Динамика вращательного движения абсолютно твердого тела момент инерции теорема штейнера

Момент инерции

13. Основное уравнение динамики вращательного движения абсолютнотвердого тела

 
Это
основное уравнение динамики вращательного
движения тела: угловое ускорение
вращающегося тела прямо пропорционально
сумме моментов всех действующих на него
сил относительно оси вращения тела и
обратно пропорционально моменту инерции
тела относительно этой оси вращения.
Полученное уравнение аналогично по
форме записи выражению второго закона
Ньютона для поступательного движения
тела.

второй
закон Ньютона для вращательного
движения  По
определению угловое ускорение  и
тогда это уравнение можнопереписать
следующим образом  с
учетом   или 

Это
выражение носит название основного
уравнения динамики вращательного
движения и формулируется следующим
образом: изменение момента количества
движения твердого тела  ,
равно импульсу момента  всех
внешних сил, действующих на это тело.

14. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела

Определим
кинетическую энергию твёрдого тела,
вращающегося вокруг неподвижной оси.
Разобьем это тело на n материальных
точек. Каждая точка движется с линейной
скоростью υi=ωri, тогда кинетическая
энергия точки

или 

Полная
кинетическая энергия вращающегося
твердого тела равна сумме кинетических
энергий всех его материальных точек:

(3.22)

(J
— момент инерции тела относительно оси
вращения)

Если
траектории всех точек лежат в параллельных
плоскостях (как у цилиндра, скатывающегося
с наклонной плоскости, каждая точка
перемещается в своей плоскости рис ),
это плоское движение. В соответствии
с принципом Эйлера плоское движение
всегда можно бесчисленным количеством
способов разложить на поступательное
и вращательное движение. Если шарик
падает или скользит вдоль наклонной
плоскости, он двигается только
поступательно; когда же шарик катится
– он ещё и вращается.

Если
тело совершает поступательное и
вращательное движения одновременно,
то его полная кинетическая энергия
равна

 (3.23)

Из
сопоставления формул кинетической
энергии для поступательно­го и
вращательного движений видно, что мерой
инертности при вращательном движении
служит момент инерции тела.

15. Законы сохранения в механике

Закон
сохранения импульса: 
Геометрическая
сумма импульсов тел, составляющих
замкнутую систему, остается постоянной
при любых движениях и взаимодействиях
тел системы.

Работа
постоянной силы равна произведению
модулей векторов силы и перемещения на
косинус угла между этими векторами.

Кинетическая
энергия равна половине произведения
массы тела на квадрат его скорости.

Кинетическая
энергия – это физическая величина,
характеризующая движущееся тело;
изменение этой величины равно работе
силы, приложенной к телу.

Величина
mgh — это потенциальная энергия тела,
поднятого на высоту h над нулевым уровнем.

Работа
силы упругости равна изменению
потенциальной энергии упругого
деформированного тела ( пружины), взятому
с противоположным знаком.

Потенциальная
энергия деформированного тела равна
работе силы упругости.

Закон
сохранения энергии: 
Полная
механическая энергия замкнутой системы
тел, взаимодействующих силами тяготения
или силами упругости, остается неизменной
при любых движениях тел системы.

Мощностью называется
величина, равная отношению совершенной
работы к промежутку времени, за который
она совершена:

Коэффициентом
полезного действия называется
величина, равная отношению полезной
работы ко всей совершенной работе.

КПД показывает,
насколько эффективно данная машина
использует подводимую к ней энергию.
Коэффициент полезного действия не может
быть больше единицы. КПД можно записать
в процентах:

Соседние файлы в предмете Физика

  • #
  • #
  • #

Для кинематического описания процесса вращения твердого тела нужно ввести такие понятия как угловое перемещение Δφ, угловое ускорение ε и угловая скорость ω:

ω=∆φ∆t, (∆t→0),ε=∆φ∆t, (∆t→0).

Углы выражаются в радианах. За положительное направление вращения принимается направление против часовой стрелки.

Когда твердое тело вращается относительно неподвижной оси, все точки этого тела перемещаются с одинаковыми угловыми скоростями и ускорениями.

Вращение твердого тела

Рисунок 1. Вращение диска относительно оси, проходящей через его центр O.

Если угловое перемещение Δφ мало, то модуль вектора линейного перемещения ∆s→ некоторого элемента массы Δm вращающегося твердого тела можно выразить соотношением:

∆s=r∆ϕ,

в котором r – модуль радиус-вектора r→.

Между модулями угловой и линейной скоростей можно установить связь посредством равенства

v=rω.

Модули линейного и углового ускорения также взаимосвязаны:

a=aτ=rε.

Векторы v→ и a→=aτ→ направлены по касательной к окружности радиуса r.

Также нам необходимо учесть возникновение нормального или центростремительного ускорения, которое всегда возникает при движении тел по окружности.

Определение 1

Модуль ускорения выражается формулой:

an=v2r=ω2r.

Если разделить вращающееся тело на небольшие фрагменты Δmi, обозначить расстояние до оси вращения через ri, а модули линейных скоростей через vi, то запись формулы кинестетической энергии вращающегося тела будет иметь вид:

Ek=∑iνmvi22=∑i∆m(riω)22=ω22∑i∆miri2.

Определение 2

Физическая величина ∑i∆miri2 носит название момента инерции I тела относительно оси вращения. Она зависит от распределения масс вращающегося тела относительно оси вращения:

I=∑i∆miri2.

В пределе при Δm→0 эта сумма переходит в интеграл. Единица измерения момента инерции в СИ – килограммметр в квадрате (кг·м2). Таким образом, кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, можно представить в виде:

Ek=Iω22.

В отличие от выражения, которое мы использовали для описания кинестетической энергии поступательно движущегося тела mv22, вместо массы m в формулу входит момент инерции I. Также мы принимаем во внимание вместо линейной скорости v угловую скорость ω.

Если для динамики поступательного движения основную роль играет масса тела, то в динамике вращательного движения имеет значение момент инерции. Но если масса – это свойство рассматриваемого твердого тела, которое не зависит от скорости движения и других факторов, то момент инерции зависит от того, вокруг какой оси вращается тело. Для одного и того же тела момент инерции будет определяться различными осями вращения.

В большинстве задач считается, что ось вращения твердого тела проходит через центр его массы.

Положение xC, yC центра масс для простого случая системы из двух частиц с массами m1 и m2, расположенными в плоскости XY в точках с координатами x1, y1 и x2, y2 определяется выражениями:

xC=m1x1+m2x2m1+m2, yC=m1y1+m2y2m1+m2.

Вращение твердого тела

Рисунок 2. Центр масс C системы из двух частиц.

В векторной форме это соотношение принимает вид:

rC→=m1r1→+m2r2→m1+m2.

Аналогично, для системы из многих частиц радиус-вектор rC→ центра масс определяется выражением

rC→=∑miri→∑mi.

Если мы имеем дело с твердым телом, состоящим из одной части, то в приведенном выражении суммы для rC→ необходимо заменить интегралами.

Центр масс в однородном поле тяготения совпадает с центром тяжести. Это значит, что если мы возьмем тело сложной формы и подвесим его за центр масс, то в однородном поле тяготения это тело будет находиться в равновесии. Отсюда следует способ определения центра масс сложного тела на практике: его необходимо последовательно подвесить за несколько точек, одновременно отмечая по отвесу вертикальные линии.

Вращение твердого тела

Рисунок 3. Определение положения центра масс C тела сложной формы. A1, A2, A3 точки подвеса.

На рисунке мы видим тело, которое подвешено за центр масс. Оно находится в состоянии безразличного равновесия. В однородном поле тяготения равнодействующая сил тяжести приложена к центру масс.

Мы можем представить любое движение твердого тела как сумму двух движений. Первое поступательное, которое производится со скоростью центра масс тела. Второе – это вращение относительно оси, которая проходит через центр масс.

Пример 1

Предположим. Что у нас есть колесо, которое катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Все точки колеса во время движения перемещаются параллельно одной плоскости. Такое движение мы можем обозначить как плоское.

Теорема о движении центра масс

Определение 3

Кинестетическая энергия вращающегося твердого тела при плоском движении будет равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения относительно оси, которая проведена через центр масс и располагается перпендикулярно плоскостям, в которых движутся все точки тела:

Ek=mvC22+ICω22,

где m – полная масса тела, IC – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Теорема о движении центра масс

Рисунок 4. Качение колеса как сумма поступательного движения со скоростью vC→ и вращения с угловой скоростью ω=vCR относительно оси O, проходящей через центр масс.

В механике используется теорема о движении центра масс.

Теорема 1

Любое тело или несколько взаимодействующих тел, которые представляют собой единую систему, обладают центром масс. Этот центр масс под воздействием внешних сил перемещается в пространстве как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы.

На рисунке мы изобразили движение твердого тела, на которое действуют силы тяжести. Центр масс тела движется по траектории, которая близка к параболе, тогда как траектория остальных точек тела является более сложной.

Теорема о движении центра масс

Рисунок 5. Движение твердого тела под действием силы тяжести.

Теорема Штейнера о параллельном переносе оси вращения

Рассмотрим случай, когда твердое тело движется вокруг некоторой неподвижной оси. Момент инерции этого тела инерции I можно выразить через момент инерции IC этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной первой.

Теорема Штейнера о параллельном переносе оси вращения

Рисунок 6. К доказательству теоремы о параллельном переносе оси вращения.

Пример 2

Для примера возьмем твердое тело, форма которого произвольна. Обозначим центр масс С. Выберем систему координат ХУ с началом координат 0. Совместим центр масс и начало координат.

Одна из осей проходит через центр масс С. Вторая ось пересекает произвольно выбранную точку Р, которая расположена на расстоянии d от начала координат. Выделим некоторый малый элемент массы данного твердого тела Δmi.

По определению момента инерции:

IC=∑∆mi(xi2+yi2),IP=∑mi(xi-a)2+yi-b2

Выражение для IP можно переписать в виде:

IP=∑∆mi(xi2+yi2)+∑∆mi(a2+b2)-2a∑∆mixi-2b∑∆miyi.

Два последних члена уравнения обращаются в нуль, так как начало координат в нашем случае совпадает с центром масс тела.

Так мы пришли к формуле теоремы Штейнера о параллельном переносе оси вращения.

Теорема 2

Для тела, которое вращается относительно произвольной неподвижной оси, момент инерции, согласно теореме Штейнера, равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

IP=IC+md2,

где m – полная масса тела.

Теорема Штейнера о параллельном переносе оси вращения

Рисунок 7. Модель момента инерции.

На рисунке ниже изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.

Теорема Штейнера о параллельном переносе оси вращения

Рисунок 8. Моменты инерции IC некоторых однородных твердых тел.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

В тех случаях, когда мы имеем дело с твердым телом, которое вращается относительно неподвижной оси, мы можем обобщить второй закон Ньютона. На рисунке ниже мы изобразили твердое тело произвольной формы, вращающееся относительно некоторой оси, проходящей через точку О. Ось вращения расположена перпендикулярно плоскости рисунка.

Δmi – это произвольный малый элемент массы, на который оказывают воздействие внешние и внутренние силы. Равнодействующая всех сил есть Fi→. Ее можно разложить на две составляющие: касательную составляющую Fiτ→ и радиальную Fir→. Радиальная составляющая Fir→ создает центростремительное ускорение an.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Рисунок 9. Касательная Fiτ→ и радиальная Fir→ составляющие силы Fi→ действующей на элемент Δmi твердого тела.

Касательная составляющая Fiτ→ вызывает тангенциальное ускорение aiτ→ массы Δmi. Второй закон Ньютона, записанный в скалярной форме, дает

∆miaiτ=Fiτsin θ или ∆miriε=Fisin θ,

где ε=aiτri – угловое ускорение всех точек твердого тела.

Если обе части написанного выше уравнения умножить на ri, то мы получим:

∆miri2ε=Firisin θ=Fili=Mi.

Здесь li – плечо силы, Fi,→Mi – момент силы.

Теперь нужно аналогичные соотношения записать для всех элементов массы Δmi вращающегося твердого тела, а затем просуммировать левые и правые части. Это дает:

∑∆miri2ε=∑Mi.

Стоящая в правой части сумма моментов сил, действующих на различные точки твердого тела, состоит из суммы моментов всех внешних сил и суммы моментов всех внутренних сил.

∑M=∑Miвнешн+∑Miвнутр.

Но сумма моментов всех внутренних сил согласно третьему закону Ньютона равна нулю, поэтому в правой части остается только сумма моментов всех внешних сил, которые мы будем обозначать через M. Так мы получили основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

Определение 4

Угловое ускорение ε и момент сил M в этом уравнении являются величинами алгебраическими.

Iε=M

Обычно за положительное направление вращения принимают направление против часовой стрелки.

Возможна и векторная форма записи основного уравнения динамики вращательного движения, при которой величины ω→, ε→, M→ определяются как векторы, направленные по оси вращения.

Закон сохранения момента импульса

В разделе, посвященном поступательному движению тела, мы ввели понятие импульса тела p→. По аналогии с поступательным движением для вращательного движения мы вводим понятие момента импульса.

Определение 5

Момент импульса вращающегося тела – это физическая величина, которая равняется произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω его вращения.

Для обозначения момента импульса используется латинская буква L. 

L=lω

Поскольку ε=∆ω∆t; ∆t→0, уравнение вращательного движения можно представить в виде:

M=Iε=I∆ω∆t или M∆t=I∆ω=∆L.

Получаем:

M=∆L∆t; (∆t→0).

Мы получили это уравнение для случая, когда I = const. Но оно будет справедливо и тогда, когда момент инерции тела будет изменяться в процессе движения.

Если суммарный момент M внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса L=Iω относительно данной оси сохраняется: ∆L=0, если M=0.

Определение 6

Следовательно,

L=lω=const.

Так мы пришли к закону сохранения момента импульса.

Пример 3

В качестве примера приведем рисунок, на котором изображено неупругое вращательное столкновение дисков, которые насажены на общую для них ось.

Закон сохранения момента импульса

Рисунок 10. Неупругое вращательное столкновение двух дисков. Закон сохранения момента импульса: I1ω1=(I1+I2)ω.

Мы имеем дело с замкнутой системой. Для любой замкнутой системы закон сохранения момента импульса будет справедливым. Он выполняется и в условиях экспериментов по механике, и в условиях космоса, когда планеты движутся по своим орбитам вокруг звезды.

Мы можем записать уравнение динамики вращательного движения как для неподвижной оси, так и для оси, которая перемещается равномерно или с ускорением. Вид уравнения не изменится и в том случае, если ось движется ускоренно. Для этого должно выполняться два условия: ось должна проходить через центр массы тела, а ее направление в пространстве остается неизменным.

Пример 4

Предположим, что у нас есть тело (шар или цилиндр), которое катится по наклонной плоскости с некоторым трением.

Закон сохранения момента импульса

Рисунок 11. Качение симметричного тела по наклонной плоскости.

Ось вращения O проходит через центр масс тела. Моменты силы тяжести mg→ и силы реакции N→ относительно оси O равны нулю. Момент M создает только сила трения: M = FтрR.

Уравнение вращательного движения:

ICε=ICaR=M=FтрR,

где ε – угловое ускорение катящегося тела, a – линейное ускорение его центра масс, IC – момент инерции относительно оси O, проходящей через центр масс.

Второй закон Ньютона для поступательного движения центра масс записывается в виде:

ma=mg sin α-Fтр.

Исключая из этих уравнений Fтр, получим окончательно:

α=mg sin θICR2+m.

Из этого выражения видно, что быстрее будет скатываться с наклонной плоскости тело, обладающее меньшим моментом инерции. Например, у шара IC=25mR2, а у сплошного однородного цилиндра IC=12mR2. Следовательно, шар будет скатываться быстрее цилиндра.

Основное уравнение динамики вращательного движения.

Абсолютно твердое
тело 
– тело, расстояние между двумя любыми точками
которого остается неизменным при любых движениях и деформациях.

Следовательно, форма и
размеры абсолютно твердого тела не изменяются при действии на него любых сил.

Абсолютно твердое тело –
физическая модель (в природе не существует). Тело можно считать абсолютно
твердым, если деформации малы.

Вращательное
движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси
– движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры
которых находятся на одной прямой, перпендикулярной плоскостям этих
окружностей. Сама эта прямая есть
ось вращения (OO’).

Примеры вращательного движения: вращение валов двигателей, колес, турбин,
пропеллеров самолетов, вращение Земли вокруг совей оси.

Динамика вращательного движения абсолютно твердого тела изучает причины появления углового ускорения у тела, которое может
вращаться вокруг оси и позволяет вычислить его величину.

При
вращательном движении твердого тела вокруг закрепленной оси масса уже не
является мерой его инертности, а сила недостаточна для характеристики внешнего
воздействия. Таким образом, для описания вращательного движения твердого тела
необходимо ввести новые характеристики:

1)      При вращательном движении силовое
воздействие характеризуется не силой, а

Момент
силы
(М) – векторная физическая величина, модуль которой
равен произведению модуля силы на ее плечо.

Плечо силы (d)  
длина перпендикуляра, опущенного из оси вращения на линию действия силы.

Си: [М]=> 1Н∙м

1Н∙м  — момент силы в 1Н, линия действия которой отстоит от оси вращения на
1м.

Если
линия действия силы проходит через ось вращения, то момент силы относительно
этой оси равен нулю. Эта сила не вызывает вращения.

Вектор
момента силы направлен вдоль оси вращения. Направление момента силы
определяется по
правилу
правой руки
. Для этого необходимо
изобразить вектор силы и радиус вектор точки приложения этой силы исходящими из
одной точки. За направление вращения выберем направление поворота от
 к
.
Расположим правую руку таким образом, чтобы направление кончиков четырех
согнутых пальцев показывало направление поворота от
 к
,
тогда направление отогнутого большого пальца укажет направление момента силы.

2)      Мерой инерции при вращательном движении является

Момент
инерции материальной точки относительно оси вращения
 – физическая величина, равная ,
где
 —
кратчайшее расстояние от оси вращения до точки.

1
кг∙м2
– момент
инерции тела, при котором под действием момента силы в 1Н∙м тело приобретает
угловое ускорение в
.

Момент
инерции тела равен сумме моментов инерции отдельных его частей:

где
 —
масса элемента абсолютно твердого тела;
 –
кратчайшее расстояние от элемента тела до оси вращения.

Если
масса тела является инвариантной величиной (одинаковой в различных системах
отсчета) и не зависит от того, как тело движется, то
момент инерции абсолютно твердого тела
зависит
:

1)      От массы тела;

2)      От формы и размеров тела;

3)      От распределения массы относительно оси
вращения (при переносе оси вращения, изменении ее направления, а также переносе
отдельных частей тела его момент инерции изменяется)
.

У
твердых тел момент инерции относительно данной оси – постоянная величина.
Момент инерции тел относительно оси
вращения, проходящей через центр масс
у многих тел известен:

Тело

Ось вращения
проходит

Рисунок

Момент
инерции

Обруч

через
центр обруча, перпендикулярно его плоскости

Цилиндр

через
центр цилиндра, перпендикулярно плоскости его основания

Диск

через
центр диска вдоль его диаметра

Шар

через
центр шара

Стержень длиной l

через
середину тонкого стержня, перпендикулярно ему

При переносе оси вращения или отдельных частей тела относительно этой оси
его момент инерции изменяется. Соотношение между моментами инерции тела
относительно некоторой оси вращения, проходящей через центр масс, относительно
произвольной параллельной ей оси устанавливается с помощью
теоремы Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси
вращения равен сумме момента инерции этого тела, взятого относительно
параллельной ей оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на
квадрат расстояния между осями.

Проведем
некоторую ось вращения О, проходящую через центр масс абсолютно твердого тела.
Выберем другую произвольную ось О’, параллельную оси О и отстоящую от нее на
расстоянии
d. Пусть момент инерции относительно центра масс
известен и равен
Io. Тогда, согласно Тереме Штейнера момент
инерции относительно оси
O’ равен:

Io= Io + md2теорема
Штейнера

Выведем
основное уравнение динамики вращательного движения. Рассмотрим частицу массы
m,
вращающуюся вокруг оси по окружности радиуса
R, под действием
результирующей силы
,
лежащей в плоскости оси вращения. В инерциальной системе отсчета справедлив
II
закон Ньютона. Запишем его применительно к произвольному моменту времени:
.

Разложим силу  на
две составляющие: нормальную
 и
тангенциальную
.
Нормальная составляющая силы не способна вызвать вращение частицы с угловым
ускорением, поэтому рассмотрим только действие ее тангенциальной составляющей.
В проекции на тангенциальное направление
II закон Ньютона примет
вид:
.

Но

 основное
уравнение динамики вращательного движения материальной точки.

Этому
уравнению можно придать векторный характер, учитывая, что наличие момента сил
вызывает появление параллельного ему вектора углового ускорения, направленного
вдоль оси вращения:

 —
произведение момента инерции материальной точки на угловое ускорение
равно результирующему моменту сил, действующих на материальную точку
.

Т.к.
то

Для
вывода основного уравнения динамики абсолютно твердого тела необходимо
разделить это тело на достаточно малые элементы
mi, каждый из
которых можно считать материальной точкой. Записать для каждой материальной
точки основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки и
все эти уравнения почленно сложить:

 — основное
уравнение динамики вращательного движения абсолютно твердого тела.

Произведение момента инерции тела относительно оси вращения на угловое
ускорение тела равно сумме моментов (относительно той же оси)всех внешних сил,
приложенных к телу.

Основное уравнение динамики вращательного движения
тела устанавливает зависимость углового ускорения от момента силы и момента
инерции.

Ускорение при вращательном движении зависит:

1)      Не только от массы, но и от ее
распределения относительно оси вращения;

2)      Не только от силы, но и от точки ее
приложения и направления действия.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *