Актуальность теоремы виета

Творческие проекты и работы учащихся

В процессе работы над индивидуальным проектом по математике “Теорема Виета для уравнений третьей степени” ученицей 8 класса школы была поставлена и реализована цель, создать электронное пособие, которое может быть использовано как при классно–урочной, так при дистанционной системе обучения, которое расширит знания учащихся о теореме Виета и ее применении для решения уравнений третьей степени.

Подробнее о проекте:

В готовом творческом и исследовательском проекте по математике “Теорема Виета для уравнений третьей степени” автор выполняет практические задания по решению уравнений третей степени прибегая к применению теоремы Виета, подробно описывает их. Также в работе рассмотрены нестандартные методы решения математических задач, используя теорему Виета. Данная работа рассчитана заинтересовать учащихся изучить принцип использования теоремы Виета в решении уравнений третей степени и сложных математических задач, чтобы расширить их знания и умения в области математики.

Оглавление

Введение
1. Виет Франсуа.
2. Теорема Виета для квадратных уравнений.
3. Теорема Виета для кубических уравнений
Заключение
Литература

Введение

Цель работы: создание электронного пособия, которое может быть использовано как при классно – урочной, так при дистанционной системе обучения, которое расширит знания учащихся по данной теме за пределы страниц школьного учебника, путём обобщения теоремы Виета для уравнений третьей степени и применения специальных методов решения задач.

1. на примере биографии великого ученого показать движущие силы научной мысли;
2. сформулировать, доказать и научить использовать теорему Виета в стандартных математических задачах;
3. исследовать возможность обобщения теоремы для уравнений третьей степени;
4. рассмотреть нестандартные методы решения математических задач, используя теорему Виета;
5. вызвать активный познавательный интерес, который позволит глубже изучить проблему.

Виет Франсуа

Получив юридическое образование, он с девятнадцати лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городе. Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением.

Он был широко образованным человеком. Знал астрономию и математику, и все свободное время отдавал этим наукам.

Главной страстью Виета была математика. Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина и других. Виета они не только восхищали, в них он видел большой изъян, заключающийся в трудности понимания из-за словесной символики: почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся.

Нельзя было записывать и, следовательно, начать в общем виде алгебраические сравнения или какие-нибудь другие алгебраические выражения. Каждый вид уравнения с числовыми коэффициентами решался по особому правилу. Поэтому необходимо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми числами, которые от этих самих чисел не зависят. Виет и его последователи установи, что не имеет значения, будет ли рассматриваемое число количеством предметов или длиной отрезка.

Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода. Значит, их можно обозначать какими-либо отвлеченными знаками. Виет это и сделал. Он не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытий, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними. Такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений.

Не случайно за это Виета называют “отцом” алгебры, основоположником буквенной символики.

Из других открытий Виета следует отметить выражение для синусов и косинусов кратных дуг через sin x и cos x.

Эти знания тригонометрии Виет с успехом применял как в алгебре при решении алгебраических уравнений, так и в геометрии, например, при решении с помощью циркуля и линейки знаменитой задачи Аполлония Пергского о построении круга, касательного к трем данным кругам.

Гордясь найденным решением, Виет называл себя Алоллонием Гальским (Галлией во времена древнего Рима называли современную Францию).

Нельзя сказать, что во Франции о Виете ничего не знали.

Громкую славу он получил при Генрихе III, во время франко-испанской войны.

Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись (шифр), которая все время изменялась и дополнялась.

Благодаря такому шифру воинствующая и сильная в то время Испания могла свободно переписываться с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта переписка всё время оставалась неразгаданной. После бесплодных попыток найти ключ к шифру король обратился к Виету.

Рассказывают, что Виет две недели подряд дни и ночи просидев за работой, все же нашел ключ к испанскому шифру. После этого неожиданно для испанцев Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Испанцы долго недоумевали. Наконец им стало известно, что шифр для французов уже не секрет и что виновник его расшифровки – Виет. Будучи уверенными в невозможности разгадать их способ тайнописи людьми, они обвинили Францию перед папой римским и инквизицией в кознях дьявола, а Виет был обвинен в союзе с дьяволом и приговорен к сожжению на костре. К счастью для науки, он не был выдан инквизиции.

В конце 16 столетия голландский математик Андриан ван-Роумен, известный, пожалуй, тем, что вычислил число Пи с восемнадцатью верными знаками, решил бросить вызов всем математикам мира.

Он разослал во все европейские страны уравнение 45-й степени:

французским математикам он решил это уравнение не посылать, считая, что там нет способных справиться с задачей: Декарт в то время еще не родился, Пьера Рамуса в 1572 убили в Варфоломеевскую ночь, о других математиках не было слышно.

Так французские математики не смогли принять вызов. Больше всего было ущемлено самолюбие Генриха IV. – И все же у меня есть математик! – воскликнул король. – Позовите Виета! В приемную короля вошел пятидесятитрехлетний седоволосый советник короля Франсуа Виет. Он тут же, в присутствие короля, министров и гостей, нашел один корень предложенного уравнения. Виет увидел, что а есть сторона правильного 15-угольника, вписанного в круг радиуса 1, а по коэффициентам второго и последнего членов заключил, что х есть хорда 1/45 этой дуги, как оно и было на самом деле.

Король ликовал, все поздравляли придворного советника.

На следующий день Виет нашел еще 22 корня уравнения.

После такого успеха Виета составитель злополучного уравнения Роумен стал ревностным почитателем его.

В последние годы жизни Виет занимал важные посты при дворе короля Франции.

В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Виет звался сеньор де ла Биготье. В придворных новостях маркиз Летуаль писал: “. 14 февраля 1603 г. господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков века умер . в Париже. Ему было более шестидесяти лет”. Подозревают, что Виет был убит.

Несмотря на огромное желание и упорные занятия, книгу, которую назвал “Искусство анализа, или Новая алгебра”.

Виет всё же не завершил. Но главное было написано.

И это главное определило развитие всей математики Нового времени.

Теорема Виета для квадратных уравнений

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Рассмотрим квадратное уравнение вида ax2 + bx + c =0, где а ≠ 0. Приведём его к приведённому квадратному уравнении, путём деления на первый коэффициент а:

ax2 + bx + c = 0 |: а x^2+b/a x+c/a=0.

Введём обозначения: p=b/a, q=c/a. Тогда уравнение примет вид x2+px +q=0. Найдём дискриминант данного уравнения по формуле D = b2 – 4ac, т.е. D = p2 – 4q.

Теорема Виета для уравнений третьей и четвертой степени

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Теорема Виета для уравнений третьей и четвертой степени Презентация по теме

Цель Научиться решать уравнения третьей и четвертой степени, используя формулы Виета.

Задачи Знакомство с научным вкладом Франсуа Виета. Вспомнить формулы Виета для приведенного квадратного уравнения. Ознакомиться с формулой для решения приведенного кубического уравнения. Ознакомиться с формулой для решения приведенного уравнения четвертой степени.

Франсуа Виет Франсуа Виет(1540—1603) – французский математик. В 1591 году ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами. Ему принадлежит установление единообразного приёма решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степеней. В тригонометрии Франсуа Виет дал полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольника по трём данным.

Приведенное квадратное уравнение

Приведенное кубическое уравнение Если x1, x2, x3 – корни кубического уравнения x3 + bx2 + cx + d = 0, то

Если x1, x2, x3, x4 – корни уравнения четвертой степени x4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, то Приведенное уравнение четвертой степени

Вывод В данной работе мы достигли поставленных целей: я узнала о научной деятельности Ф. Виета, его вкладе в математику, ознакомилась с формулами для решения приведенных уравнений третьей и четвертой степени, мы закрепили новые знания, с помощью решения задач. Но при этом нужно отметить, что данный метод не всегда эффективен, т.к. с его помощью в некоторых ситуациях подобрать корни сложно или почти невозможно. Например: 1) x3 + 13×2 + 27x + 1 = 0 x1 = – 10,417 x2 = – 0,038 x3 = – 2,545

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 952 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 683 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 565 310 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.

§ 29. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета

Другие материалы

• 16.05.2019
• 438
• 0

• 16.05.2019
• 1465
• 1

• 13.05.2019
• 6618
• 142

• 13.05.2019
• 2100
• 38

• 12.05.2019
• 557
• 39

• 10.05.2019
• 1869
• 103

• 10.05.2019
• 2636
• 50

• 30.04.2019
• 376
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 20.05.2019 3481
• PPTX 1.6 мбайт
• 82 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Семикова Наталия Геннадиевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 4 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 9339
• Всего материалов: 8

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Египте нашли древние школьные «тетрадки»

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Применение теоремы Виета в кубических уравнениях
презентация к уроку по алгебре (9 класс)

Формулы Виета для решения квадратных и кубических уравнений с примерами

Скачать:

Вложение	Размер
primenenie_teoremy_vieta_v_kubicheskih_uravneniyah.pptx	894.08 КБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Тема : применение теоремы Виета в кубических уравнениях Автор: Лосикова Т.В.

Актуальность Применение теоремы Виета является уникальным приёмом для решение квадратных уравнений устно. В связи с этим возникает вопрос: а можно ли решать кубические уравнения с помощью теоремы Виета

Цель: Изучить и доказать теорему Виета. Получить формулы теоремы Виета для кубических уравнений. Научиться решать кубические уравнения с помощью теоремы Виета и доказать ее эффективность. Задачи: Провести исследование зависимости коэффициентов уравнения и его корней. Уметь применять теорему Виета при решение кубических уравнений. Доказать эффективность применения теоремы Виета.

Франсуа́ Вие́т , сеньор де ля Биготьер — французский математик, основоположник символической алгебры. Свои труды подписывал латинизированным именем «Франциск Виета», поэтому иногда его называют «Виета». По образованию и основной профессии — юрист. Википедия Родился: 1540 г., Фонтене – ле -Конт, Франция Умер: 13 февраля 1603 г., Париж, Франция Учёная степень: бакалавр права (1559) Научная сфера: Математика Страна: Франция

ТЕОРЕМА Виета для квадратных и кубических уравнений + bx+c =0 + + cx+d =0

Применение теоремы В иета в квадратном уравнении По теореме Виета: X 1=1 X 2=4 Ответ: 1;4

Применение теоремы Виета в кубическом уравнении По теореме Виета: X1=-3 X 2=3 X 3=-2 Ответ: -3; -2;3

Применение теоремы Виета когда Для этого необходимо разделить на , c умножить на a Уравнение примет вид M 1=15 M 2=-1 X 1=5 X 2=- Ответ: – ;5

вывод : Был исследован метод решения квадратных и кубических уравнений с помощью теоремы Виета. Формулы просты в использовании и позволяют решать уравнения простым и рациональным способом.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Разработка урока по теме: “Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений”

Урок по теме “Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений” это урок закрепления и обощения знаний. На данном уроке я использую частично-поисковый метод. Для закрепления материала использ.

Решение квадратных уравнений с применением теоремы Виета

Решение квадратных кравнений с применением теоремы Виета.

Применение теоремы Виета (2 урок)

Презентация к уроку алгебры 8 класс. Тема: “Теорема Виета”(2 урок).

Пособие для учащихся Применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений

В пособии представлен алгоритм нахождения корней приведенного квадратного уравнения. Пособие предназначено ученикам 9 класса в помощь при подготовке к ОГЭ, а также учителям при организации уроков повт.

Открытый урок “Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений”

Открытый урок “Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений”.

Применение теоремы Виета для решения квадратных уравнений

Конспект урока по математике, в котором ученик получит возможность сформировать устойчивые умения и навыки применения теоремы Виета для решения некоторых классов задач: нахождение суммы и .

Методические рекомендации к изучению темы: « Решение квадратных уравнений» с применением теоремы Виета для решения приведенного квадратного уравнения и полного квадратного уравнени

Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто в старших классах, Решение иррациональных, показательных , логарифмических ,тригонометрических уравнений часто сводится к решени.

ФРАНСУА ВИЕТ И ЕГО ЗНАМЕНИТАЯ ТЕОРЕМА

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

Объекты проекта: целые рациональные уравнения и многочлены различных степеней.

Предмет проекта: теорема Виета как инструмент для решения уравнений и вычисления значений многочленов различных степеней.

Цель работы: создание электронного пособия, которое может быть использовано как при классно – урочной, так при дистанционной системе обучения, расширит знания и возможности учащихся по данной теме за пределы страниц школьного учебника, путём обобщения теоремы Виета для уравнений высших степеней и применения специальных методов решения задач.

Задачи:

1. На примере биографии великого ученого показать движущие силы научной мысли.

2. Сформулировать, доказать и научить использовать теорему Виета в стандартных математических задачах.

3. Исследовать возможность обобщения теоремы для уравнений высших степеней.

4. Рассмотреть нестандартные методы решения математических задач, используя теорему Виета.

5. Экспериментально убедиться в рациональности применения теоремы.

6. Предложить материалы проверки как для теоретической, так и для практической подготовленности учащихся.

7. Вызвать активный познавательный интерес, который позволит глубже изучить проблему.

Глава 1.Теорема Франсуа Виета и её значение в математике.

Жизненный путь.

Франсуа Виет — выдающийся французский математик XVI в., положивший начало алгебре как науке. По образованию и основной профессии — юрист, по склонности души — математик.Франсуа Виет родился в 1540 г. на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт, что находится в 60 км от Ла Рошели, бывшей в то время оплотом французских протестантов-гугенотов. Большую часть жизни он прожил рядом с виднейшими руководителями этого движения, хотя сам оставался католиком. Отец Виета был юристом, а мать (Маргарита Дюпон) происходила из знатной семьи, что облегчило дальнейшую карьеру её сына.По традиции сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери двенадцатилетней Екатерины. Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике.Когда ученица выросла и вышла замуж, Виет не расстался с ее семьей, а переехал с нею в Париж, где ему было легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы.

Жизненный путь. На государственной службе

В 1571 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.В ночь на 24 августа 1572 года в Париже произошла массовая резня гугенотов католиками, так называемая Варфоломеевская ночь. В ту ночь вместе со многими гугенотами погибли муж Екатерины де Партене и математик Рамус. Во Франции началась гражданская война

На государственной службе (2)

Через несколько лет Екатерина де Партене снова вышла замуж. На сей раз, ее избранником стал один из видных руководителей гугенотов — принц де Роган. По его ходатайству в 1580 году Генрих III назначил Виета на важный государственный пост рекетмейстера, который давал право контролировать от имени короля выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов.

Генрих III

Находясь на государственной службе, Виет оставался ученым. К этому времени относятся свидетельства современников Виета о его огромной трудоспособности. В 1584 году по настоянию Гизов Виета отстранили от должности и выслали из Парижа. Именно на этот период приходится пик его творчества. Обретя неожиданный покой и отдых, ученый поставил своей целью создание всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи… И он справился со своей задачей…

Герцог Гиз

Интересные факты из жизни и деятельности ученого

• Франсуа Виет, вычисляя периметры вписанного и описанного 322 216-угольников, получил 9 точных десятичных знаков.

• Впервые обозначать десятичные дроби с помощью запятой предложил Франсуа Виет. До него изображение дробей было весьма сложным. Так, например, дробь 0,3469 писалась так: 3(1)4(2)6(3)9(4).

• Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым он внедрил в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т.е. ввести понятие математической формулы.

• Франсуа Виет, вычисляя периметры вписанного и описанного 322 216-угольников, получил 9 точных десятичных знаков.

• Впервые обозначать десятичные дроби с помощью запятой предложил Франсуа Виет. До него изображение дробей было весьма сложным. Так, например, дробь 0,3469 писалась так: 3(1)4(2)6(3)9(4).

Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым он внедрил в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т.е. ввести понятие математической формулы

• Ученый мог работать по трое суток без сна!

• Теорему Виета можно обобщить на многочлены любой степени.

• Непосредственно применение трудов Виета очень затруднялось тяжелым и громоздким изложением. Из-за этого они полностью не изданы до сих пор.

• Г.Г. Цейтен отмечал, что чтение работ Виета затрудняется несколько изысканной формой, в которой повсюду сквозит его большая эрудиция, и большим количеством изобретенных им и совершенно не привившихся греческих терминов. Потому влияние его, столь значительное по отношению ко всей последующей математике, распространялось сравнительно медленно.

• Виет первым стал применять скобки, которые, правда, у него имели вид не скобок, а черты над многочленом.

Главные открытия Ф. Виета изложены в знаменитом «Введении в аналитическое искусство», опубликованном в 1591 году. Основной замысел ученого замечательно удался: началось преобразование алгебры в мощное математическое исчисление. Франсуа называл алгебру аналитическим искусством. Он писал в письме к де Партене: «Все математики знали, что под алгеброй скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти…»

Теорема: Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал ее так:

«Если В+D, умноженное на А, минус А в квадрате равно ВD, то А равно В и равно D».

(B+D)*A- A² =BD.

Это выражение можно переписать в привычном для нас виде:

A²— (B+D)*A+BD= 0

Во время затяжной войны между Францией и Испанией, испанские инквизиторы, воюя против протестантской церкви, использовали шпионскую связь. Они считали, что придуманный ими шифр для шпионских донесений, состоящий из 600 знаков не доступен для разгадывания. Но вдруг инквизиторы узнали, что шифр расшифрован и в этом причина их неудач. Разгадал тайну шифра Франсуа Виет. Испанские инквизиторы заявили о том, что простой человек не мог разгадать шифр, обвинили Виета в заговоре с нечистой силой, которая якобы помогла ему. Заочно Виет был приговорен к смерти. Возможно, что приговор и был со временем исполнен

Практическая часть:

x² + px – 35= 0

x₁ = 7

Найти: x₂; р.

Решение:

x₁ + x₂ = -р

x₁ * x₂ = -35

7 + x₂ = -p

7 * x₂ = -35

7 + x₂ = -p

x₂ = -5

7 + (-5) = -р

x₂ = -5

p = 2

x₂ = -5

Ответ: р = 2; x₂ = -5.

2. x² — 13x + q = 0

х₁ = 12, 5

Найти: x₂; q.

Решение:

x₁ + x₂ = 13

х₁ * x₂ = q

12,5 + x₂ = 13 (1)

12,5 * x₂ = q (2)

12,5 + х₂ = 13

х2 = 0,5

(2) 12,5 * 0,5 = 6,25

Ответ: х₂ = 0,5; q = 0,25.

3. Составить квадратное уравнение с заданными корнями:

x₁ = -7

x₂ = -2

Решение:

x₁ + x₂ = -b

x₁ * x₂ = c

-7 + (-2) = -b

-7 * (-2) = c

-b = -9

c = 14

b = 9

c = 14

Ответ: x²+ 9x + 14 = 0.

А) x² + 16x + 63 = 0

D>0

Решение:

По формулам Виета:

х₁ + х₂ = -16

х₁ * х₂ = 63

х₁ = -7

х₂ = -9

Ответ: -7; -9.

Б) х² + 2х – 48 = 0

D>0

Решение:

По формулам Виета:

х₁ + х₂ = -2

х₁ * х₂ = -48

х₁ = -8

х₂ = 6

Ответ: -8; 2.

5. Разность корней квадратного уравнения х² + х + с = 0 равна 6. Найдите с.

Решение:

х₁, х₂ – корни данного уравнения.

Х₁ – х₂ = 6 (по условию)

х₁ + х₂ = -1 (по формуле Виета)

2х₁ = 5

2х₂ = -7

х1 = 2,5

х2 = -3,5

с = х₁ * х₂ = -8,75

Ответ: -8,75.

Самостоятельная работа

1.Найдите сумму корней квадратного уравнения:

.

2. Найдите произведение корней квадратного

уравнения:

3. Найдите корни неприведённого квадратного

Уравнения

4. Составить квадратное уравнение с целыми

коэффициентами, корнем которого является число

1. Сумма корней равна 6

2. Произведение корней равно 14

3.

4.

Глава 2. Гипотеза

Применение теоремы Виета к уравнениям высших степеней

Гипотеза

Если с помощью формул Виета можно быстро находить корни квадратного уравнения, то можно ли применить формулы к уравнениям высших степеней?

Если корни многочлена

то коэффициенты выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:

Если старший коэффициент многочлена

, то для применения формул Виета нужно разделить все коэффициенты на а₀ .

В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

Доказательство осуществляется рассмотрением неравенства

где правая часть представляет собой многочлен, разложенный на множители.

Задача №2:

В это опыте я сравнила время, потраченное на решение уравнения x²+3x+2=0 через дискриминант, и время на решение этого же уравнения с помощью теоремы Виета. В результате получилось, что в первом случае ученик тратит 35 секунд, а во втором- 15секунд

Вывод: С формулами Виета можно сэкономить время

Задача 3

Дано уравнение:

Ищем корень среди чисел:

Подбором находим один из корней уравнения, -1

Следовательно, делится на .

Задача 4

По формулам Виета:

Следовательно, корни уравнения равны

Вывод: формулы Виета позволяют рационально решить это уравнение.

Задача 5

При решении уравнений было замечено, что уравнения

И

имеют взаимно обратные корни.

Гипотеза:

Корни уравнений

и , где

взаимно обратные.

По формулам Виета из первого уравнения:

Рассмотрим числа и

Значит, эти числа являются корнями

уравнения что

равносильно уравнению

Поскольку формулы Виета имеют обобщение для уравнения степени n , то можно быть уверенным, что утверждение об обратных корнях верно и для уравнений 3-й, 4-й и более высоких степеней.

Доказательство данного факта для уравнения 3-й степени содержится в следующей задаче.

Обратные корни:

Напишем приведённое кубическое уравнение

корни которого обратны корням уравнения

Решение:

1) Пусть — корни уравнения

2) Т.к то по формулам Виета

3) Пусть — корни уравнения

4) Тогда

5) Т.к. , то по формулам Виета

6) Следовательно искомое уравнение имеет вид:

, или

Гипотеза

Формулы Виета дают специальный метод решения алгебраических задач- метод вспомогательного многочлена

Решение:

Составим квадратное уравнение, корнями которого являются числа

Получим:

Так как и

справедливо неравенство

Ответ: число является решением данного неравенства.

Решение: вспомним результат задачи №4 в практикуме:

Или

Используя это соотношение, выразим линейно через и степени и

Отсюда:

Ответ -1

Из этих соотношений следует, что все члены последовательности с целыми и с нечётными номерами делятся на 14

Следовательно, — целое число, делящееся на 14

Заключение: На мой взгляд, формулы Виета- очень важное математическое открытие. Люди пользуются ей уже пятое столетие. Но история теоремы на этом не закончится. Я уверена, что и в будущем её будут применять, исследовать и открывать в ней новые аспекты.

Список литературы

1.Большая Советская Энциклопедия

2.Википедия

3.Макарычев Ю.Н. Алгебра: учебник для 8 класса.

4. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант»

5. Самин Д.К. 100 великих ученых. — М.: Вече, 2000.

Просмотров работы: 6414

Естественно-математические науки

Математика

«Нужна ли теорема Виета математику?»

(Теорема Виета)

фамилия, имя, отчество участника (полностью)

Шеина Дарья Андреевна

полное наименование образовательной организации (согласно Уставу)

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Плехановская средняя общеобразовательная школа»

класс участника

8

фамилия, имя, отчество научного руководителя (полностью)

Плахина Елена Николаевна

место работы руководителя

МАОУ «Плехановская СОШ»

должность руководителя

Учитель математики

Кунгурский район – 2022

Введение

Уравнения в математике играют важную роль, как в теории, так и на практике. В 8 классе мы познакомились с квадратными уравнениями, научились их решать разными методами. Меня очень заинтересовал метод решения квадратных уравнения с применением теоремы Виета.

Цель работы: изучить практическое применение теоремы Виета к решению и составлению квадратных уравнений.

Задачи: разработать математическую модель и техническое задание для программы – генератора квадратных уравнений.

Предмет исследования: элементарная алгебра

Объект исследования: квадратные уравнения, теорема Виета, область применения теоремы Виета.

Перед началом работы выдвинута гипотеза, что ученики недооценивают возможности применения теоремы Виета.

Актуальность: В наше время появилась проблема того, что обучающиеся часто берут из Интернета готовые решения заданий из учебника. Эта проблема заставляет учителей искать другие способы создания контрольно-измерительных материалов (домашних работ, самостоятельных работ и других).

Методы исследования: анкетирование, моделирование, эксперимент.

Новизна работы: на данный момент я не нашел готовых программ для составления квадратных уравнений, а квадратные уравнения с произвольными коэффициентами чаще всего имеют «некрасивые» корни или вообще не имеют корней.

Практическая часть: Разработка математической модели, технического задания и внешнего проекта программы для генерации квадратных уравнений.

Глава 1. Исторические сведения. Франсуа Виет

Франсуа Виет (1540-1603) по праву считается одним из самых выдающихся учёных всех времен. Его имя вполне заслужено ставится в один ряд с такими великими математиками как Пифагор, Евклид, Вильгельм Лейбниц, Рене Декарт. Франсуа Виет, сеньор де ля Биготьер — французский математик, основоположник символической алгебры. Часто его называют «отцом буквенной алгебры».

Свои труды подписывал латинизированным именем «Франциск Виета» (Franciscus Vieta), поэтому иногда его называют «Виета». По образованию и основной профессии — юрист.

Франсуа Виет родился в 1540г. в Фонтене-ле-Конт. Франсуа учился сначала в местном францисканском монастыре, а затем — в университете Пуатье, где получил степень бакалавра (1560). С 19 лет он работал адвокатом. Знал астрономию и математику и все свободное время отдавал этим наукам.

Но уже через четыре года поступил на должность секретаря к знатному дворянину-гугеноту де Партене. Одновременно он стал у него домашним учителем его 12-летней дочери Екатерины. В это время он увлёкся изучением тригонометрии и астрономии. Франсуа Виет сам не считал себя математиком. Он говорил, что занимается математикой в свободное время для собственного удовольствия. При этом, будучи состоятельным человеком, свои труды он за свой счет издавал и рассылал ученым во все уголки Европы. В историю Франсуа Виет вошел как выдающийся математик, автор многих эпохальных научных открытий.

Именем Виета названа самая знаменитая теорема школьной математики, в которой речь идет о взаимосвязи коэффициентов и свободного члена многочлена с его корнями. Мир узнал об этой теореме в 1591 году. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал ее так: «Если B+D, умноженное на А, минус А в квадрате равно BD, то А равно В и равно D» (буква А в современных обозначениях это неизвестная x, а буквы В и D – коэффициентам p и свободный член q приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0).

Глава 2. Теорема Виета

2.1. Область применения

Теорема Виета сейчас одна из самых знаменитых терем школьной алгебры.

Сейчас в учебниках она звучит таким образом: «Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену»1.

То есть, если нам дано приведенное квадратное уравнение

то выполняются следующие соотношения для корней данного уравнения x1 и x2, называемые формулами Виета

Так же существует теорема обратная теореме Виета: «Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения »2. Именно этим утверждением пользуются при решении приведенных квадратных уравнений.

Теорема достойна восхищения, особенно если учесть, что её можно обобщать на многочлены любых степеней.

Пусть уравнение – уравнение n-ой степени. Тогда теорема Виета для уравнения n-ой степени имеет следующий вид:

……………………….

Но, данная формула в школьном курсе алгебры не изучается.

Зато, теорема Виета может помочь выпускнику 11 класса при решении ЕГЭ по математике профильного уровня. Так, например, возьмем задачу из резервной волны ЕГЭ по математике от 24.06.2019, задание №193:

Квадратное уравнение   имеет два различных натуральных корня.

а) Пусть q = 34 .Найдите все возможные значения p.

б) Пусть p + q = 22. Найдите все возможные значения q.

в) Пусть q2 + p2 = 2812. Найдите все возможные корни исходного уравнения.

Ученик, знакомый с теоремой Виета, сможет решить первое задание этой задачи уже в 8 классе. Нетрудно заметить, что число 34 раскладывается на множители следующим образом: 34 = 1 34 или 34 = 217, значит корнями данного уравнения будут числа х1 = 1, х2 = 34 или х1 = 2, х2 = 17, значит, пользуясь формулами Виета можно найти р = – (1 + 34) = – 35 и р = – (2 + 17) = – 19, и это есть ответ на задание под буквой а.

Решение задания под буквой б и в уже сложнее, но тут снова используются формулы Виета.

2.2. Популярность теоремы Виета

Меня заинтересовал вопрос, насколько популярна теорема Виета среди учащихся школ и студентов, которые посвятили себя математике.

Для изучения этого вопроса мною были составлены две анкеты, на вопросы которых было предложено ответить учащимся 8-11 классов общеобразовательных школ и студентам механико-математического факультета Пермского государственного национального исследовательского университета.

Респондентам предложено было ответить на следующие вопросы:

Знаешь ли ты, что такое теорема Виета?

Пол

ьзуешься ли ты теоремой Виета?

Кроме того, учащимся школы нужно было указать свой класс.

Анализ полученных данных показал, что с теоремой знакома большая часть опрошенных (около 95%), но пользуются ей меньше половины (около 46%). Причем чаще всего ее применяют учащиеся 10-11 классов. Подробные результаты опроса приведены в Приложении 1 Рис.1.

Я считаю, что теорему Виета недооценивают. В учебниках, по которым мы обучаемся, приведено очень мало заданий на отработку навыков использования этой замечательной теоремы. Мне кажется, именно это является причиной ее непопулярности среди учащихся. У меня появилась идея использовать эту теорему для составления квадратных уравнений. Мною было выдвинуто предложение написать программу «Генератор квадратных уравнений». Я думаю, что она будет полезна учителям математики для быстрого составления уникальных заданий для учащихся, также ее могут использовать сами ученики для тренировки решений квадратных уравнений.

Глава 3. «Генератор квадратных уравнений».

3.1. Математическая модель

Пусть приведенное квадратное уравнение имеет вид: а квадратное уравнение общего вида:

Случайным образом выбирается коэффициент a (|a|5, a0). Затем, так же случайным образом, генерируются корни будущего уравнения x1 и x2 (максимальное и минимальное значение корней задаются пользователем).

Используя формулу Виета, вычисляются коэффициент p и свободное слагаемое q, где , a . После чего вычисляется коэффициент b и свободное слагаемое c, где , а .

Для генерации уравнения с одним корнем необходимо взять х2 равным х1. Для генерации уравнения, не имеющего корней, коэффициенты a, b и свободный член c подбираются таким образом, чтобы дискриминант (D = b2 – 4ac) был отрицательным.

3.2. Техническое задание

Программа должна включать следующие функции:

Вывод уравнений в виде

где

a

,

b

,

c

– некоторые числа.

Предоставление возможности выбора количества вариантов и уравнений в варианте.

Возможность добавить в варианты уравнений с одним корнем и/или не имеющих корней.

В поле 1 (Приложение 2 Рис.2) должны выводиться сгенерированные варианты заданий.

В поле 2 (Приложение 2 Рис.2) должны выводиться вычисленный дискриминант и корни уравнения, в соответствии с вариантами. В случае,

если уравнение не имеет корней, должны выводиться дискриминант и сообщение «Корней нет».

Предоставление возможности сохранения в отдельных текстовых файлах вариантов заданий и ответов к ним.

Программа предоставляется в виде исполняемого файла с расширением .exe.

3.3. Внешний проект

С помощью программы Paint я разработал пример интерфейса (Приложение 2 Рис. 2) и иконку (Приложение 2 Рис. 3) будущей программы.

Программа представляет собой оконное приложение. В правой части окна расположена настройка вариантов (количество вариантов, количество примеров, максимальный корень, минимальный корень, целые/рациональные корни, нет корней, один корень). Так же в этой части окна расположены кнопки «Составить», «Сохранить» и «Отмена». В левой части окна два поля, в одно из которых должны выводиться сгенерированные варианты заданий, а в другое – вычисленные дискриминанты и корни уравнений, в соответствии с вариантами.

При нажатии кнопки «Составить» программа выводит уравнения и ответы (при каждом нажатии новые); кнопка «Сохранить» позволяет сохранить на компьютер или другой носитель задания и ответы к ним (сгенерированные при последнем нажатии кнопки «Составить»); кнопка «Отмена» закрывает приложение.

Заключение

В ходе выполнения данной работы я лучше узнал возможности теоремы Виета, ее практическое применение.

На основании предоставленной математической модели, технического задания и внешнего проекта студентом второго курса механико-математического факультета Пермского государственного национального исследовательского университета специальность Компьютерная безопасность Плахиной Татьяной был разработан программный продукт «Генератор квадратных уравнений». Исходный код программы, написанной на языке программирования С#, представлен в Приложении 3.

В результате работы программы появилась возможность составлять всегда новые варианты контрольно-измерительных материалов без использования интернета, учебных пособий и иных источник информации. Также к вариантам всегда предоставлены ответы, которые есть только у учителя, что намного уменьшает вероятность списывания.

Интерфейс программы «Генератор квадратных уравнений» и примеры сгенерированных и сохранённых в файл заданий представлены в Приложении 4.

Полученные в результате работы программы варианты заданий были протестированы на уроках алгебры в восьмых классах МАОУ «Плехановская СОШ», были составлены самостоятельные работ, индивидуальные дополнительные задания.

Также возможность сохранять генерируемые квадратные уравнения в текстовый файл и редактировать его позволяет составлять более сложные задания из полученных уравнений. Например, квадратное уравнение легко преобразовать в биквадратное. Кроме того, можно получать другие рациональные уравнения.

В будущем можно будет расширить функционал данного программного продукта для составления неравенств, более сложных рациональных уравнений, систем рациональных уравнений, тригонометрических уравнений и так далее.

В ходе своих исследований я узнал, что теорема Вите очень нужна математику, потому что с ее помощью можно не только решать квадратные уравнения, но и их составлять, а так же использовать ее для решения более сложных задач.

Список используемых источников и литературы

Список литературы

Статья «О

тец буквенной алгебры

», газета

«Обзор» № 1219

,

21 мая 2020 — 27 мая 2020

Алгебра. 8 класс : учеб. для общебразоват. организаций / А45

[

С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др.

]

. 5-е

изд. – М. : Просвещение, 2018. – 303 с.

Алгебра. 8 класс : учеб.

для общеобразоват. организаций с А45 прил. на элетрон. носителе /

[

Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова

]

; под ред. С. А. Теляковского. – М. : Просвещение, 2013. – 287 с.

Сайты

Теорема Виета – квадратные и другие уравнения.

https://1cov-edu.ru/mat_analiz/funktsii/ratsionalnye/mnogochleny/kvadratnye-uravneniya/teorema-vieta/

Сайт Решу ЕГЭ.

https://ege.sdamgia.ru/problem?id=526680

Приложение

Приложение 1

Рис.1. Результаты опроса

Приложение 2

Рис.2. Пример интерфейса программы «Генератор квадратных уравнений»

Рис.3. Пример иконки программы «Генератор квадратных уравнений»

Приложение 3

using System;

using System.Windows.Forms;

namespace Уравнения

{

public partial class Form1 : Form

{

public Form1()

{

InitializeComponent(); //начальные настройки формы

button1.Enabled = false;

groupBox2.Enabled = false;

button3.Enabled = false;

}

private void textBox1_TextChanged(object sender, EventArgs e) //изменение количества вариантов

{

if (textBox1.Text != «» && textBox2.Text != «» && textBox3.Text != «» && textBox4.Text != «» && (radioButton1.Checked || radioButton2.Checked)) //открыть кнопку «Составить«

button1.Enabled = true;

if (textBox1.Text == «» || textBox2.Text == «» || textBox3.Text == «» || textBox4.Text == «») //закрыть кнопку «Составить» (нет одного критерия)

button1.Enabled = false;

if (textBox1.Text != «» && textBox2.Text != «») //открыть группу «Корни«

groupBox2.Enabled = true;

richTextBox1.Text = «»; richTextBox2.Text = «»; //реакция на любое изменение (стереть)

button3.Enabled = false;

}

private void textBox2_TextChanged(object sender, EventArgs e) //изменение количества примеров

{

if (textBox1.Text != «» && textBox2.Text != «» && textBox3.Text != «» && textBox4.Text != «» && (radioButton1.Checked || radioButton2.Checked)) //открыть кнопку «Составить«

button1.Enabled = true;

if (textBox1.Text == «» || textBox2.Text == «» || textBox3.Text == «» || textBox4.Text == «») //закрыть кнопку «Составить» (нет одного критерия)

button1.Enabled = false;

if (textBox1.Text != «» && textBox2.Text != «») //открыть группу «Корни«

groupBox2.Enabled = true;

richTextBox1.Text = «»; richTextBox2.Text = «»; //реакция на любое изменение (стереть)

button3.Enabled = false;

}

private void textBox4_TextChanged(object sender, EventArgs e) //изменение минимального корня

{

if (textBox1.Text != «» && textBox2.Text != «» && textBox3.Text != «» && textBox4.Text != «» && (radioButton1.Checked || radioButton2.Checked)) //открыть кнопку «Составить«

button1.Enabled = true;

if (textBox1.Text == «» || textBox2.Text == «» || textBox3.Text == «» || textBox4.Text == «») //закрыть кнопку «Составить» (нет одного критерия)

button1.Enabled = false;

richTextBox1.Text = «»; richTextBox2.Text = «»; //реакция на любое изменение (стереть)

button3.Enabled = false;

}

private void textBox3_TextChanged(object sender, EventArgs e) //изменение максимального корня

{

if (textBox1.Text != «» && textBox2.Text != «» && textBox3.Text != «» && textBox4.Text != «» && (radioButton1.Checked || radioButton2.Checked)) //открыть кнопку «Составить«

button1.Enabled = true;

if (textBox1.Text == «» || textBox2.Text == «» || textBox3.Text == «» || textBox4.Text == «») //закрыть кнопку «Составить» (нет одного критерия)

button1.Enabled = false;

richTextBox1.Text = «»; richTextBox2.Text = «»; //реакция на любое изменение (стереть)

button3.Enabled = false;

}

private void radioButton1_CheckedChanged(object sender, EventArgs e) //изменение выбора на «Целые корни«

{

if (textBox1.Text != «» && textBox2.Text != «» && textBox3.Text != «» && textBox4.Text != «» && (radioButton1.Checked || radioButton2.Checked)) //открыть кнопку «Составить«

button1.Enabled = true;

richTextBox1.Text = «»; richTextBox2.Text = «»; // основная реакция на изменение

button3.Enabled = false;

}

private void radioButton2_CheckedChanged(object sender, EventArgs e) //изменение выбора на «Рациональные корни«

{

if (textBox1.Text != «» && textBox2.Text != «» && textBox3.Text != «» && textBox4.Text != «» && (radioButton1.Checked || radioButton2.Checked)) //открыть кнопку «Составить«

button1.Enabled = true;

richTextBox1.Text = «»; richTextBox2.Text = «»; // основная реакция на изменение

button3.Enabled = false;

}

private void checkBox1_CheckedChanged(object sender, EventArgs e) //изменение выбора галочки «Нет корней«

{

richTextBox1.Text = «»; richTextBox2.Text = «»; //реакция на изменение (стереть)

button3.Enabled = false;

}

private void checkBox2_CheckedChanged(object sender, EventArgs e) //изменение галочки «Один корень«

{

richTextBox1.Text = «»; richTextBox2.Text = «»; //реакция на изменение (стереть)

button3.Enabled = false;

}

private void textBox1_KeyPress(object sender, KeyPressEventArgs e) //контроль ввода в поле «Количество вариантов»

{

char number = e.KeyChar;

if ((textBox1.Text.Length == 0) && (number == ‘0’)) //запрет на первую цифру 0

{

e.Handled = true;

return;

}

if (!Char.IsDigit(number) && number != 8) // цифры и клавиша BackSpace

{

e.Handled = true;

}

}

private void textBox2_KeyPress(object sender, KeyPressEventArgs e) //контроль ввода в поле «Количестьво примеров«

{

char number = e.KeyChar;

if ((textBox1.Text.Length == 0) && (number == ‘0’)) //запрет на первую цифру 0

{

e.Handled = true;

return;

}

if (!Char.IsDigit(number) && number != 8) // цифры и клавиша BackSpace

{

e.Handled = true;

}

}

private void textBox4_KeyPress(object sender, KeyPressEventArgs e) //Контроль ввода в поле «Минимальный корень«

{

char number = e.KeyChar;

if ((textBox4.Text.Length != 0) && (number == ‘-‘)) //разрешение на ввод минуса как первого символа

{

e.Handled = true;

return;

}

if (!((number >= ‘0’) && (number <= ‘9’) || number == 8 || //цифры, BackSpace, запятая, минус

(number == ‘,’) || (number == ‘-‘)))

{

e.Handled = true;

}

}

private void textBox3_KeyPress(object sender, KeyPressEventArgs e) //Контроль ввода в поле «Минимальный корень«

{

char number = e.KeyChar;

if ((textBox3.Text.Length != 0) && (number == ‘-‘)) //разрешение на ввод минуса как первого символа

{

e.Handled = true;

return;

}

if (!((number >= ‘0’) && (number <= ‘9’) || number == 8 || //цифры, BackSpace, запятая, минус

(number == ‘,’) || (number == ‘-‘)))

{

e.Handled = true;

}

}

private void button2_Click(object sender, EventArgs e) //обработка кнопки «Отмена«

{

Close(); //закрыть программу

}

private void print_inf2(Yravnenie yravnenie, int j) //вывод уравнения в двумя корнями

{

//вывод уравнения

//первое слагаемое

richTextBox1.SelectedText = j + «) «;

if (yravnenie.a != 1 && yravnenie.a != -1) richTextBox1.SelectedText = yravnenie.a + «»;

else if (yravnenie.a == -1) richTextBox1.SelectedText = «-«;

richTextBox1.SelectedText = «x»;

richTextBox1.SelectionCharOffset = 3;

richTextBox1.SelectedText = «2»;

richTextBox1.SelectionCharOffset = 0;

//второе слагаемое

if (yravnenie.b > 0) richTextBox1.SelectedText = » + «;

else if(yravnenie.b<0) richTextBox1.SelectedText = » — «;

if (yravnenie.b != 0)

{

if (yravnenie.b != 1 && yravnenie.b != -1) richTextBox1.SelectedText = Math.Abs(yravnenie.b) + «»;

richTextBox1.SelectedText = «x»;

}

//свободный член

if (yravnenie.c > 0) richTextBox1.SelectedText = » +»;

else if (yravnenie.c < 0) richTextBox1.SelectedText = » -«;

if (yravnenie.c != 0) richTextBox1.SelectedText = » « + Math.Abs(yravnenie.c);

richTextBox1.SelectedText = » = 0n»; //» = 0″

//вывод ответа

richTextBox2.SelectedText = j + «) «;

double D = yravnenie.b * yravnenie.b — 4 * yravnenie.a * yravnenie.c; //дискриминант

richTextBox2.SelectedText = «D = « + D + «, «;

richTextBox2.SelectedText = «X»; //первый корень

richTextBox2.SelectionCharOffset = -3;

richTextBox2.SelectedText = «1»;

richTextBox2.SelectionCharOffset = 0;

richTextBox2.SelectedText = » = « + yravnenie.x1 + «, X»;

richTextBox2.SelectionCharOffset = -3; //второй корень

richTextBox2.SelectedText = «2»;

richTextBox2.SelectionCharOffset = 0;

richTextBox2.SelectedText = » = « + yravnenie.x2 + » «;

}

private void print_inf1(Yravnenie yravnenie, int j) //вывод уравнения с одним корнем

{

//вывод уравнения

//вывод первого слагаемого

richTextBox1.SelectedText = j + «) «;

if (yravnenie.a != 1 && yravnenie.a != -1) richTextBox1.SelectedText = yravnenie.a + «»;

else if (yravnenie.a == -1) richTextBox1.SelectedText = «-«;

richTextBox1.SelectedText = «x»;

richTextBox1.SelectionCharOffset = 3;

richTextBox1.SelectedText = «2»;

richTextBox1.SelectionCharOffset = 0;

//вывод второго слагаемого

if (yravnenie.b > 0) richTextBox1.SelectedText = » + «;

else if (yravnenie.b < 0) richTextBox1.SelectedText = » — «;

if (yravnenie.b != 0)

{

if (yravnenie.b != 1 && yravnenie.b != -1) richTextBox1.SelectedText = Math.Abs(yravnenie.b) + «»;

richTextBox1.SelectedText = «x»;

}

//вывод свободного члена

if (yravnenie.c > 0) richTextBox1.SelectedText = » +»;

else if (yravnenie.c < 0) richTextBox1.SelectedText = » -«;

if (yravnenie.c != 0) richTextBox1.SelectedText = » « + Math.Abs(yravnenie.c);

richTextBox1.SelectedText = » = 0n»; //вывод » = 0″

//вывод ответа

richTextBox2.SelectedText = j + «) «;

double D = yravnenie.b * yravnenie.b — 4 * yravnenie.a * yravnenie.c;

richTextBox2.SelectedText = «D = « + D + «, «; //дискриминант

richTextBox2.SelectedText = «X»;

richTextBox2.SelectedText = » = « + yravnenie.x1 + » «; //корень

}

private void print_inf0(Yravnenie yravnenie, int j) //вывод уравнения без корней

{

//вывод уравнения

//первое слагаемое

richTextBox1.SelectedText = j + «) «;

if (yravnenie.a != 1 && yravnenie.a != -1) richTextBox1.SelectedText = yravnenie.a + «»;

else if (yravnenie.a == -1) richTextBox1.SelectedText = «-«;

richTextBox1.SelectedText = «x»;

richTextBox1.SelectionCharOffset = 3;

richTextBox1.SelectedText = «2»;

richTextBox1.SelectionCharOffset = 0;

//второе слагаемое

if (yravnenie.b > 0) richTextBox1.SelectedText = » + «;

else if (yravnenie.b < 0) richTextBox1.SelectedText = » — «;

if (yravnenie.b != 0)

{

if (yravnenie.b != 1 && yravnenie.b != -1) richTextBox1.SelectedText = Math.Abs(yravnenie.b) + «»;

richTextBox1.SelectedText = «x»;

}

//свободный член

if (yravnenie.c > 0) richTextBox1.SelectedText = » +»;

else if (yravnenie.c < 0) richTextBox1.SelectedText = » -«;

if (yravnenie.c != 0) richTextBox1.SelectedText = » « + Math.Abs(yravnenie.c);

richTextBox1.SelectedText = » = 0n»; //вывод » = 0″

//вывод ответа

richTextBox2.SelectedText = j + «) «;

double D = yravnenie.b * yravnenie.b — 4 * yravnenie.a * yravnenie.c; //дискриминант

richTextBox2.SelectedText = «D = « + D + «, «;

richTextBox2.SelectedText = «Корней нет «; //вывод «Корней нет«

}

private void mes2() //создание уравнений только с двумя корнями

{

int var_count = Convert.ToInt32(textBox1.Text);

int prim_count = Convert.ToInt32(textBox2.Text);

int min = Convert.ToInt32(textBox4.Text);

int max = Convert.ToInt32(textBox3.Text);

if (min >= max) richTextBox1.SelectedText = «Некорректные данные» + «n»; //максимальный корень строго больше минимального

else for (int i = 1; i <= var_count; i++) //формирование вариантов

{

richTextBox1.SelectedText = «Вариант « + i + «n»;

richTextBox2.SelectedText = «Вариант « + i + «n»;

for (int j = 1; j <= prim_count; j++) //формирование уравнений

{

Yravnenie yravnenie;

Random rnd = new Random();

if (radioButton1.Checked) yravnenie = new Yravnenie_Z(min, max, i * j * rnd.Next(),2); //создание уравнения с двумя целыми корнями

else yravnenie = new Yravnenie_R(min, max, i * j * rnd.Next(),2); //создание уравнения с двумя рациональными корнями

print_inf2(yravnenie, j); //вывод уравнения

}

richTextBox2.SelectedText = «nn»;

richTextBox1.SelectedText = «n»;

}

}

private void mes0() //создание уравнений с двумя корнями или без корней

{

int var_count = Convert.ToInt32(textBox1.Text);

int prim_count = Convert.ToInt32(textBox2.Text);

int min = Convert.ToInt32(textBox4.Text);

int max = Convert.ToInt32(textBox3.Text);

if (min >= max) richTextBox1.SelectedText = «Некорректные данные» + «n»; //максимальный корень строго больше минимального

else for (int i = 1; i <= var_count; i++) //формирование вариантов

{

richTextBox1.SelectedText = «Вариант « + i + «n»;

richTextBox2.SelectedText = «Вариант « + i + «n»;

for (int j = 1; j <= prim_count; j++) //формирование уравнений

{

Yravnenie yravnenie;

Random rnd = new Random();

int roots = rnd.Next()+i+j;

if (roots % 2 == 0) roots = 2; //уравнение будет с двумя корнями

else roots = 0; //уравнение будет без корней

if (radioButton1.Checked) yravnenie = new Yravnenie_Z(min, max, i * j * rnd.Next(), roots); //создание уравнения с целыми корнями

else yravnenie = new Yravnenie_R(min, max, i * j * rnd.Next(), roots); //создание уравнения с рациональными корнями

if (roots == 2) print_inf2(yravnenie, j); //вывод уравнения

else print_inf0(yravnenie, j);

}

richTextBox2.SelectedText = «nn»;

richTextBox1.SelectedText = «n»;

}

}

private void mes1() //создание уравнений с двумя корнями или одним корнем

{

int var_count = Convert.ToInt32(textBox1.Text);

int prim_count = Convert.ToInt32(textBox2.Text);

int min = Convert.ToInt32(textBox4.Text);

int max = Convert.ToInt32(textBox3.Text);

if (min >= max) richTextBox1.SelectedText = «Некорректные данные» + «n»; //максимальный корень строго больше минимального

else for (int i = 1; i <= var_count; i++) //формирование вариантов

{

richTextBox1.SelectedText = «Вариант « + i + «n»;

richTextBox2.SelectedText = «Вариант « + i + «n»;

for (int j = 1; j <= prim_count; j++) //формирование уравнений

{

Yravnenie yravnenie;

Random rnd = new Random();

int roots = rnd.Next()+i+j;

if (roots % 2 == 0) roots = 2; //уравнение с 2 корнями

else roots = 1; //уравнение с 1 корнем

if (radioButton1.Checked) yravnenie = new Yravnenie_Z(min, max, i * j * rnd.Next(), roots); //с целыми корнями

else yravnenie = new Yravnenie_R(min, max, i * j * rnd.Next(), roots); //с рациональными корнями

if (roots == 2) print_inf2(yravnenie, j); //вывод уравнений

else print_inf1(yravnenie, j);

}

richTextBox2.SelectedText = «nn»;

richTextBox1.SelectedText = «n»;

}

}

private void mes01() //создание уравнений с одним, двумя корнями или без корней

{

int var_count = Convert.ToInt32(textBox1.Text);

int prim_count = Convert.ToInt32(textBox2.Text);

int min = Convert.ToInt32(textBox4.Text);

int max = Convert.ToInt32(textBox3.Text);

if (min >= max) richTextBox1.SelectedText = «Некорректные данные» + «n»; //максимальный корень строго больше минимального

else for (int i = 1; i <= var_count; i++) //формирование вариантов

{

richTextBox1.SelectedText = «Вариант « + i + «n»;

richTextBox2.SelectedText = «Вариант « + i + «n»;

for (int j = 1; j <= prim_count; j++) //формирование уравнений

{

Yravnenie yravnenie;

Random rnd = new Random();

int roots = rnd.Next()+i+j;

roots %= 3; //генерация вида ураневния

if (radioButton1.Checked) yravnenie = new Yravnenie_Z(min, max, i * j * rnd.Next(), roots); //целые корни

else yravnenie = new Yravnenie_R(min, max, i * j * rnd.Next(), roots); //рациональные корни

if (roots == 2) print_inf2(yravnenie, j); //вывод уравнения

else if (roots == 1) print_inf1(yravnenie, j);

else print_inf0(yravnenie, j);

}

richTextBox2.SelectedText = «nn»;

richTextBox1.SelectedText = «n»;

}

}

private void button1_Click(object sender, EventArgs e) //обработка кнопки «Составить«

{

richTextBox1.Text = «»;

richTextBox2.Text = «»;

//создать уравнения

if (!checkBox1.Checked && !checkBox2.Checked) mes2(); //уравнения с 2 корнями

else if (checkBox1.Checked && !checkBox2.Checked) mes0(); //уравнения с 2 корнями и без корней

else if (!checkBox1.Checked && checkBox2.Checked) mes1(); //уравнения с 1 и 2 корнями

else mes01(); //уравнения с 1, 2 корнями или без корней

button3.Enabled = true;

}

private void button3_Click(object sender, EventArgs e) //Обработка кнопки «Сохранить«

{

SaveFileDialog saveFile1 = new SaveFileDialog(); //Сохранение заданий

saveFile1.DefaultExt = «*.rtf»;

saveFile1.Filter = «RTF Files|*.rtf»;

if (saveFile1.ShowDialog() == DialogResult.OK && saveFile1.FileName.Length > 0)

{

richTextBox1.SaveFile(saveFile1.FileName, RichTextBoxStreamType.PlainText);

}

SaveFileDialog saveFile2 = new SaveFileDialog(); //сохранение ответов

saveFile2.DefaultExt = «*.rtf»;

saveFile2.Filter = «RTF Files|*.rtf»;

if (saveFile2.ShowDialog() == DialogResult.OK && saveFile2.FileName.Length > 0)

{

richTextBox2.SaveFile(saveFile2.FileName, RichTextBoxStreamType.PlainText);

}

}

}

public class Yravnenie //структура уравнений

{

public double x1, x2, a=0, b, c;

}

public class Yravnenie_Z:Yravnenie //уравнение с целыми корнями

{

public Yravnenie_Z (int min, int max, int nach,int root_count)

{

if (root_count == 2) //уравнение с двумя корнями

{

Random rnd = new Random(nach);

do a = rnd.Next(-5, 5); while (a == 0); //коэффициент а

x1 = rnd.Next(min, max); //первый корень

do x2 = rnd.Next(min, max); while (x1 == x2); //второй корень

b = (x1 + x2) * a * (-1); //коэффициент b

c = x1 * x2 * a; //коэффициент с

}

else if (root_count == 1) //уравнение с одним корнем

{

Random rnd = new Random(nach);

do a = rnd.Next(-5, 5); while (a == 0); //коэффициент а

x1 = rnd.Next(min, max); //корень

x2 = x1;

b = (x1 + x2) * a * (-1); //коэффициент b

c = x1 * x2 * a; //коэффициент с

}

else //уравнение без корней

{

Random rnd = new Random(nach);

b = rnd.Next(-10, 15); //коэффициент b

do

{

do a = rnd.Next(-5, 5); while (a == 0); //коэффициент а

c = rnd.Next(-15, 30); //коэффициент с

} while (b * b >= 4 * a * c);

}

}

}

public class Yravnenie_R:Yravnenie //уравнение с рациональными корнями

{

public Yravnenie_R(int min, int max, int nach, int root_count)

{

Random rnd = new Random(nach);

int step1 = rnd.Next(0, 2);

int step2 = rnd.Next(0, 2);

int step3 = rnd.Next(0, 2);

if (root_count == 2) //уравнение с 2 корнями

{

do a = rnd.Next(-5, 5) + 1 / Math.Pow(2, step1); while (a == 0); //коэффициент а

x1 = rnd.Next(min, max) + 1 / Math.Pow(2, step2); //первый корень

do x2 = rnd.Next(min, max) + 1 / Math.Pow(2, step3); while (x1 == x2); //второй корень

b = (x1 + x2) * a * (-1); //коэффициент b

c = x1 * x2 * a; //коэффициент с

}

else if (root_count == 1) //уравнение с 1 корнем

{

do a = rnd.Next(-5, 5) + 1 / Math.Pow(2, step1); while (a == 0); //коэффициент а

x1 = rnd.Next(min, max) + 1 / Math.Pow(2, step2); //корень

x2 = x1;

b = (x1 + x2) * a * (-1); //коэффициент b

c = x1 * x2 * a; //коэффициент с

}

else //уравнение без корней

{

b = rnd.Next(-10, 15) + 1 / Math.Pow(2, step2); //коэффициент b

do

{

do a = rnd.Next(-5, 5) + 1 / Math.Pow(2, step1); while (a == 0); //коэффициент а

c = rnd.Next(-15, 30) + 1 / Math.Pow(2, step3); //коэффициент с

} while (b * b >= 4 * a * c);

}

}

}

}

Приложение 4

Рис.4. Интерфейс программы «Генератор квадратных уравнений»

Рис.5. Текстовый файл с сохранёнными заданиями

Рис.6. Текстовый файл с сохранёнными ответами

Алгебра. 8 класс. Учебник – Макарычев Ю.Н. стр.135

Задание 19 № 526680, сайт Решу ЕГЭ.

Алгебра. 8 класс. Учебник – Макарычев Ю.Н. стр.134

Поделитесь с коллегами:

Городская научно — практическая конференция

«Путь к успеху»

Теорема Виета.

«Математика вокруг нас»

Автор:

Гордеева Ирина Сергеевна

8 класс

МБОУ «средняя общеобразовательная школа № 26»

Руководитель:

Кадочикова Юлия Николаевна

учитель математики, 1 категории

МБОУ «средняя общеобразовательная школа № 26»

г. Дзержинск

2012 год

Содержание.

Введение 3

Биография Франсуа Виета 5

Теорема Виета для квадратных уравнений 7

Теорема Виета для кубических уравнений 10

Применение теоремы Виета для решения уравнений с параметрами 12

Заключение 14

Литература 15

Введение.

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни — и дробь уж готова:

В числителе c, в знаменателе a

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь эта, что за беда —

В числителе b, в знаменателе a.

Александр Гуревич.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).

Квадратные уравнения изучаются в 8-м классе, где школьники тренируются на простых (иногда — примитивных) задачах. Но затем, на рубеже 10-11 классов и, особенно при изучении высшей математики, квадратные уравнения представляются как нечто само собой разумеющееся. При этом в коэффициентах зачастую возникают такие большие числа, что работать с ними большинство учеников просто не готовы.

Например, попробуйте решить уравнение: x² + 27x − 3240 = 0. Корни у него будут вполне нормальными, вот только дискриминант равен

D = 27² − 4·1·(−3240) = 13689.

Ну и какое число надо возвести в квадрат, чтобы получить 13689? С помощью калькулятора все просто: 13689 = 117². Но как догадаться об этом на экзамене или контрольной работе?

Теорема Виета помогает решать даже такие уравнения. Без всяких корней из пятизначных чисел — схема работы остается прежней. В результате экономится фантастически много времени, ведь многие километровые уравнения оказываются почти устными!

Цель работы:

Рассмотреть теорему Виета для квадратных и кубических уравнений.

Задачи работы:

• доказать теорему Виета для квадратных уравнений, рассмотреть её применение на примерах;

• доказать теорему Виета для кубических уравнений, рассмотреть её применение на примерах;

• рассмотреть применение теоремы Виета для уравнений, содержащих параметр.

Объект исследования — элементарная алгебра Предмет исследования применение теоремы Виета при решении уравнений. Выбор этой темы основывался на том, что уравнения есть как в программе начальной, так и в каждом последующем классе общеобразовательных школ, лицеев, колледжей. Многие геометрические задачи, задачи по физике, химии и биологии решаются с помощью уравнений. Уравнения решали двадцать пять веков назад. Они создаются и сегодня — как для использования в учебном процессе, так и для конкурсных экзаменов в вузы, для олимпиад самого высокого уровня.

Биография Франсуа Виета.

Франсуа Виет — замечательный французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления.

Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Ферма, Декарта, Ньютона.

Франсуа Виет родился в 1540 году на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт. Отец Виета был прокурором. По традиции сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату.

В 1671 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.

Находясь на государственной службе, Виет оставался ученым. Он прославился тем, что сумел расшифровать код перехваченной переписки короля Испании с его представителями в Нидерландах, благодаря чему король Франции был полностью в курсе действий своих противников. Код был сложным, содержал до 600 различных знаков, которые периодически менялись. Испанцы не могли поверить, что его расшифровали, и обвинили французского короля в связях с нечистой силой.

К этому времени относятся свидетельства современников Виета о его огромной трудоспособности. Будучи чем-то увлечен, ученый мог работать по трое суток без сна.

В 1584 году по настоянию Гизов Виета отстранили от должности и выслали из Парижа. Именно на этот период приходится пик его творчества. Обретя неожиданный покой и отдых, ученый поставил своей целью создание всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи. У него сложилось убеждение в том, «что должна существовать общая, неизвестная еще наука, обнимающая и остроумные измышления новейших алгебраистов, и глубокие геометрические изыскания древних».

Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом «Введение в аналитическое искусство». Однако главный замысел ученого замечательно удался: началось преобразование алгебры в мощное математическое исчисление. Само название «алгебра» Виет в своих трудах заменил словами «аналитическое искусство.

Основу своего подхода Виет называл видовой логистикой. Следуя примеру древних, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в некую систему «видов». В эту систему входили, например, переменные, их корни, квадраты, кубы, квадрато — квадраты и т. д., а также множество скаляров, которым соответствовали реальные размеры — длина, площадь или объем. Для этих видов Виет дал специальную символику, обозначив их прописными буквами латинского алфавита. Для неизвестных величин применялись гласные буквы, для переменных — согласные.

Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т. е. решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры: стало возможным буквенное исчисление.

Демонстрируя силу своего метода, ученый привел в своих работах запас формул, которые могли быть использованы для решения конкретных задач. Из знаков действий он использовал «+» и «-», знак радикала и горизонтальную черту для деления. Произведение обозначал словом «in». Виет первым стал применять скобки, которые, правда, у него имели вид не скобок, а черты над многочленом. Но многие знаки, введенные до него, он не использовал. Так квадрат, куб и т. д. обозначал словами или первыми буквами слов.

Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал ее так: «Если В + D, умноженное на А, минус А в квадрате равно ВD, то А равно В и равно D».

Теорема Виета стала ныне самым знаменитым утверждением школьной алгебры. Теорема Виета достойна восхищения, тем более что ее можно обобщить на многочлены любой степени.

Глубокое знание алгебры давало Виету большие преимущества. Причем интерес его к алгебре первоначально был вызван приложениями к тригонометрии и астрономии. Не только каждое новое применение алгебры давало импульс новым исследованиям по тригонометрии, но и полученные тригонометрические результаты являлись источником важных успехов алгебры. Виету, в частности, принадлежит вывод выражений для синусов (или хорд) и косинусов кратных дуг.

В последние годы жизни Виет ушел с государственной службы, но продолжал интересоваться наукой. Известно, например, что он вступил в полемику по поводу введения нового, григорианского календаря в Европе. И даже хотел создать свой календарь.

Теорема Виета для квадратных уравнений.

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax² + bx + c =0, где х — переменная, а, b, c — некоторые числа, причем, а ≠ 0. Числа а, b, c — коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, b называют вторым коэффициентом, с — свободным членом.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x² равен 1, называют приведённым квадратным уравнением.

Теорема.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Доказательство.

Рассмотрим квадратное уравнение вида ax² + bx + c =0, где а ≠ 0. Приведём его к приведённому квадратному уравнении, путём деления на первый коэффициент а:

ax² + bx + c = 0 | : а;

x² + x + = 0.

Введём обозначения: = p, = q. Тогда уравнение примет вид x²+px +q=0. Найдём дискриминант данного уравнения по формуле D = b² — 4ac, т.е. D = p² — 4q.

Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Если D ≥ 0, то уравнение имеет два действительных корня, которые вычисляются по формуле x_1,2 = . Подставим в формулу и получим:

x_1,2 = . Найдём корни уравнения:

x₁ =

x₂ = .

Найдём сумму и произведение корней:

x₁ + x₂ = + = = — p;

x₁∙x₂ = = = = = = q.

Итак, получаем, что x₁ + x₂ = — p; x₁∙x₂ = q.

Итак, теорема доказана.

Вернёмся к нашим обозначениям = p, = q и получим, что если имеем полное квадратное уравнение, то x₁ + x₂ = —; x₁∙x₂ = .

Рассмотрим примеры применения теоремы.

Пример 1.

Один из корней уравнения 5х² — 12х + с = 0 в три раза больше за второй. Найдите с.

Решение

Пусть второй корень равен х₂. Тогда первый корень х₁ = 3х₂. Согласно теореме Виета сумма корней равна х₁ + х₂ = = 2,4. Составим уравнение

3х₂+х₂ = 2,4;

4х₂ = 2,4;

х₂ = 0,6.

Тогда, х₁+ х₂ = 2,4;

х₁+ 0,6 = 2,4;

х₁ = 1,8.

Найдём коэффициент с используя теорему Виета: x₁∙x₂ = ;

1,8 ∙ 0,6 = ;

c = 1,08 ∙ 5;

c = 5,4.

Ответ. c = 5,4.

Пример 2

Известно, что х₁ и х₂ — корни уравнения х² — 8х + p = 0, причём 3х₁ + 4х₂ = 29. Найдите p.

Решение

Согласно теореме Виета х₁ + х₂ = 8, а по условию 3х₁ + 4х₂ = 29. Составим систему уравнений:

х₁ + х₂ = 8;

3х₁ + 4х₂ = 29;

х₁ = 8 — х₂;

3(8 — х₂) + 4х₂ = 29;

24 — 3х₂ + 4х₂ = 29;

24 + х₂ = 29;

х₂ = 5.

Тогда х₁ = 8 — х₂ = 8 — 5 = 3.

Применяя теорему Виета x₁∙x₂ = p; р = 5 ∙ 3 = 15.

Ответ. Р = 15.

Пример 3

Не вычисляя корней уравнения 3х² + 8х — 1 = 0, найдите х₁⁴ + х₂⁴.

Решение

Выпишем коэффициенты уравнения a = 3, b = 8, c = — 1. Согласно теореме Виета x₁ + x₂ = —; x₁∙x₂ = .

Подставим и получим:

x₁ + x₂ = —;

x₁∙x₂ = .

Найдём х₁⁴+х₂⁴ = (х₁² + х₂²)² — 2х₁²х₂² = ((х₁ +х₂)² — 2х₁х₂)² — 2(х₁х₂)² = ((- )² — 2 ∙ (- ))² — 2 ∙ (- )² = ( + 2 ∙ )² — 2 ∙ = ()² — = = = 60.

Ответ. х₁⁴+х₂⁴ = 60.

Теорема Виета для кубических уравнений.

Кубическим уравнением называется уравнение вида ax³ + bx² + cx + d = 0, где х — переменная, а, b, c, d — некоторые числа, причем, а ≠ 0. Числа а, b, c, d — коэффициенты кубического уравнения.

Докажем теорему Виета для кубического уравнения.

Пусть дано уравнение ax³ + bx² + cx + d = 0 и x¹, x², x³ — корни данного уравнения. Тогда левую часть уравнения можно разложить на множители:

ax³ + bx² + cx + d = a(x — x₁)(x — x₂)(x — x₃) | : a;

x³ + x² + x + = (x — x₁)(x — x₂)(x — x₃);

x³ + x² + x + = (x² — x₁x — x₂x + x₁x₂) (x — x₃);

x³ + x² + x + = x³ — x₁x² — x₂x² + x₁x₂x — x₃x² + x₁x₃x + x₂x₃x — x₁x₂x₃;

x³ + x² + x + = x³ — (x₁x² + x₂x² + x₃x²) + ( x₁x₂x + x₁x₃x + x₂x₃x) — x₁x₂x₃;

x³ + x² + x + = x³ — (x₁ + x₂ + x₃)x² + (x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)x — x₁x₂x₃.

Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняется равенство

—(x₁ + x₂ + x₃) = ;

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = ;

x₁x₂x₃ = — .

x₁ + x₂ + x₃ = — ;

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = ;

x₁x₂x₃ = — .

Рассмотрим примеры применения теоремы.

Пример 4

Напишите кубическое уравнение, корни которого являются квадратами корней уравнения x³ — 3x² + 7x + 5 = 0.

Решение.

Обозначим корни заданного уравнения через x₁, x₂ и x₃. Тогда по формулам Виета имеем

x₁ + x₂ +x₃ = 3,

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = 7,

x₁x₂x₃ = — 5.

Корни искомого уравнения обозначим буквами y₁, y₂, y₃, а его коэффициенты — буквами b₁, b₂, b₃, положив коэффициент при y₃ равным 1. По условию должны выполняться равенства y₁ = , y₂ = , y₃ = и поэтому

b₁ = — (y₁ + y₂ + y₃) = — ( + + ),

b₂ = y₁y₂ + y₁y₃ + y₂y₃ = + + ,

b₃ = — y₁y₂y₃ = — .

Но имеем

+ + = (x₁ + x₂ +x₃)² — 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃) = 9 — 2·7 = — 5,

+ + = (x¹x² + x¹x³ + x²x³)² — 2x¹x²x³(x¹ + x²+x³)= 49 — 2·3·(- 5) = 79,

= (x¹x²x³)² = (- 5)² = 25.

Значит, b₁ = 5, b₂ = 79, b₃ = — 25, и потому искомое уравнение имеет вид

y³ + 5y² + 79y — 25 = 0.

Ответ: y³ + 5y² + 79y — 25 = 0.

Применение теоремы Виета при решения уравнений с параметрами.

Пример 5

x² — (2a + 1) x + a² + 2 = 0, при каком значении а один корень в 2 раза больше другого.

Решение.

Выпишем коэффициенты данного уравнения a = 1, b = — (2a + 1), c = a² + 2. Применим теорему Виета для данного уравнения

D>0;

x₁+x₂ = 2a + 1;

x₁x₂ = a² + 2.

Пусть х₁ = 2х₂. Тогда система примет вид:

(2а + 1)² — 4(а² + 2) > 0;

2х₂ + x₂ = 2a + 1;

2х₂ ∙ x₂ = a² + 2;

(2а + 1)² — 4(а² + 2) > 0;

4а² + 4а + 1 — 4а² — 8 > 0;

4a — 7 > 0;

4a > 7;

a > ;

a > 1.

2х₂ + x₂ = 2a + 1;

3x₂ = 2a + 1;

2х₂ ∙ x₂ = a² + 2;

2 = a² + 2.

Получаем систему:

a > 1;

3x₂ = 2a + 1;

2 = a² + 2;

3x₂ = 2a + 1;

x₂ = .

2∙()² = a² + 2;

2 ∙ = a² + 2;| ∙

4а² + 4а + 1 = a² + 9;

4а² + 4а + 1 — 4,5а² — 9 = 0;

— 0,5а² + 4а — 8 = 0; | ∙ (-2)

a² — 8a + 16 = 0;

(a — 4)² = 0;

a — 4 = 0;

a = 4.

Подставим и найдём корни уравнения x₂ = ;

x₂ = = 3.

х₁ = 2х₂;

х₁ = 2 ∙ 3 = 6.

Вернёмся к системе

a > 1;

a = 4;

x₂ = 3;

х₁ = 6. Отсюда получаем, что а = 4.

Ответ. a = 4

Пример 6.

При каком значении а сумма кубов корней уравнения х² — х — а = 0 будет

равна 19?

Решение.

Пусть х₁ и х₂ корни квадратного уравнения, тогда теореме Виета имеем

Тогда (х₁ + х₂)³ =1³,

х₁³ + 3х₁²х₂ +3х₁х₂² + х₂³ =1,

х₁³ + х₂³ = — 3х₁х₂(х₁ + х₂) +1,

19= 3а + 1,

а = 6.

Ответ: а=6.

Заключение.

Чтобы почувствовать всю силу теоремы Виета, взгляните на приведенные в работе задачи. Для сравнения попробуйте решить их по старинке, через дискриминант. Разницу почувствуете сразу же. Мной была установлена практическая важность теоремы Виета при решении нестандартных уравнений и простейших квадратных уравнений; выявили способы «бесформульного» решения квадратных уравнений.

Мы достаточно часто сталкиваемся с уравнениями, решение которых требует длинных вычислений, а иногда и эти вычисления не приносят успеха. И как следствие, возникает вопрос: а нельзя ли для этого уравнения найти простое, рациональное, короткое и изящное решение. Необходимо помнить, что каждая математическая задача требует индивидуального подхода. Не всегда полезно следовать общим алгоритмам, отклонение от них иногда приводит к более рациональному решению.

Теорема Виета играет огромную роль при решении квадратных уравнений. И все-таки польза от формул — систем равенств, связывающих корни уравнений с их коэффициентами, есть. Есть хотя бы потому, что они содержат одну «подсказку», помогающую решать некоторые уравнения вообще без всяких формул (но уже не в уме, тут потребуется немало изобретательности и сообразительности). Полученные Виетом системы равенств, связывающие корни уравнений произвольной (не только второй!) степени с их коэффициентами, теперь называются теоремой Виета, и каждый ученик сегодня знает это имя. Какая высокая честь для ученого! Какая по-настоящему вечная память и слава! Стоит поразмышлять об этом… Исследования Виета дали совершенно новое направление работе своих современников, а алгебраические идеи его оказали сильнейшее влияние на европейскую науку, он прославился обобщением алгебры.

Литература

1. В.Г.Болтянского и Н.Я.Виленкина «Симметрия в алгебре».

2. Никифоровский В.А. Из истории алгебры XVI — XVII веков. — М.: Наука, 1979.

3. РодионовЕ.М. Справочник по математике для поступающих в вузы: Решение задач с параметрами. — М.: МЦ «Аспект», 1992.

4. Чистяков В.Д. Рассказы о математиках. — Минск: Выш. шк., 1963.