2.5.1 Теорема компенсации
В
любой электрической цепи сопротивление
можно заменить Э.Д.С., численно равной
падению напряжения на этом сопротивлении
и направленной встречно току в этом
сопротивлении. При такой замене
токораспределение в схеме не изменяется.
Для
доказательства этой теоремы рассмотрим
схему, приведённую на рис. 2.7а, в которой
выделим только одну ветвь с сопротивлением
R,
а всю остальную часть схемы обозначим
в виде активного двухполюсника (так
как схема, в общем случае, может содержать
несколько источников электрической
энергии – активных элементов).
Е
сли
теперь в рассматриваемую ветвь включить
две одинаковые и противоположно
направленные Э.Д.С. Е (рис. 2.7б), численно
равные падению напряжения на сопротивленииR
,
то ток в цепи не изменится. Это следует
из того, что разность потенциалов между
точками а и с равна нулю, а значит,
напряжение
остаётся прежним:
.
Так
как
,
то точки а и с можно объединить в
одну, то есть закоротить участок ас.
При этом получим схему, изображенную
на рис. 2.7в.
Таким
образом, схемы на рис. 2.7а,в эквивалентны,
если
,
причем эквивалентная Э.Д.С. Е прямо
пропорциональна току I в ветви, то есть
зависит от тока.
ПРИМЕЧАНИЕ:
Любая
ветвь с известным током I может быть
заменена источником тока
.
2.5.2 Линейные сложения в электрических цепях
Если
в линейной электрической цепи
изменяется какая-либо величина (Э.Д.С.
или сопротивление) в одной ветви, то
две любые величины (токи и напряжения)
двух любых ветвей связаны между собой
линейными зависимостями, вида:
.
(2.4)
где
х – ток и напряжение одной ветви;
y
– ток и напряжение другой ветви.
Для
пояснения этого свойства рассмотрим
пример.
ПРИМЕР:
В
схеме на рис. 2.8 выделены три ветви.
П
ри
разомкнутом ключе К:
.
При
замкнутом ключе К:
.
При
замкнутом ключе сопротивление R изменили
так, что амперметр А2
показал ток 4,5 А. Каково показание
амперметра А1
в этом режиме?
РЕШЕНИЕ:
Выразим
ток
через
ток
с помощью уравнения прямой:
.
Для
определения коэффициентов а и b
составим два уравнения, исходя из
условия задачи:
Решая
эту систему уравнений, находим его
корни:
при
ток
равен:
ОТВЕТ:
.
2.6 Метод узловых потенциалов
В
тех случаях, когда в анализируемой схеме
число узлов без единицы меньше числа
независимых контуров, метод узловых
потенциалов является более экономичным
по сравнению с методом контурных токов.
Суть
этого метода состоит в определении
напряжений между узлами сложной
электрической цепи путём решения
системы уравнений, составленных на
основе первого закона Кирхгофа. После
нахождения неизвестных потенциалов,
используя закон Ома, определяют токи
во всех ветвях, и выясняют их истинное
направление.
П
отенциал
любой одной точки схемы можно принять
равным нулю, так как ток в ветви зависит
не от абсолютных значений потенциалов
узлов, а от разности потенциалов на
концах ветви.
При
этом число неизвестных уменьшается
с n до n -1.
Р
ассмотрим
применение данного метода для расчета
цепи, приведённой на рис. 2.9, которая
имеет большое число ветвей (7) и
сравнительно небольшое число узлов
(4).
Если
узел 0 мысленно заземлить, то есть
принять его потенциал равным 0, то
неизвестными будут потенциалы только
трёх узлов:
.
Первоначально
в исходной схеме произвольно задаём
направления токов, которые обозначаются
с двумя индексами: первый индекс
определяет номер узла, от которого течет
ток, а второй — номер узла, к которому
ток подтекает.
Для
расчета цепи составляют систему
уравнений:
где
— сумма проводимостей ветвей, сходящихся
в узле 1;
—
проводимость ветви, находящейся между
узлами
1
и 2, принято всегда брать со знаком
«-».
;
—
узловой ток первого узла, равный
алгебраической
сумме токов, сходящихся в узле.
В
образовании узлового тока n-й ветви
участвуют лишь те ветви, подходящие
к этому узлу, которые содержат источники
Э.Д.С. и источники тока.
Если
Э.Д.С. и ток источника тока направлены
к узлу, то ставится знак «+», в противном
случае «-».
После
решения системы уравнений определяют
токи в ветвях по закону Ома:
;
;
;
;
.
В
заключении делают проверку на баланс
мощностей:
.
-
Е
сли
в ветви находится идеальный источник
Э.Д.С. без других сопротивлений, то
проводимость такой ветви равна
бесконечности (рис. 2.10а). В этом случаеприменяют следующий приём.
слиВ
такой ветви встречно данному источнику
Э.Д.С. включают такой же источник, Э.Д.С.
которого равна первому. Чтобы токи в
ветвях не изменялись, в оставшиеся ветви
добавляют такие же источники Э.Д.С.,
направленные от узла а. При этом
потенциалы точек 1, 2 и 3 будут равны, то
есть могут быть объединены в одну точку
А (таким образом, исходная схема в
принципе не нарушена). В результате
получим схему, изображенную на рис.
2.11.
-
Е
сли
в ветви находится идеальный источник
тока, то его проводимость равна нулю
.
В этом случае применяют правило
переноса источника тока.
сли
.В
результате такого преобразования в
каждом из узлов, значения токов не
изменяются. Например, ток в узле b
остался неизменным, так как в этот
узел добавили и вычли ток J.
Из узла а ток J также вытекает, только
теперь с другой стороны.
Макеты страниц
Рассмотрим два варианта этой теоремы. В любой электрической цепи без изменения токораспределения сопротивление можно заменить: 1) источником ЭДС, ЭДС которого численно равна падению напряжения на заменяемом сопротивлении и направлена встречно току в этом сопротивлении; 2) источником тока 
, ток которого численно равен току в этом сопротивлении и имеет то же направление, что и ток 
.
Для доказательства теоремы компенсации выделим из схемы одну ветвь с сопротивлением R, по которой течет ток 
, а всю остальную часть схемы условно обозначим прямоугольником (рис. 2.18,а).
Если в выделенную ветвь включить два одинаковых и противоположно направленных источника ЭДС Е, ЭДС которых равна падению напряжения на сопротивлении R под действием тока 
рис. 2.18, б), то ток 
в цепи от этого не изменится. Убедимся, что разность потенциалов между точками а и с в схеме рис. 2.18, б при этом равна нулю. Действительно,
Если 
то точки 
можно объединить в одну, т. е. закоротить участок 
и получить схему рис. 2.18, в. В ней вместо сопротивления R включен источник ЭДС Е.
Схема, соответствующая второму варианту теоремы, изображена на рис. 2.18, г. Чтобы прийти к ней, заменим последовательно соединенные R и Е на участке 
(рис. 2.18, б) параллельным соединением источника тока 
и сопротивления R.
Рис. 2.19
Так как 
, то ток через R будет отсутствовать и потому R можно удалить из схемы. Если ЭДС Е участка 
включить в состав источника тока, то получим схему рис. 2.18, г, где напряжение 
Пример 17. На схеме рис. 2.19, а даны значения 
и токов 
Заменить 
источником ЭДС и источником тока.
Решение. На рис. 2.19, б изображена схема с источником ЭДС 
а на рис. 2.19, в — с источником тока 
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.
Теорема компенсации
Теорема компенсации:
Токи в электрической цепи не изменятся, если любой участок цепи заменить э. д. с., равной напряжению на данном участке и направленной навстречу току, проходящему по данному участку.
Справедливость этого положения, носящего название теоремы компенсации, вытекает из того, что любое из слагающих падения напряжений,- входящих в уравнение по второму закону Кирхгофа, может быть
• Иллюстрацией сказанного выше служит рис. 7-15; уравнение по второму закону Кирхгофа, записанное для схемы рис. 7-15, а как
Последней записи уравнения соответствует схема рис. 7-15, б, в которой вместо сопротивления Z включена э. д. с. Zl, направленная противоположно току
Данная теорема справедлива и для разветвленных электрических цепей. Рисунки 7-16, а и б иллюстрируют возможность замены комплексного сопротивления Z источником э. д. с. 
действующим навстречу току 
проходящему через сопротивление Z.
Вместо источника э. д. с. может быть включен источник тока (рис. 7-16, в), обусловливающий прохождение между
узлами / и 2 того же тока, что и в схеме рис. 7-16, а; токи и напряжения в остальной части цепи при этом не меняются.
Следует заметить, что э. д. с. или ток источника, заменяющего собой участок цепи, определяется в зависимости от тока, проходящего через данный участок. При изменении параметров остальной части цепи ток на данном участке в общем случае изменяется, и поэтому указанный выше источник не является самостоятельным, а представляет собой так называемый зависимый, или неавтономный, источник.
Применение теоремы компенсации облегчает изучение свойств линейных электрических цепей./Гак, заменяя «какой-либо участок цепи зависимым источником э. д. с. или тока
и пользуясь методом наложения, легко убедиться в том, что напряжения и токи в остальной части цепи являются линейными функциями напряжения на данном- участке или тока, проходящего через него. Например, если при изменении комплексного сопротивления Z в какой-либо ветви изменяется ток 
в этой ветви, то ток 
в какой-либо другой ветви связан с 
линейной функциональной зависимостью
здесь 
) — значение тока 
при 
т. е. при разомкнутой первой ветви.
Комплексный коэффициент К находится из условия, что при Z = О
поэтому
- Теорема об изменении токов в электрической цепи при изменении сопротивления в одной ветви
- Теорема об эквивалентном источнике
- Применение матриц к расчету электрических цепей
- Дуальные цепи
- Метод узловых и контурных уравнений
- Метод эквивалентного генератора
- Теоремы теории цепей
- Теорема обратимости (или взаимности)
Выбор того или иного метода расчета электрической цепи в конечном итоге определяется
целью решаемой задачи. Поэтому анализ линейной цепи не обязательно должен осуществляться
с помощью таких общих методов расчета, как метод контурных токов или узловых
потенциалов. Ниже будут рассмотрены методы, основанные на свойствах линейных
электрических цепей и позволяющие при определенных постановках задач решить
их более экономично.
Метод наложения
Данный метод справедлив только для линейных электрических цепей и является
особенно эффективным, когда требуется вычислить токи для различных значений
ЭДС и токов источников в то время, как сопротивления схемы остаются неизменными.
Данный метод основан на принципе наложения (суперпозиции), который формулируется
следующим образом: ток в k – й ветви линейной электрической цепи равен алгебраической
сумме токов, вызываемых каждым из источников в отдельности.
Аналитически принцип наложения для цепи, содержащей n источников ЭДС и m источников
тока, выражается соотношением
 . |
(1) |
Здесь 
— комплекс входной проводимости
k – й ветви, численно равный отношению тока к ЭДС в этой ветви при равных
нулю ЭДС в остальных ветвях; 
— комплекс взаимной проводимости
k – й и i– й ветвей, численно равный отношению тока в k – й ветви и ЭДС
в i– й ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях.
Входные и взаимные проводимости можно определить экспериментально или аналитически,
используя их указанную смысловую трактовку, при этом 
, что непосредственно вытекает
из свойства взаимности (см. ниже).
Аналогично определяются коэффициенты передачи тока 
, которые в отличие от проводимостей
являются величинами безразмерными.
Доказательство принципа наложения можно осуществить на основе метода контурных
токов.
Если решить систему уравнений, составленных по методу контурных токов, относительно
любого контурного тока, например 
, то получим
 , |
(2) |
где 
— определитель системы уравнений,
составленный по методу контурных токов; 
— алгебраическое дополнение определителя
.
Каждая из ЭДС в (2) представляет собой алгебраическую сумму ЭДС в ветвях i–го
контура. Если теперь все контурные ЭДС в (2) заменить алгебраическими суммами
ЭДС в соответствующих ветвях, то после группировки слагаемых получится выражение
для контурного тока 
в виде алгебраической суммы составляющих
токов, вызванных каждой из ЭДС ветвей в отдельности. Поскольку систему независимых
контуров всегда можно выбрать так, что рассматриваемая h-я ветвь войдет только
в один 
-й контур, т.е. контурный ток 
будет равен действительному току
h-й ветви, то принцип наложения
справедлив для токов 
любых ветвей и, следовательно,
справедливость принципа наложения доказана.
Таким образом, при определении токов ветвей при помощи метода наложения
следует поочередно оставлять в схеме по одному источнику, заменяя остальные
их внутренними сопротивлениями, и рассчитать составляющие искомых токов в этих
схемах. После этого полученные результаты для соответствующих ветвей суммируются
– это и будут искомые токи в ветвях исходной цепи.
В качестве примера использования метода наложения определим ток во второй ветви
схемы на рис. 1,а.
Принимая источники в цепи на рис. 1,а идеальными и учитывая, что у идеального
источника ЭДС внутреннее сопротивление равно нулю, а у идеального источника
тока – бесконечности, в соответствии с методом наложения приходим к расчетным
схемам на рис. 1,б…1,г.
В этих цепях
; 
; 
,
где 
; 
; 
.
Таким образом,
.
В качестве другого примера использования
метода определим взаимные проводимости 
и 
в цепи на рис. 2, если при переводе
ключа в положение 1 токи в первой и второй ветвях соответственно равны 
и 
, а при переводе в положение 2
— 
и 
.
Учитывая, что в структуре пассивного четырехполюсника не содержится источников
энергии, на основании принципа наложения для состояния ключа в положении “1”
можно записать
 ; |
(3) |
 . |
(4) |
При переводе ключа в положение “2” имеем
 ; |
(5) |
 .. |
(6) |
Тогда, вычитая из уравнения (3) соотношение (5), а из (4)-(6), получим
;
,
откуда искомые проводимости
; 
.
Принцип взаимности
Принцип взаимности основан на теореме взаимности, которую сформулируем
без доказательства: для линейной цепи ток 
в k – й ветви, вызванной единственной
в схеме ЭДС 
, находящейся в i – й ветви,
будет равен току 
в i – й ветви, вызванному ЭДС
, численно равной ЭДС 
, находящейся в k – й ветви,
.
Отсюда в частности вытекает указанное выше соотношение 
.
Иными словами, основанный на теореме взаимности принцип взаимности гласит:
если ЭДС 
, действуя в некоторой ветви схемы,
не содержащей других источников, вызывает в другой ветви ток 
(см. рис. 3,а), то принесенная
в эту ветвь ЭДС 
вызовет в первой ветви такой же
ток 
(см. рис. 3,б).
В качестве примера использования данного принципа рассмотрим цепь на рис. 4,а,
в которой требуется определить ток 
, вызываемый источником ЭДС 
.
Перенесение источника ЭДС 
в диагональ моста, где требуется
найти ток, трансформирует исходную схему в цепь с последовательно-параллельным
соединением на рис. 4,б. В этой цепи
 , |
(7) |
где 
.
В соответствии с принципом взаимности ток 
в цепи на рис. 4,а равен току, определяемому соотношением (7)
Линейные соотношения в линейных электрических цепях
При изменении в линейной электрической цепи ЭДС (тока) одного из источников
или сопротивления в какой-то ветви токи в любой паре ветвей m и n будут связаны
между собой соотношением
 , |
(8) |
где А и В – некоторые в общем случае комплексные константы.
Действительно, в соответствии с (1) при изменении ЭДС 
в k – й ветви для тока в m –
й ветви можно записать
 |
(9) |
и для тока в n – й ветви –
 . |
(10) |
Здесь 
и 
— составляющие токов соответственно
в m – й и n – й ветвях, обусловленные всеми остальными источниками, кроме 
.
Умножив левую и правую части (10) на 
, вычтем полученное соотношением
из уравнения (9). В результате получим
 . |
(11) |
Обозначив в (11) 
и 
, приходим к соотношению (8).
Отметим, что в соответствии с законом Ома из уравнения (8) вытекает аналогичное
соотношение для напряжений в линейной цепи.
В качестве примера найдем аналитическую
зависимость между токами 
и 
в схеме с переменным резистором на рис. 5, где
; 
; 
.
Коэффициенты А и В можно рассчитать, рассмотрев любые два режима работы цепи,
соответствующие двум произвольным значениям 
.
Выбрав в качестве этих значений 
и 
, для первого случая ( 
) запишем
.
Таким образом, 
.
При 
(режим короткого замыкания)
,
откуда
.
На основании (8)
.
Таким образом,
.
Принцип компенсации
Принцип компенсации основан на теореме о компенсации, которая гласит: в любой
электрической цепи без изменения токов в ее ветвях сопротивление в произвольной
ветви можно заменить источником с ЭДС, численно равной падению напряжения на
этом сопротивлении и действующей навстречу току в этой ветви.
Для доказательства теоремы выделим из схемы произвольную ветвь с сопротивлением
, по которой протекает ток 
, а всю остальную часть схемы условно
обозначим некоторым активным двухполюсником А (см. рис. 6,а).
При включении в ветвь с 
двух одинаковых и действующих
навстречу друг другу источников ЭДС с 
(рис. 6,б) режим работы цепи не
изменится. Для этой цепи
 . |
(12) |
Равенство (12) позволяет гальванически соединить точки а и c, то есть перейти
к цепи на рис. 6,в. Таким образом, теорема доказана.
В заключение следует отметить, что аналогично для упрощения расчетов любую
ветвь с известным током 
можно заменить источником тока
.
Литература
- Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил,
С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. - Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические
цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных
специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. - Каплянский А.Е. и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е.
Учеб. пособие для электротехнических и энергетических специальностей вузов.
–М.: Высш. шк., 1972. –448 с.
Контрольные вопросы и задачи
- Для каких цепей применим принцип суперпозиции?
- В каких случаях эффективно применение метода наложения?
- Как определяются входные и взаимные проводимости ветвей?
- Докажите теорему взаимности.
- Какими линейными соотношениями связаны токи и напряжения в ветвях линейной
цепи? - Можно ли распространить принцип компенсации на нелинейную электрическую
цепь? - Определить методом наложения ток в первой ветви цепи на рис. 1,а.
- В цепи на рис. 2
. Определить токи в остальных ветвях
схемы, воспользовавшись линейным соотношением, принципом компенсации и методом
наложения.
Ответ: 
, где 
; 
.
. Определить токи в остальных ветвяхОтвет: 
; 
.
Справедливость положения, именуемого теоремой компенсации, вытекает из того, что любая из составных частей падения напряжения, входящая в уравнение второго закона Кирхгофа, может быть перенесена в другую сторону уравнения с обратным знаком, т.е. может рассматриваться в качестве дополнительной ЭДС, направленной навстречу току.
Следовательно, токи в электрической цепи не изменятся, если сопротивление в любом контуре этой цепи заменить ЭДС, равной по величине падению напряжения в данном сопротивлении и имеющей направление, обратное току, протекающему через данное сопротивление.
а)
б)
Рис. 2.5 Иллюстрация теоремы компенсации
Иллюстрацией вышесказанного служит рис. 2.5: уравнение, записанное для схемы рис 2.5а) по второму закону Кирхгофа
;
может быть представлено в виде
. (2.10.)
Такой записи уравнения соответствует схема рис 2.5б), в которой вместо сопротивления Z2 включена ЭДС равная Z2I, направленная противоположно току I. Данная теорема справедлива и для разветвленных электрических цепей.
Теорема об эквивалентном источнике
С помощью теоремы об эквивалентном источнике сложная электрическая схема с произвольным числом источников электрической энергии приводится к схеме с одним источником, благодаря чему расчет электрической цепи упрощается.
Существует два варианта теоремы об эквивалентном источнике: вариант с источником напряжения и вариант с источником тока.
Теорема об эквивалентном источнике напряжения
ток в любой ветви m-n линейной электрической цепи не изменится, если электрическую цепь, к которой приключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником напряжения. ЭДС этого источника должна быть равна напряжению на зажимах разомкнутой ветви m-n, а внутреннее сопротивление источника должно равняться сопротивлению пассивной электрической цепи между зажимами m и n при разомкнутой ветви.
Данная теорема доказывается следующим образом: в ветвь m-n вводятся две равные по величине и противоположно направленные ЭДС Umn, при условии, что Umn равно напряжению между зажимами m-n при разомкнутой ветви.
Теорема об эквивалентном источнике тока
ток в любой ветви m-n линейной электрической цепи не изменится, если электрическую цепь, к которой приключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока. Ток этого источника должна быть равен току, протекающему между зажимами замкнутой ветви m-n, а внутренняя проводимость источника должна равняться проводимости пассивной электрической цепи между зажимами m и n при разомкнутой ветви.
Замена параллельных ветвей, содержащих различные элементы, одной
Рассмотрим участок сложной цепи, содержащий параллельно включенные ветви (см. рис.2.6a).
а) б)
Рисунок 2.6.
Необходимо заменить на ветвь, содержащую Rэ и Eэ, полностью эквивалентную схеме на рисунке 2.6а. В соответствии с первым законом Кирхгофа:
I=I1+I2+I3+I4+I5, а
I1=(E-Uab)/R1=(E1-Uab)g1,
I2=(E2-Uab)g2,
….
In=(En-Uab)gn.
Следовательно,
(2.11.)
Для рисунка 2.6-б:
(2.12)
Так как равенство токов, вычисленных по (2.11) и по (2.12), должно выполняться при любых значениях Uab, то :
, следовательно,
(2.13.)???????????????????
Если в ветви нет э.д.с., то Ek=0. Если э.д.с. имеет направление, обратное изображенному на рисунке, то Ek берется со знаком минус.
Метод узловых потенциалов
В соответствии с законом Ома, если известны потенциалы узлов, то можно вычислить ток, протекающий по ветвям, соединяющим эти узлы. Таким образом, неизвестными могут быть потенциалы узлов, метод расчета электрических цепей, где неизвестными являются узловые потенциалы, называется методом узловых потенциалов.
Число неизвестных потенциалов узлов равно числу узлов минус 1, так как потенциал любого узла можно принять равным нулю. Рассмотрим участок схемы.(рис.2.7.)
Рисунок 2.7
Исходя из изложенного в предыдущем разделе, сумма токов ветвей между узлами 1, 2 равна:
Сумма токов ветвей между узлами 3 и 1:
Сумма токов ветвей между узлами 4 и 1:
Т.к. U12=1—2, U13=1—3, U14=1—4, то, подставляя U12 в полученные выражения, имеем:
Просуммируем полученные уравнения, т.к. согласно первого закона Кирхгофа сумма токов в узле равна нулю, то:
Обозначим:
— собственная проводимость узла;
взаимная проводимость между узлами 1 и 2;
— взаимная проводимость между узлами 1 и 3;
— взаимная проводимость между узлами 1 и 4;
— узловой ток узла 1.
В выражении для узлового тока э.д.с. берется со знаком “+”, если она направлена к узлу, и со знаком “-”, если направлена от узла.
Таким образом, уравнение узловых потенциалов для узла 1 принимает вид:
?G11+2G12+3G13+4G14=I11.
Очевидно, если в схеме n узлов, то можно по указанному выше правилу составить n-1 уравнений:
?G11+2G12+3G13+…+n-1G1(n-1)=I11;
?G21+2G22+3G23+…+n-1G2(n-1)=I22;
?G31+2G32+3G33+…+n-1G3(n-1)=I33;
….
?G(n-1)1+2G(n-1)2+3G(n-1)3+…+n-1G(n-1)(n-1)=I(n-1)(n-1).
В этих уравнениях :
G12,G13… G1(n-1) — взаимная проводимость между 1 узлом и остальными (n-1) узлами;
G21 ,G23… G2(n-1) — взаимная проводимость между 2 узлом и остальными (n-1) узлами;
G31,G32… G3(n-1) — взаимная проводимость между 3 узлом и остальными (n-1) узлами;
G11,G22… G(n-1)(n-1) — собственная проводимость узлов 1, 2,…, (n-1) ;
I11, I22, I33,….,I(n-1)(n-1) — узловой ток, вычисленный по изложенному выше правилу.
Очевидно, если между узлами имеется источник тока, то его величина прибавляется к узловому току, если он направлен к узлу и вычитается, если он направлен от узла.