Алгебра квадратичная функция для чайников

Прежде чем перейти к разбору квадратичной функции рекомендуем вспомнить, что называют
функцией в математике.

Если вы прочно закрепите общие знания о функции (способы задания, понятие графика)
дальнейшее изучение других
видов функций будет даваться значительно легче.

Что называют квадратичной функцией

Запомните!
!

Квадратичная функция — это функция вида

y = ax2 + bx + c,

где a,
b и с — заданные числа.

Другими словами можно сказать, что если в функции старшая (то есть самая большая) степень,
в которой стоит «x» — это «2»,
то перед нами квадратичная функция.

Рассмотрим примеры квадратичных функций и определим, чему в них равны коэффициенты «a»,
«b» и «с».

Квадратичная функция Коэффициенты
y = 2x2 − 7x + 9

  • a = 2
  • b = −7
  • с = 9
y = 3x2 − 1

  • a = 3
  • b = 0
  • с = −1
y = −3x2 + 2x

  • a = −3
  • b = 2
  • с = 0

Как построить график квадратичной функции

Запомните!
!

График квадратичной функции называют параболой.

Парабола выглядит следующим образом.

парабола - график квадратичной функции

Также парабола может быть перевернутой.

перевернутая парабола

Существует четкий алгоритм действий при построении графика квадратичной функции.
Рекомендуем при построении параболы всегда следовать этому порядку действий, тогда вы сможете избежать ошибок при построении.

Чтобы было проще понять этот алгоритм, сразу разберем его на примере.

Построим график квадратичной функции «y = x2 −7x + 10».

  1. Направление ветвей параболы

    Запомните!
    !

    Если «a > 0», то ветви направлены вверх.
    парабола маленькая

    Если «a < 0», то ветви направлены вниз.
    перевернутая парабола маленькая

    В нашей функции «a = 1», это означает, что ветви параболы направлены вверх.
    перевернутая парабола мальнькая

  2. Координаты вершины параболы

    Запомните!
    !

    Чтобы найти «x0»
    (координата вершины по оси «Ox»)
    нужно использовать формулу:

    Найдем «x0» для нашей функции «y = x2 −7x + 10».

    Теперь нам нужно найти «y0»
    (координату вершины по оси «Oy»).
    Для этого нужно подставить найденное значение «x0» в исходную функцию.
    Вспомнить, как найти значение функции можно в уроке
    «Как решать задачи на функцию» в подразделе
    «Как получить значение функции».

    y0(3,5) =
    (3,5)2 − 7 ·3,5 + 10 = 12,25 − 24,5 + 10 =

    −12,25 + 10 = −2,25

    Выпишем полученные координаты вершины параболы.

    (·) A (3,5; −2,25) — вершина параболы.

    Отметим вершину параболы на системе координат.
    Проведем через отмеченную точку ось симметрии, так как парабола — это симметричный график
    относительно оси «Oy».

    вершина параболы

  3. Нули функции

    Для начала давайте разберемся, что называют нулями функции.

    Запомните!
    !

    Нули функции — это точки пересечения графика функции с осью «Ox»
    (осью абсцисс).

    Наглядно нули функции на графике выглядят так:

    нули функции

    Свое название нули функции получили из-за того, что у этих точек координата
    по оси «Oy» равна нулю.

    Теперь давайте разберемся, как до построения графика функции рассчитать координаты точек нулей функции.

    Запомните!
    !

    Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо
    «y = 0».

    Подставим в заданную функцию «y = x2 −7x + 10»
    вместо «y = 0» и решим полученное
    квадратное уравнение
    относительно
    «x» .

    0 = x2 −7x + 10
    x2 −7x + 10 = 0

    x1;2 =

    7 ±
    49 − 4 · 1 · 10
    2 · 1

    x1;2 =

    x1;2 =

    x1 =

    x2 =

    x1 =

    x2 =

    x1 = 5

    x2 = 2

    Мы получили два корня в уравнении, значит, у нас две точки пересечения
    с осью «Ox».
    Назовем эти точки и выпишем их координаты.

    • (·) B (5; 0)
    • (·) C (2; 0)

    Отметим полученные точки («нули функции») на системе координат.

    отмечаем нули функции на системе координат

  4. Дополнительные точки для построения графика

    Возьмем четыре произвольные числовые значения для «x».
    Целесообразно брать целые числовые значения на оси «Ox»,
    которые наиболее близки к оси
    симметрии. Числа запишем в таблицу в порядке возрастания.

    x 1 3 4 6
    y

    Для каждого выбранного значения «x»
    рассчитаем «y».

    • y(1) = 12 − 7 · 1 + 10 = 1 − 7 + 10 =
      4
    • y(3) = 32 − 7 · 3 + 10 = 9 − 21 + 10 =
      −2

    • y(4) = 42 − 7 · 4 + 10 = 16 − 28 + 10 =
      −2
    • y(6) = 62 − 7 · 6 + 10 = 36 − 42 + 10 =
      4

    Запишем полученные результаты в таблицу.

    x 1 3 4 6
    y 4 −2 −2 4

    Отметим полученные точки графика на системе координат (зеленые точки).

    дополнительные точки для построения

    Теперь мы готовы построить график.
    На забудьте после построения подписать график функции.

    график параболы

Краткий пример построения параболы

Рассмотрим другой пример построения графика квадратичной функции.
Только теперь запишем алгоритм построения коротко без подробностей.

Пусть требуется построить график функции
«y = −3x2 − 6x − 4».

  1. Направление ветвей параболы
  2. «a = −3» — ветви параболы направлены вниз.
    перевернутая парабола маленькая

  3. Координаты вершины параболы

    x0 =
    x0 = =

    = −1

    y0(−1) = (−3) · (−1)2 − 6 · (−1) − 4 =
    −3 · 1 + 6 − 4 = −1

    (·) A (−1; −1)

    — вершина параболы.

    вершина параболы -3x^2 - 6x - 4

  4. Нули функции

    Точки пересечения с осью «Ox» (y = 0).

    0 = −3x2 − 6x − 4

    −3x2 − 6x − 4 = 0 |·(−1)

    3x2 + 6x + 4 = 0

    x1;2 =

    −6 ±
    62 − 4 · 3 · 4
    2 · 1

    x1;2 =

    x1;2 =


    Ответ: нет действительных корней.

    Так как корней нет, значит, график функции не пересекает ось
    «Ox».

  5. Вспомогательные точки для: «x = −3»;
    «x = −2»;
    «x = 0»;
    «x = 1». Подставим в исходную функцию
    «y = −3x2 − 6x − 4».

    • y(−3) = −3 · (−3)2 − 6 · (−3) − 4
      = −3 · 9 + 18 − 4 = −27 + 14 = −13
    • y(−2) = −3 · (−2)2 − 6 · (−2) − 4
      = −3 · 4 + 12 − 4 = −12 + 12 − 4 = −4

    • y(0) = −3 · 02 − 6 · 0 − 4
      = −4
    • y(1) = −3 · 12 − 6 · 1 − 4
      = −3 −6 − 4 = −13
    x −3 −2 0 1
    y −13 −4 −4 −13

Отметим вспомогательные точки. Отмечаем на системе координат только те точки, которые
не выходят за масштаб нашей системы координат, то есть точки
«(−2; −4)» и «(0; −4)».
Построим и подпишем график функции.

график функции -3x^2 - 6x - 4


Ваши комментарии

Важно!
Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:


Квадратичная функция – подробнее

Квадратичная функция – это функция вида ( y=a{{x}^{2}}+bx+c), где ( ane 0), ( b) и ( c) ­– любые числа (они и называются коэффициентами). 

Число ( a) называют старшим или первым коэффициентом такой функции, ( b) – вторым коэффициентом, а ( c) – свободным членом.

Другими словами, квадратичная функция – это зависимость, содержащая аргумент в квадрате. Отсюда и ее название.

Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения ( Dleft( y right)) и область значений( Eleft( y right)).

Какими могут быть значения аргумента квадратичной функции ( y=a{{x}^{2}}+bx+c)? Правильно, любыми. Ведь в эту формулу можно подставить любое число (в отличии, например, от функции ( y=frac{1}{x}) – в нее нельзя подставить ( x=0)).

Значит, область определения – все действительные числа:

( Dleft( y right)=mathbb{R}) или ( Dleft( y right)=left( -infty ;+infty right)).

А теперь множество значений. Все ли значения может принимать функция?

Достаточно рассмотреть самую простую квадратичную функцию ( y={{x}^{2}}) ( left( a=1,text{ }b=0,text{ }c=0 right)~), чтобы убедиться в обратном: ведь какое бы число мы не возводили в квадрат, результат всегда будет больше или равен нулю.

Значит, эта функция всегда не меньше нуля.

А вот больше нуля она может быть сколько угодно: ведь бесконечно большой x в квадрате будет еще больше.

Таким образом, можем написать для ( y={{x}^{2}}:Eleft( y right)=left[ 0;+infty right)).

В каждом отдельном случае область значений будет разная, но всегда – ограниченная.

График квадратичной функции

Наверняка ты слышал, что график квадратичной функции называется параболой. Как она выглядит? Сейчас нарисуем

Кстати мы очень подробно разобрали как быстро и правильно рисовать параболу. Переходи по ссылке и всему научишься.

Начнем с простейшей квадратичной функции – ( y={{x}^{2}}).

Составим таблицу значений:

x -2 -1 0 1 2
y 4 1 0 1 4

Нарисуем эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией:

Именно так и выглядит парабола. Самая нижняя ее точка называется вершиной, а части спарва и слева от вершины называем ветвями параболы. Как видим, ветви симметричны относительно вертикали, проходящей через вершину.

Рассмотрим теперь другую функцию: ( y={{x}^{2}}-2{x}-3).

Составим таблицу значений:

x -2 -1 0 1 2 3 4
y 5 0 -3 -4 -3 0 5

Сравним два рисунка.

Видно, что это как будто одна и та же парабола, просто расположенная в разных местах.

Во второй параболе вершина переместилась в точку ( left( 1;-4 right)), а ветви переехали вместе с ней.

Да, так оно и есть: все параболы с одинаковым старшим коэффициентом, a выглядят одинаково – даже при разных остальных коэффициентах.

Кстати, если хочешь научиться быстро и правильно рисовать график квадратичной функции, то переходи по ссылке, там отличная статья.

Коэффициенты квадратичной функции

Давай разберем, на что влияют коэффициенты квадратичной функции.
Начнем со старшего коэффициента.
Будем рассматривать функции вида ( y=a{{x}^{2}}) (( b=0), ( c=0) – пусть не мешают).

Построим на одном рисунке графики нескольких функций: при ( a= -2,text{ }-1,frac{1}{2},text{ }1,text{ }3:) 

Что ты видишь? Чем они отличаются? Какую закономерность можно заметить?

Во-первых, это невозможно не заметить, если ( displaystyle mathbf{a}<mathbf{0}), ветви парабол направлены вниз, а если ( displaystyle mathbf{a}>mathbf{0}) – вверх.

Так, хорошо.

Значит, если парабола пересекает ось ( displaystyle Ox) в двух точках, то у нас два корня квадратного уравнения.

Если не пересекает – корней нет.

Но бывает ведь, что дискриминант уравнения равен нулю, и тогда только один корень. В этом случае парабола касается оси ( displaystyle Ox) вершиной:

А что такое вершина параболы?

Решения

1. Первое: куда «смотрят» ветви параболы? Вниз. А что это значит? Правильно, ( displaystyle a<0). То есть вариант b) сразу не подходит.

Дальше посмотрим на точку пересечения с осью ( displaystyle Oy:y=4). Что нам дает эта точка? Вспоминай.

Это – свободный член c. Значит, ( displaystyle c=4) – отбросим вариант a).

Ну что же, ( displaystyle a=-1,c=4,) осталось определить b. Тут нам поможет вершина. Напоминаю, что ее координата вычисляется по формуле: ( displaystyle {{x}_{в}}=frac{-b}{2a}).

В нашем случае ( displaystyle {{x}_{в}}=1). Тогда:

( displaystyle 1=frac{-b}{2cdot left( -1 right)}text{ }Rightarrow text{ }b=2).

Итак, наша парабола задается формулой: ( displaystyle y=-{{x}^{2}}+2x+4). Это вариант ответа d)

2. Проще простого: корни – это точки пересечения параболы с осью ( displaystyle Ox).

Смотрим: ( displaystyle {{x}_{1}}=1), ( displaystyle {{x}_{2}}=5). Значит, их сумма ( displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=6).

3. То же самое: ( displaystyle {{x}_{1}}=-1), ( displaystyle {{x}_{2}}=5). Произведение: ( displaystyle {{x}_{1}}cdot {{x}_{2}}=-5).

4. Хм… Ну, коэффициент с мы бы нашли, да только по оси ( displaystyle Oy) нет обозначений. Зато показаны точки пересечения с осью ( displaystyle Ox). А это ведь корни уравнения ( displaystyle {{x}^{2}}+bx+c=0:{{x}_{1}}=-1,{{x}_{2}}=4).

Как это нам поможет?

Кстати, чему равен старший коэффициент?

Он равен ( displaystyle 1). Как называется такое квадратное уравнение? Вспоминай: оно называется приведенным. Теперь догадался? Можно ведь применить теорему Виета. Точно! Ведь она говорит нам, что сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком:

( displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-b),

а произведение – свободному члену:

( displaystyle {{x}_{1}}cdot {{x}_{2}}=c).

Ну вот и решили: ( displaystyle b=-left( -1+4 right)=-3), ( displaystyle c=-1cdot 4=-4).

Ответ: ( displaystyle -3;text{ -}4.)

Функция

y=ax2

 и её график

В (7)-м классе мы изучали функции (у = m), (у = kx), (у = kx + m), 

y=x2

.  В общем виде функция (у = f(x)) является математической моделью зависимости значений функции (зависимой переменной (y)) от заданных значений аргумента (независимой переменной (x)).

Действительно, функция 

y=ax2

в одном случае нам немного знакома. Смотри: при (a = 1), получаем

y=x2

; эту функцию мы изучили в (7)-м классе, и ты, скорее всего, помнишь, что график этой функции — парабола.

parabola.png

Посмотрим, что получится при иных значениях коэффициента (a).

Проведём анализ двух функций: 

y=4×2

и

y=0,25×2

. Составим таблицу значений для первой функции

y=4×2

:

(x) (0) (1) (-1) (2) (-2) (1.5) (-1.5)
(y) (0) (4) (4) (16) (16) (9) (9)

Нанесём точки ((0; 0), (1; 4), (-1; 4), (2; 16), (-2; 16), (1,5; 9), (-1,5; 9)) и соединим их плавной линией.

4x^2.png

Заполним таблицу значений для функции 

y=0,25×2

:

(x) (0) (1) (-1) (2) (-2) (4) (-4)
(y) (0) (0.25) (0.25) (1) (1) (4) (4)

Нанесём точки ((0; 0), (1; 0,25), (-1; 0,25), (2; 1), (-2; 1), (4; 4), (-4; 4)) и соединим их плавной линией.

0.25x^2.png

Сравни полученные рисунки. Заметно, что оба графика похожи. График такого вида называют параболой.

У каждой параболы есть вершина и ось симметрии (говорят ось параболы). У данных парабол это точка ((0; 0))) и ось (y).

Обрати внимание!

Коэффициент (a) определяет, как быстро изменяется значение функции при изменении аргумента. Чем больше коэффициент (a), тем более круто направлены вверх ветви параболы.

Возьмём отрицательный коэффициент (a=-1) и построим график функции

y=−x2

. Заполним таблицу:

(x) (0) (1) (-1) (2) (-2) (3) (-3)
(y) (0) (-1) (-1) (-4) (-4) (-9) (-9)

Отметим точки ((0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3; — 9)) и соединим плавной линией.

minpar.png

Эта парабола имеет вершину в точке ((0; 0)), ось симметрии — ось (y). Коэффициент (a<0), поэтому ветви идут вниз.

График функции

y=ax2

 — парабола с вершиной в точке ((0; 0)), с симметричными относительно оси ординат ветвями, идущими вверх (если (a>0)) или вниз (если (a<0)).

Графики функций, имеющие противоположные значения коэффициента (a), симметричны друг другу относительно оси абсцисс. Например, графики функций 

y=x2

 и

y=−x2

.

5.png

Точно так же симметричны друг другу относительно оси (x) параболы

y=4×2

 и 

y=−4×2

.

-4x^2.png

Обрати внимание!

График функции (у = — f(x)) симметричен графику функции (у = f(x)) относительно оси абсцисс.

Функция вида y=ax^2+bx+c , где aneq 0 называется квадратичной функцией

График квадратичной функции – парабола

парабола, построение параболы, график парабола

Рассмотрим случаи:

I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА 

y=x^2, то есть a=1, b=0, c=0

Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:

parabola2

Отмечаем  точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х ( в данном случае шаг 1 ), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:

классическая парабола, парабола, построение параболы

Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай a=-1, b=0, c=0, то есть y=-x^2, то мы получим параболу, симметричную y=x^2 относительно оси (ох). Убедиться  в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:

парабола, построение параболы

II СЛУЧАЙ,  «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ

Что же будет, если мы будем брать a=2, a=-3, a=0.5? Как изменится поведение параболы? При |a|>1 парабола  y=ax^2 изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой y=x^2 (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):

парабола, построение параболы, ветви параболы, коэффициенты параболы, дискриминант

На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы y=x^2 (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях x  ордината  y  каждой точки умножилась на 4.  Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной  таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.

А при |a|<1 парабола y=ax^2  «станет шире»  параболы y=x^2:

парабола, построение параболы, ветви параболы, коэффициенты параболы, дискриминант, ветви вниз

Давайте подитожим:

III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ  «С»

 Теперь давайте введем в игру c (то есть рассматриваем случай, когда cneq 0), будем рассматривать параболы вида y=ax^2+c. Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы y=ax^2 вдоль оси (oy) вверх или вниз в зависимости от знака c:

парабола, построение параболы, сдвиг параболы, ветви параболы, коэффициенты параболы, дискриминант

IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»

Когда же парабола “оторвется” от оси (oy) и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда b перестанет быть равным 0.

Здесь для построения параболы y=ax^2+bx+c нам понадобится формула для вычисления вершины: x_o=frac{-b}{2a},   y_o=y(x_o).

Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу y=ax^2, что уже нам по силам. Если  имеем дело со случаем a=1, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с a=2, например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.

Например, вершина параболы y=x^2-4x-2:

x_o=frac{4}{2}=2,  y_o=(2)^2-4cdot 2 -2=-6. Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы y=x^2,  ведь a=1 в нашем случае.

парабола, построение параболы, ветви параболы, дискриминант

При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:

1) парабола обязательно пройдет через точку (0;c).  Действительно, подставив в формулу y=ax^2+bx+c x=0, получим, что y=c. То есть ордината точки пересечения параболы  с осью (оу), это c.   В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке -2, так как c=-2.

2) осью симметрии параболы является прямая x=frac{-b}{2a}, поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.

3) Приравнивая y к 0, мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение ax^2+bx+c=0. В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (D=0,  x=-frac{b}{2a}), две (D>0, x_{1,2}=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}) или нИсколько (D<0) точек пересечения с осью (ох). В предыдущем примере у нас  корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения  с осью (ох) у нас будут (так как D>0), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.

Итак, давайте выработаем

Алгоритм для построения параболы, если она задана  в виде y=ax^2+bx+c

1) определяем направление ветвей ( а>0 – вверх, a<0 – вниз)

2) находим координаты вершины (x_o;y_o) параболы по формуле x_o=frac{-b}{2a},   y_o=y(x_o).

3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену c, строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение c велико… пропускаем этот пункт…)

4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу y=ax^2. Если |a|>1, то парабола y=ax^2 становится у’же по сравнению с y=x^2, если |a|<1, то парабола расширяется по сравнению с y=x^2

5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение ax^2+bx+c=0

Пример 1

алгоритм построения параболы, парабола

Пример  2

парабола, построение параболы, ветви параболы, коэффициенты параболы, дискриминант

Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде y=a(x-m)^2+n, где m, n – некоторые числа (например, y=(x-5)^2-1), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины (m, n). Почему?

Возьмем квадратный трехчлен ax^2+bx+c и выделим в нем полный квадрат: ax^2+bx+c=a(x^2+frac{b}{a}x+frac{c}{a})=a((x^2+2frac{b}{2a}x+frac{b^2}{4a^2})-frac{b^2}{4a^2}+frac{c}{a})=a(x+frac{b}{2a})^2-frac{b^2}{4a}+c. Посмотрите, вот мы и получили, что m=frac{-b}{2a}, n=-frac{b^2}{4a}+c=y(frac{-b}{2a}). Мы с вами ранее называли   вершину параболы (x_o; y_o), то есть теперь x_o=m, y_o=n.

Например,  y=-frac{1}{3}{(x+2)}^2+6. Отмечаем на плоскости вершину параболы (-2; 6), понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно y=x^2). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).

парабола с ветвями вниз

Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому y=x(x-4) (то есть y представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае  – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.

В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.

Функция вида y=ax^2+bx+c, где a<>0  называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

aстарший коэффициент

bвторой коэффициент

с  — свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции y=x^2 имеет вид:

Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками — это, так называемые «базовые точки». Чтобы найти координаты этих точек для функции y=x^2, составим таблицу:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент a=1, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции y=x^2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График  функции y=-x^2 имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

Обратите внимание, что график функции y=-x^2 симметричен графику функции y=x^2 относительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Второй параметр для построения графика  функции — значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции f(x) — это точки пересечения графика функции y=f(x) с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты  точек  пересечения графика функции y=f(x) с осью ОХ, нужно решить уравнение f(x)=0.

В случае квадратичной функции y=ax^2+bx+c нужно решить квадратное уравнение .

Теперь внимание!

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: D=b^2-4ac, который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если D<0 ,то уравнение ax^2+bx+c=0 не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола y=ax^2+bx+c не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если a>0 ,то график функции выглядит как-то так:

2. Если D=0 ,то уравнение ax^2+bx+c=0  имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола y=ax^2+bx+c  имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если a>0 ,то график функции выглядит примерно так:

3.  Если D>0 ,то уравнение ax^2+bx+c=0  имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола y=ax^2+bx+c  имеет две точки пересечения с осью ОХ:

x_1={-b+sqrt{D}}/{2a},  x_2={-b-sqrt{D}}/{2a}

Если a>0 ,то график функции выглядит примерно так:

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Следующий важный параметр графика квадратичной функции — координаты вершины параболы:

x_0=-{b/{2a}}

y_0=-{D/{4a}}=y(x_0)

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции — точка пересечения параболы y=ax^2+bx+c с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y=ax^2+bx+c с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: y(0)=c.

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны  на рисунке:

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой y=ax^2+bx+c.

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции y=2x^2+3x-5

1. Направление ветвей параболы.

Так как a=2>0 ,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x^2+3x-5

D=b^2-4ac=9-4*2*(-5)=49>0  sqrt{D}=7

Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение: 2x^2+3x-5=0

x_1={-3+7}/4=1,  x_1={-3-7}/4=-2,5

3.   Координаты  вершины параболы:

x_0=-{b/{2a}}=-3/4 =-0,75

y_0=-{D/{4a}}=-49/8=-6,125

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем координаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

y=2x^2+3x-5

Кррдинаты вершины параболы

x_0=-{b/{2a}}=-3/4 =-0,75

y_0=-{D/{4a}}=-49/8=-6,125

Ближайшие к вершине точки, расположенные  слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы  соответственно 0;1;2

Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их  в таблицу:

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

2.  Уравнение квадратичной функции имеет вид y=a(x-x_0)^2+y_0 — в этом уравнении x_0;y_0 — координаты вершины параболы

или в уравнении квадратичной функции y=ax^2+bx+c a=1, и второй коэффициент — четное число.

Построим для примера график функции y=2(x-1)^2+4.

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно

  • сначала построить график функции y=x^2,
  • затем одинаты всех точек графика умножить на 2,
  • затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
  • а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

Теперь рассмотрим построение  графика функции y=x^2+4x+5. В уравнении этой функции a=1, и второй коэффициент — четное число.

Выделим в уравнении функции полный квадрат: x^2+4x+5=x^2+4x+4-4+5=(x^2+4x+4)+1=(x+2)^2+1

Следовательно,  координаты вершины параболы: x_0=-2, y_0=1. Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

3.  Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции — точки пересечения графика функции с осью ОХ:

(х-2)(х+1)=0, отсюда x_1=2; x_2=-1

2. Координаты вершины параболы: x_0={x_1+x_2}/2={2-1}/2=1/2

y_0=y(-1)=({1/2}-2)({1/2}+1)=-9/4=-2,25

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на  координатную плоскость и построим график:

График квадратичной функции.

Перед вами график квадратичной функции вида Подготовка к ГИА и ЕГЭ.

Кликните по чертежу.
Подвигайте движки.
Исследуйте зависимость
— ширины графика функции Подготовка к ГИА и ЕГЭ от значения коэффициента Подготовка к ГИА и ЕГЭ,
— сдвига графика функции Подготовка к ГИА и ЕГЭ вдоль оси Подготовка к ГИА и ЕГЭ от значения  Подготовка к ГИА и ЕГЭ,

— сдвига графика функции Подготовка к ГИА и ЕГЭ вдоль оси Подготовка к ГИА и ЕГЭ от значения  Подготовка к ГИА и ЕГЭ
— направления ветвей параболы от знака коэффициента Подготовка к ГИА и ЕГЭ
— координат вершины параболы Подготовка к ГИА и ЕГЭ от значений Подготовка к ГИА и ЕГЭ и Подготовка к ГИА и ЕГЭ:

Скачать таблицу квадратичная функция

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *