Аксиома это теорема не требующая доказательств это

Значение слова «аксиома» в словарях русского языка

Аксиома это:

Аксио́ма ( «утверждение, положение») или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами.

Википедия

Аксиома

ж. 1. Положение какой-либо научной теории, принимаемое без доказательств в силу непосредственной убедительности. 2. Неоспоримая, бесспорная, не требующая доказательств истина.

Большой современный толковый словарь русского языка

Аксиома

(гр. axioma) 1) отправное, исходное положение какой-л. теории, лежащее в основе доказательств других положений этой теории, в пределах которой оно принимается без доказательства; 2) перен. бесспорная, не требующая доказательств истина.

Новый словарь иностранных слов

Аксиома

ж. 1) Исходное положение какой-л. научной теории, принимаемое без доказательств. 2) перен. Неоспоримое, бесспорное положение, очевидная истина, не требующая доказательств.

Новый толково-словообразовательный словарь русского языка Ефремовой

Аксиома

жен. , греч. очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств, напр. целое всегда, больше части своей; основная истина, самоистина, ясноистина.

Словарь Даля

Аксиома

[гр. axioma] 1. отправное, исходное положение какой-л. теории, лежащее в основе доказательств других положений этой теории, в пределах которой оно принимается без доказательства; 2. * бесспорная, не требующая доказательств истина.

Словарь иностранных выражений

Аксиома

положение, принимаемое без доказательств Lib аксиома исходное положение, принимаемое без доказательств и лежащее в основе доказательств истинности других положений Spec

Словарь русского языка Ожегова

Аксиома

(греч. axioma), положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности; истинное исходное положение теории.

Современный толковый словарь, БСЭ

Аксиома

аксиома ж. 1) Исходное положение какой-л. научной теории, принимаемое без доказательств. 2) перен. Неоспоримое, бесспорное положение, очевидная истина, не требующая доказательств.

Толковый словарь Ефремовой

Аксиома

аксиомы, ж. (греч. axioma). Положение, принимаемое без доказательств (мат.). || Очевидная истина, утверждение, принимаемое на веру (книжн.).

Толковый словарь русского языка Ушакова

Видео

Философский словарь (Конт-Спонвиль)

аксиома

 Аксиома

 ♦ Axiome

Недоказуемое положение, служащее для доказательства других положений. Являются ли аксиомы истинными? Долгое время считалось, что являются. По мнению Спинозы или Канта, аксиома – это истина, очевидность которой ясна без доказательств, а потому и не нуждается в них. Современные математики и логики склонны рассматривать аксиомы как чистые конвенции или гипотезы, которые не могут быть очевидными истинами. Отныне истина заключается не в самих положениях (если аксиома не есть истина, ни одна теорема не может быть истинной), а в объединяющих их отношениях импликации или дедукции. Следовательно, аксиом в традиционном понимании термина не существует, есть лишь постулаты (Постулат). Но и это заявление – постулат, а не аксиома.

Педагогический терминологический словарь

аксиома

(греч. axioma)

бесспорная истина, не требующая доказательств. В педагогике наиболее известны А. апперцепции и А. двойственности. А. апперцепции (см. Апперцепция) констатирует зависимость всех последующих восприятий от содержания и структуры предшествующего опыта. В этой А. отражено то фундаментальное положение, что одно и то же воздействие производит несходное впечатление на разных людей из-за заведомых различий в их индивидуальном опыте. А. апперцепции объясняет сложность, мучительность внутренней работы, содержанием которой становится переоценка ценностей.

А. двойственности позволяет рассматривать и интерпретировать личность как единство психического и физического, материального и идеального в их историческом развитии и внутренней противоречивости. Человеческая природа одновременно духовна и материальна. В человеческой психике обнаруживается наличие и взаимодействие обоих начал. А. орудийно-знакового опосредования процесса усвоения культуры в ходе воспитания фиксирует тот факт, что обучать и воспитывать можно только посредством знаковых систем и через предметы, созданные человеком для человека.

(Бим-Бад Б.М. Педагогический энциклопедический словарь. — М., 2002. С. 14)

История аксиомы

Аксиоматический метод появился в древней Греции. Термин аксиома встречается у древнегреческих философов Аристотеля (384–322 гг. до н. э.) и Евклида (325–265 гг. до н. э.).

Аксиомы Евклида

Самой известной аксиомой Евклида была аксиома о параллельных прямых. Он сформулировал её в своей книге «Начала».

Аксиома звучит так: через любую точку, которая расположена вне данной прямой, можно провести только одну прямую параллельную данной.

Т. е. если дана прямая и любая точка (которая не лежит на этой прямой), то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.

Следствия из аксиомы

У этой аксиомы два следствия:

• прямая, пересекающая одну параллельную прямую, обязательно пересечёт и другую;
• если две прямые параллельны третьей, то между собой они также параллельны.

Аксиома Архимеда

Для отрезков: если на прямой имеются два отрезка А (меньший из них) и B, то, складывая А достаточное количество раз, можно будет покрыть больший (B).

Другими словами, Архимед утверждал, что не существуют бесконечно малые и бесконечно большие величины. В качестве математической формулы аксиому можно записать так:

где n — это натуральное число.

Понятие теоремы

Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.

Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.

Состав теоремы: условие и заключение или следствие.

Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.

Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

• если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую;
• если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.

Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.

Приемы для доказательства в геометрии:

• Способ наложения — когда одну геометрическую величину накладывают на другую. Этим способом убеждаются в равенстве или неравенстве геометрических протяжений в зависимости от того, совмещаются они или нет при наложении.
• Способ пропорциональности — применение свойств пропорций. Этот способ пригодится для доказательства теорем про подобные фигуры и пропорциональные отрезки.
• Способ пределов — когда вместо данной величины берут свойства другой, близкой к ней. А потом перекладывают эти выводы на исходные данные.

Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.

Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:

• прямая теорема: в треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
• обратная теорема: в треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.

Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.

Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:

• Прямая: если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.
• Обратная: если две прямые параллельны, то при пересечении их третьей, соответственные углы равны.
• Противоположная: если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы не равны, прямые не параллельны.
• Обратная противоположной: если прямые не параллельны, соответственные углы не равны.

В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Понятия свойств и признаков

У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.

Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.

Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.

Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.

Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.

Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.

Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.

А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.

Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.

Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:

Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.

Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.

Теги

Значение слова аксиома

Словарь Ушакова

акси о ма, аксиомы, жен. (греч. axioma). Положение, принимаемое без доказательств (мат.).

| Очевидная истина, утверждение, принимаемое на веру (книж.).

Этимологический Словарь Русского Языка

Греческое – axioma (бесспорное, общепринятое).

В русском языке слово «аксиома» известно с начала XVIII в. (1717 г.).

По мнению многих исследователей, слово было заимствовано непосредственно из латинского, хотя некоторые указывают на возможность происхождения из западноевропейских языков (немецкого или французского).

В латинском axioma восходит к греческому глаголу axioun – «признавать что-либо как достоверное». Первоисточником считается греческое существительное со значением «ценность, достоинство», «утверждение».

В современном русском языке аксиома – «неоспоримая истина, положение, которое по очевидности или общепринятости не требует доказательств».

Начала Современного Естествознания. Тезаурус

(от греч. axioma — значимость, требование)

1) (в математике) — предложение, принимаемое без доказательства, рассматриваемое как исходное при построении той или иной математической теории. Система аксиом, являющаяся логическим фундаментом обоснования математической теории, не является раз и навсегда законченной и совершенной и, как и сами аксиомы, изменяется и совершенствуется. К системе аксиом предъявляются требования: непротиворечивости, независимости и полноты. Аксиома также называется постулатом;

2) (в логике) — отправное, исходное положение, которое не может быть доказано, но в то же время и не нуждается в доказательстве, т. к. является совершенно очевидным и поэтому может служить исходным для др. положений. Логическими аксиомами являются: закон тождества, закон противоречия, закон исключенного третьего (сформулированы Аристотелем) и закон достаточного основания (сформулирован Г. Лейбницем).

3) (в переносном смысле) — бесспорная, не требующая доказательств истина.

Культурология. Словарь-справочник

(греч. axioma – принятое положение) – положение, принимаемое без логических доказательств.

Педагогический терминологический словарь

бесспорная истина, не требующая доказательств. В педагогике наиболее известны А. апперцепции и А. двойственности. А. апперцепции (см. Апперцепция) констатирует зависимость всех последующих восприятий от содержания и структуры предшествующего опыта. В этой А. отражено то фундаментальное положение, что одно и то же воздействие производит несходное впечатление на разных людей из-за заведомых различий в их индивидуальном опыте. А. апперцепции объясняет сложность, мучительность внутренней работы, содержанием которой становится переоценка ценностей.

А. двойственности позволяет рассматривать и интерпретировать личность как единство психического и физического, материального и идеального в их историческом развитии и внутренней противоречивости. Человеческая природа одновременно духовна и материальна. В человеческой психике обнаруживается наличие и взаимодействие обоих начал. А. орудийно-знакового опосредования процесса усвоения культуры в ходе воспитания фиксирует тот факт, что обучать и воспитывать можно только посредством знаковых систем и через предметы, созданные человеком для человека.

(Бим-Бад Б.М. Педагогический энциклопедический словарь. — М., 2002. С. 14)

Термины Киносемиотики

(греч. axioma — принятое положение) — исходное утверждение (предложение) какой-либо научной теории, которое берется в качестве недоказуемого в данной теории и из которого (или совокупности которых) выводятся все остальные предложения теории по принятым в ней правилам вывода.

Философский словарь (Конт-Спонвиль)

Недоказуемое положение, служащее для доказательства других положений. Являются ли аксиомы истинными? Долгое время считалось, что являются. По мнению Спинозы или Канта, аксиома – это истина, очевидность которой ясна без доказательств, а потому и не нуждается в них. Современные математики и логики склонны рассматривать аксиомы как чистые конвенции или гипотезы, которые не могут быть очевидными истинами. Отныне истина заключается не в самих положениях (если аксиома не есть истина, ни одна теорема не может быть истинной), а в объединяющих их отношениях импликации или дедукции. Следовательно, аксиом в традиционном понимании термина не существует, есть лишь постулаты (Постулат). Но и это заявление – постулат, а не аксиома.

Толковый словарь русского языка (Алабугина)

1. Исходное положение какой-л. теории, принимаемое без доказательств.

2. перен. Неоспоримое утверждение.

* Это для меня аксиома. *

Вестминстерский словарь теологических терминов

♦ ( ENG axiom)

утверждение, к-рое не требует доказательства и, следовательно, служит предпосылкой и основой аргументации. В христианском учении такой аксиомой может быть утверждение: «Бог существует».

Тезаурус русской деловой лексики

Энциклопедический словарь

(греч. axioma), положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности; истинное исходное положение теории.

Словарь Ожегова

АКСИОМА, ы, ж.

1. Исходное положение, принимаемое без доказательств и лежащее в основе доказательств истинности других положений (спец.).

2. Положение, принимаемое без доказательств (книжн.).

| прил. аксиоматический, ая, ое.

Источник

Значение слова «аксиома»

Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

Необходимость в принятии аксиом без доказательств следует из индуктивного соображения: любое доказательство вынуждено опираться на какие-либо утверждения, и если для каждого из них требовать своих доказательств, цепочка получится бесконечной. Чтобы не уходить в бесконечность, нужно где-то эту цепочку разорвать — то есть какие-то утверждения принять без доказательств, как исходные. Именно такие, принятые в качестве исходных, утверждения и называются аксиомами.

В современной науке вопрос об истинности аксиом, лежащих в основе какой-либо теории, решается либо в рамках других научных теорий, либо посредством интерпретации данной теории.

Аксиоматиза́ция теории — явное указание конечного или счётного, рекурсивно перечислимого (как, например, в аксиоматике Пеано) набора аксиом и правил вывода. После того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно на этих аксиомах и не опираться на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений.

Выбор аксиом, которые составляют основу конкретной теории, не является единственным. Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в математической логике и евклидовой геометрии.

Набор аксиом называется непротиворечивым, если исходя из аксиом набора, пользуясь правилами логики, нельзя прийти к противоречию, то есть доказать одновременно и некое утверждение, и его отрицание.

Австрийский математик Курт Гёдель доказал «теоремы о неполноте», согласно которым всякая система математических аксиом (формальная система), начиная с определённого уровня сложности, либо внутренне противоречива, либо неполна (то есть в достаточно сложных системах найдётся хотя бы одно высказывание, ни истинность, ни ложность которого не может быть доказана средствами самой этой системы).

АКСИО’МА, ы, ж. [греч. axiōma]. Положение, принимаемое без доказательств (мат.). || Очевидная истина, утверждение, принимаемое на веру (книжн.).

Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

аксио́ма

1. матем. книжн. заведомо истинное утверждение, принимаемое без доказательств

Источник

Что такое аксиома простыми словами: определение и значение слова

Аксиома: определение кратко

В нашем родном языке существует огромное число сложных, непонятных, узкоспециализированных слов.

В данной статье вы сможете понять и узнать значение такого интересного слова, как аксиома. Это слово дает свои плоды из Греции, греческого языка, имеет перевод на русский язык: “утверждение”, “положение”.

Аксиома – это то, что было доказано кем-то очень давно и не нуждается в этом снова.

Это истина, которая очевидна всем, ей нужно поверить не требуя доказательств. Бывает аксиома в геометрии и философии.

Значение слова аксиома

Люди считают, что понятие вышеуказанного слова ввел в общее использование Аристотель – древнегреческий философ, ученик Платона с 343 года до н. э. С древнейших веков определение “аксиома” считается вечной, неприкосновенной и априорной.

Т. е. его истина устанавливается независимо от опыта, также не противоречит уже существующим фактам, потому что никто до данного не додумывался, не доказывал.

Аксиома возникает благодаря многовековой познавательной деятельности. Аристотель считал: данное утверждение принимается от природы или космоса. Но в современном мире это понятие сократилось до следующего определения: аксиома – это понятие, которое принимается на веру.

Тысячи лет назад и в современном мире постулат принимается за первоначальное, основывающее положение, исходя из которого строятся другие доказательства, свойства и теоремы. Отталкиваясь от постулата (аксиомы) есть возможно рассуждать на совершенно различные тему, развивать мысли по существующим логическим законам.

“Принимать на веру” можно не все понятия: если дело связано с техническими науками или вещью, то данное должно исходить из проведения многочисленных опытов, анализов, фактов, гипотез. Верить, не проверяя, возможно нематериальные вещи: религия.

Примеры аксиом

Аксиома в философии

Для точного и правильного построения философии следует уметь “философствовать”. Для достижения данного стоит найти важную и необходимую аксиому, являющуюся понятной, разумеющейся и неоспоримой. Надо найти такой постулат, на который возможно опереться, ка на твердую землю и из него выводить другие философские понятия.

Аристотель, в отличие от других мыслителей и философов, смог предоставить свои суждения и изложения о философии в отчетливой форме, он самым первым на основе аксиом построил единую систему философии. Данный метод применим в философии современного мира. Очевиден и разумеющийся до сих пор.

Первая аксиома Аристотеля – закон непротиворечия. Он гласит о сущности и смысле жизни, когда человек проводит тонкую грань между реальностью и мышлением, а также ищет ответы на разные философские вопросы. Закон гласит о том, что две противоположные, противоборствующие стороны не могут находиться на одной черте, существовать вместе одновременно.

Поэтому два разных суждения не могут быть одновременно правильными. Ученый Аристотель не был согласен с другими философами: Гераклитом и Протагором.

Геометрическая аксиома

Геометрия является особым видом познавательной деятельности, изучающая трехмерные фигуры, типы, свойства различных предметов, плоскостей.

Многие важнейшие геометрические понятия формулируются, исходя из подтверждающих положений и утверждений. Остальные – на основе положений, являющиеся правильными без учета доказательств – аксиоматические понятия.

Геометрия рассматривается в двух планах: фигуры и величины на плоскости (планиметрия), пространственные фигуры (стереометрия).

Самыми главными и элементарными планиметрическими понятиями считаются точка и прямая, в стереометрическом разделе геометрии – точка, прямая, плоскость.

Примеры важнейших аксиом геометрии

Все геометрические постулаты разделяют на множество категорий, приведем некоторые из них:

Аксиомы принадлежности

Источник

АКСИОМА

Смотреть что такое «АКСИОМА» в других словарях:

АКСИОМА — (греч. axioma, от axium признавать, почитать). Истина, не требующая доказательств, напр., целое больше своей части. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. АКСИОМА греч. axioma, от axiun, признавать,… … Словарь иностранных слов русского языка

АКСИОМА — (от греч. axioma значимое, принятое положение) исходное, принимаемое без доказательства положение к. л. теории, лежащее в основе доказательств др. ее положений. Долгое время термин «А.» понимался не просто как отправной пункт доказательств, но и… … Философская энциклопедия

аксиома — См … Словарь синонимов

аксиома — ы ж. axiome m., нем. Axiom <, гр. axiôma. 1547. Лексис.1. Отправное положение какой л. науки, принимаемое без доказательств. Сл. 18. Логическия и Онтологическия аксиомы. Брян. 1799 4. || чаще мн. Непреложные правила какой л. науки, искусства;… … Исторический словарь галлицизмов русского языка

Аксиома — Аксиома ♦ Axiome Недоказуемое положение, служащее для доказательства других положений. Являются ли аксиомы истинными? Долгое время считалось, что являются. По мнению Спинозы или Канта, аксиома – это истина, очевидность которой ясна без… … Философский словарь Спонвиля

аксиома — Аксиома, о том, что аксиома, по Евклидовой геометрии, это положение, не требующее доказательств, известно всем, кто доучился в школе до седьмого класса. Мы полагаем, что среди пишущей братии нет людей, не взявших планку на этой высоте. И тем не… … Словарь ошибок русского языка

аксиома — Любое предложение с точным содержанием, утверждаемое в качестве такового авторитетным источником [ГОСТ 34.320 96] аксиома Предложение, принимаемое за истину без доказательств. Аксиомы являются исходными предложениями различных теорий. К аксиомам… … Справочник технического переводчика

АКСИОМА — (от греческого axioma принятие положения), исходное положение научной теории, принимаемое без доказательства … Современная энциклопедия

АКСИОМА — (греч. axioma) положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности; истинное исходное положение теории … Большой Энциклопедический словарь

АКСИОМА — АКСИОМА, утверждение, используемое в математике или логике как основание для дедуктивных рассуждений. см. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД … Научно-технический энциклопедический словарь

АКСИОМА — АКСИОМА, аксиомы, жен. (греч. axioma). Положение, принимаемое без доказательств (мат.). || Очевидная истина, утверждение, принимаемое на веру (книжн.). Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

Источник

Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы

Понятие аксиомы

Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.

Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.

Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.

Основные аксиомы евклидовой геометрии

Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.

А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.

Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:

Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.

У этой аксиомы два следствия:

Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:

Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.

На картинке можно увидеть, как это выглядит:

Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.

Понятие теоремы

Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.

Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.

Состав теоремы: условие и заключение или следствие.

Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.

Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.

Способы доказательства геометрических теорем

Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.

Приемы для доказательства в геометрии:

Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.

Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:

В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.

Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.

Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:

В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.

Записывайся на онлайн обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Доказательство через синтез

Рассмотрим пример синтетического способа доказательства.

Теорема: сумма углов треугольника равна двум прямым.

Дан треугольник: ABC. Нужно доказать, что A + B + C = 2d.

Доказательство:

Проведем прямую DE, так чтобы она была параллельна AC.

Сумма углов, лежащих по одну сторону прямой, равна двум прямым, следовательно, α + B + γ = 2d.

Так как α = A, γ = C, то заменим в предыдущем равенстве углы α и γ равными им углами: A + B + C = 2d. Что и требовалось доказать.

Здесь исходным предложением в цепи доказательств выбрана теорема о сумме углов, которые лежат по одну сторону прямой. Есть связь с теоремами о равенстве углов накрест-лежащих при пересечении двух параллельных третьею косвенною. Доказываемая теорема есть необходимое следствие всех предложенных теорем и является в цепи доказательств последним заключением.

Доказательство через анализ

Рассмотрим пример аналитического способа доказательства.

Теорема: диагонали параллелограмма пересекаются пополам.

Дан параллелограмм: ABCD.

Доказательство:

Если диагонали пересекаются пополам, то треугольники AOB и DOC равны.

Равенство же треугольников AOB и DOC вытекает из того, что AB = CD, как противоположные стороны параллелограмма и ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ, как накрест-лежащие углы.

Таким образом мы видим, что последовательно данное предложение заменяется другим и такое замещение совершается до тех пор, пока не дойдем до уже доказанного предложения.

Теоремы без доказательств

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:

Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:

где a, b и c — стороны плоского треугольника,

α — угол напротив стороны а.

Следствия из теоремы косинусов:

Понятия свойств и признаков

У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.

Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.

Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.

Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.

Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.

Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.

Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.

А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.

Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.

Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:

Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.

Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.

Источник

(греч. ἀξίωμα – удостоенное, принятое положение, от ἀξιόω – считаю достойным) – положение нек-рой данной теории, к-рое при дедуктивном построении этой теории не доказывается в ней, а принимается за исходное, отправное, лежащее в основе доказательств других предложений этой теории. Обычно в качестве А. выбираются такие предложения рассматриваемой теории, к-рые являются заведомо истинными или могут в рамках этой теории считаться истинными, не вызывая сомнений в силу своей простоты и ясности.

Возникнув в Древней Греции, термин «А.» впервые встречается у Аристотеля, а затем через труды последователей и комментаторов Эвклида прочно входит в геометрию. В средние века господство аристотелевской философии обусловило его проникновение в другие области науки, а через нее и в обыденную жизнь. А. стали называть такое общее положение, к-рое, будучи совершенно очевидным, не нуждается в доказательстве. Природу этой очевидности видели, следуя взглядам, идущим еще от Платона, в прирожденности человеку таких основных истин, как математич. А. Учение Канта об априорности последних, т.е. о том, что они предшествуют всякому опыту и не зависят от него, было кульминацией таких взглядов на А. Построение Лобачевским неэвклидовой геометрии явилось первым крупным ударом по взгляду на А. как на вечные и непреложные «априорные» истины.

Критикуя взгляды Гегеля на логич. А. (на фигуры аристотелевских силлогизмов), Ленин писал: «практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, д а б ы эти фигуры м о г л и получить значение а к с и о м» («Философские тетради», 1947, с. 164). Именно в обусловленности многовековым человеч. опытом и практикой, включая сюда также и эксперимент, и опыт развития науки, – причина очевидности А., рассматриваемых как истины, не нуждающиеся в доказательстве.

Вместе с тем крушение взгляда на А. как на «априорные» истины привело к раздвоению понятия А. Все возрастающая в связи с запросами практики необходимость экспериментировать в области построения новых теорий, заменять, подобно Лобачевскому, одну А. другой, а также связанная с опытным происхождением А. их относительность, зависимость от ранее встречавшихся конкретных условий опыта и уровня развития науки, приводящая к невозможности выбрать раз навсегда и навечно в качестве А. такие положения, к-рые будут истинны абсолютно во всех условиях, – все это обусловило появление (а в наст. время в математике, особенно в математич. логике) и господство понятия А. в смысле, несколько отличном от традиционного. Понятие А. в этом новом смысле зависит от того, построение какой теории рассматривается и как оно проводится. А. данной теории при этом называются просто те предложения этой теории, к-рые при данном построении ее как дедуктивной теории (т.е. при данной ее аксиоматизации) принимаются за исходные, притом совершенно независимо от того, сколь они просты и очевидны.

Более того, уже из опыта, напр., построения различных неэвклидовых геометрий и их последующего истолкования и практич. использования (см. Относительности теория) стала ясной невозможность при построении (или аксиоматизации) той или иной теории каждый раз требовать заранее истинности ее аксиом. Об истинности А. нек-рой теории можно говорить лишь в связи с той или иной интерпретацией системы А. этой теории, но даже вопрос о существовании интерпретации часто ставится уже после построения самой теории. Да и при наличии фиксированной интерпретации возникают глубокие трудности, связанные со сложностью самого понятия истинности и проявляющиеся при попытках логико-математич. определения этого понятия в применении хотя бы к предложениям нек-рой достаточно четко описанной теории. Эти трудности могли быть обнаружены лишь после того, как стало возможным говорить о математич. описаниях самих теорий средствами развитого аппарата математич. логики, позволяющего формализовать различные теории. С его созданием связано дальнейшее развитие, еще одно раздвоение понятия А., появление третьего смысла этого термина. В формальном исчислении А. является уже не предложением нек-рой содержательной научной теории, а просто одной из тех формул, из к-рых по правилам вывода этого исчисления выводятся остальные доказуемые в нем формулы («теоремы» этого исчисления). См. также Метод аксиоматический и лит. к этой статье.

А. Кузнецов. Москва.

Знаете ответ?

Содержание

• — Что является следствием аксиомы или теоремы?
• — Что в геометрии не надо доказывать?
• — Чем аксиома отличается от догмы?
• — Что такое аксиома и примеры?
• — Какие существуют аксиомы?
• — Как нужно доказывать теоремы?
• — Что такое аксиомы планиметрии?
• — Нужно ли доказывать теоремы?
• — Как называется утверждение которое нельзя доказать в геометрии?
• — Что такое Аксиомы стереометрии?
• — Почему аксиома не требует доказательств?
• — Сколько в мире аксиом?
• — В чем разница между аксиомой и постулатом?
• — Что такое аксиома жизни?
• — Какое утверждение является аксиомой?

Теорема – утверждение, устанавливающее некоторое свойство и требующее доказательства. … Аксиома – утверждение, устанавливающее некоторое свойство и принимаемое без доказательства.

Что является следствием аксиомы или теоремы?

Теорема является логическим следствием аксиом. Доказательство математической теоремы является логическим аргументом для утверждения теоремы, приведенного в соответствии с правилами формальной системы. Доказательство теоремы часто интерпретируется как обоснование истинности утверждения теоремы.

Что в геометрии не надо доказывать?

Слово аксиома произошло от древнегреческого слова «axioma» — утверждение, положение. Аксиома — утверждение, которое не требует доказательств. … Всего в геометрии насчитывается около 15 аксиом.

Чем аксиома отличается от догмы?

Аксиома — это утверждение, принятое в рамках конкретной теории. … Догмы — это аксиомы культурных, религиозных, политических теорий.

Что такое аксиома и примеры?

Аксиома это теорема не требующая доказательства. Пример: две паралельные линии не пересекаются. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Какие существуют аксиомы?

Примеры аксиом

• Аксиома выбора
• Аксиома параллельности Евклида
• Аксиома Архимеда
• Аксиома объёмности
• Аксиома регулярности
• Аксиома полной индукции
• Аксиома Колмогорова
• Аксиома булеана.

Как нужно доказывать теоремы?

Теорему можно доказать путем логического мышления и выстраивания логической цепочки. Также применяются заранее доказанные теоремы и аксиомы. Все предельно просто, если включить логику и действовать по конкретному алгоритму доказывания теорем.

Что такое аксиомы планиметрии?

Аксиомы планиметрии – это основные свойства простейших геометрических фигур. Неопределяемыми или основными понятиями в планиметрии являются точка, прямая.

Нужно ли доказывать теоремы?

Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе. … Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.

Как называется утверждение которое нельзя доказать в геометрии?

Недоказу́емые утвержде́ния в какой-либо теории — утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках этой теории. Аксиома выбора и континуум-гипотеза недоказуемы в теории множеств с аксиоматикой Цермело — Франкеля (ZF). …

Что такое Аксиомы стереометрии?

Аксиомы стереометрии:

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Почему аксиома не требует доказательств?

В основе любой теории лежит какой-нибудь незыблемый постулат. Это та база, которая не требует доказательств, и в рамках данной теории принимается безоговорочно. К тому же, никакую теорему доказать без аксиомы невозможно. …

Сколько в мире аксиом?

В Евклидовой геометрии основные свойства точки, прямой и плоскости, которые относятся к их взаимному расположению, выражены в 20 аксиомах.

В чем разница между аксиомой и постулатом?

Постулат (от лат.

1) утверждение (суждение), принимаемое в рамках какой-либо научной теории за истинное, хотя и не доказуемое её средствами, и поэтому играющее в ней роль аксиомы. 2) Общее наименование для аксиом и правил вывода какого-либо исчисления.

Что такое аксиома жизни?

Аксиома жизни — не наживать себе врагов, а если нажил, дьявол — твое спасение.

Какое утверждение является аксиомой?

Тезаурус: Аксиома – это утверждение, которое принимается в качестве исходного, без доказательства в рамках данной теории. Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Интересные материалы:

В каком году была построена первая пожарная вышка?
В каком году была построена Спасская башня?
В каком году была построена железная дорога из Петербурга в Царское Село?
В каком году была принята действующая Конституция Российской Федерации?
В каком году была присуждена Нобелевская премия Шолохову?
В каком году была проведена последняя перепись населения России?
В каком году была сделана первая гитара?
В каком году была смерть Аттилы?
В каком году была создана единая россия?
В каком году была создана группа корни?