Аддитивное доказательство теоремы пифагора

О теореме Пифагора и способах ее
доказательства

Г. Глейзер,
академик РАО, Москва

О теореме
Пифагора и способах ее доказательства

Статья опубликована при поддержке компании «Мастер перевода». Хотите качественный и быстрый перевод? Обратитесь в бюро нотариальных переводов «Мастер перевода». Качество услуг гарантировано постоянными клиентами бюро, среди которых множество именитых российских компаний. Посетите официальный сайт компании www.masterperevoda.ru и ознакомьтесь подробнее с предоставляемыми им услугами.

Площадь квадрата,
построенного на гипотенузе прямоугольного
треугольника, равна сумме площадей квадратов,
построенных на его катетах…

Это одна из самых известных
геометрических теорем древности, называемая
теоремой Пифагора. Ее и сейчас знают практически
все, кто когда-либо изучал планиметрию. Мне
кажется, что если мы хотим дать знать внеземным
цивилизациям о существовании разумной жизни на
Земле, то следует посылать в космос изображение
Пифагоровой фигуры. Думаю, что если эту
информацию смогут принять мыслящие существа, то
они без сложной дешифровки сигнала поймут, что на
Земле существует достаточно развитая
цивилизация.

Знаменитый греческий философ
и математик Пифагор Самосский, именем которого
названа теорема, жил около 2,5 тысяч лет тому
назад. Дошедшие до нас биографические сведения о
Пифагоре отрывочны и далеко не достоверны. С его
именем связано много легенд. Достоверно
известно, что Пифагор много путешествовал по
странам Востока, посещал Египет и Вавилон. В
одной из греческих колоний Южной Италии им была
основана знаменитая «Пифагорова школа»,
сыгравшая важную роль в научной и политической
жизни древней Греции. Именно Пифагору
приписывают доказательство известной
геометрической теоремы. На основе преданий,
распространенных известными математиками
(Прокл, Плутарх и др.), длительное время считали,
что до Пифагора эта теорема не была известна,
отсюда и название – теорема Пифагора.

Не подлежит, однако, сомнению,
что эту теорему знали за много лет до Пифагора.
Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали
о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5
является прямоугольным, и пользовались этим
свойством (т. е. теоремой, обратной теореме
Пифагора) для построения прямых углов при
планировке земельных участков и сооружений
зданий. Да и поныне сельские строители и
плотники, закладывая фундамент избы, изготовляя
ее детали, вычерчивают этот треугольник, чтобы
получить прямой угол. Это же самое проделывалось
тысячи лет назад при строительстве великолепных
храмов в Египте, Вавилоне, Китае, вероятно, и в
Мексике. В самом древнем дошедшем до нас
китайском математико-астрономическом сочинении
«Чжоу-би», написанном примерно за 600 лет до
Пифагора, среди других предложений, относящихся
к прямоугольному треугольнику, содержится и
теорема Пифагора. Еще раньше эта теорема была
известна индусам. Таким образом, Пифагор не
открыл это свойство прямоугольного
треугольника, он, вероятно, первым сумел его
обобщить и доказать, перевести тем самым из
области практики в область науки. Мы не знаем, как
он это сделал. Некоторыми историками математики
предполагается, что все же доказательство
Пифагора было не принципиальным, а лишь
подтверждением, проверкой этого свойства на ряде
частных видов треугольников, начиная с
равнобедренного прямоугольного треугольника,
для которого оно очевидно следует из рис. 1.

С глубокой древности математики
находят все новые и новые доказательства теоремы
Пифагора, все новые и новые замыслы ее
доказательств. Таких доказательств – более или
менее строгих, более или менее наглядных –
известно более полутора сотен, но стремление к
преумножению их числа сохранилось. Думаю, что
самостоятельное «открытие» доказательств
теоремы Пифагора будет полезно и современным
школьникам.

Рассмотрим некоторые примеры
доказательств, которые могут подсказать
направления таких поисков.

Доказательства, основанные
на использовании понятия равновеликости фигур.

При этом можно рассмотреть
доказательства, в которых квадрат, построенный
на гипотенузе данного прямоугольного
треугольника «складывается» из таких же фигур,
что и квадраты, построенные на катетах. Можно
рассматривать и такие доказательства, в которых
применяется перестановка слагаемых фигур и
учитывается ряд новых идей.

• На рис. 2 изображено два равных
  квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a +
  b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие
  из квадратов и прямоугольных треугольников.
  Ясно, что если от площади квадрата отнять
  учетверенную площадь прямоугольного
  треугольника с катетами a, b, то останутся равные
  площади, т. е. c² = a² + b². Впрочем,
  древние индусы, которым принадлежит это
  рассуждение, обычно не записывали его, а
  сопровождали чертеж лишь одним словом: «смотри!»
  Вполне возможно, что такое же доказательство
  предложил и Пифагор.

 

Аддитивные доказательства.

Эти доказательства основаны
на разложении квадратов, построенных на катетах,
на фигуры, из которых можно сложить квадрат,
построенный на гипотенузе.

• Доказательство Энштейна (рис.
  3) основано на разложении квадрата, построенного
  на гипотенузе, на 8 треугольников.

Здесь: ABC – прямоугольный
треугольник с прямым углом C; CОMN; CK^MN; PO||MN; EF||MN.

Самостоятельно докажите
попарное равенство треугольников, полученных
при разбиении квадратов, построенных на катетах
и гипотенузе.

• На рис. 4 приведено
  доказательство теоремы Пифагора с помощью
  разбиения ан-Найризия – средневекового
  багдадского комментатора «Начал» Евклида. В этом
  разбиении квадрат, построенный на гипотенузе,
  разбит на 3 треугольника и 2 четырехугольника.
  Здесь: ABC – прямоугольный треугольник с прямым
  углом C; DE = BF.

Докажите теорему с помощью
этого разбиения.

• На основе доказательства
  ан-Найризия выполнено и другое разложение
  квадратов на попарно равные фигуры (рис. 5, здесь
  ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C).

• Еще одно доказательство
  методом разложения квадратов на равные части,
  называемое «колесом с лопастями», приведено на
  рис. 6. Здесь: ABC– прямоугольный треугольник с
  прямым углом C; O – центр квадрата, построенного
  на большом катете; пунктирные прямые, проходящие
  через точку O, перпендикулярны или параллельны
  гипотенузе.

• Это разложение квадратов
  интересно тем, что его попарно равные
  четырехугольники могут быть отображены друг на
  друга параллельным переносом. Может быть
  предложено много и других доказательств теоремы
  Пифагора с помощью разложения квадратов на
  фигуры.

Доказательства методом
достроения.

Сущность этого метода состоит
в том, что к квадратам, построенным на катетах, и к
квадрату, построенному на гипотенузе,
присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы
получились равновеликие фигуры.

• На рис. 7 изображена обычная
  Пифагорова фигура – прямоугольный треугольник
  ABC с построенными на его сторонах квадратами. К этой фигуре присоединены
  треугольники 1 и 2, равные исходному
  прямоугольному треугольнику.

Справедливость теоремы
Пифагора вытекает из равновеликости
шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ. Здесь CОEP, прямая EP делит
шестиугольник AEDFPB на два равновеликих
четырехугольника, прямая CM делит шестиугольник
ACBNMQ на два равновеликих четырехугольника;
поворот плоскости на 90° вокруг центра A
отображает четырехугольник AEPB на
четырехугольник ACMQ.

• На рис. 8 Пифагорова фигура
  достроена до прямоугольника, стороны которого параллельны
  соответствующим сторонам квадратов, построенных
  на катетах. Разобьем этот прямоугольник на
  треугольники и прямоугольники. Из полученного
  прямоугольника вначале отнимем все
  многоугольники 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, остался квадрат,
  построенный на гипотенузе. Затем из того же
  прямоугольника отнимем прямоугольники 5, 6, 7 и
  заштрихованные прямоугольники, получим
  квадраты, построенные на катетах.

Теперь докажем, что фигуры,
вычитаемые в первом случае, равновелики фигурам,
вычитаемым во втором случае.

• Рис. 9 иллюстрирует
  доказательство, приведенное Нассир-эд-Дином (1594
  г.). Здесь: PCL – прямая;

KLOA = ACPF = ACED = a²;

LGBO = CBMP = CBNQ = b²;

AKGB = AKLO + LGBO = c²;
 

отсюда  c² = a²
+ b².

• Рис. 10 иллюстрирует
  доказательство, приведенное Гофманом (1821 г.). Здесь Пифагорова фигура
  построена так, что квадраты лежат по одну сторону
  от прямой AB. Здесь:

OCLP = ACLF = ACED = b²;

CBML = CBNQ = a²;

OBMP = ABMF = c²;

OBMP = OCLP + CBML;

отсюда

c² = a² + b².

• Рис. 11 иллюстрирует еще одно
  более оригинальное доказательство, предложенное
  Гофманом.
  Здесь: треугольник ABC с прямым углом C; отрезок BF
  перпендикулярен CB и равен ему, отрезок BE
  перпендикулярен AB и равен ему, отрезок AD
  перпендикулярен AC и равен ему; точки F, C, D
  принадлежат одной прямой; четырехугольники ADFB и
  ACBE равновелики, так как ABF=ECB; треугольники ADF и ACE
  равновелики; отнимем от обоих равновеликих
  четырехугольников общий для них треугольник ABC,
  получим

Алгебраический метод
доказательства.

• Рис. 12 иллюстрирует
  доказательство великого индийского математика
  Бхаскари (знаменитого автора Лилавати, XII в.). Рисунок сопровождало лишь
  одно слово: СМОТРИ! Среди доказательств теоремы
  Пифагора алгебраическим методом первое место
  (возможно, самое древнее) занимает
  доказательство, использующее подобие.

• Приведем в современном
  изложении одно из таких доказательств,
  принадлежащих Пифагору.

На рис. 13 ABC – прямоугольный, C –
прямой угол, CM^AB, b₁ – проекция катета b на
гипотенузу, a₁ – проекция катета a на
гипотенузу, h – высота треугольника, проведенная
к гипотенузе.

Из того, что DABC подобен DACM следует

b² = cb₁; (1)

из того, что DABC подобен DBCM следует

a² = ca₁. (2)

Складывая почленно равенства
(1) и (2), получим a² + b² = cb₁ + ca₁
= c(b₁ + a₁) = c².

Если Пифагор действительно
предложил такое доказательство, то он был знаком
и с целым рядом важных геометрических теорем,
которые современные историки математики обычно
приписывают Евклиду.

откуда следует, что c²=a²+b².

• Доказательство Гарфилда.
  На рисунке 15 три прямоугольных
  треугольника составляют трапецию. Поэтому
  площадь этой фигуры можно находить по формуле
  площади прямоугольной трапеции, либо как сумму
  площадей трех треугольников. В первом случае эта
  площадь равна

во втором 

Приравнивая эти выражения,
получаем теорему Пифагора.

• Существует много
  доказательств теоремы Пифагора,  проведенных
  как каждым из описанных методов, так и с помощью
  сочетания различных методов. Завершая обзор
  примеров различных доказательств, приведем еще
  рисунки, иллюстрирующие восемь способов, на
  которые имеются ссылки в «Началах» Евклида
  (рис. 16 – 23). На этих рисунках Пифагорова фигура
  изображена сплошной линией, а дополнительные
  построения – пунктирной.

Рекомендуем учителям
предложить учащимся по этим рисункам
самостоятельно доказать теорему Пифагора.

• Как уже было сказано выше,
  древние египтяне более 2000 лет тому назад
  практически пользовались свойствами
  треугольника со сторонами 3,
  4, 5 для построения прямого угла, т. е.
  фактически применяли теорему, обратную теореме
  Пифагора. Приведем доказательство этой теоремы,
  основанное на признаке равенства треугольников
  (т. е. такое, которое можно очень рано ввести в
  школе). Итак, пусть стороны треугольника ABC
  (рис. 24) связаны соотношением

c² = a² + b².
(3)

• Докажем, что этот треугольник
  прямоугольный.
  Построим прямоугольный
  треугольник A₁B₁C₁ по двум
  катетам, длины которых равны длинам a и b катетов
  данного треугольника (рис. 25). Пусть длина
  гипотенузы построенного треугольника равна c₁.
  Так как построенный треугольник прямоугольный,
  то по теореме Пифагора имеем:  c₁² = a²
  + b². (4)

Сравнивая соотношения (3) и (4),
получаем, что

c₁² = c²,
или c₁ = c.

Таким образом, треугольники –
данный и построенный – равны, так как имеют по
три соответственно равные стороны. Угол C₁
прямой, поэтому и угол C данного треугольника
тоже прямой.

• В заключение отметим, что о
  теореме Пифагора, ее истории и многих других
  связанных с ней геометрических фактах имеется
  обширная литература. Назову лишь некоторые
  источники:

1. Ван-дер-Варден Б.Л.
Пробуждающаяся наука. Математика Древнего
Египта, Вавилона и Греции. М., 1959.
2. Глейзер Г.И. История математики в школе. М., 1982.
3. Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., 1961.
4. Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.
5. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М., 1990.

4.1. Древнекитайское доказательство [4]

На древнекитайском
чертеже четыре равных прямоугольных
треугольника с катетами a,
b
и гипотенузой с
уложены так, что их внешний контур
образует квадрат со стороной a+b,
а внутренний – квадрат со стороной с,
построенный на гипотенузе

a²
+ 2ab +b²
= c²
+ 2ab

a²
+b²
= c²

4.2. Доказательство Дж. Гардфилда (1882 г.) [4]

Расположим
два равных прямоугольных треугольника
так, чтобы катет одного из них был
продолжением другого.

Площадь
рассматриваемой трапеции находится
как произведение полусуммы оснований
на высоту

S
=

C
другой стороны, площадь трапеции равна
сумме площадей полученных треугольников:

S
=

Приравнивая данные
выражения, получаем:

или с²
= a²
+ b²

4.3. Старейшее доказательство (содержится в одном из произведений Бхаскары). [4]

Пусть АВСD
квадрат, сторона которого равна гипотенузе
прямоугольного треугольника АВЕ (АВ =
с, ВЕ = а,

АЕ = b);

Пусть СКВЕ
= а, DLCK,
AMDL

ΔABE =
∆BCK = ∆CDL = ∆AMD,

значит
KL = LM = ME = EK = a-b.

.

4.4. Доказательство простейшее [21]

Это доказательство получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, — по два. Теорема доказана.

4.5. Доказательство древних индусов [2]

а)
б)

Квадрат со стороной
(a+b),
можно разбить на части либо как на
рисунке а), либо как на рисунке b).
Ясно, что части 1,2,3,4
на обоих рисунках одинаковы. А если от
равных (площадей) отнять равные, то и
останутся равные, т.е. с²
= а²
+ b².

Впрочем,
древние индусы, которым принадлежит
это рассуждение, обычно не записывали
его, а сопровождали лишь одним словом:

Смотри!

4.6. Доказательство Евклида [1, 20]

В течение двух
тысячелетий наиболее распространенным
было доказательство теоремы Пифагора,
придуманное Евклидом. Оно помещено в
его знаменитой книге «Начала».

Евклид опускал
высоту BН
из вершины прямого угла на гипотенузу
и доказывал, что её продолжение делит
достроенный на гипотенузе квадрат на
два прямоугольника, площади которых
равны площадям соответствующих квадратов,
построенных на катетах.

Чертёж, применяемый
при доказательстве этой теоремы, в шутку
называют «пифагоровы штаны». В течение
долгого времени он считался одним из
символов математической науки.

Доказательство
теоремы Пифагора учащиеся средних веков
считали очень трудным и называли его
Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство
«убогих», так как некоторые «убогие»
ученики, не имевшие серьезной математической
подготовки, бежали от геометрии. Слабые
ученики, заучившие теоремы наизусть,
без понимания, и прозванные поэтому
«ослами», были не в состоянии
преодолеть теорему Пифагора, служившую
для них вроде непреодолимого моста.
Из-за чертежей, сопровождающих теорему
Пифагора, учащиеся называли ее также
«ветряной мельницей», составляли
стихи вроде «Пифагоровы штаны на все
стороны равны», рисовали карикатуры.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Разные способы доказательства теоремы Пифагора: примеры, описание и отзывы

В одном можно быть уверенным на все сто процентов, что на вопрос, чему равен квадрат гипотенузы, любой взрослый человек смело ответит: «Сумме квадратов катетов».

Эта теорема прочно засела в сознании каждого образованного человека, но достаточно лишь попросить кого-либо ее доказать, и тут могут возникнуть сложности.

Поэтому давайте вспомним и рассмотрим разные способы доказательства теоремы Пифагора.

Краткий обзор биографии

Теорема Пифагора знакома практически каждому, но почему-то биография человека, который произвел ее на свет, не так популярна. Это поправимо. Поэтому прежде чем изучить разные способы доказательства теоремы Пифагора, нужно кратко познакомиться с его личностью.

Пифагор – философ, математик, мыслитель родом из Древней Греции. Сегодня очень сложно отличить его биографию от легенд, которые сложились в память об этом великом человеке. Но как следует из трудов его последователей, Пифагор Самосский родился на острове Самос. Его отец был обычный камнерез, а вот мать происходила из знатного рода.

Судя по легенде, появление на свет Пифагора предсказала женщина по имени Пифия, в чью честь и назвали мальчика. По ее предсказанию рожденный мальчик должен был принести много пользы и добра человечеству. Что вообще-то он и сделал.

Вероятно, именно в Египте Пифагор вдохновился величеством и красотой пирамид и создал свою великую теорию. Это может шокировать читателей, но современные историки считают, что Пифагор не доказывал свою теорию. А лишь передал свое знание последователям, которые позже и завершили все необходимые математические вычисления.

Как бы там ни было, сегодня известна не одна методика доказательства данной теоремы, а сразу несколько. Сегодня остается лишь гадать, как именно древние греки производили свои вычисления, поэтому здесь рассмотрим разные способы доказательства теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора

Прежде чем начинать какие-либо вычисления, нужно выяснить, какую теорию предстоит доказать. Теорема Пифагора звучит так: «В треугольнике, у которого один из углов равен 90о, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы».

Всего существует 15 разных способов доказательства теоремы Пифагора. Это достаточно большая цифра, поэтому уделим внимание самым популярным из них.

Способ первый

Сначала обозначим, что нам дано. Эти данные будут распространяться и на другие способы доказательств теоремы Пифагора, поэтому стоит сразу запомнить все имеющееся обозначения.

Допустим, дан прямоугольный треугольник, с катетами а, в и гипотенузой, равной с. Первый способ доказательства основывается на том, что из прямоугольного треугольника нужно дорисовать квадрат.

Чтобы это сделать, нужно к катету длиной а дорисовать отрезок равный катету в, и наоборот. Так должно получиться две равные стороны квадрата. Остается только нарисовать две параллельные прямые, и квадрат готов.

Внутри получившейся фигуры нужно начертить еще один квадрат со стороной равной гипотенузе исходного треугольника. Для этого от вершин ас и св нужно нарисовать два параллельных отрезка равных с. Таким образом, получиться три стороны квадрата, одна из которых и есть гипотенуза исходного прямоугольного треугольники. Остается лишь дочертить четвертый отрезок.

На основании получившегося рисунка можно сделать вывод, что площадь внешнего квадрата равна (а+в)2. Если заглянуть внутрь фигуры, можно увидеть, что помимо внутреннего квадрата в ней имеется четыре прямоугольных треугольника. Площадь каждого равна 0,5ав.

Поэтому площадь равна: 4*0,5ав+с2=2ав+с2

Отсюда (а+в)2=2ав+с2

И, следовательно, с2=а2+в2

Теорема доказана.

Способ два: подобные треугольники

Данная формула доказательства теоремы Пифагора была выведена на основании утверждения из раздела геометрии о подобных треугольниках. Оно гласит, что катет прямоугольного треугольника – среднее пропорциональное для его гипотенузы и отрезка гипотенузы, исходящего из вершины угла 90о.

Исходные данные остаются те же, поэтому начнем сразу с доказательства. Проведем перпендикулярный стороне АВ отрезок СД. Основываясь на вышеописанном утверждении катеты треугольников равны:

АС=√АВ*АД, СВ=√АВ*ДВ.

Чтобы ответить на вопрос, как доказать теорему Пифагора, доказательство нужно проложить возведением в квадрат обоих неравенств.

АС2=АВ*АД и СВ2=АВ*ДВ

Теперь нужно сложить получившиеся неравенства.

АС2+ СВ2=АВ*(АД*ДВ), где АД+ДВ=АВ

Получается, что:

АС2+ СВ2=АВ*АВ

И, следовательно:

Доказательство теоремы Пифагора и различные способы ее решения нуждаются в разностороннем подходе к данной задаче. Однако этот вариант является одним из простейших.

Еще одна методика расчетов

Описание разных способов доказательства теоремы Пифагора могут ни о чем не сказать, до тех самых пор пока самостоятельно не приступишь к практике. Многие методики предусматривают не только математические расчеты, но и построение из исходного треугольника новых фигур.

В данном случае необходимо от катета ВС достроить еще один прямоугольный треугольник ВСД. Таким образом, теперь имеется два треугольника с общим катетом ВС.

Зная, что площади подобных фигур имеют соотношение как квадраты их сходных линейных размеров, то:

Sавс * с2- Sавд*в2 =Sавд*а2- Sвсд*а2

Sавс*(с2-в2)=а2*(Sавд-Sвсд)

с2-в2=а2

с2=а2+в2

Поскольку из разных способов доказательств теоремы Пифагора для 8 класса этот вариант едва ли подойдет, можно воспользоваться следующей методикой.

Самый простой способ доказать теорему Пифагора. Отзывы

Как полагают историки, этот способ был впервые использован для доказательства теоремы еще в древней Греции. Он является самым простым, так как не требует абсолютно никаких расчетов. Если правильно начертить рисунок, то доказательство утверждения, что а2+в2=с2 , будет видно наглядно.

Условия для данного способа будет немного отличаться от предыдущего. Чтобы доказать теорему, предположим, что прямоугольный треугольник АВС – равнобедренный.

Гипотенузу АС принимаем за сторону квадрата и дочерчиваем три его стороны. Кроме этого необходимо провести две диагональные прямые в получившемся квадрате. Таким образом, чтобы внутри него получилось четыре равнобедренных треугольника.

К катетам АВ и СВ так же нужно дочертить по квадрату и провести по одной диагональной прямой в каждом из них. Первую прямую чертим из вершины А, вторую – из С.

Теперь нужно внимательно всмотреться в получившийся рисунок. Поскольку на гипотенузе АС лежит четыре треугольника, равные исходному, а на катетах по два, это говорит о правдивости данной теоремы.

Кстати, благодаря данной методике доказательства теоремы Пифагора и появилась на свет знаменитая фраза: «Пифагоровы штаны во все стороны равны».

Доказательство Дж. Гарфилда

Джеймс Гарфилд – двадцатый президент Соединенных Штатов Америки. Кроме того, что он оставил свой след в истории как правитель США, он был еще и одаренным самоучкой.

В начале своей карьеры он был обычным преподавателем в народной школе, но вскоре стал директором одного из высших учебных заведений. Стремление к саморазвитию и позволило ему предложить новую теорию доказательства теоремы Пифагора. Теорема и пример ее решения выглядит следующим образом.

Сначала нужно начертить на листе бумаги два прямоугольных треугольника таким образом, чтобы катет одного из них был продолжением второго. Вершины этих треугольников нужно соединить, чтобы в конечном итоге получилась трапеция.

S=а+в/2 * (а+в)

Если рассмотреть получившуюся трапецию, как фигуру, состоящую из трех треугольников, то ее площадь можно найти так:

S=ав/2 *2 + с2/2

Теперь необходимо уравнять два исходных выражения

2ав/2 + с/2=(а+в)2/2

с2=а2+в2

О теореме Пифагора и способах ее доказательства можно написать не один том учебного пособия. Но есть ли в нем смысл, когда эти знания нельзя применить на практике?

Практическое применение теоремы Пифагора

К сожалению, в современных школьных программах предусмотрено использование данной теоремы только в геометрических задачах. Выпускники скоро покинут школьные стены, так и не узнав, а как они могут применить свои знания и умения на практике.

На самом же деле использовать теорему Пифагора в своей повседневной жизни может каждый. Причем не только в профессиональной деятельности, но и в обычных домашних делах. Рассмотрим несколько случаев, когда теорема Пифагора и способы ее доказательства могут оказаться крайне необходимыми.

Связь теоремы и астрономии

Казалось бы, как могут быть связаны звезды и треугольники на бумаге. На самом же деле астрономия – это научная сфера, в которой широко используется теорема Пифагора.

Например, рассмотрим движение светового луча в космосе. Известно, что свет движется в обе стороны с одинаковой скоростью. Траекторию АВ, которой движется луч света назовем l. А половину времени, которое необходимо свету, чтобы попасть из точки А в точку Б, назовем t. И скорость луча – c. Получается, что: c*t=l

Если посмотреть на этот самый луч из другой плоскости, например, из космического лайнера, который движется со скоростью v, то при таком наблюдении тел их скорость изменится. При этом даже неподвижные элементы станут двигаться со скоростью v в обратном направлении.

Допустим, комический лайнер плывет вправо. Тогда точки А и В, между которыми мечется луч, станут двигаться влево. Причем, когда луч движется от точки А в точку В, точка А успевает переместиться и, соответственно, свет уже прибудет в новую точку С. Чтобы найти половину расстояния, на которое сместилась точка А, нужно скорость лайнера умножить на половину времени путешествия луча (t’).

d= t’*v

А чтобы найти, какое расстояние за это время смог пройти луч света, нужно обозначить половину пути новой буковой s и получить следующее выражение:

s=c* t’

Если представить, что точки света С и В, а также космический лайнер – это вершины равнобедренного треугольника, то отрезок от точки А до лайнера разделит его на два прямоугольных треугольника. Поэтому благодаря теореме Пифагора можно найти расстояние, которое смог пройти луч света.

s2 =l2 + d2

Этот пример, конечно, не самый удачный, так как только единицам может посчастливиться опробовать его на практике. Поэтому рассмотрим более приземленные варианты применения этой теоремы.

Радиус передачи мобильного сигнала

Современную жизнь уже невозможно представить без существования смартфонов. Но много ли было бы от них прока, если бы они не могли соединять абонентов посредством мобильной связи?!

Качество мобильной связи напрямую зависит от того, на какой высоте находиться антенна мобильного оператора. Для того чтобы вычислить, каком расстоянии от мобильной вышки телефон может принимать сигнал, можно применить теорему Пифагора.

Допустим, нужно найти приблизительную высоту стационарной вышки, чтобы она могла распространять сигнал в радиусе 200 километров.

АВ (высота вышки) = х;

ВС (радиус передачи сигнала) = 200 км;

ОС (радиус земного шара) = 6380 км;

Отсюда

ОВ=ОА+АВОВ=r+х

Применив теорему Пифагора, выясним, что минимальная высота вышки должна составить 2,3 километра.

Теорема Пифагора в быту

Как ни странно, теорема Пифагора может оказаться полезной даже в бытовых делах, таких как определение высоты шкафа-купе, например. На первый взгляд, нет необходимости использовать такие сложные вычисления, ведь можно просто снять мерки с помощью рулетки. Но многие удивляются, почему в процессе сборки возникают определенные проблемы, если все мерки были сняты более чем точно.

Дело в том, что шкаф-купе собирается в горизонтальном положении и только потом поднимается и устанавливается к стене. Поэтому боковина шкафа в процессе подъема конструкции должна свободно проходить и по высоте, и по диагонали помещения.

Предположим, имеется шкаф-купе глубиной 800 мм. Расстояние от пола до потолка – 2600 мм. Опытный мебельщик скажет, что высота шкафа должна быть на 126 мм меньше, чем высота помещения. Но почему именно на 126 мм? Рассмотрим на примере.

При идеальных габаритах шкафа проверим действие теоремы Пифагора:

АС=√АВ2+√ВС2

АС=√24742+8002=2600 мм – все сходится.

Допустим, высота шкафа равна не 2474 мм, а 2505 мм. Тогда:

АС=√25052+√8002=2629 мм.

Пожалуй, рассмотрев разные способы доказательства теоремы Пифагора разными учеными, можно сделать вывод, что она более чем правдива. Теперь можно использовать полученную информацию в своей повседневной жизни и быть полностью уверенным, что все расчеты будут не только полезны, но и верны.

Источник: https://FB.ru/article/321345/raznyie-sposobyi-dokazatelstva-teoremyi-pifagora-primeryi-opisanie-i-otzyivyi

О теореме пифагора и способах ее доказательства

Г. Глейзер,
академик РАО, Москва

при поддержке компании «Мастер перевода». Хотите качественный и быстрый перевод? Обратитесь в бюро нотариальных переводов «Мастер перевода». Качество услуг гарантировано постоянными клиентами бюро, среди которых множество именитых российских компаний. Посетите официальный сайт компании www.masterperevoda.ru и ознакомьтесь подробнее с предоставляемыми им услугами.

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах…

Это одна из самых известных геометрических теорем древности, называемая теоремой Пифагора. Ее и сейчас знают практически все, кто когда-либо изучал планиметрию.

Мне кажется, что если мы хотим дать знать внеземным цивилизациям о существовании разумной жизни на Земле, то следует посылать в космос изображение Пифагоровой фигуры.

Думаю, что если эту информацию смогут принять мыслящие существа, то они без сложной дешифровки сигнала поймут, что на Земле существует достаточно развитая цивилизация.

Знаменитый греческий философ и математик Пифагор Самосский, именем которого названа теорема, жил около 2,5 тысяч лет тому назад. Дошедшие до нас биографические сведения о Пифагоре отрывочны и далеко не достоверны. С его именем связано много легенд. Достоверно известно, что Пифагор много путешествовал по странам Востока, посещал Египет и Вавилон.

В одной из греческих колоний Южной Италии им была основана знаменитая «Пифагорова школа», сыгравшая важную роль в научной и политической жизни древней Греции. Именно Пифагору приписывают доказательство известной геометрической теоремы. На основе преданий, распространенных известными математиками (Прокл, Плутарх и др.

), длительное время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна, отсюда и название – теорема Пифагора.

Не подлежит, однако, сомнению, что эту теорему знали за много лет до Пифагора. Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством (т. е. теоремой, обратной теореме Пифагора) для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий.

Да и поныне сельские строители и плотники, закладывая фундамент избы, изготовляя ее детали, вычерчивают этот треугольник, чтобы получить прямой угол. Это же самое проделывалось тысячи лет назад при строительстве великолепных храмов в Египте, Вавилоне, Китае, вероятно, и в Мексике.

В самом древнем дошедшем до нас китайском математико-астрономическом сочинении «Чжоу-би», написанном примерно за 600 лет до Пифагора, среди других предложений, относящихся к прямоугольному треугольнику, содержится и теорема Пифагора. Еще раньше эта теорема была известна индусам.

Некоторыми историками математики предполагается, что все же доказательство Пифагора было не принципиальным, а лишь подтверждением, проверкой этого свойства на ряде частных видов треугольников, начиная с равнобедренного прямоугольного треугольника, для которого оно очевидно следует из рис. 1.

С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора, все новые и новые замыслы ее доказательств.

Таких доказательств – более или менее строгих, более или менее наглядных – известно более полутора сотен, но стремление к преумножению их числа сохранилось.

Думаю, что самостоятельное «открытие» доказательств теоремы Пифагора будет полезно и современным школьникам.

Рассмотрим некоторые примеры доказательств, которые могут подсказать направления таких поисков.

Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур

При этом можно рассмотреть доказательства, в которых квадрат, построенный на гипотенузе данного прямоугольного треугольника «складывается» из таких же фигур, что и квадраты, построенные на катетах.

Можно рассматривать и такие доказательства, в которых применяется перестановка слагаемых фигур и учитывается ряд новых идей.

• На рис. 2 изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b.

  Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади, т. е. c2 = a2 + b2.

  Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «смотри!» Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и Пифагор.

Аддитивные доказательства

Эти доказательства основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе.

• Доказательство Энштейна (рис. 3) основано на разложении квадрата, построенного на гипотенузе, на 8 треугольников.

Здесь: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C; CОMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Самостоятельно докажите попарное равенство треугольников, полученных при разбиении квадратов, построенных на катетах и гипотенузе.

• На рис. 4 приведено доказательство теоремы Пифагора с помощью разбиения ан-Найризия – средневекового багдадского комментатора «Начал» Евклида. В этом разбиении квадрат, построенный на гипотенузе, разбит на 3 треугольника и 2 четырехугольника. Здесь: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C; DE = BF.

Докажите теорему с помощью этого разбиения.

• На основе доказательства ан-Найризия выполнено и другое разложение квадратов на попарно равные фигуры (рис. 5, здесь ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C).

• Еще одно доказательство методом разложения квадратов на равные части, называемое «колесом с лопастями», приведено на рис. 6. Здесь: ABC– прямоугольный треугольник с прямым углом C; O – центр квадрата, построенного на большом катете; пунктирные прямые, проходящие через точку O, перпендикулярны или параллельны гипотенузе.

• Это разложение квадратов интересно тем, что его попарно равные четырехугольники могут быть отображены друг на друга параллельным переносом. Может быть предложено много и других доказательств теоремы Пифагора с помощью разложения квадратов на фигуры.

Доказательства методом достроения.

Сущность этого метода состоит в том, что к квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились равновеликие фигуры.

• На рис. 7 изображена обычная Пифагорова фигура – прямоугольный треугольник ABC с построенными на его сторонах квадратами. К этой фигуре присоединены треугольники 1 и 2, равные исходному прямоугольному треугольнику.

Справедливость теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ. Здесь CОEP, прямая EP делит шестиугольник AEDFPB на два равновеликих четырехугольника, прямая CM делит шестиугольник ACBNMQ на два равновеликих четырехугольника; поворот плоскости на 90° вокруг центра A отображает четырехугольник AEPB на четырехугольник ACMQ.

• На рис. 8 Пифагорова фигура достроена до прямоугольника, стороны которого параллельны соответствующим сторонам квадратов, построенных на катетах. Разобьем этот прямоугольник на треугольники и прямоугольники. Из полученного прямоугольника вначале отнимем все многоугольники 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, остался квадрат, построенный на гипотенузе. Затем из того же прямоугольника отнимем прямоугольники 5, 6, 7 и заштрихованные прямоугольники, получим квадраты, построенные на катетах.

Теперь докажем, что фигуры, вычитаемые в первом случае, равновелики фигурам, вычитаемым во втором случае.

• Рис. 9 иллюстрирует доказательство, приведенное Нассир-эд-Дином (1594 г.). Здесь: PCL – прямая;

KLOA = ACPF = ACED = a2;

LGBO = CBMP = CBNQ = b2;

AKGB = AKLO + LGBO = c2;  

отсюда  c2 = a2 + b2.

• Рис. 10 иллюстрирует доказательство, приведенное Гофманом (1821 г.). Здесь Пифагорова фигура построена так, что квадраты лежат по одну сторону от прямой AB. Здесь:

OCLP = ACLF = ACED = b2;

CBML = CBNQ = a2;

OBMP = ABMF = c2;

OBMP = OCLP + CBML;

отсюда

c2 = a2 + b2.

• Рис. 11 иллюстрирует еще одно более оригинальное доказательство, предложенное Гофманом.
  Здесь: треугольник ABC с прямым углом C; отрезок BF перпендикулярен CB и равен ему, отрезок BE перпендикулярен AB и равен ему, отрезок AD перпендикулярен AC и равен ему; точки F, C, D принадлежат одной прямой; четырехугольники AD и ACBE равновелики, так как ABF=ECB; треугольники ADF и ACE равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них треугольник ABC, получим

Алгебраический метод доказательства

• Рис. 12 иллюстрирует доказательство великого индийского математика Бхаскари (знаменитого автора Лилавати, XII в.).

  Рисунок сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ! Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое древнее) занимает доказательство, использующее подобие.

• Приведем в современном изложении одно из таких доказательств, принадлежащих Пифагору.

На рис. 13 ABC – прямоугольный, C – прямой угол, CMAB, b1 – проекция катета b на гипотенузу, a1 – проекция катета a на гипотенузу, h – высота треугольника, проведенная к гипотенузе.

Из того, что DABC подобен DACM следует

b2 = cb1; (1)

из того, что DABC подобен DBCM следует

a2 = ca1. (2)

Складывая почленно равенства (1) и (2), получим a2 + b2 = cb1 + ca1 = c(b1 + a1) = c2.

Если Пифагор действительно предложил такое доказательство, то он был знаком и с целым рядом важных геометрических теорем, которые современные историки математики обычно приписывают Евклиду.

• Доказательство Мёльманна (рис. 14).

  Площадь данного прямоугольного треугольника, с одной стороны, равна с другой, где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности Имеем:

откуда следует, что c2=a2+b2.

• Доказательство Гарфилда.
  На рисунке 15 три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. В первом случае эта площадь равна

во втором 

Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора.

• Существует много доказательств теоремы Пифагора,  проведенных как каждым из описанных методов, так и с помощью сочетания различных методов.

  Завершая обзор примеров различных доказательств, приведем еще рисунки, иллюстрирующие восемь способов, на которые имеются ссылки в «Началах» Евклида (рис. 16 – 23).

  На этих рисунках Пифагорова фигура изображена сплошной линией, а дополнительные построения – пунктирной.

Рекомендуем учителям предложить учащимся по этим рисункам самостоятельно доказать теорему Пифагора.

• Как уже было сказано выше, древние египтяне более 2000 лет тому назад практически пользовались свойствами треугольника со сторонами 3, 4, 5 для построения прямого угла, т. е. фактически применяли теорему, обратную теореме Пифагора. Приведем доказательство этой теоремы, основанное на признаке равенства треугольников (т. е. такое, которое можно очень рано ввести в школе). Итак, пусть стороны треугольника ABC (рис. 24) связаны соотношением

c2 = a2 + b2. (3)

• Докажем, что этот треугольник прямоугольный.
  Построим прямоугольный треугольник A1B1C1 по двум катетам, длины которых равны длинам a и b катетов данного треугольника (рис. 25). Пусть длина гипотенузы построенного треугольника равна c1. Так как построенный треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем:  c12 = a2 + b2. (4)

Сравнивая соотношения (3) и (4), получаем, что

c12 = c2, или c1 = c.

Таким образом, треугольники – данный и построенный – равны, так как имеют по три соответственно равные стороны. Угол C1 прямой, поэтому и угол C данного треугольника тоже прямой.

• В заключение отметим, что о теореме Пифагора, ее истории и многих других связанных с ней геометрических фактах имеется обширная литература. Назову лишь некоторые источники:

1. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959. 2. Глейзер Г.И. История математики в школе. М., 1982. 3. Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., 1961. 4. Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.

5. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М., 1990.

Источник: https://mat.1sept.ru/view_article.php?ID=200102401

Скачать материал

Скачать материал

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Теорема Пифагора
  и способы ее
  доказательства

• 

  2 слайд

  Геометрия владеет двумя сокровищами:
  одно из них — это теорема Пифагора…
  Иоганн Кеплер.
  Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Без преувеличения можно сказать, что это самая известная теорема геометрии, так как о ней знает подавляющее большинство населения планеты. Причин такой популярности три: простота, красота, широчайшая применимость.
  В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу. Существует около 500 различных доказательств этой теоремы.

• 

  3 слайд

  Пифагор Самосский.    
  (Pythagoras of Samos)
  570 – 475г до н.э.
  Великий ученый Пифагор родился окол 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням.
  Будущий великий математик и философ уже в детстве обнаружил большие способности к наукам. У своего первого учителя Гермодамаса Пифагор получает знания основ музыки и живописи. По совету своего учителя Пифагор решает продолжить свое образование в Египте.
  Учеба Пифагора в Египте способствует тому, что он сделался одним из самых образованных людей своего времени.

• 

  4 слайд

    Древние источники.
  В таблице представлена хронология развития теоремы до Пифагора:
  В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство.

• 

  5 слайд

  Не алгебраические доказательства теоремы Пифагора.
  Простейшее доказательство.

  «Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.»
  Простейшее доказательство теоремы получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных
  треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ∆ ABC: квадраты, построенные на катетах АВ и ВС, содержат по 2 исходных треугольника, а квадрат, построенный на гипотенузе АС — 4 таких же треугольника. Теорема доказана.

  А
  С
  В

• 

  6 слайд

  Древнеиндийское доказательство.
  В трактате крупнейшего индийского математика Бхаскары помещен чертеж с характерным для индийских доказательств словом «смотри!»

  Как мы видим, если в квадрате со стороной с два заштрихованных треугольника отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам, то легко обнаружить, что полученная фигура, которую иногда называют «креслом невесты», состоит из двух квадратов со сторонами а и b, т.е. с²= а² +b².

  c
  a
  b
  с
  с
  с
  с
  а
  b
  а
  а
  b
  b
  b²
  a²

• 

  7 слайд

  Аддитивные доказательства
  (доказательства методом разложения).

  Существует целый ряд доказательств теоремы Пифагора, в которых квадраты, построенные на катетах и на гипотенузе, разрезаются так, что каждой части квадрата, построенного на гипотенузе, соответствует часть одного из квадратов, построенных на катетах. Во всех этих случаях для понимания доказательства достаточно одного взгляда на чертеж; рассуждение здесь может быть ограничено единственным словом: «Смотри!», как это делалось в сочинениях древних индусских математиков.

• 

  8 слайд

  Доказательство ан-Найризия.
  На рисунке приведено доказательство теоремы Пифагора с помощью разбиения ан-Найризия – средневекового багдадского комментатора «Начал» Евклида.
  Это разложение квадратов интересно тем, что его попарно равные части отображаются друг на друга параллельным переносом.
  В этом разбиении квадрат, построенный на гипотенузе, разбит на 3 треугольника и 2 четырехугольника. Квадрат на большем катете разбит на 2 треугольника и 1 четырехугольник, а квадрат на меньшем – на 1 треугольник и 1 четырехугольник.

  а
  b
  c

• 

  9 слайд

  Доказательство Перигаля.
  В учебниках нередко встречается разложение, указанное на рисунке (так называемое «колесо с лопастями»).
  Через центр квадрата, построенного на большем катете провели две прямые:
  перпендикулярную и
  параллельную гипотенузе.
    В этом разложении квадратов попарно равные четырехугольники так же могут быть отображены друг на друга параллельным переносом.

  b
  а
  с

• 

  10 слайд

  B
  С
  А
  F
  E
  D
  P
  O
  N
  K
  Доказательство Эпштейна.
  Преимуществом данного разложения является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют только треугольники.
  АВС – прямоугольный треугольник.
  СD перпендикулярна EF,
  C принадлежит EF,
  PО и KN параллельны EF.
  В данном разложении части квадратов, расположенных на катетах образуют квадрат на гипотенузе.

• 

  11 слайд

  Геометрический метод доказательства.

  Доказательство Гарфилда.
  а
  а
  b
  b
  с
  с
  На рисунке три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо
  как сумму площадей трех треугольников. В первом случае S=½ (a + b)(a + b), во втором S=½ab + ½ab + ½c² приравнивая эти выражения получим:
  ½ (a² + 2ab + b²)= ab + ½ c²;
  ½ a² + ab + ½ b² = ab + ½ c²;
  ½ a² + ½ b² = ½ c²;
  a² + b² = c².
  Теорема доказана.

• 

  12 слайд

  Алгебраический метод доказательства.
  а
  С
  А
  В
  b
  c
  Дано: АВС, С = 90, ВС = b,
  АС = а, АВ = с
  Доказать: с² = а² + b²

  Доказательство:
  Достроим АВС до квадрата СМРК со стороной (а + b), тогда SСМРК =(а+b)²
  С другой стороны площадь квадрата равна сумме площадей 4 равных
  М
  К
  Р
  Т
  Н
  прямоугольных , площадь каждого из которых равна ½аb, и площади квадрата со стороной равной с, поэтому
  SСМРК = 4· ½аb + с². Таким образом (а + b)² =4· ½аb + с²,
  а² + 2аb + b² = 2аb + c²,
  а² + 2аb + b² – 2аb = c²,
  а² + b² = c². Теорема доказана.

• 

  13 слайд

  Другие доказательства.

  Доказательство Евклида.

  Это доказательство было приведено Евклидом в его «Началах». По свидетельству Прокла (Византия), оно придумано самим Евклидом. Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги «Начал».

• 

  14 слайд

  На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BNLD равновелик квадрату BFHА, а прямоугольник NCEL — квадрату АMКС. Тогда сумма площадей квадратов на катетах будет равна площади квадрата на гипотенузе.
  SABD = ½ SBNLD = ½BD · LD;
  SBFC= ½ SBFHA = ½BF · BA.
  Значит прямоугольник BNLD равновелик квадрату BFHА.
  В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB=AB; BC=BD; ∟АВD=∟FBC=∟ABC+90º
  Аналогично доказывается, что SNCEL=SAMКС.
  Итак, SABFH+SAMКС=SBNLD+SNCEL=SBCED. Теорема доказана.
  K
  D
  L
  E
  C
  N
  В
  А
  F
  H
  M

• 

  15 слайд

  Применение теоремы.
  1. Пусть d диагональ квадрата со стороной а. Ее можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а. Таким образом d²= a² + a²=2a², d=a 2 .
  Рассмотрим примеры практического применения теоремы Пифагора. Определим возможности, которые дает теорема Пифагора для вычисления длин отрезков некоторых фигур.
  2. Диагональ куба d является гипотенузой прямоугольного треугольника, заштрихованного на рисунке. Катетами треугольника служат ребро куба и диагональ квадрата, лежащего в основании (d1 = a 2 ). Отсюда имеем:
  d²=a²+2a², d²=3a², d=a 3
  а
  а
  d
  а
  а
  а
  d
  d1

• 

  16 слайд

  Заключение.

  В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. Значение ее состоит прежде всего в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии.
  Теорема и уравнение Пифагора на протяжении тысячелетий привлекают внимание математиков, являясь источником плодотворных идей и открытий.

• 

  17 слайд

  Спасибо за
  внимание

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 190 217 материалов в базе

• Выберите категорию:

• Выберите учебник и тему

• Выберите класс:

• Тип материала:

  • Все материалы

  • Статьи

  • Научные работы

  • Видеоуроки

  • Презентации

  • Конспекты

  • Тесты

  • Рабочие программы

  • Другие методич. материалы

Найти материалы

Вам будут интересны эти курсы:

• Курс профессиональной переподготовки «Маркетинг: теория и методика обучения в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Формирование компетенций межкультурной коммуникации в условиях реализации ФГОС»

• Курс повышения квалификации «Введение в сетевые технологии»

• Курс повышения квалификации «История и философия науки в условиях реализации ФГОС ВО»

• Курс повышения квалификации «Управление финансами: как уйти от банкротства»

• Курс повышения квалификации «Маркетинг в организации как средство привлечения новых клиентов»

• Курс профессиональной переподготовки «Управление ресурсами информационных технологий»

• Курс профессиональной переподготовки «Управление сервисами информационных технологий»

• Курс профессиональной переподготовки «Организация и управление службой рекламы и PR»

• Курс профессиональной переподготовки «Осуществление и координация продаж»

• Курс повышения квалификации «Информационная этика и право»

«Различные способы доказательства теоремы Пифагора»

На протяжении многих лет людей интересовал вопрос о теореме Пифагора и о различных способах её доказательства. Причина такой популярности теоремы: это простота, красота и широкая значимость. В современных школьных учебниках рассматриваются традиционные доказательства теоремы Пифагора. Это — алгебраическое доказательство, основанное на площади (применяется в учебнике «Геометрия 7-9», Л. С. Атанасян), доказательство Евклида. Постепенно, появлялись новые способы доказательства теоремы…

Целью исследовательской работы является: — познакомиться с историей открытия теоремы; — рассмотреть классические и малоизвестные доказательства теоремы, такие как доказательства Гарфилда, Хоукинса, Бхаскари-Ачарна, векторное доказательство теоремы и другие; — изучить области применения теоремы; — сделать выводы о значении теоремы Пифагора.

Из биографии Пифагора

Пифагор Самосский – великий греческий учёный. Его имя знакомо каждому школьнику. Если попросят назвать одного древнего математика, то абсолютное большинство назовёт Пифагора. Его известность связана с названием теоремы Пифагора. Хотя сейчас уже мы знаем, что эта теорема была известна в древнем Вавилоне за 1200 лет до Пифагора, а в Египте за 2000 лет до него был известен прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5, мы по-прежнему называем её по имени этого древнего учёного.

Про жизнь Пифагора достоверно почти ничего не известно, но с его именем связано большое количество легенд.

Пифагор родился в 570 году до н. э на острове Самос. Отцом Пифагора был Мнесарх – резчик по драгоценным камням. Мнесарх, по словам Апулея, «славился среди мастеров своим искусством вырезать геммы», но стяжал скорее славу, чем богатство. Имя матери Пифагора не сохранилось.

Пифагор имел красивую внешность, носил длинную бороду, а на голове золотую диадему. Пифагор — это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор — «убеждающий речью».)

Среди учителей юного Пифагора были старец Гермодамант и Ферекид Сиросский. Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера.

Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Таким образом, если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя.

Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым — Фалесом. Фалес посоветовал ему отправиться за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал.

В 550 году до н. э. Пифагор принимает решение и отправляется в Египет. После одиннадцати лет обучения в Египте Пифагор отправляется на родину, где по пути попадает в Вавилонский плен. Там он знакомится с вавилонской наукой, которая была более развита, чем египетская. Вавилоняне умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений. Они успешно применяли теорему Пифагора более чем за 1000 лет до Пифагора. Сбежав из плена, он не смог долго оставаться на родине из-за царившей там атмосферы насилия и тирании. Он решил переселиться в Кротон (греческая колония на севере Италии).

Пифагор организовал в греческой колонии на юге Апенинского полуострова религиозно-этическое братство, типа монашеского ордена, который впоследствии назовут пифагорейским союзом. Члены союза должны были придерживаться определённых принципов: во-первых, стремиться к прекрасному и славному, во-вторых, быть полезными, в-третьих, стремиться к высокому наслаждению.

Пифагорейская система занятий состояла из трёх разделов:

• учения о числах – арифметике,

• учения о фигурах – геометрии,

• учения о строении Вселенной – астрономии.

Музыка, гармония и числа были неразрывно связаны в учении пифагорейцев. Математика и числовая мистика были фантастически перемешаны в нём. Пифагор считал, что число есть сущность всех вещей и что Вселенная представляет собой гармоническую систему чисел и их отношений.

Школа Пифагора много сделала, чтобы придать геометрии характер науки. Основной особенностью метода Пифагора было объединение геометрии с арифметикой.

Пифагор много занимался пропорциями и прогрессиями и, вероятно, подобием фигур, так как ему приписывают решение задачи: «По данным двум фигурам построить третью, равновеликую одной из данных и подобную второй».

Пифагор и его ученики ввели понятие о многоугольных, дружественных, совершенных числах и изучали их свойства. Арифметика как практика вычислений не интересовала Пифагора, и он с гордостью заявил, что «поставил арифметику выше интересов торговца».

Пифагор одним из первых считал, что Земля имеет форму шара и является центром Вселенной, что Солнце, Луна и планеты имеют собственное движение, отличное от суточного движения неподвижных звезд.

Учение пифагорейцев о движении Земли Николай Коперник воспринял как предысторию своего гелиоцентрического учения. Недаром церковь объявила систему Коперника «ложным пифагорейским учением».

В школе Пифагора открытия учеников приписывались учителю, поэтому практически невозможно определить, что сделал сам Пифагор, а что его ученики.

Споры ведутся вокруг пифагорейского союза уже третье тысячелетие, однако общего мнения так и нет. У пифагорейцев было множество символов и знаков, которые были своего рода заповедями: например, «через весы не шагай», т.е. не нарушай справедливости; «огня ножом не вороши», т. е. не задевай гневных людей обидными словами.

Но главным пифагорейским символом – символом здоровья и опознавательным знаком – была пентаграмма или пифагорейская звезда – звёздчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника.

Союз процветал более двадцати лет, а потом начались гонения на его членов, многие из учеников были убиты.

О смерти самого Пифагора ходило много самых разных легенд. Но учение Пифагора и его учеников продолжало жить.

Из истории создания теоремы Пифагора

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что именно Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих «Начал». С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в «Началах» принадлежит самому Евклиду.

Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных конкретных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Многим известен сонет немецкого писателя-романиста Шамиссо:

Пребудет вечной истина, как скоро Ее познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век.  Обильно было жертвоприношенье  Богам от Пифагора. Сто быков  Он отдал на закланье и сожженье  За света луч, пришедший с облаков.  Поэтому всегда с тех самых пор,  Чуть истина рождается на свет,  Быки ревут, ее почуя, вслед.  Они не в силах свету помешать,  А могут лишь, закрыв глаза, дрожать  От страха, что вселил в них Пифагор.

Исторический обзор теоремы Пифагора начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:

«Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4».

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).

По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели веревок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Несколько больше было известно о теореме Пифагора вавилонянам. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т.е. к 2000 году до нашей эры, приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника; отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях.

Геометрия у индусов была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 8 века до нашей эры. Наряду с чисто ритуальными предписаниями, существуют и сочинения геометрически теологического характера, называемые Сульвасутры. В этих сочинениях, относящихся к 4 или 5 веку до нашей эры, мы встречаемся с построением прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36, 39.

В средние века теорема Пифагора определяла границу, если не наибольших возможных, то, по крайней мере, хороших математических знаний. Характерный чертеж теоремы Пифагора, который ныне иногда превращается школьниками, например, в облаченного в мантию профессора или человека в цилиндре, в те времена нередко употреблялся как символ математики.

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):

«В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол».

Латинский перевод арабского текста Аннариции (около 900 года до нашей эры), сделанный Герхардом Кремонским (12 век) гласит (в переводе):

«Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол»

В Geometry Culmonensis (около 1400 года) теорема читается так (в переводе):

“Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу”

В русском переводе евклидовых «Начал», теорема Пифагора изложена так:

«В прямоугольном треугольнике квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».

Как видим, в разных странах и разных языках существуют различные варианты формулировки знакомой нам теоремы. Созданные в разное время и в разных языках, они отражают суть одной математической закономерности, доказательство которой также имеет несколько вариантов.

Различные способы доказательства теоремы Пифагора

1. Древнекитайское доказательство. Это любопытное древнекитайское доказательство получило название «Стул невесты» — из-за похожей на стул фигуры, которая получается в результате всех построений:

Рис.1. Рис. 2.

Если мысленно отрезать от чертежа на рис.1 два зеленых прямоугольных треугольника, перенести их к противоположным сторонам квадрата со стороной с и гипотенузами приложить к гипотенузам сиреневых треугольников, получится фигура под названием «стул невесты» (рис.2). Для наглядности можно то же самое проделать с бумажными квадратами и треугольниками. Вы убедитесь, что «стул невесты» образуют два квадрата: маленькие со стороной b и большой со стороной а.

На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе

a² + 2ab +b² = c² + 2ab

a² +b² = c²

2. Доказательство Дж. Гардфилда (1882 г.)

Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого. Площадь рассматриваемой трапеции находится как произведение полусуммы оснований на высоту

S =

C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников:

S =

Приравнивая данные выражения, получаем:

или с² = a² + b²

3. Старейшее доказательство (содержится в одном из произведений Бхаскары).

Пусть АВСD квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВЕ (АВ = с, ВЕ = а,

АЕ = b);

Пусть СКВЕ = а, DLCK, AMDL

ΔABE = ∆BCK = ∆CDL = ∆AMD,

значит KL = LM = ME = EK = a-b.

.

4. Доказательство древних индусов

Квадрат со стороной (a+b), можно разбить на части либо как на рисунке а), либо как на рисунке b). Ясно, что части 1,2,3,4 на обоих рисунках одинаковы. А если от равных (площадей) отнять равные, то и останутся равные, т.е. с² = а² + b².

а) б)

Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали лишь одним словом:

Смотри!

5. Доказательство простейшее

Это доказательство получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, — по два. Теорема доказана.

6. Доказательство теоремы Пифагора через косинус угла:

Пусть АВС — данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С. По определению косинуса угла (Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе) соsА=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC2. Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB. Отсюда AB*BD=ВС2. Складывая полученные равенства, замечая, что AD+DB=AB, получим: АС2+ВС2=АВ(AD+DB)=АВ2  Теорема доказана.

7. Векторное доказательство теоремы:

Пусть АВС — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство: b + c = a откуда имеем c = a – b возводя обе части в квадрат, получим c²=a²+b²-2ab. Так как a перпендикулярно b, то ab=0, откуда c²=a²+b² или c²=a²+b². Теорема Пифагора снова доказана. Если треугольник АВС — произвольный, то та же формула дает теорему косинусов, обобщающую теорему Пифагора. 

8. Доказательство Хоукинса:

Приведем еще одно доказательство, которое имеет вычислительный характер, однако сильно отличается от всех предыдущих. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого — трудно сказать.

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A’CB’. Продолжим гипотенузу A’В’ за точку A’ до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В’D будет высотой треугольника В’АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A’АВ’В. Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA’ и СВВ’ (или на два треугольника A’В’А и A’В’В).

SCAA’=b²/2

SCBB’=a²/2

SA’AB’B=(a²+b²)/2

Треугольники A’В’А и A’В’В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому: SA’AB’B=c*DA/2+c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2

Сравнивая два полученных выражения для площади, получим: a²+b²=c² Теорема доказана.

9. Доказательство Евклида

В течение двух тысячелетий наиболее распространенным было доказательство теоремы Пифагора, придуманное Евклидом. Оно помещено в его знаменитой книге «Начала».

Евклид опускал высоту BН из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах.

Чертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство «убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей», составляли стихи вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны», рисовали карикатуры.

Шутливая формулировка теоремы:

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим –

И таким простым путем

К результату мы придем.

Пару слов о Пифагоровых тройках

Этот вопрос мало или вообще не изучается в школьной программе. А между тем он является очень интересным и имеет большое значение в геометрии. Пифагоровы тройки применяются для решения многих математических задач. Представление о них может пригодиться вам в дальнейшем образовании.

Так что же такое Пифагоровы тройки? Так называют натуральные числа, собранные по трое, сумма квадратов двух из которых равна третьему числу в квадрате.

Пифагоровы тройки могут быть:

• примитивными (все три числа – взаимно простые);

• не примитивными (если каждое число тройки умножить на одно и то же число, получится новая тройка, которая не является примитивной).

Еще до нашей эры древних египтян завораживала мания чисел Пифагоровых троек: в задачах они рассматривали прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц. К слову, любой треугольник, стороны которого равны числам из пифагоровой тройки, по умолчанию является прямоугольным.

Примеры Пифагоровых троек: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 35, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) и т.д.

Применение теоремы Пифагора

Задачи теоретические современные

1. Периметр ромба 68 см., а одна из его диагоналей равна 30 см. Найдите длину другой диагонали ромба.

1. Гипотенуза КР прямоугольного треугольника КМР равна см., а катет МР равен 4 см. Найдите медиану РС.

2. На сторонах прямоугольного треугольника построены квадраты, причем S₁-S₂=112 см², а S₃=400 см². Найдите периметр треугольника.

3. Дан треугольник АВС, угол С=90⁰, CD AB, AC=15 см., AD=9 см. Найдите АВ.

Задачи практические старинные

Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?

Задача индийского математика XII века Бхаскары

«На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?»

Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого

   «Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать.»

Задача из китайской «Математики в девяти книгах»

   «Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?»

Теорема Пифагора находит применение не только в математике, но и в архитектуре и строительстве, астрономии и даже литературе.

В строительстве теорема Пифагора находит широкое применение в задачах разного уровня сложности. Например, посмотрите на окно в романском стиле:

Обозначим ширину окна как b, тогда радиус большой полуокружности можно обозначить как R и выразить через b: R=b/2. Радиус меньших полуокружностей также выразим через b: r=b/4. В этой задаче нас интересует радиус внутренней окружности окна (назовем его p).

Теорема Пифагора как раз и пригодиться, чтобы вычислить р. Для этого используем прямоугольный треугольник, который на рисунке обозначен пунктиром. Гипотенуза треугольника состоит из двух радиусов: b/4+p. Один катет представляет собой радиус b/4, другой b/2-p. Используя теорему Пифагора, запишем: (b/4+p)2=(b/4)2+(b/2-p)2. Далее раскроем скобки и получим b2/16+ bp/2+p2=b2/16+b2/4-bp+p2. Преобразуем это выражение в bp/2=b2/4-bp. А затем разделим все члены на b, приведем подобные, чтобы получить 3/2*p=b/4. И в итоге найдем, что p=b/6 – что нам и требовалось.

С помощью теоремы можно вычислить длину стропила для двускатной крыши. Определить, какой высоты вышка мобильной связи нужна, чтобы сигнал достигал определенного населенного пункта. И даже устойчиво установить новогоднюю елку на городской площади. Как видите, эта теорема живет не только на страницах учебников, но и часто бывает полезна в реальной жизни.

Что касается литературы, то теорема Пифагора вдохновляла писателей со времен античности и продолжает это делать в наше время. Например, немецкого писателя девятнадцатого века Адельберта фон Шамиссо она вдохновила на написание сонета:

Свет истины рассеется не скоро,
Но, воссияв, рассеется навряд
И, как тысячелетия назад,
Не вызовет сомнения и спора.
Мудрейшие, когда коснется взора
Свет истины, богов благодарят;
И сто быков, заколоты, лежат –
Ответный дар счастливца Пифагора.
С тех пор быки отчаянно ревут:
Навеки всполошило бычье племя
Событие, помянутое тут.
Им кажется: вот-вот настанет время,
И сызнова их в жертву принесут
Какой-нибудь великой теореме.

(перевод Виктора Топорова)

А в двадцатом веке советский писатель Евгений Велтистов в книге «Приключения Электроника» доказательствам теоремы Пифагора отвел целую главу. И еще полглавы рассказу о двухмерном мире, какой мог бы существовать, если бы теорема Пифагора стала основополагающим законом и даже религией для отдельно взятого мира. Жить в нем было бы гораздо проще, но и гораздо скучнее: например, там никто не понимает значения слов «круглый» и «пушистый».

А еще в книге «Приключения Электроника» автор устами учителя математики Таратара говорит: «Главное в математике – движение мысли, новые идеи». Именно этот творческий полет мысли порождает теорема Пифагора – не зря у нее столько разнообразных доказательств. Она помогает выйти за границы привычного, и на знакомые вещи посмотреть по-новому.

Теорема Пифагора настолько известна, что трудно представить себе человека, не слышавшего о ней. Теорема Пифагора интересна не только своей историей, но и тем, что она занимает важное место в жизни и науке. Об этом свидетельствуют различные трактовки текста этой теоремы и пути её доказательств.

Итак, теорема Пифагора — одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c²=a²+b². Поэтому для её доказательства часто используют наглядность.

Заслуга же Пифагора состояла в том, что он дал полноценное научное доказательство этой теоремы.

Интересна личность самого учёного, память о котором неслучайно сохранила эта теорема. Пифагор – замечательный оратор, учитель и воспитатель, организатор своей школы, ориентированной на гармонию музыки и чисел, добра и справедливости, на знания и здоровый образ жизни. Он вполне может служить примером для нас, далёких потомков.

Литература и Интернет-ресурсы:

1. Геометрия, 7-9 классы: учебник для общеобразовательный организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. – М.: Просвещение, 2015

2. Математика в стихах: задачи, сказки, рифмованные правила. 5-11 классы / авт.-сост. О.В. Панишева. – Изд. Волгоград: Учитель. – 219с. 

3. Остренкова, Г. Учебно-методическая газета «Математика», где рассматриваются сведения о жизни Пифагора, а также материал о Пифагоровых тройка

4. Интернет- ресурсы:

— http://bankreferatov.ru/

— http://kvant.ru/

— http://th-pif.narod.ru/formul.html