторов и справедливы равенства:

1. (переместительный закон)

2. (сочетательный закон).

9.4. Произведение любого вектора на 0-это нулевой вектор.

9.6. Свойства произведения вектора на число:

2 0 . (первый распределительный закон)

3 0 . (второй распределительный закон)

9.7. Теорема (о средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полу сумме.

Основное тригонометрическое тождество

*знать таблицу наизусть для 8 класса (зелёный), для 9 класса (зелёный и жёлтый).

Источник

Карточка » Геометрия все определения и теоремы за 8 класс

· Сумма длин всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника.

· Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними.

· Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.

· Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n–2) ·180°.

· Две несмежные стороны четырёхугольника называются противоположными.

· Две вершины, не являющиеся соседними, называются противоположными.

image001· Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.

· Трапеция называется прямоугольной , если один из её углов прямой.

· Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

· (Особое свойство прямоугольника) Диагонали прямоугольника равны.

· Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

· (Особое свойство ромба) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

· Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

image003· (Основные свойства квадрата) Все углы квадрата прямые. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

· Площадь квадрата равна квадрату его стороны

· (Т.) Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон

image004

· (Т.) Площадь параллелограмма равна произведению его основания на

image005высоту

image006· (Т.) Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту

image007· Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

· Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту

image008

· (Теорема, обратная теореме Пифагора) Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

· Треугольник со сторонами 3, 4, 5 называют египетским треугольником.

· (Формула Герона) Площадь треугольника со сторонами a, b, c выражается формулой

image009

где image010— полупериметр треугольника.

· Говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1 если

image011

· Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

image012, 1,

· Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.

· (Т.) Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. image013

· (Т. Первый признак подобия треугольников) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

· (Т. Второй признак подобия треугольников) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

· (Т. Третий признак подобия треугольников) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

· Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

· (Т. о средней линии треугольника) Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

image014

image015

· Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

· Отрезок XY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков АВ и CD, если XY= image016

image017image018

· Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

· (Т. о средней линии трапеции) Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

· Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

· Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

· Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

image019· Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.

image020

· sin 2 A+cos 2 A=1 – основное тригонометрическое тождество.

image021

· Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

· (Т. о свойстве касательной к окружности) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

· (Свойство отрезков касательных, проведённых из одной точки) Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

· Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом.

· Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.

· Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360°.

· Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

· (Т.) Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

· Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.

· Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Источник

Основные правила математики. Геометрия. Теоремы, определения. 8 класс | Сайт учителя математики Косыхиной Н.В.

Основные правила математики. Геометрия. Теоремы, определения. 8 класс

Многоугольник
Параллелограмм
  • Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны
Свойства параллелограмма
  • В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны
  • В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны
  • Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам
Признаки параллелограмма
  • Если в четырехугольнике 2 стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм
  • Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм
  • Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм
Трапеция
  • Трапеция  — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны — не параллельны
  • Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции
  • Не параллельные стороны называются боковыми сторонами
  • Трапеция равнобедренная, если её боковые стороны равны
  • Трапеция прямоугольная, у которой одна боковая сторона, перпендикулярна основаниям
Прямоугольник
  • Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые
Свойства прямоугольника
  • Диагонали прямоугольника равны
Признаки прямоугольника
  • Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм прямоугольник
  • Если в параллелограмме есть хотя бы 1 прямой угол, то этот параллелограмм прямоугольник
Ромб
  • Ромб — параллелограмм у которого все стороны равны
Свойства ромба
  • Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам, являются биссектрисами углов
Признаки ромба
  • Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
  • Параллелограмм, диагональ которого является биссектрисой его угла
Квадрат
  • Квадрат прямоугольник, у которого все стороны равны
Свойства квадрата
  • Все углы квадрата прямые
  • Диагонали квадрата равны, взаимно-перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам, являются биссектрисами углов
Симметрия
Площади
  • Высота треугольника -перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону треугольника(основание)
  • Высота параллелограмма -перпендикуляр, проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание
  • Равные многоугольники имеют равные площади
  • Высота трапеции — перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание
  • Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников
  • Площадь квадрата равна квадрату его стороны
  • S = a^2

  • Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон
  • S = a*b

  • Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту
  • S =frac{1}{2}*a*h

  • Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов
  • Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания
  • frac{S_1}{S_2} =frac{a_1}{a_2}

  • Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы
  • frac{S_1}{S_2} =frac{a_1*b_1}{a_2*b_2}

  • Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее основания на высоту
  • S =frac{a+b}{2}*h

Прямоугольный треугольник
Подобие
  • Подобные треугольники -это треугольники, у которых углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого
  • Коэффициент подобия — это число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников
  • Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия
  • frac{S_1}{S_2} =k^2

Признаки подобия треугольников
  • Первый признак подобия треугольников: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны
  • Второй признак подобия треугольников: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы заключенные между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны
  • Третий признак подобия треугольников:если три стороны одного треугольника пропорциональным трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны
Средняя линия треугольника.
  • Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны
    l=frac{1}{2}*a
Некоторые свойства геометрических фигур
  • Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, образуют с его сторонами подобные между собой треугольники
  • Теорема Фалеса Параллельные прямые, пересекающие стороны угла отсекают на них равные отрезки
  • Пропорциональные отрезки Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от его сторон пропорциональные отрезки
Окружность
  • Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
  • Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
  • Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
  • Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.
  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу
  • Формула длины окружности
  • C=2*pi*r

  • Формула площади круга
  • S=pi*r^2

    Окружность и треугольник
    • В любой треугольник можно вписать окружность. Центром окружности будет являться точка пересечения биссектрис треугольника
    • Около любого треугольника можно описать окружность. Центром окружности будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника
    • Вписанный четырехугольник
    • Вписанный четырехугольник — это четырехугольник, все вершины которого принадлежат данной окружности. Окружность называют описанной. Центр окружности, описанной около четырехугольника, — точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных ко всем его сторонам.
    • Свойство четырехугольника, вписанного в окружность : Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180°.
    • Признак четырехугольника, который можно вписать в окружность : Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна 180°, то около четырехугольника можно описать окружность.
    Описанный четырехугольник
    • Описанный четырехугольник — четырехугольник, каждая сторона которого касается данной окружности. Окружность называют вписанной. Центр окружности, вписанной в четырехугольник,— точка пересечения биссектрис всех его углов.
    • Свойство четырехугольника, описанного около окружности : Если четырехугольник описан около окружности, то сумма двух его противолежащих сторон равна сумме двух других его сторон.
    • Признак четырехугольника, в который можно вписать окружность: Если у четырехугольника сумма двух его противолежащих сторон равна сумме двух других его сторон, то в него можно вписать окружность.
    • Признак принадлежности четырех точек одной окружности: Если одна сторона выпуклого четырёхугольника видна из двух его вершин под равными углами, то около этого четырёхугольник можно описать окружность.

«Геометрия 8 Погорелов: все теоремы и определения» — это краткое повторение геометрии за 8 класс (основные понятия, определения и теоремы без доказательств). Краткий курс, вся информация, самое главное и самое важное вкратце. Использованы цитаты из учебника для общеобразовательных учреждений «Геометрия 7-9 классы / А.В. Погорелов — М.: Просвещение, 2014″ в учебных целях.



Раздел 1. Четырёхугольники

Определение четырёхугольника

Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.

Четырёхугольник называется вписанным, если все его вершины лежат на некоторой окружности, и описанным, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Вершины четырёхугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырёхугольника, называются диагоналями.

Стороны четырёхугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами.

Четырёхугольник обозначается указанием его вершин. Например, ABCD. В обозначении четырёхугольника рядом стоящие вершины должны быть соседними. Четырёхугольник ABCD можно также обозначить BCDA или DCBA. Но нельзя обозначить ABDC (В и D — не соседние вершины).

Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется периметром.

Параллелограмм

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.

Теорема 6.1. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Свойство диагоналей параллелограмма

Теорема 6.2. (обратная теореме 6.1) Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма

Теорема 6.3. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Прямоугольник

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Теорема 6.4. Диагонали прямоугольника равны.

Ромб

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Теорема 6.5. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Квадрат

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Так как стороны квадрата равны, то он является также ромбом. Поэтому квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.

  1. У квадрата все углы прямые.
  2. Диагонали квадрата равны.
  3. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.

Теорема Фалеса

Теорема 6.6. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Замечание. В условии теоремы Фалеса вместо сторон угла можно взять любые две прямые, при этом заключение теоремы будет то же: параллельные прямые, пересекающие две данные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой.

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема 6.7. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Трапеция

Трапецией называется четырёхугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами.

Теорема 6.8. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Пропорциональные отрезки

Теорема 6.9. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Замечательные точки в треугольнике

Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Все три прямые, содержащие высоты к сторонам треугольника, тоже пересекаются в одной точке (ортоцентр треугольника). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Окружность, описанную около треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, называют окружностью Эйлера (окружность девяти точек). Середины сторон треугольника и середины отрезков, соединяющих его ортоцентр с вершинами, лежат на одной окружности с центром О, являющейся по определению окружностью Эйлера.

Раздел 2. Теорема Пифагора

Косинус угла

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус угла а обозначается так: cos а и равен отношению катета АС, прилежащего к этому углу, к гипотенузе АВ, т. е. cos a = АС/АВ.

Теорема 7.1. Косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.

Это означает, что у двух прямоугольных треугольников с одним и тем же острым углом косинусы этого угла равны.

Теорема Пифагора

Теорема 7.2. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Из теоремы Пифагора следует, что в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы. Отсюда, в свою очередь, следует, что cos а < 1 для любого острого угла а.

Египетский треугольник

Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла пользовались следующим приёмом. Бечёвку узлами делили на 12 равных частей и концы связывали. Затем бечёвку растягивали на земле так, что получался треугольник со сторонами 3, 4 и 5 делений. Угол треугольника, противолежащий стороне с 5 делениями, был прямой (32 + 42= 52).

В связи с указанным способом построения прямого угла треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц иногда называют египетским.

Перпендикуляр и наклонная

Пусть ВА — перпендикуляр, опущенный из точки В на прямую а, и С — любая точка прямой а, отличная от А. Отрезок ВС называется наклонной, проведённой из точки В к прямой а (рис. 153). Точка С называется основанием наклонной. Отрезок АС называется проекцией наклонной.

Из теоремы Пифагора следует, что если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.

Неравенство треугольника

Если точки А и В различны, то расстоянием между ними называется длина отрезка АВ. Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними принимается равным нулю.

Теорема 7.3. Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки.

Это значит, что каждое из этих расстояний меньше суммы или равно сумме двух других. Заметим, что в случае, когда точки не лежат на одной прямой, в неравенстве треугольника строгое неравенство. Отсюда следует, что в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

Пусть АВС — прямоугольный треугольник с прямым углом С и острым углом при вершине А, равным а.

  • Согласно определению cos а равен отношению катета, прилежащего к углу а, к гипотенузе.
  • Синусом угла а (обозначается sin а) называется отношение противолежащего катета ВС к гипотенузе АВ: sin а = ВС/АВ.
  • Тангенсом угла а (обозначается tg a) называется отношение противолежащего катета ВС к прилежащему катету АС: tg a = ВС/АС.
  • Котангенсом угла а (обозначается ctg a) называется отношение прилежащего катета АС к противолежащему катету ВС: ctga = АС/ВС.

Синус, тангенс и котангенс утла, так же как и косинус, зависят только от величины угла. Из определения sin a, cos a, tg a и ctg a получаем следующие правила:

  1. Катет, противолежащий углу а, равен произведению гипотенузы на sin a.
  2. Катет, прилежащий к углу а, равен произведению гипотенузы на cos a.
  3. Катет, противолежащий углу а, равен произведению второго катета на tg a.
  4. Катет, прилежащий к углу а, равен произведению второго катета на ctg a.

Эти правила позволяют, зная одну из сторон прямоугольного треугольника и острый угол, находить две другие стороны; зная две стороны, находить острые углы.

Для sin a, cos a, tg a и ctg a составлены специальные таблицы. Эти таблицы позволяют по данному углу а найти sin a, cos a, tg a и ctg a или по значениям sin a, cos a, tg a и ctg a найти соответствующий угол. В настоящее время для этой цели обычно применяют микрокалькуляторы.

Основные тригонометрические тождества

Эти тождества позволяют, зная одну из величин sin a, cos a, tg a или ctg a, найти три другие.

  1. tg a = sin a / cos a.
  2. сtg a = cos a / sin a.
  3. sin2a + cos2a = 1.
  4. 1 + tg2a = 1 / cos2a
  5. 1 + ctg2a = 1 / sin2a

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса некоторых углов

Теорема 7.4. Для любого острого угла a: sin (90° — a) = cos a, cos (90° — a) = sin a.

Изменение синуса, косинуса, тангенса и котангенса при возрастании угла

Теорема 7.5. При возрастании острого угла sin a и tg a возрастают, а cos a и ctg a убывают.

Раздел 3. Декартовы координаты на плоскости

Определение декартовых координат

Проведём на плоскости через точку О две взаимно перпендикулярные прямые х и у — оси координат. Ось х (она обычно горизонтальная) называется осью абсцисс, а ось у — осью ординат. Точкой пересечения О — началом координат — каждая из осей разбивается на две полуоси. Условимся одну из них называть положительной, отмечая её стрелкой, а другую — отрицательной.

Каждой точке А плоскости мы сопоставим пару чисел — координаты точки — абсциссу (х) и ординату (у) по такому правилу.

Через точку А проведём прямую, параллельную оси ординат. Она пересечёт ось абсцисс х в некоторой точке Ах. Абсциссой точки А мы будем называть число х, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точки Ах. Это число будет положительным, если Ах принадлежит положительной полуоси, и отрицательным, если Ах принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси у, то полагаем х равным нулю.

Ордината (у) точки А определяется аналогично. Через точку А проведём прямую, параллельную оси абсцисс х. Она пересечёт ось ординат у в некоторой точке Ау. Ординатой точки А мы будем называть число у, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точки Ау. Это число будет положительным, если Ау принадлежит положительной полуоси, и отрицательным, если Ау принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси абсцисс х, то полагаем у равным нулю. Координаты точки будем записывать в скобках рядом с буквенным обозначением точки, например: А (х; у) (на первом месте абсцисса, на втором — ордината).

Оси координат разбивают плоскость на четыре части — четверти: I, И, III, IV.

Точки оси х (оси абсцисс) имеют равные нулю ординаты (у = 0), а точки оси у (оси ординат) имеют равные нулю абсциссы (х = 0). У начала координат абсцисса и ордината равны нулю.

Плоскость, на которой введены описанным выше способом координаты х и у, будем называть плоскостью ху. Произвольную точку на этой плоскости с координатами х и у будем иногда обозначать просто (х; у). Введённые на плоскости координаты х и у называются декартовыми по имени Р. Декарта, который впервые применил их в своих исследованиях.

Координаты середины отрезка

Пусть А (х1; у1) и В (х2; у2) — две произвольные точки и С (х; у) — середина отрезка АВ. Найдём координаты х, у точки С.
х = (х1 + х2)/2;   у = (у1 = у2)/2

Расстояние между точками

Пусть на плоскости ху даны две точки: А1 с координатами х1, у1 и А2 с координатами х2, у2. Выразим расстояние между точками А1 и А2 через координаты этих точек.
d2 = (х1 — х2)2 + (у1 — у2)2
где d — расстояние между точками А1 и А2.

Уравнение окружности

Уравнением фигуры в декартовых координатах на плоскости называется уравнение с двумя неизвестными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры. И обратно: любые два числа, удовлетворяющие этому уравнению, являются координатами некоторой точки фигуры.

Составим уравнение окружности с центром в точке А0 (а; b) и радиусом R
(х — а)2 + (у — b)2 = R2.
Если центром окружности является начало координат, то уравнение окружности имеет вид: х2 + у2 = R2.

Уравнение прямой

Любая прямая в декартовых координатах х, у имеет уравнение вида ах + by + с = 0, где а, b, с — некоторые числа, причём хотя бы одно из чисел а, b не равно нулю.

Координаты точки пересечения прямых

Координаты точки пересечения являются решением системы уравнений, задающих прямые.

Расположение прямой относительно системы координат

Выясним, как расположена прямая относительно осей координат, если её уравнение ах + by + с = 0 имеет тот или иной частный вид.

  1. а = 0, b ≠ 0. В этом случае уравнение прямой можно переписать так: у = -c/b. Таким образом, все точки прямой имеют одну и ту же ординату (-c/b); следовательно, прямая параллельна оси х. В частности, если с = 0, то прямая совпадает с осью х.
  2. b = 0, а ≠ 0. Этот случай рассматривается аналогично. Прямая параллельна оси у и совпадает с ней, если и с = 0.
  3. с = 0. Прямая проходит через начало координат, так как координаты (0; 0) удовлетворяют уравнению прямой.

Угловой коэффициент в уравнении прямой

Если в общем уравнении прямой ах + by + с = 0 коэффициент при у не равен нулю, то это уравнение можно разрешить относительно у. Получим y = -a/b, x = -c/b. Или, обозначая -a/b = k, -c/b = l, получим у = kx + l.

Коэффициент k в уравнении прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью х. Коэффициент k в уравнении прямой называется угловым коэффициентом прямой.

График линейной функции

Графиком линейной функции является прямая.

Пересечение прямой с окружностью

Пусть R — радиус окружности и d — расстояние от центра окружности до прямой. Примем центр окружности за начало координат, а прямую, перпендикулярную к данной,— за ось х (рис. 180). Тогда уравнением окружности будет х2 + у2 = R2, а уравнением прямой х = d.

Для того чтобы прямая и окружность пересекались, надо, чтобы система двух уравнений х2 + у2 = R2, х = d имела решение. И обратно: всякое решение этой системы даёт координаты х, у точки пересечения прямой с окружностью.

  1. Окружность и прямая имеют две точки пересечения, если R > d.
  2. Система имеет одно решение, т. е. прямая и окружность касаются, если R = d
  3. Система не имеет решения, т. е. прямая и окружность не пересекаются, если R < d

Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для любого угла от 0° до 180°

Для любого угла a (0° < a < 180°) ⇒ sin (180° — a) = sin a, cos (180° — a) = -cos a, ctg (180° — a) = -ctga. Для угла a ≠ 90° ⇒ tg(180° — a) = -tga.

Раздел 4. Движение

Преобразование фигур

Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной.

Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками, т. е. переводит любые две точки X и У одной фигуры в точки X’ и Y’ другой фигуры так, что ХУ = Х’У’.

Замечание. Понятие движения в геометрии связано с обычным представлением о перемещении. Но если мы представляем себе непрерывный процесс, то в геометрии для нас будут иметь значение только начальное и конечное положения фигуры. Два движения, выполненные последовательно, дают снова движение. Преобразование, обратное движению, также является движением.

Свойства движения

Теорема 9.1. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.

Это значит, что если точки А, В, С, лежащие на прямой, переходят в точки А1, В1, С1, то эти точки также лежат на прямой; если точка В лежит между точками А и С, то точка В1 лежит между точками А1 и С1.

Из теоремы 9.1 следует, что при движении прямые переходят в прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки. При движении сохраняются углы между полупрямыми.

Симметрия относительно точки

Пусть О — фиксированная точка и X — произвольная точка плоскости. Отложим на продолжении отрезка ОХ за точку О отрезок ОХ’, равный ОХ. Точка X’ называется симметричной точке X относительно точки О. Точка, симметричная точке О, есть сама точка О. Очевидно, что точка, симметричная точке X’, есть точка X.

Преобразование фигуры F в фигуру F’, при котором каждая её точка X переходит в точку X’, симметричную относительно данной точки О, называется преобразованием симметрии относительно точки О. При этом фигуры F и F’ называются симметричными относительно точки О (рис. 189).

Если преобразование симметрии относительно точки О переводит фигуру F в себя, то она называется центрально-симметричной, а точка О называется центром симметрии.

Например, параллелограмм является центрально-симметричной фигурой. Его центр симметрии — точка пересечения диагоналей.

Теорема 9.2. Преобразование симметрии относительно точки является движением.

Симметрия относительно прямой

Пусть g — фиксированная прямая. Возьмём произвольную точку X и опустим перпендикуляр АХ на прямую g. На продолжении перпендикуляра за точку А отложим отрезок АХ’, равный отрезку АХ. Точка X’ называется симметричной точке относительно прямой g. Если точка X лежит на прямой g, то симметричная ей точка есть сама точка X. Очевидно, что точка, симметричная точке X’, есть точка X.

Преобразование фигуры F в фигуру F’, при котором каждая её точка X переходит в точку X’, симметричную относительно данной прямой g, называется преобразованием симметрии относительно прямой g. При этом фигуры F и F’ называются симметричными относительно прямой g.

Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой g, а прямая g называется осью симметрии фигуры.

Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются осями симметрии прямоугольника. Прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии.

Теорема 9.3. Преобразование симметрии относительно прямой является движением.

Поворот

Поворотом плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из этой точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении.

Это значит, что если при повороте около точки О точка X переходит в точку X’, то лучи ОХ и ОХ’ образуют один и тот же угол, какова бы ни была точка X. Этот угол называется углом поворота. Преобразование фигур при повороте плоскости также называется поворотом.

Параллельный перенос и его свойства

Наглядно параллельный перенос определяется как преобразование, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние (данное определение не является математически строгим).

Параллельный перенос задаётся формулами х = х + а, у’ = у + b. Эти формулы выражают координаты х’, у’ точки, в которую переходит точка (х; у) при параллельном переносе.

Параллельный перенос есть движение. Параллельный перенос сохраняет расстояния, а значит, является движением. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние. При параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в себя).

Существование и единственность параллельного переноса. Сонаправленность полупрямых

Теорема 9.4. Каковы бы ни были две точки А и А’, существует один и только один параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку А’.

Две полупрямые называются одинаково направленными или сонаправленными, если они совмещаются параллельным переносом, т. е. существует параллельный перенос, который переводит одну полупрямую в другую.

Если полупрямые а и b одинаково направлены и полупрямые b и с одинаково направлены, то полупрямые а и с тоже одинаково направлены.

Две полупрямые называются противоположно направленными, если каждая из них одинаково направлена с полупрямой, дополнительной к другой.

Геометрические преобразования на практике

Известно, что геометрия как наука выросла из практического землемерия. А теперь сама она имеет большое прикладное значение. В частности, на практике широко используются геометрические преобразования

Равенство фигур

Две фигуры называются равными, если они движением переводятся одна в другую. Для обозначения равенства фигур используется обычный знак равенства. Запись F = F’ означает, что фигура F равна фигуре F’. В записи равенства треугольников: DАВС = DA1B1C1 — предполагается, что совмещаемые при движении вершины стоят на соответствующих местах. При таком условии равенство треугольников, определяемое через их совмещение движением, и равенство, как мы его понимали до сих пор, выражают одно и то же.

Это значит, что если у двух треугольников соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны, то эти треугольники совмещаются движением. И обратно: если два треугольника совмещаются движением, то у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны.

Раздел 5. Векторы

Абсолютная величина и направление вектора

Вектор — это направленный отрезок. Направление вектора определяется указанием его начала и конца. На чертеже направление вектора отмечается стрелкой. Для обозначения векторов будем пользоваться строчными латинскими буквами а, b, с, … . Можно также обозначать вектор указанием его начала и конца. При этом начало вектора ставится на первом месте. Вместо слова «вектор» над буквенным обозначением вектора иногда ставится стрелка или черта.

Векторы АВ и CD называются одинаково направленными, если полупрямые АВ и CD одинаково направлены. Векторы АВ и CD называются противоположно направленными, если полупрямые АВ и CD противоположно направлены.

Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор.

Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор будем называть нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается нулём с чёрточкой (0). О направлении нулевого вектора не говорят. Абсолютная величина нулевого вектора считается равной нулю.

Равенство векторов

Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора. Из данного определения равенства векторов следует, что

равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. Обратно: если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны.

Координаты вектора

Пусть вектор а имеет началом точку А1 (х1; у1), а концом точку А2 (х2; у2). Координатами вектора а будем называть числа а1 = х2 – х1, а2 = у2 – у1. Координаты нулевого вектора равны нулю.

Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. И обратно: если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.

Сложение векторов

Суммой векторов а и b с координатами а1, а2 и b1, b2 называется вектор с с координатами a1 +b1, a2 + b2.

Теорема 10.1. Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство АВ + ВС = АС.

Сложение сил

Силу, приложенную к телу, удобно изображать вектором, направление которого совпадает с направлением действия силы, а абсолютная величина пропорциональна величине силы. Как показывает опыт, при таком способе изображения сил равнодействующая двух или нескольких сил, приложенных к телу в одной точке, изображается суммой соответствующих им векторов.

Представление силы в виде суммы сил, действующих в двух заданных направлениях, называется разложением силы по этим направлениям. Удобно производить разложение вектора по двум перпендикулярным осям. В этом случае составляющие вектора называются проекциями вектора на оси.

Умножение вектора на число

Произведением вектора (а1; а2) на число λ называется вектор (λа1; λа2).

Теорема 10.2. Абсолютная величина вектора λа равна |λ| |a|. Направление вектора λа при а ≠ 0 совпадает с направлением вектора а, если λ > 0, и противоположно направлению вектора а, если λ < 0.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы направлены либо одинаково, либо противоположно.

Пусть а и b — отличные от нулевого неколлинеарные векторы, тогда любой вектор с можно представить в виде с = λа + ɳb.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов a(a1; a2) и b(b1; b2) называется число а1b1 + а2b2. Скалярное произведение а • а обозначается а2 и называется скалярным квадратом.

Для любых векторов а(а1; а2), b(b1; b2), с(с1; с2)
(а + b) • с = ас + bс.

Теорема 10.3. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Из теоремы 10.3 следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нулевого векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Разложение вектора по координатным осям

Вектор называется единичным, если его абсолютная величина равна единице. Единичные векторы, имеющие направления положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами.

Для любого вектора a (a1; а2) получается разложение а = а1е1 + а2е2.


Вы смотрели «Геометрия 8 Погорелов: все теоремы и определения» — краткое повторение геометрии за 8 класс (основные понятия, определения и теоремы без доказательств).

8-сыныпПәні: Геометрия.

Сабақтың тақырыбы: Фалес теоремасы. Үшбұрыштың орта сызығы

Сабақтың мақсаты:

Білімділік: Үшбұрыштың орта сызығының анықтамасы мен оның қасиеттерін, және Фалес теоремасын түсіндіру қажет.

Дамытушылық: Оқушылардың бірлесіп жұмыс жасауға дағдыландыру, пәнге деген қызығушылықты, математика тілінің мәдениетін дамыту.

Тәрбиелілік. Оқушыларды ұқыптылыққа, тазалыққа тәрбиелеу;

Сабақтың түрі: Жаңа сабақ.

Көрнекі құрал-жабдықтар: сызғыш, қалам т.с.с

Әдісі: Түсіндіру. Тақтада есептер шығару.
Көрнекілігі. Үлестірмелі карточкалар,  Кросвордтар арқылы

Просмотр содержимого документа

«8-сынып. Геометрия. Фалес теоремасы»

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *