Эссе по теории вероятности

Предмет: Теория вероятностей
Тип работы: Эссе
Язык: Русский
Дата добавления: 12.07.2019
  • Данный тип работы не является научным трудом, не является готовой работой!
  • Данный тип работы представляет собой готовый результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала для самостоятельной подготовки учебной работы.

Если вам тяжело разобраться в данной теме напишите мне в whatsapp разберём вашу тему, согласуем сроки и я вам помогу!

По этой ссылке вы сможете узнать как правильно написать и оформить эссе:

Посмотрите похожие темы возможно они вам могут быть полезны:

Введение:

Эссе по теории вероятностей

Теория вероятностей является одной из классических областей математики. У нее долгая история. Стохастические и статистические методы в настоящее время глубоко проникают в приложения. Они используются в физике, технике, домохозяйках, биологии и медицине. Их роль особенно возрастает в связи с развитием компьютерных технологий. Например, для изучения физических явлений мы проводим наблюдения и эксперименты.

Результат обычно записывается в виде нескольких наблюдаемых количественных значений. Если вы повторите эксперимент, результаты будут отличаться. Например, повторные измерения одного и того же значения на одном и том же приборе при сохранении определенных условий (температуры, влажности и т. д.) Дадут, по крайней мере, немного другие результаты.

Выполнение нескольких измерений не позволяет точно предсказать следующее измерение. В этом смысле они говорят, что результат измерения является случайным значением. Шанс, случайный шанс, случайный срыв, случайное обнаружение, случайные ошибки. Эта серия может продолжаться до бесконечности. Математика существует уже много лет, и какие законы существуют в сфере возможностей!

Но здесь наука обнаружила интересные закономерности — они позволяют чувствовать себя уверенно при встрече со случайными событиями. Как наука, теория вероятностей началась в 17 веке. Появление концепции вероятности было связано с необходимостью играть в азартные игры и с необходимостью страхования в период, когда торговые отношения и путешествия значительно возросли.

Слово «возбуждение», обычно понимаемое как сильное возбуждение или страсть, является транскрипцией французского слова «опасность», которое буквально означает «случайность» или «риск». Азартные игры — это название игры на выигрыш, которая в основном зависит от навыков игрока, а не от шансов. Схема азартных игр была очень простой и позволила провести всесторонний логический анализ.

Первые попытки такого рода связаны с именами известных ученых-алгебраиков Джерорамо Кардана (1501-1576) и Галилея Галилея (1564-1642). Но честь открытия этой теории, которая позволяет не только сравнивать случайные величины, но и выполнять с ними определенные математические операции, принадлежит Блезу Паскалю (1623-1662) и Пьеру Фермеру.

Даже в древние времена мы заметили, что существуют отличительные явления: небольшое количество наблюдений не показывает их точность, но с увеличением количества наблюдений некоторые закономерности становятся более отчетливыми. Все началось с игры в кости.

Суть теории. Теория вероятностей — это наука, изучающая закон массовых случайных явлений. Этот же закон изучается статистикой только в более узких предметных областях социально-экономических явлений. Существует общая методология и высокая степень взаимосвязи между этими науками.

Почти все выводы, сделанные статистикой, считаются стохастическими. Стохастический характер статистических исследований особенно выражен в селективном методе, так как выводы, полученные из результатов выборки, оцениваются с заданной вероятностью. По мере развития рынка, вероятность и статистика постепенно увеличиваются.

Это особенно верно в управлении рисками, запасами и портфелями ценных бумаг. За рубежом теория вероятностей и математическая статистика очень широко применяются. В Японии распространение и внедрение реальных стохастических методов является актуальным, поскольку они все еще широко используются для контроля качества продукции.

Как уже упоминалось, понятие вероятности события определено для массовых явлений, точнее однородных массовых операций. Однородные массовые операции настроены так, чтобы называться множественными итерациями одной и той же операции или теста. Каждый тест состоит из создания определенного набора условий, которые необходимы для конкретной массовой операции. Как правило, вы должны иметь возможность воспроизводить этот набор условий снова и снова. При случайном бросании игральных костей единственным условием является то, что кости бросаются в стол, а все другие ситуации (начальная скорость, атмосферное давление и температура, окраска стола и т. д.)

Игра в стрельбу многократно стреляет в конкретную цель с определенного расстояния от положения стоя. Каждый выстрел — это проверка операции массового огня при определенных условиях. Если стрелок может менять позиции на разных выстрелах («стоя», «лежа», «от колена»), предыдущие условия значительно изменились и нужно говорить о массовых маневрах стрельбы с определенного расстояния.

Абстракция события. В математике событие — это объект или явление, которое может появляться или не появляться при определенных условиях. Кроме того, создание этих условий является существенной причиной появления ожидаемого явления. Различают невозможное, возможное и надежное событие. Невозможное событие — никогда не появляется в этих условиях (правильнее сказать, что вероятность такого события бесконечно мала). Надежные события — всегда будут отображаться, если существуют соответствующие условия. В этом случае существует четкая причинно-следственная связь между условием и событием.

Возможные события — это те, которые появляются, и те, которые не появляются при одинаковых условиях.

Другими словами, создание условия в этом случае не гарантирует, что событие произойдет. Это указывает на неоднозначное или косвенное прямое следствие между состоянием и ожидаемым событием. При изучении возможных событий понятие частоты таких событий возникает между повторными наблюдениями. Частота событий — это количество событий, которые могут произойти при определенных условиях. Очевидно, это число f = 0,1,2,3,…, n. Где f — спецификация частоты, а n — максимально возможное значение. Также ясно, что если f = n, событие достоверно, то есть оно всегда происходит. Частота — это простая, с низкой точностью мера способностей.

Более точной мерой вероятности того, что событие произойдет, является относительная частота (частота) -p = f / n 0 ≤ f ≤ n, так что 0 ≤ p ≤ 1, где n — общее количество наблюдений или испытаний. (Иногда называется случайностью) f — количество возможных событий, которые произошли. 3. Наиболее точным показателем статистической разрешимости вероятности является ограничение относительной частоты (частоты) при неограниченном увеличении количества тестов. Это называется статистической вероятностью. P = lim (m / n) n → ∞. Это определение чисто теоретическое. На практике невозможно увеличить количество тестов без ограничений.

Хорошо известные комбинации комбинаций часто используются для расчета количества основных результатов, которые составляют событие в классической схеме. Каждая комбинационная формула основана на конкретном идеализированном эксперименте путем случайного выбора m элементов из n различных элементов исходного набора E = {e1, e2, …, en} Определить общее количество При постановке каждого такого эксперимента указывается точный метод отбора и значение различных образцов. Существуют две принципиально разные схемы выбора: в первой выбор производится без возврата каких-либо элементов (т. е. Либо m элементов выбираются все сразу, либо выбирается один элемент за раз) .

Каждый выбранный элемент исключается из исходного набора). Во второй схеме выбор производится поэлементно, и на каждом шаге выбранный элемент принудительно возвращается назад, и начальный набор полностью перемешивается перед следующим выбором. После того, как выбор сделан каким-либо образом, выбранные элементы (или их номера) можно упорядочить (т.е. выложить в непрерывную цепочку). В результате мы получаем следующие четыре различные настройки для эксперимента, который случайным образом выбирает m элементов из общего числа n различных элементов в наборе E. A.

Схемы выбора, приводящие к комбинациям Подмножество элементов набора E с различными конфигурациями. Результирующая комбинация элементов (результат элемента) называется n-комбинацией элементов m, а общее число N (W) определяется по следующей формуле: Cmn = n! / [М! (N-м)! ] = N (n-1) … (n-m + 1) / m! Для числового Cmn, также называемого биномиальным коэффициентом, следующая идентификация действительна и часто помогает решить проблему. Cmn = Cn-mn (свойство симметрии), Ckn + 1 = Ckn + Ck-1n; C0n = 1 (отношение регрессии), C0n + C1n + … + Cnn = 2n (биноминальный результат Ньютона).

Набор E содержит первые 10 букв русского алфавита. Сколько трехбуквенных алфавитов может состоять из определенного набора символов? Насколько вероятно, что буква «а» будет включена в случайно выбранный алфавит? Решение Количество различных алфавитов равно количеству 3 подмножеств элементов из набора E (количество комбинаций из 10 элементов по 3 в каждой): N (W) = C310 = 10 x 9 x 8 / (1 x 2 x 3) = 120 Пусть событие А будет произвольно выбранным алфавитом из трех букв, включая букву «а».

Количество элементов в наборе A равно числу всех возможных способов выбора от 2 до 9 символов (буква «a» исключается из 10 символов). Равно числу 9 комбинаций элементов 2: N (A) = C29 = 9 x 8/2 = 36. Следовательно, P (A) = N (A) / N (W) = 36/120 = 0,3. B. Схема выбора, ведущая к размещению. Эксперимент состоит из выбора m элементов без возврата, но если вы упорядочите их в порядке, выбранном в последовательной цепочке, различными результатами этого эксперимента будет набор E Их продолжение упорядочено либо подмножеством элементов, набором элементов или порядком.

Результирующая комбинация элементов (результат элемента) называется расположением n элементов относительно m, Общее число N (W) определяется по следующей формуле: Amn = Cmn x m! = п! / (Н-м)! = n (n-1) … (n-m + 1). Если n = m, эксперименты фактически строятся в любом порядке множества E. Сводится к случайной перестановке элементов во всем наборе. Далее N (W) = Ann = n! Пример 2. Группа из восьми человек проходит за круглым столом в случайном порядке. В этом случае, насколько вероятно, что два конкретных человека сидят рядом? Решение. N (W) = A88 = 40320, потому что весь набор из восьми элементов упорядочен.

Если два отмеченных лица сидят бок о бок, то при таком расположении предпочтительнее событие А: пара из восьми смежных мест за круглым столом. Двумя способами оставшиеся 6 человек произвольно размещаются в местах отдыха, так что согласно формуле числа элементов прямого произведения множества N (A) = 2 x 8 x 6! Следовательно, P (A) = N (A) / N (W) = 2/7.

Эксперимент схемы выбора, приводящий к итерационной комбинации, состоит из выбора, который возвращает m элементов множества E = {e1, e2, …, en}, но если нет последующего упорядочения, различные m Наборы элементов различаются по составу, что приводит к различным результатам таких экспериментов. В этом случае отдельные наборы могут содержать повторяющиеся элементы. Например, если m = 4, наборы {e1, e1, e2, e1} и {e2, e1, e1, e1} неразличимы в этом эксперименте, а набор {e1, e1, e3, e1} является предыдущим Отличается от Комбинации, полученные в этом эксперименте, называются повторяющимися комбинациями, а общее количество определяется по формуле N (W) = Cmn + m-1.

В библиотеке есть книги по 16 разделам науки. Я получил следующие четыре заказа на литературу. Учитывая, что любой состав заказанной литературы одинаково возможен, найдите вероятность следующего события. Электронные книги были заказаны из различных отделов науки, а B-книги были заказаны из того же раздела науки.

Решение. Число всех одинаково вероятных результатов этого эксперимента явно равно количеству комбинаций с 16-элементным повторением 4. N (W) = C416 + 4-1 = C419. P (A) = N (A) / N (W) = C416 / C419 », потому что количество результатов, приводящих к событию A, равно числу способов выбрать 4 элемента из 16 без возврата это 0,47.

Количество результатов в пользу события B равно числу способов выбора одного элемента из 16, поэтому P (A) = N (A) / N (W) = C116 / C419 19 0,004. D. Схемы выбора, приводящие к повторяющимся расположениям E = {e1, e2, …, en} Если выбор m элементов выполняется путем их возврата в цепочку и упорядочения, Наборы элементов дадут разные результаты. (Как правило, повторяется), состав элементов или их порядок. Например, если m = 4, наборы {e1, e1, e2, e1}, {e2, e1, e1, e1} и {e1, e1, e3, e1} являются различными результатами этого эксперимента.

Различные возникающие комбинации называются конфигурациями, называемыми итерациями, и их общее количество определяется по формуле N (W) = nm. Пример 4. Опыт состоит из четырех альтернатив, которые возвращают любую из букв алфавита E = {a, b, k, o, m}, раскладывая слова в том порядке, в котором они получают буквы. В результате, насколько вероятно выложить слово «мать»? Решение.

Количество элементов в наборе, а также возможный результат равны количеству аранжировок с повторением 5 элементов по 4.

N (W) = 54. Слово «мама» соответствует только одному возможному исходу. Таким образом, P (A) = N (A) / N (W) = 1/54 «0,0016. E. Упорядоченная схема разбиения: построить множество E с m различными элементами. Установите E как Рассмотрим случайное разбиение на подмножества E1, E2, …, Es разумным образом: множество Åi содержит ровно ni элементов (i = 1, 2, … Множество Ei упорядочено по количеству элементов ni.

Число всех основных результатов этого эксперимента определяется формулой N (W) = n! / (N1! × n2! × … Xns!) Пример 10 Десять человек, включая Петрова и Иванова, размещаются в отеле с двумя трехместными номерами и одним четырехместным номером. Сколько существует способов их размещения? Какова вероятность того, что Петров и Иванов окажутся в четырехместном номере? Решение: разделы для этого эксперимента: s = 3, n = 10, n1 = 3, n2 = 3, Характеризуется n3 = 4 параметрами, тогда N (W) = 10! / (3! × 3! × 4!) = 4200. Событие А-Петров и Иванов помещаются в одну четырехместную комнату.

Благоприятный результат для события A соответствует перегородкам s = 3, n = 8, n1 = 3, n2 = 3, n3 = 2, тогда N (A) = 8! / (3! × 3! × 2!) = 560. Требуемая вероятность: P (A) = N (A) / N (W) = 560/4200 = 2/15. 4. Классическое определение вероятности. Улучшение формулировки заняло много времени, но не в результате действия А. Классическое определение вероятности было создано в результате изучения Основания и Петти. Понятие частоты, количества опытов С другой стороны, это событие смогло сделать реальные выводы во всех проведенных экспериментах, но, учитывая цифры, исследователи оставались неуверенными.

Это будет. Классическое определение вероятности (очень неполный формат), впервые появился в «Искусство предположений» из J.Bernoulli (1713). В главе 1 части 4 этой книги он написал: «Вероятность — это определенная степень уверенности, которая отличается от нее в целом». Дж. Бернулли включил в эту формулировку современный смысл. Как указывают его последующие слова: «Если безусловная достоверность обозначена, например, буквой α или 1 (единица измерения), три подходят для существования или реализации события. Но в остальном это нехорошо, но событие называется надежным 3α / 5 или 3/5.

В будущем он напишет об отношении числа благоприятных случаев к числу всех возможных случаев, Хотя эти случаи предполагают, что это также возможно, они явно не заявляют об этом, и это утверждение показывает, что у Бернулли также было статистическое понятие вероятности. Мы ввели и использовали концепцию вероятности события в виде числа от 0 до 1. Надежные события относятся к 1 (максимум) и невозможным событиям (ноль (минимум)). Можно определить двумя способами:

  1. Отношение числа случаев, благоприятных для конкретного события, к числу всех одинаково возможных случаев.
  2. Частота события при выполнении большого количества независимых тестов. Можно сказать, что история теории вероятностей начинается с момента 5. Геометрическая вероятность В 1692 году в Лондоне был опубликован английский перевод книги Г. Гюйгенса «Об азартных вычислениях». Иного характера, чем рассмотренный автором. Проблема с Arbuthnot была: Кубоид с ребрами, равными a, b и c, случайно выбрасывается на плоскость. Как часто коробка падает с вашего лица? Решением этой проблемы является Т. Это описано в Симпсоне (1710-1761), законе природы и несчастного случая (1740).

Он предложил следующее решение. Напишите сферу около коробки и спроецируйте все ребра, стороны и основание от центра к ее поверхности. В результате поверхность сферы делится на шесть непересекающихся областей, соответствующих граням параллелепипеда. Симпсон резюмирует: «Определенная часть сферы, ограниченная, таким образом, траекторией, описываемой радиусом, имеет такое же отношение к общей площади поверхности, как и вероятность того, что определенная грань будет соответствовать. Это легко заметить». Вышесказанное полностью описывает принцип нахождения геометрических вероятностей.

Вводятся меры множества случаев в пользу события и учитывается их связь с измерениями множества всех возможных случаев. В этом случае все измерения сводятся к площади поверхности шара. Работа, опубликованная дважды французским натуралистом Буффоном (1707-1788), членом Парижской академии наук (1733) и почетным членом Петербургской академии наук (1766), геометрическая вероятность (1733.1777). Числа (прямоугольники), монеты подброшены на пол, их диаметр на 2р меньше каждой стороны прямоугольника, и монеты полностью размещены внутри фигуры.

Какова вероятность того, что случайно перевернутые монеты пересекут одну или две стороны диаграммы? Иглы случайным образом выбрасываются на плоскость, разрезанную равноотстоящими параллельными линиями. Один игрок утверждает, что стрелка пересекает одну прямую линию, а другой — нет. Определите вероятность выигрыша каждого игрока; Тот же вопрос, если игла была брошена в самолет и разбита на квадраты. После Буффона вопрос о геометрической вероятности стал систематически включаться в монографии и учебники по теории вероятностей.

Алгебраическая теория регулярности событий, случайная вероятность, аксиоматическое определение вероятности.

Более точное математическое определение вероятности является более аксиоматическим определением, чем классическое определение. Здесь событие считается элементом некоторого конечного или бесконечного множества Ω. Для простоты возьмем конечное множество Ω = (w1, w2, …, wn). wi является элементом множества Ω. Это множество Ω называется базовым пространством событий, а его элемент wi называется базовым событием. Рассмотрим подмножество F (Ω) со свойством ΩЄF. Событие Ө-Обозначает пустой набор как невозможное событие ӨЄF (Ω). Далее несовместимые события A и B определяются как A∩B = Ө, где ∩ — знак объединения множества, а U — подавление множества.

F называется алгеброй такого множества F-событий. Вероятность события A называется такой числовой функцией P (A), которая определяется алгеброй события F, и справедлива следующая аксиома: Для AЄF P (A) ≥0 является истинно неотрицательной аксиомой. P (Ω) = 1 — аксиома нормы. Если AЄF и BЄF не совместимы (то есть A∩B = Ө), то P (AUB) = P (A) + P (B) является аддитивной аксиомой.

Какова вероятность официальных событий Байеса A и B: P (A) и P (B). А какова условная вероятность события A для каждого B: P (A | B). Как найти условную вероятность P (B | A) формула Байеса отвечает на этот вопрос. P (B | A) = P (A | B) · P (B) / P (A) (1) Конечно, эта формула может использоваться только при условии P (A) 0. Формула Байеса выводится из следующего уравнения: P (BA) = P (B | A) · P (A) (2) P (AB) = P (A | B) · P (B) ( 3) P (BA) = P (AB) (4) Общая часть событий B и A, очевидно, не зависит от порядка записи A и B, то есть BA = AB. Когда P (A) = 0, я обычно принимаю, что P (B | A) является неопределенной величиной.

Полная формула вероятности. Предположим, что существует полная группа непересекающихся событий для каждых n пар. Другими словами, (6) найти условную вероятность конкретного события A из Ei: P (A | Ei) и вероятность P (Ei), i = 1, …, n. Следующая формула для полной вероятности верна для события A P (A) = P (A | E1) · P (E1) + … + P (A | En) · P (En) (7). P (A) = P () = P (A (Ei)) = P (AE1) + … + P (AEn) = P (A | E1) · P (E1) + … + P (A | En) P (En) (8) Из элементарного уравнения Байеса (1) и уравнения для полной вероятности (7), тем более полное уравнение Байеса P (Ei | A) = P (A | Ei) Ei) / (P (A | E1) · P (E1) + … + P (A | En) · P (En)).

События, которые не являются полностью совместимыми по группам Событие, которое происходит. Нет опыта Например, невозможно потерять две грани куба за один бросок. Полная группа событий — это набор несовместимых событий одного типа, одно из которых является обязательным. В примере с использованием игральных костей полная группа событий приведет к потере каждой из шести граней. Согласно классическим и аксиоматическим определениям вероятности вероятность любого случайного события A составляет 0 <P (A) <1.

Граничные значения 0 и 1 определяют неслучайные события — они делятся следующим образом: невозможно- (P (A) = 0 или P (Ө) = 0) — при этих условиях Инициирование ненадежно — (P (A) = 1) — Инициация обязательна при этих условиях. Для несовместимых событий вы можете легко определить вероятность объединения (суммирования) событий. Если Аifor iЄ (1, n) является несовместимым событием, общая вероятность события Аi равна сумме удельных вероятностей. P (A1 + A2 +, …, + An) = P (A1) + P (A2) + … + P (An) 9.

Если возникновение события A не влияет на вероятность, событие A Вызывается независимо от события B. Событие B происходит. Вероятность двух независимых событий, происходящих одновременно, равна произведению вероятностей этих событий. P (AB) = P (A) * P (B) или P (A1, A2, …, An) = P (A1) * P (A2) * … * P (An) независимость события В то же время, если есть два возможных события, вероятность суммы двух независимых событий A и B более точно определяется следующим образом: P (A + B) = P (A) + P (B). ) -P (AB), где P (AB) — вероятность совпадения

Нетрадиционные события. События Безусловные события рассматриваются вне определенных условий и легко обозначаются буквами A, B, C и т. д. Условные события — считаются, когда происходят другие события. Они обозначены событием A, например, когда происходит событие A / B B. Условная вероятность события A при возникновении события B может быть найдена следующим образом: P (A / B) = P (AB) / P (B), если P (B) ≠ 0, события A и B , C называется независимой, если безусловная вероятность равна условной вероятности: P (A) = P (A / B) = P (A / C) = P (A / BC) P ( B) = P (B / A) = P (B / C) = P (B / AC) P (C) = P (C / A) = P (C / B) = P (C / AB) Государство называется событием независимости. Если это условие нарушается, событие является зависимым. Чем больше разница, тем больше зависимость. Если по соглашению вы рассматриваете вероятность объединения двух продуктов (продуктов), то есть принимаете, что событие A происходит, когда происходит событие B, вероятность объединения описывается двумя способами. Вы можете: P (AB) = P (A) * P (B / A) P (AB) = P (B) * P (A / B).

Если вы берете 3 события, вы можете записать вероятность их комбинации. Количество методов увеличивается до 12 и так далее. Понятие случайных величин. Случайная переменная — это величина, значение которой является результатом преобразования или измерения и не может быть четко определено условиями, при которых она происходит. То есть случайная величина — это числовое случайное событие. Случайные величины делятся на два класса. Дискретные случайные величины — значения этих величин являются натуральными числами и сравнивают частоту и вероятность как отдельные события. Непрерывные случайные величины значения из определенного интервала (интервала), которые могут принимать любое значение. Если между X1 и X2 существует бесконечное число чисел, вероятность того, что случайная величина XiЄ (X1, X2) примет конкретное значение, будет бесконечно мала.

Поскольку невозможно перечислить все значения непрерывной случайной величины, мы фактически используем среднее значение интервалов (X1, X2). Для дискретной случайной величины функция y = P (x), называемая функцией распределения случайной величины, существует граф, называемый многоугольником распределения. Различают следующие группы числовых свойств: свойства местоположения (математические ожидания, моды, медианы, квантили и т. д.).

Дисперсии (дисперсии, стандартные отклонения и т. д.), Формы плотности распределения (асимметрия, избыток и т. д). Математическое ожидание (среднее по всему распределению) представляет собой действительное число, определяемое по следующей формуле в зависимости от типа CB X: mX = M [X] = свойство математического ожидания: M [C] = C. С является константой. M [C × X] = C × M [X]; M [X + Y] = M [X] + M [Y], любые CB X и Y; M [X × Y] = M [X] × M [Y] + KXY, где KXY = M [] — ковариация CB X и Y. K-й начальный момент (k = 0, 1, 2, …) распределения CB X называется действительным числом, определяемым по формуле: nk = M [Xk] = k-й порядок распределения CB X. Центральный момент — это число, определяемое по формуле: mk = M [(X-mX) k].

Из определения момента, в частности: n0 = m0 = 1, n1 = mX, m2 = DX = sX2. Режим SWNT определяется как максимум PR f (x), где действительное число Mo (X) = x *. Режим может иметь одно значение (унимодальное распределение) или несколько значений (мультимодальное распределение). Срединное значение SWNT является действительным числом Me (X) = x0 и удовлетворяет условию P {X <x0} = P {X³x0} или F (x0) = 0,5. Квантиль на уровне p является вещественным tp, удовлетворяющим формуле F (tp) = p. В частности, из определения медианы x0 = t0,5.

Дисперсия CB X является неотрицательным числом D [X] = DX и определяется уравнением. Характеристики дисперсии: D [C] = 0, где C — постоянная величина. D [C × X] = C2 × D [X]; D [X-C] = D [X], дисперсия, очевидно, не изменяется от смещения CB X. D [X + Y] = D [X] + D [Y] + 2 × KXY, где KXY = M — ковариация CB X и Y. Неотрицательное число sX = называется стандартным отклонением CB X. Определяет стандартный среднеквадратичный интервал рассеяния стандарта с размерами CBX и симметричным относительно математических ожиданий.

(Значение sX иногда называют стандартным отклонением). CB X называется стандартизированным, если mX = 0 и sX = 1. Если X = const (то есть X не является случайным), то D [X] = 0. Индекс PR-асимметрии является фактором асимметрии («асимметрии») распределения. А = м3 / с3Х. Индекс эксцесса PR является коэффициентом эксцесса («пик») распределения. E = (m4 / s4X) -3. В частности, для нормального распределения E = 0. Упорядоченный набор из n случайных величин (CB) X1, X2, …, Xn, рассматриваемых вместе в этом эксперименте, называется n-мерным CB или случайным вектором, и = (X1, X2, …, Xn).

N-мерная функция распределения случайных векторов (DF) — это функция от n действительных переменных x1, x2, …, xn, определяемая как вероятность того, что n неравенств будет выполнено одновременно: F (x1, x2, … xn) = P {X1 <x1, X2 <x2, …, Xn <xn}. В частности, для двумерного случайного вектора (X, Y) определение DF дает F (x, y) = P {X <x, Y <y}. DF F (x, y) обладает следующими свойствами: 10 £ F (x, y) £ 1; 2 F (x, y) — неубывающая функция аргументов. 3. 4. Свойство 4 обычно называют условием согласованности.

Таким образом, DF отдельных компонентов случайного вектора можно найти, перейдя от совместной функции распределения этих компонентов к пределу. Вероятность того, что случайная точка на плоскости (X, Y) попадет в прямоугольник со сторонами, параллельными осям, можно рассчитать с помощью DF по следующей формуле: P {x1 £ X <x2, y1 £ Y <y2} = F (x1, y1) + F (x2, y2) -F (x1, y2) -F (x2, y1). Двумерный случайный вектор (X, Y) называется дискретным случайным вектором (SVDT), если набор возможных значений G (x, y) меньше или равен счетному.

Правило распределения может быть задано двумерной таблицей из списка возможных значений пар компонентов {(xi, yi) | (xi, yi) ÎG (x, y)} и каждой пары вероятностей pij, которая удовлетворяет условию = P {X = xi, Y = yj} Двумерный случайный вектор (X, Y) называется непрерывным случайным вектором (CBNT), называемым функцией плотности вероятности случайного вектора (PR), следующим образом Если существует неотрицательная функция f (x, y): f (x, y) =, то F (x, y) =. Вероятность PR имеет следующие свойства: f (x, y) ³0, (x, y) ÎR2; — условие нормализации.

Вероятности PR для отдельных компонентов случайного вектора определяются как Интеграция плотности соединения: f (x) = f (y) =. Вероятность того, что случайная точка попадет в любую квадратную область S на плоскости, определяется по формуле P {(X, Y) ÎS} =. Условная плотность распределения вероятностей случайной компоненты X называется функцией f (x / y) действительной переменной x ∆ R, если компонент Y принимает конкретное значение y: f (x / y) = f ( х, у) / f (у).

Условная плотность распределения вероятностей случайной компоненты Y определяется аналогичным образом, если компонент X имеет конкретное значение x: f (y / x) = f (x, y) / f (x). CB X1, X2, …, Xn называются (агрегированными) независимыми, если событие {XiÎBi}, i = 1, 2, …, n. B1, B2, … строк, уравнение выполняется: P {X1ÎB1, X2ÎB2, … XnÎBn} = P {X1ÎB1} × P {X2ÎB2} × … × P {XnÎBn}. Теорема: CB X1, X2, …. Xn независима, только если уравнение выполнено в любой точке x = (x1, x2, …, xn): F (x1, x2 ,. .., xn) = F (x1) × F (x2) × … × F (xn) (или f (x1, x2, …, Xn) = f (x1) × f (x2) ×. .. × f (xn)). Для двумерных случайных векторов (X, Y) введены следующие числовые свойства:

Начальный момент порядка r + s случайного вектора (X, Y) представляет собой действительное число nr, s, определяемое как nr, s = M [Xr Ys] = Если в правой части уравнения есть интеграл (соответственно), то начальный момент nr, s сходится абсолютно. В частности, nr, 0 = M [Xr] — соответствующий начальный момент компонента X. Вектор с неслучайными координатами (mX, mY) = (n1,0, n0,1) называется случайным вектором (X, Y) или математическим ожиданием центра рассеяния. Центральный момент порядка r + s случайного вектора (X, Y) представляет собой действительное число mr, s, определяемое уравнением mr, s = M [(X-mX) r (Y-mY) s].

Абсолютная сходимость в правой части уравнения (каждая серия). Вектор с неслучайными координатами (DX, DY) = (m2,0, m0,2) называется случайной векторной дисперсией. Центральный момент m1,1 называется корреляционным моментом (ковариацией): KXY = M [] = M [(X-mX) x (Y-mY)] = M [XY] -mX mY. Коэффициент корреляции двух случайных компонент X и Y случайного вектора представляет собой нормированную ковариацию rXY = KXY / (sXsY). Свойства ковариантности (и коэффициенты корреляции): KXX = DX, KYY = DY, (rXX = rYY = 1); = KYX, (rXY = rYX); | KXY | £, (| rXY | £ 1).

Момент ковариации и коэффициент корреляции определяют степень линейной зависимости между X и Y. = 1 CB Необходимо и достаточно, чтобы X и Y были связаны линейной зависимостью X = a x Y + b. Где а и б постоянные. CB с KXY = 0 (rXY = 0) называется некоррелированным. Независимость случайных величин X и Y подразумевает их декорреляцию (вообще говоря, обратное неверно).

Если Y принимает одно из возможных значений yj, условное ожидаемое значение компонента X является действительным числом, определяемым следующей формулой: mX / Y = M [X / Y = yj] =, где P {X = xi / Y = yj} =, pij = P {X = xi, Y = yj}. Если Y принимает одно из возможных значений yj, условная дисперсия компонента X является действительным числом, определяемым как: DX / Y = D [X / Y = yj] = двумерный случайный вектор Приведенные выше уравнения для числовых свойств могут быть легко обобщены на n-мерные случайные векторы (X1, X2, …, Xn).

Так, например, вектор с неслучайными координатами (m1, m2, …, mn). mi — выражение i = M [Xi] =, ковариационная матрица n-мерного случайного вектора = (X1, X2, …, Xn) называется симметричным вектором. Его элементами являются ковариации пар соответствующих компонент случайного вектора. Очевидно, что Kii = M [Xi2] является дисперсией i-го компонента. N-мерная матрица корреляции случайных векторов — это симметричная матрица, состоящая из коэффициентов корреляции пар соответствующих компонентов случайного вектора. C =, rij = — коэффициенты корреляции i-й и j-й компонент.

Заключение

Таким образом, после изучения теории вероятностей, ее истории, ее местоположения и потенциала, возникновение этой теории не является совпадением науки, и технологии и кибернетики не существует, поскольку существующее управление программами не может поддерживать создание человека. Кибернетическая машина, которая мыслит независимо, как человек, может быть объяснена необходимостью дальнейшей разработки устройства. И именно теория вероятностей может способствовать возникновению искусственного интеллекта.

«Процесс контроля происходит везде, где бы он ни происходил — организмы, механизмы или общество — в соответствии с теми же законами», — заявил Кибернетика. А это означает, что процессы, которые происходят в голове человека и могут гибко адаптироваться к изменяющимся условиям, могут быть искусственно воспроизведены на сложных автоматизированных устройствах, даже если они еще не полностью поняты. вы. Наиболее важным понятием в математике является понятие функции, но в большинстве случаев одно значение аргумента соответствует только одному значению функции, и функциональные отношения между ними четко определены, Это была функциональная проблема.

Однако на практике случаются случайные события, и многие события имеют неопределенные характеристики соединения. Поиск закономерностей случайных явлений является задачей теории вероятностей, областью математики. Вероятность — это инструмент для изучения скрытых и неясных взаимосвязей различных явлений во многих областях науки, техники и экономики. Теория вероятностей надежно рассчитывает изменения в предложении, спросе, цене и других экономических показателях. Теория вероятностей также является основой науки, такой как статистика. Так называемая теория игр основана на формулах этого раздела математики.

Теория вероятностей в жизни

  • Авторы
  • Руководители
  • Файлы работы
  • Наградные документы

Логиновский К.В. 1Зуева А.А. 1


1МАОУ «СОШ № 31» г. Сыктывкара

Гриц Г.Н. 1


1МАОУ «СОШ № 31» г. Сыктывкара


Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

Теория вероятности — математическая наука, которая изучает математические модели случайных явлений, вычисляет вероятности наступления определенных событий.

Основы теории вероятностей изучаются в программе по математике каждой школы. Кроме того, задачи по данной дисциплине являются обязательной частью ОГЭ 9 и 11 классов.

Одной из важнейших сфер приложения теории вероятностей является экономика. В настоящее время невозможно себе представить исследование и прогнозирование экономических явлений без использования экономического моделирования, регрессионного анализа, трендовых и сглаживающих моделей и других методов, опирающихся на закономерности, которые изучаются в курсах теории вероятностей и математической статистики [1].

Также теория вероятностей имеет широкое применение таком направлении, как прогнозирование погоды в конкретный период. Поэтому возникает желание практически проверить, поможет ли данная наука для целей, решение которых необходимо в повседневной жизни.

Цель данной работы заключается в изучении особенностей применения теории вероятностей в жизни и анализе данных, полученных в ходе проведения практического эксперимента;

Задачи исследования:

— изучить и проанализировать необходимую литературу по теме исследования;

— порешать ряд задач на классическое определение вероятности.

— экспериментально проверить применение вероятности в повседневной жизни.

Данная работа состоит из двух частей: «Глава 1. Теоретическая часть», «Глава 2. Экспериментальная часть», каждая из которых разбита на отдельные параграфы.

Объект исследования: применение теории вероятностей в жизни;

Предмет исследования: основы теории вероятностей;

Вероятностные идеи стимулируют в наши дни развитие всего комплекса знаний, начиная от наук о не живой природе и кончая науками об обществе. Прогресс современного естествознания неотделим от использования и развития вероятностных идей и методов. В наше время трудно назвать какую-либо область исследований, где бы не применялись вероятностные методы.

Гипотеза исследования: углубленное изучение данной темы позволит нам быть компетентными в вопросах экзаменов 9 и 11 классов;

Практическая значимость: Рассмотренный в ходе исследования материал обогащает жизненный опыт методами решения стандартных и нестандартных задач по теории вероятностей.

Глава 1 Теоретическая часть 1.1 История появления теории вероятностей

Французский дворянин, некий господин де Мере, был азартным игроком в кости и страстно хотел разбогатеть. Он затратил много времени, чтобы открыть тайну игры в кости. Он выдумывал различные варианты игры, предполагая, что таким образом приобретет крупное состояние. Так, например, он предлагал бросать одну кость по очереди 4 раза и убеждал партнера, что по крайней мере один раз выпадет при этом шестерка. Если за 4 броска шестерка не выходила, то выигрывал противник.

В те времена еще не существовала отрасль математики, которую сегодня мы называем теорией вероятностей, а поэтому, чтобы убедиться, верны ли его предположения, господин Мере обратился к своему знакомому, известному математику и философу Б. Паскалю с просьбой, чтобы он изучил два знаменитых вопроса, первый из которых он попытался решить сам. Вопросы были такие:

  • Сколько раз надо бросать две игральные кости, чтобы случаев выпадения сразу двух шестерок было больше половины от общего числа бросаний?

  • Как справедливо разделить поставленные на кон двумя игроками деньги, если они по каким-то причинам прекратили игру преждевременно?

Паскаль не только сам заинтересовался этим, но и написал письмо известному математику П. Ферма, чем спровоцировал его заняться общими законами игры в кости и вероятностью выигрыша.

Таким образом, азарт и жажда разбогатеть дали толчок возникновению новой чрезвычайно существенной математической дисциплины: теории вероятностей. В разработке ее основ принимали участие математики такого масштаба, как Паскаль и Ферма, Гюйгенс (1629—1695), который написал тракта «О расчетах при азартных играх», Яков Бернулли (1654—1705), Муавр (1667—1754), Лаплас (1749— 1827), Гаусс (1777—1855) и Пуассон (1781—1840). В наше время теория вероятности используется почти во всех отраслях знаний: в статистике, синоптике (прогноз погоды), биологии, экономике, технологии, строительстве и т. д [2].

1.2 Понятие теории вероятностей

Теория вероятностей – это наука о закономерностях случайных событий. Под случайным событием в теории вероятностей понимается всякое явление, которое может произойти или не произойти (случайным образом) при осуществлении определенного комплекса условий. Каждое такое осуществление называется испытанием, опытом или экспериментом.

События можно подразделить на достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет при испытании. Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет при испытании. Случайным называется событие, которое в результате эксперимента может либо произойти, либо не произойти (в зависимости от случайных обстоятельств).

Предметом теории вероятностей являются закономерности массовых случайных событий, где под массовостью мы понимаем многократную повторяемость.

Рассмотрим несколько событий:

  1. появление герба при бросании монеты;

  2. появление трех гербов при трехкратном бросании монеты;

  3. попадание в цель при выстреле;

  4. выигрыш по билету денежно-вещевой лотереи.

Очевидно, что каждое из этих событий обладает какой-то степенью возможности. Для того, чтобы количественно сравнивать между собой события по степени возможности, нужно с каждым событием связать определенное число.

Вероятность события есть численная мера степени объективной возможности этого события. В качестве единицы измерения вероятности принята вероятность достоверного события. Вероятность невозможного события равна нулю. Вероятность любого случайного события обозначается P и изменяется в диапазоне от нуля до единицы: 0 ≤ P ≤ 1.

Вероятностью случайного события называется отношение числа n несовместимых равновероятных элементарных событий, составляющих событие, к числу всех возможных элементарных событий N:

P =

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях [5].

1.3 Применение теории вероятностей в жизни

Все мы в той или иной мере используем теорию вероятности, на основе анализе произошедших в нашей жизни событий. Мы знаем, что смерть во время автомобильной аварии боле вероятна, чем от удара молнии, потому что первое, к сожалению, происходит очень часто. Так или иначе мы обращаем на вероятность вещей внимание, чтобы спрогнозировать свое поведение. Но вот обида, к сожалению, не всегда человек может точно определить вероятность тех или иных событий.

Например, не зная статистики, большинство людей склонны думать, что шанс погибнуть в авиакатастрофе больше, чем в автомобильной аварии. Теперь же мы знаем, изучив факты (о которых, думаю, многие наслышаны), что это совсем не так. Дело в том, что наш жизненный «глазомер» иногда дает сбой, потому что авиатранспорт кажется значительно страшнее людям, привыкшим твердо ходить по земле. Да и большинство людей не так часто используют этот вид транспорта. Даже если мы и может оценить вероятность события верно, то, скорее всего, крайне неточно, что не будет иметь никакого смысла, скажем, в космической инженерии, где миллионные доли решают многое. А когда нам нужна точность, то мы обращаемся к кому? Конечно же, к математике.

Примеров реального использования теории вероятности в жизни множество. Практически вся современная экономика базируется на ней. Выпуская на рынок определенный товар, грамотный предприниматель наверняка учтет риски, а также вероятности покупки в том или рынке, стране и т.д. Практически не представляют свою жизнь без теории вероятности брокеры на мировых рынках. Предсказывание денежного курса (в котором точно не обойтись без теории вероятности) на денежных опционах или знаменитейшем рынке Forex дает возможность зарабатывать на данной теории серьезные деньги.

Теория вероятности имеет значение в начале практически любой деятельности, а также ее регулирования. Благодаря оценке шансов той или иной неполадки (например, космического корабля), мы знаем, какие усилия нам нужно приложить, что именно проверить, что вообще ожидать в тысячи километров от Земли. Возможности теракта в метрополитене, экономического кризиса или ядерной войны — все это можно выразить в процентах. А главное, предпринимать соответствующие контрдействия исходя из полученных данных. Любую деятельность любой сферы можно проанализировать, использую статистику, рассчитать благодаря теории вероятности и заметно улучшить.

Глава 2 Практическая часть 2.1 Монета в теории вероятностей.

Монета сточки зрения теории вероятностей имеет только две стороны, одна из которых называется «орел», а другая – «решка». Монету бросают, и она падает одной из сторон вверх. Никакие другие свойства математической монете не присущи.

Проведём опыт. Для начала, возьмем в руки монетку, будем ее бросать и записывать результат последовательно. В нашем случае бросание монетки – это испытание, а выпадение орла или решки – событие, то есть возможный исход нашего испытания (см. Приложение 2).

№ испытания

Событие: орел или решка

№ испытания

Событие: орел или решка

№ испытания

Событие: орел или решка

1

Орел

35

Орел

69

Решка

2

Орел

36

Орел

70

Решка

3

Решка

37

Орел

71

Орел

4

Решка

38

Решка

72

Орел

5

Орел

39

Орел

73

Решка

6

Решка

40

Решка

74

Решка

7

Решка

41

Решка

75

Орел

8

Орел

42

Решка

76

Орел

9

Решка

43

Орел

77

Орел

10

Орел

44

Орел

78

Решка

11

Орел

45

Решка

79

Орел

12

Орел

46

Решка

80

Орел

13

Решка

47

Орел

81

Орел

14

Орел

48

Орел

82

Решка

15

Решка

49

Орел

83

Орел

16

Решка

50

Решка

84

Орел

17

Орел

51

Решка

85

Орел

18

Решка

52

Решка

86

Орел

19

Орел

53

Решка

87

Решка

20

Орел

54

Орел

88

Решка

21

Решка

55

Орел

89

Решка

22

Орел

56

Решка

90

Решка

23

Решка

57

Орел

91

Орел

24

Решка

58

Орел

92

Орел

25

Орел

59

Орел

93

Решка

26

Орел

60

Решка

94

Орел

27

Орел

61

Орел

95

Орел

28

Решка

62

Решка

96

Орел

29

Решка

63

Орел

97

Орел

30

Решка

64

Орел

98

Решка

31

Орел

65

Решка

99

Решка

32

Орел

66

Орел

100

Орел

33

Решка

67

Решка

Орел – 55

Решка — 45

34

Орел

68

Решка

Проведя 100 испытаний орел выпал — 55, решка — 45. Вероятность выпадения орла в данном случае-0,55; решки – 0,45. Таким образом, мы показали, что теория вероятности в данном случае имеет место быть.

2.2 Решение задач по теории вероятностей в ОГЭ

Самое первое применение теории вероятностей, пришедшее на ум, это решение задач по данной теме, включенных в предстоящий экзамен по математике для 9 класса. Уместнее всего рассмотреть ключевые задачи по теории вероятности, которые идут под номером 9 в ОГЭ.

Формулы, используемые при решении задач:

P = , где m – число благоприятных исходов, n – общее число исходов [3].

Задание № 1. Монета брошена два раза. Какова вероятность выпадения одного «орла» и одной «решки»?

Решение: При бросании одной монеты возможны два исхода – «орёл» или «решка». При бросании двух монет – 4 исхода (2*2=4): «орёл» — «решка» «решка» — «решка» «решка» — «орёл» «орёл» — «орёл» Один «орёл» и одна «решка» выпадут в двух случаях из четырёх. Р(А)=2:4=0,5. Ответ: 0,5.

Задание № 2. Монета брошена три раза. Какова вероятность выпадения двух «орлов» и одной «решки»?

Решение: При бросании трёх монет возможны 8 исходов (2*2*2=8): «орёл» — «решка» — «решка» «решка» — «решка» — «решка» «решка» — «орёл» — «решка» «орёл» — «орёл» — «решка» «решка» — «решка» -«орёл» «решка» — «орёл» — «орёл» «орёл» — «решка» — «орёл» «орёл» — «орёл» — «орёл» Два «орла» и одна «решка» выпадут в трёх случаях из восьми. Р(А)=3:8=0,375. Ответ: 0,375.

Задание № 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Решение: При бросании четырёх монет возможны 16 исходов: (2*2*2*2=16): Благоприятных исходов – 1 (выпадут четыре решки). Р(А)=1:16=0,0625. Ответ: 0,0625.

Задание № 4. Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало больше трёх очков.

Решение: Всего возможных исходов – 6. Числа большие 3 — 4, 5, 6 . Р(А)= 3:6=0,5. Ответ: 0,5.

Задание № 5. Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет чётное число очков.

Решение: Всего возможных исходов – 6. 1, 3, 5 — нечётные числа; 2, 4, 6 —чётные числа. Вероятность выпадения чётного числа очков равна 3:6=0,5. Ответ: 0,5.

Задание № 6. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Решение: У данного действия — бросания двух игральных костей всего 36 возможных исходов, так как 6² = 36. Благоприятные исходы: 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 Вероятность выпадения восьми очков равна 5:36 ≈ 0,14. Ответ: 0,14.

Задание № 7. Дважды бросают игральный кубик. В сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 5 очков.

Решение: Всего исходов выпадения 6 очков — 5: 2 и 4; 4 и 2; 3 и 3; 1 и 5; 5 и 1. Благоприятных исходов — 2. Р(А)=2:5=0,4. Ответ: 0,4.

Задание № 8. На экзамене 50 билетов, Тимофей не выучил 5 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

Решение: Тимофей выучил 45 билетов. Р(А)=45:50=0,9. Ответ: 0,9.

Задание № 9. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменов: 8 из России, 7 из США, остальные из Китая. Порядок выступления определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Решение: Всего исходов 20. Благоприятных исходов 20-(8+7)=5. Р(А)=5:20=0,25. Ответ: 0,25.

Задание № 10. На соревнования по метанию ядра приехали 4 спортсмена из Франции, 5 из Англии и 3 из Италии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий пятым, будет из Италии.

Решение: Число всех возможных исходов – 12 (4 + 5 + 3 = 12). Число благоприятных исходов – 3. Р(А)=3:12=0,25. Ответ: 0,25 [4].

2.3 Практическое применение теории вероятностей. Определение температуры воздуха.

Можно утверждать наверняка, что каждый из нас хотя бы раз в день интересуется прогнозом погоды. Однако далеко не все знают, что за скромными числами температуры и скорости ветра стоят сложнейшие математические расчеты. Метеорология вообще и прогностическая метеорология в частности являются своего рода идеальной областью проявления неопределенности.

Эксперимент №1.

В течение 20 дней мы измеряли температуру воздуха на улице. Для вычисления вероятности того, что 21 сентября температура воздуха на улице будет выше +150 C (см. Приложение 1).

Число и месяц

День недели

Температура воздуха

1

01 сентября

суббота

+ 160 C

2

02 сентября

воскресенье

+ 180 C

3

03 сентября

понедельник

+ 190 C

4

04 сентября

вторник

+ 200 C

5

05 сентября

среда

+ 190 C

6

06 сентября

четверг

+ 160 C

7

07 сентября

пятница

+ 190 C

8

08 сентября

суббота

+ 140 C

9

09 сентября

воскресенье

+ 110 C

10

10 сентября

понедельник

+ 140 C

11

11 сентября

вторник

+ 170 C

12

12 сентября

среда

+ 140 C

13

13 сентября

четверг

+ 130 C

14

14 сентября

пятница

+ 110 C

15

15 сентября

суббота

+ 120 C

16

16 сентября

воскресенье

+ 170 C

17

17 сентября

понедельник

+ 110 C

18

18 сентября

вторник

+ 120C

19

19 сентября

среда

+ 100C

20

20 сентября

четверг

+ 120 C

21

21 сентября

пятница

+ 130 C

ИТОГ: m = 20, n = 9, P = 9 / 20 = 0,45

Вывод: проведя вычисления делаем вывод, что так как вероятность меньше 0,5, то скорее всего 21 сентября на улице температура воздуха будет ниже 150. Что подтверждается практически. Температура воздуха 21 сентября +130.

Эксперимент №2.

В течение 15 дней мы измеряли температуру воздуха на улице. Для вычисления вероятности того, что 7 октября температура воздуха на улице будут ниже +100C (см. Приложение 3).

Число и месяц

День недели

Температура воздуха

1

22 сентября

суббота

+ 190 C

2

23 сентября

воскресенье

+ 230 C

3

24 сентября

понедельник

+ 90 C

4

25 сентября

вторник

+ 90 C

5

26 сентября

среда

+ 80 C

6

27 сентября

четверг

+ 60 C

7

28 сентября

пятница

+ 70 C

8

29 сентября

суббота

+ 80 C

9

30 сентября

воскресенье

+ 70 C

10

01 октября

понедельник

+ 80 C

11

02 октября

вторник

+ 100 C

12

03 октября

среда

+ 80 C

13

04 октября

четверг

+ 90 C

14

05 октября

пятница

+ 50 C

15

06 октября

суббота

+ 30 C

16

07 октября

воскресенье

+ 70 C

ИТОГ: m = 15, n = 12, P = 12 / 15 = 0,8

Вывод: проведя вычисления делаем вывод, что так как вероятность больше 0,8, то скорее всего 7 октября на улице температура воздуха будет ниже +100. Что подтверждается практически. Температура воздуха 07 октября +70.

Заключение

В ходе работы были изучены основные сведения о применении теории вероятности в жизни. Умение решать задачи по теории вероятности необходимо каждому человеку, так как возможность предсказать то или иное событие позволяет преуспеть во многих областях нашей деятельности.

В результате работы было выявлено:

  • Теория вероятностей — это огромный раздел науки математики и сфера его применения очень разнообразна. Перебрав множество фактов из жизни, и проведя эксперименты, с помощью теории вероятностей можно предсказать события, происходящие в различных сферах жизнедеятельности;

  • Теория вероятностей — это целая наука, которой, казалось бы, нет места для математики, – какие уж законы в царстве Случая? Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности. Если подбросить монету, то нельзя точно сказать, какой стороной она ляжет вверх – гербом или цифрой. Но проведя испытания, оказывается, что при многократном повторении опыта частота события принимает значения, близкие к 0,5.

  • Теория вероятности имеет широкое применение: для прогнозирования погоды, для покупки исправных автомобилей, также для покупки исправных лампочек и разное другое. Мы провели два эксперимента, на прогнозирование погоды в определенное число и время. Тория вероятности действительно применяется не только для учебников, но и в повседневной жизни также может найти применение.

На примере данной работы можно сделать и более общие выводы: подальше держаться от всяких лотерей, казино, карт, азартных игр вообще. Всегда надо подумать, оценить степень риска, выбрать наилучший из возможных вариантов – это пригодится и в дальнейшей жизни. Таким образом, поставленная в работе цель выполнена, решены поставленные задачи и сделаны соответствующие выводы.

Список используемой литературы

1. Бородин А.Л. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики / А.Л. Бородин. – СПб.: Лань, 2004.

2. Клентак Л.С. Элементы теории вероятностей и математической статистики / Л.С. Клентак. — Самара: Издательство СГАУ, 2013.

3. Мордович А.Г. События. Вероятности. Статистическая обработка данных / А.Г Мордович, П.В Семенов. — М.: Мнемозина, 2004.

4. Открытый банк задания по математике ОГЭ [Электронный ресурс] // URL:

http://oge.fipi.ru/os/xmodules/qprint/index.php?theme_guid=5277E3049BBFA50A46567B64CE413F29&proj_guid=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0 (дата обращения 10.09.2018).

5. Фадеева Л.Н. Теория вероятностей и математическая статистика / Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев; под ред. Фадеевой. – 2-е изд. – М.: Эксмо, 2010. – 496 с.

Приложения Приложение 1 Приложение 2 Приложение 3

Просмотров работы: 15335

Сочинение: Теория вероятностей на уроках математики

СОДЕРЖАНИЕ

Введение. 2

Глава I. Научные основы теории вероятностей. 5

§1. История развития теории вероятностей. 5

§2. Виды событий. 6

§3. Вероятностное пространство. 7

§4. Операции над случайными событиями. 10

§5. Понятие вероятности события. 15

§6. Теоремы о вероятности суммы событий. 22

§7. Теорема умножения вероятностей. 25

§8. Формула полной вероятности. Теорема гипотез. 29

§9. Формула Бернулли. 31

Глава II. Методические особенности изучения основ

Теории вероятностей в классах с углубленным изучением математике. 35

§1. Основные цели изучения теории вероятностей в классах с углубленным изучением математики. 35

§2. Анализ содержания темы «Элементы теории вероятностей» в школьных учебниках. 37

§3. Методические особенности изучения основ теории вероятностей в классах с углубленным изучением математике. 41

§4. Описание опытной работы… 58

Заключение. 62

Список использованной литературы… 63

Введение

Предмет теории вероятностей отличается большим своеобразием. Необычный характер теоретико-вероятностных понятий является причиной того, что долгое время подход к этим понятиям основывался только на интуитивных соображениях. Это и подрывало веру в правильность выводов теории вероятностей: многие ее положения носили расплывчатый характер и вызывали сомнения.

Теория вероятностей один из разделов, введенный в школьный курс, представляющий несомненную ценность для общего образования. Полезность получаемых знаний состоит как в том значении, которое имеют эти знания для понимания и познания закономерностей окружающего нас мира, так и возможности их непосредственного применения при изучении других наук и в повседневной жизненной практике.

Теория вероятностей – это такой раздел математики, который позволяет обучать учащихся логике на практике. В процессе освоения теоретических фактов решается задача развития у учащихся навыков проведения логических рассуждений, способностей абстрагировать т.е. выделять в конкретной ситуации сущность вопроса, отвлекаясь от несущественных деталей. Изучая теорию вероятностей, учащиеся овладевают умениями анализировать рассматриваемый вопрос, обобщать, находить пути решения поставленной задачи. Все это формирует мышление учащихся и способствует развитию их речи, особенно таких качеств выражения мысли, как порядок, ясность, обоснованность.

Изучение теории вероятностей требует от каждого ученика больших усилий и немалого времени. Полученные при этом навыки учебного труда позволяет выпускникам школы в их дальнейшем жизненном пути эффективно овладевать навыками выполнения других видов труда и с должным пониманием относится к тому, что хорошее выполнение любой работы требует значительных усилий и ответственности.

Изучение теории вероятностей способствует развитию у учащихся наблюдательности, внимания и сосредоточенности, инициативы и настойчивости. Все это имеет большое значение для формирования их характера.

Несмотря на то, что теория вероятностей является важным разделом школьной математики, учебной и математической литературы очень мало. Учебная литература резко разделяется на две категории: книги доступные лишь читателю с солидной математической подготовкой и книги, изучающие предмет на интуитивном уровне.

Анализ содержания учебно-методической литературы (журналов «Квант», «Математика в школе», газеты «Математика» приложения к газете «1сентября») показывает, что вопросами преподавания теории вероятностей уделяется в школе крайне недостаточно внимания.

Все выше сказанное приводит к проблеме разработки методики обучения теоретико-вероятностным вопросам в школе.

Выделенная проблема обусловила основную цель дипломной работы: разработать методические рекомендации по изучению элементов теории вероятностей в классах с углубленным изучением математики.

В качестве частных задач для достижения поставленной цели были приняты:

· Разработать научные основы теории вероятностей;

· Проанализировать математическую составляющую темы «Элементы теории вероятностей» в различных действующих учебных пособиях по математике для классов с углубленным изучением математики;

· Выделить основные цели и задачи изучения теории вероятностей в курсе школьной математики;

· Провести частичную апробацию разработанные дидактических материалов по изучению теоретико-вероятностных вопросов.

Основными методами решения задач являются:

· Изучение и анализ научной учебно-методической литературы, программ по математике для общеобразовательных учреждений;

· Наблюдение за деятельностью учащихся, ее анализ;

· Беседы с учащимися и педагогом;

· Проведение опытной работы

Глава I. Научные основы теории вероятностей

§1. История развития теории вероятностей

Теорию вероятностей можно описательно определить как математическую теорию случайных явлений.

В повседневной жизни мы часто пользуемся словами «вероятность», «шанс» и т.д. «К вечеру, вероятно, пойдет дождь», «вероятнее всего, мы на всю неделю поедем в деревню», «это совершенно невероятно!», «есть шанс, что успешно сдам экзамен» и т.д. — все эти выражения как-то оценивают вероятность того, что произойдет некоторое случайное событие.

Вероятность математическая – числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторятся неограниченное число раз условиях.

Во второй половине XIX века вероятность вошла в физику в процессе разработки молекулярно-кинетической теории.

Понятие вероятности разрабатывается наукой уже в течении столетий, а многие ученые-исследователи указывают на его незавершенность и неясность. «Все говорят о вероятности, но никто не может сказать что это такое» [Биркгар, 1952]

С вероятностными представлениями мы встречаемся еще в античности. У Демокрита, Лукреция Кара и других античных ученых и мыслителей мы находим глубокие предвидения о строении материи с беспорядочным движением частиц (молекул), встречаем рассуждения о равновозможных исходах (равновероятностных) и т.п. еще в древности делались попытки сбора и анализа некоторых статистических материалов – все это создавало почву для выработки новых научных понятий, в том числе и понятия вероятности. Но античная наука не дошла до выделения этого понятия.

В средневековье мы наблюдаем разрозненные попытки осмыслить встречающиеся вероятностные рассуждения.

В работах Л. Пачоли, Н. Тарталья и в первую очередь Д. Кардано уже делались попытки выделить новые понятия – отношения шансов – при решении ряда специфических задач, прежде всего комбинаторных.

К середине XVIIв. вероятностные вопросы и проблемы привлекли внимание ученых Б. Паскаля, П. Ферма, Х. Гюйгенса. В этот период были выработаны первые понятия, такие как математическое ожидание и вероятность (в форме отношения шансов), установлены первые свойства вероятности: теоремы сложения и умножения вероятностей. В это время теория вероятностей находит свои первые применения в демографии, страховом деле, в оценке ошибок наблюдения.

Развитие теории вероятностей в начале XX века привело к необходимости пересмотра и уточнения ее логических основ. Возникла необходимость аксиоматизации теории вероятностей и ее основного понятия — вероятности.

Первые работы того периода связанны с именами С.Н. Берштейна, Мизеса, Э. Бореля. окончательное становление аксиоматики произошло в 30-е годы XX века. Это произошло благодаря А.Н. Космогорову. В этот период понятие вероятности проникает почти во все сферы человеческой деятельности, становясь одним из основных понятий современной науки.

§2. Виды событий

События в материальном мире можно разбить на три категории –достоверные, невозможные и случайные. Например, если подбросить игральную кость, то достоверно, что число выпавших очков будет натуральным числом, невозможно, чтобы это число равнялось 7, и возможно, что оно будет равно 5, а при других будут выпадать другие значения очков: 1,2,3,4 или 6.

Определение 1. случайными событиями называется такой исход наблюдения или эксперимента, который при реализации данного комплекса условий может произойти, а может и не произойти.

Примеры:

1. выпадение герба при бросании одной монеты.

2. выпадение четырех очков при бросании игральной кости – случайные события.

Определение 2. Случайное событие, которое обязательно наступит, называется достоверным событием и обозначается буквой щ.

Примеры:

3. выпадение герба или цифры при подбрасывании одной монеты;

4. выигрыш, проигрыш или ничья в матче двух футбольных команд – достоверные события.

Определение 3. Событие определяется невозможным, если оно не содержит никакого множества исходов и обозначается буквой __.

При любом исходе испытания это событие не происходит. Иными словами, невозможное событие состоит из пустого множества исходов.

Примеры:

5. выпадение более 6 очков при подбрасывании игрального кубика;

6. выпадение цифры и герба одновременно при подбрасывании одной монеты – невозможные события.

§3. Вероятностное пространство

Представим, что некоторый прямоугольник Е мы разрезали (рис 1) на n прямоугольных пронумерованных карточек еi(i=1,2,3,… .,n). допустим, после хорошей перестановки одну карточку наугад вытаскиваем из всей стопки. При такой операции:

· одно из событий «вытащена одна карточка» непременно произойдет;

· при одном испытании вытаскивание любой из карточек появляется в одном и только одном исход; например, если была вытащена карточка 17, т.е. произошло событие е17, то в это же время не могло произойти событие е5, состоящее в вытаскивании карточки с номером 5

E1 E2 E3 E4 E5 E6

Рис 1. Рис. 2.

События ei, состоящие в появлении карточки с номером i (i=1,2,3,…. n), могут послужить примером элементарных событий, а прямоугольник е – примером пространства элементарных событий, связанных с реализацией испытания S – выталкиванием одной карточки после разреза прямоугольника на Е на маленькие прямоугольники и вытаскивания случайной карточки после тщательной перестановки.

Определение 1. Пространство элементарных событий (полная группа событий) множество событий таких, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны.

Пространство элементарных событий Е, определенное бросанием игральной кости, представляет события, где еi выпало n очков (n=1,2,3,4,5,6)

Рассмотрим события (рис 2):

А-«выпало четное число очков»

В-«выпало не меньше 2 очков»

С-«выпало не больше 2 очков»

А произошло, если произошло одно из элементарных событий е2, е4, е6. Выразим это символом е2еА, е4еА, е6еА.

Тогда: е2

е3 е1

е4 = еВ, =еС

е5 е2

е6

Поскольку е2, е4, е6 есть некоторые из элементов

Пространства Е={е1, е2, е3, е4, е5, е6}, эту тройку удобно назвать подпространством (частью) пространства Е значит, событие А можно рассматривать как пространство ему благоприятствующих элементарных событий {е2; е3; е4; е5; е6}, событие С — как подпространство ему благоприятствующих элементарных событий {е1, е2}. Если ei не благоприятствует событию с-то пишут ei=A.

Реализация испытаний S однозначно определяет пространство элементарных событий Е. Любое случайное событие Н связанное с испытанием S, можно рассматривать как подпространство благоприятствующих этому событию элементарных событий пространства Е. Изобразить его можно некоторой фигурой, построенной из клеточек символи-

зирующих элементарные события, благоприятствующие событию Н.

Е1 Е2 Е3 Е4 Е5 Е6

Например, событие Н1-«выпало меньше трех очков»-может быть изображено одной заштрихованной фигурой (рис3), а событие Н6-«выпало больше 2 или меньше 5 очков» — двумя фигурами (рис 4).

Е1 Е2 Е3 Е4 Е5 Е6

§4. Операции над случайными событиями

п.1. Отношения между событиями.

Сравним следующие события: А — появление двух очков при бросании игральной кости., В-появление четного числа очков при бросании игральной кости.

Замечаем следующие соотношения между событиями, если произошло А, то тем самым произошло и В.

Событие А является частью события В состоит в осуществлении трех элементарных событий: «появление 2 очков», «появление 4 очков», «появление 6 очков», а событие А — одним из них – «появление двух очков».

Определение 1. Говорят, что событие А влечет за собой событие В (говорят так же, что В содержит, является следствием, включает А, А является частью В) и обозначают это символом АсВ (или ВэА), если все исходы, составляющие А, входят и в В.

Возможность представить события как подпространства пространства Е помогает геометрически проиллюстрировать соотношения А и В (рис 5).

Сопоставим следующие события: А-«появление герба при подбрасывании монеты», В — «не появление цифры при подбрасывании монеты».

Е1 Е2 Е3 Е4 Е5 Е6

Рис 5.

Если же монета не может укатиться и застрять в щели пола или встать на ребро, то можно ввести определение.

Определение 2. Если произошло событие А, то и произошло событие В, и в то же время, если произошло событие В, то произошло событие А. Символическая запись: АсВ и ВсА. Тогда запишем А=В, и будем говорить, что события А и В равносильны.

П.2. Объединение событий

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, е5, е6, а событию В элементарные события е8, е9, е10, е11, е12 (рис 6)

А

Е1
Е2 Е3 Е4
Е5 Е6
Е7 е10
Е8 е11
Е9 Е12

Е рис 6. С=АUB

А1

Е3
Е1 Е2 Е4
Е5 Е6 Е7
В1 Е8

Е рис.7

С1=А1UВ1

Пусть событию С благоприятствуют все элементарные события, которые представляют заштрихованные клетки.

Событие С назовем объединением А и В. Оно обозначает, что произошло или А, или В.

Пусть теперь событию А1 благоприятствует элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, е5, а событию В1 – элементарные события, которые представляют заштрихованные клетки. (рис 7).

И на этот раз будем считать события С1 объединением событий А1 и В1. но поскольку е5 и е4благоприятсвуют и А1 и В1, то на этот раз означает, что произошло или А1, или В1, или то и другое вместе.

Обобщим и то и другое вместе.

Определение 3. Объединение событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А и В.

Такое соотношение принято обозначать символом U: С=АUВ.

В общем случае:

Определение 4. Объединение событий А1, А2, А3,…. Аn (или А1, или А2,…. ., или Аn, или несколько из них, или всех).

Символически А=А1UА2UА3U…. UАn.

Для случайных событий имеют место закономерности:

АUВ=ВUА

(АUВ) UС=АU(ВUС)

Для операций над событиями часто используют скобки, что бы показать, в какой последовательности следует производить действия.

Например, во второй закономерности (АUВ) UС означает, что сначала нужно найти сумму (объединение) событий А и В, а затем сумму получившегося события и С.

П.3. Пересечение событий

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, е5, а событию В – элементарные события (клетки) е3, е4, е5, е6, и е7 (рис 8.)

Пусть событию С благоприятствуют элементарные события, которые представлены заштрихованными клеточками (рис. 8).

Логично событие С назвать пересечением событий А и В. Оно означает, что произошло и А и В.

В таком случае применяется символ С=А∩В.

В общем случае пересечение событий определяется так:

Определение 5. пересечение событий А1,A2, А3,…, Аn называется событие А, состоящее в одновременном использовании всех (и А1 и А2,…. и Аn) событий.

Символически: А=А1∩А2∩…… ∩Аn.

А
Е1 Е2 Е3С
Е4 Е5
Е6 Е7
В

Рис.8.

Примеры:

1. А-«входящий в подъезд человек-мужчина»

В-«входящий в подъезд человек светловолосый»

С-«входящий в подъезд человек светловолосый мужчина»

Событие С происходит при одновременном исполнении событий А и В, поэтому С=А∩В.

2. произвольно выбираем два двузначных числа. Определяем события:

А – «выбранные числа кратны 2»

В – «выбранные числа кратны 3»

С – «выбранные числа кратны 6

Событие С происходит, если одновременно происходят события А и В. Если одно из событий А или В не произойдет, то не произойдет С.

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, а событию В – е5, е6, е7 (рис 9)

Е1 Е2
Е3 Е4 Е5 Е6
А Е7
В

А∩В=_

Рис.9.

Ясно, что совместное осуществление АиВ невозможно: элементарных событий, благоприятствующих и тому, и другому событию, нет.

Определение 6. два события АиВ, пересечение которых – невозможное событие (А∩В=_), называются несовместимыми событиями.

Определение 7. два события АиВ называются совместимыми, когда существует по крайней мере одно элементарное событие, благоприятствующее событию А, и событию В.

Рассмотрим следующие пары событий:

А1-»выпадение герба при подбрасывании монеты»

А2 — «невыпадение герба при подбрасывании монеты»

В1-«выздоровление больного»

В2-«невыздоровление больного»

С1-«появление новой кометы в текущем году»

С2-«непоявление новой кометы в текущем году»

Естественно события в каждой из пар считать противоположными.

Установим два свойства, которым удовлетворяет любая пара событий:

1. объединение событий каждой из пары – достоверное событие:

А1∩А2=_

В1∩В2=_

С1∩С2=_

Определение 8. если определение событий А и В или В=А, если АиВ противоположные события.

На языке пространства элементарных событий противоположное событие А представляется дополнением события А в отношении всего пространства элементарных событий Е (рис 10).

Рис.10.

§5. Понятие вероятности события

П.1. Классическое понятие вероятности события.

Бросаем игральную кость. Выпасть может или одно, или два, или три, или четыре, или пять, или шесть очков. Каждое из этих событий элементарное, и вместе они образуют пространство элементарных событий. Но будут ли эти события равновозможными? Какие обстоятельства могут это обеспечить? Это довольно сложный вопрос. Конечно можно предположить, что эти события равновозможные, когда кость является правильным кубом с центром тяжести в своем геометрическом центре, когда она сделана из идеального однородного материала, когда она подбрасывается наугад одинаковым способом. Этих «тогда» так много, что трудно всех их учесть.

Равновозможными элементарными событиями будем считать такие события, любое из которых по отношению к другим событиям не обладает никаким преимуществом, появляется чаще другого при многократных испытаниях, производимых в одинаковых условиях.

В таблице 1 рассматриваем случайные события, представляющие подпространства пространства равновозможных элементарных событий (несколько событий называются равновозможными, если нет основания считать, что одно из этих событий является объективно более возможным, чем другое) определяемых испытанием с игральной костью

Таблица 1.

Обозначение

события

Содержание события Кол-во элементарных событий благоприятсвующих данному событию
А Выпало четное число очков 3
В Выпало меньше трех очков 2
С Выпало менее пяти очков 4
Д Выпало не более пяти очков 5
G Выпало не менее трех очков 4
U Выпало более шести очков
И Выпало не более шести очков 6

Эта таблица показывает неодинаковые возможности появления этих событий при одном испытании: более возможно то событие, которому благоприятствует большее число равновозможных элементарных событий данного пространства. Эти числа и могли бы быть численной мерой возможностей появления различных событий, связанных с данным испытанием.

А как сравнить возможности появления событий А1 и В1, которые связанны с различными пространствами элементарных событий?

Пусть в одном ящике 10 черных шаров пронумерованных четными числами 2,4,….18, 20, а в другом 8 белых шаров, пронумерованных числами 1,3,5,7,9,11,13,15. Наугад вынимаем из ящика по одному шару. Пусть А1-«номер черного шара, кратный 3», событие В1-«номер белого шара не больше 5».

Какое из этих событий более возможно?

Событию А1 благоприятствует 3равновозможных события (6,12,18), событию В1 тоже 3 (1,3,5). Может быть А1 и Б1 равновозможные события? Ответить на заданный вопрос можно, только зная количество всех равновозможных элементарных событий пространства, связанного с выниманием белого шара.

Полная информация об этих событиях может быть представлена в форме таблицы 2.:

Таблица 2.

Событие Содержание события Число элементарных событий всего пространства Число элементарных событий благоприятствующих данному событию отношение
А1

Появление числа кратного 3

На черном шаре

10 3 0,30
В1 Появление числа не большего 5, на белом шаре 8 3 0,37

Приходим к выводам:

А) событие В1 более возможное, чем событие А1;

Б) возможность появления некоторого события n удобно измерять отношением m/n, где n — число всех равновозможных элементарных событий вытекающих из условий данного испытания, а m-число равновозможных событий, которые благоприятствуют событию Н.

Эту удобную меру возможности появления события Н принято называть вероятностью этого события и обозначать символом Р(Н) =m/n.

Определение 1. вероятностью случайного события Называется отношение числа равновозможных элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий пространства Е, определяемого данным испытанием.

Это классическое определение вероятности случайного события.

Р=(И) =n/n=1, т. к. число возможных исходов испытания равно числу исходов, благоприятствующих появлению события.

Р=(_) =o/n=o, т. к. число исходов испытания, благоприятствующих появлению невозможного события, равно 0.

П.2. Статистическое определение вероятности

При классическом подходе определения понятия вероятности сводится к более простому понятию – равно возможности элементарных событий. А это понятие основного на интуитивном воображении человеком тех условий испытания, которые вроде достоверно определяют эту равно возможность. Но не каждое испытание поддается такому воображению. Например, не может быть речи о равновозможных исходах испытания, состоящего в подбрасывании неправильной игральной кости, центр тяжести которой сознательно смещен с геометрического центра.

Какова вероятность выпадения шестерки, при подбрасывании такой кости?

Как известно вероятность выпадения шестерки при подбрасывании правильной игральной кости, равна 1ч6.

Допустим, провели n бросаний такой кости и определили, что шестерка выпала m раз. Отношение mчn назовем статистической частотой появления шестерки. При проведении серии таких испытаний, может случится, что

при подбрасывании кости n раз шестерка выпала m1раз; статистическая частота Р1=m1чn;

при подбрасывании кости n+1раз шестерка выпала m2раз: статистическая частота Р2=m2чn+1;

при подбрасывании кости Nраз шестерка выпала mN раз: статистическая частота РN=mNчN.

Заметим, что для статистических частот р1, р2, р3,…. рN будет характерна устойчивость: они будут с возрастанием числа испытаний сколь угодно близко сосредотачиваться около вероятности Р=1ч6.

Подбрасывая неправильную кость и определяя статистические частоты появления, например, шестерки, заметил такую же устойчивость этих частот, но эти частоты с возрастанием числа испытаний устойчиво будут сосредотачиваться около некоторого, в результате неправильности игральной кости нам неизвестно числа Р. Это неизвестное число в отношении статистических частот появления шестерки при подбрасывании неправильной игральной кости выступает как бы в роли 1ч6 в отношении статистических частот появления шестерки при подбрасывании правильной игральной кости. Будем считать это неизвестное число Р вероятностью выпадшей шестерки при бросании неправильной игральной кости. Для каждой неправильной игральной кости это Р будет разное.

Пусть m1чn; m2чn+1;… .; mNчN – статистическая частота наступления события А в некоторой серии испытаний, каждое из которых проводится в одинаковых условиях (например, подбрасывается одна и та же игральная кость с одинаковой высоты)

Определение 2. вероятностью события А называется то неизвестное число Р, около которого сосредотачиваются значения статистических частот наступления события А при возрастании числа испытаний.

Это – статистическое определение вероятности случайного события.

П.3. Геометрическое определение вероятности.

Пусть на плоскости задан круг и нем треугольник В. В круг на удачу «бросается точка». Как определить вероятность события Н, состоящего в том, что точка попадает в треугольник?

При решении этой задачи будем пользоваться следующем исходным положением: вероятность попасть в какую-либо часть круга пропорционально площади этой части.

Если площадь круга составляет n единиц площади, а площадь треугольника m единиц площади, то в силу пропорциональности Р(А) =mk единиц площади чnk единиц площади = mчn.

На конкретном примере можно увидеть, что геометрический подход к вероятности события не зависит от вида измерений геометрического пространства: важно только, чтобы пространство элементарных событий Е и пространство представляющее событие А, были одинакового вида и одинаковых измерений.

Пример

Пусть на плоскости задан круг и определен его сектор ВОС (рис11), <ВОС=α. Рассмотрим вероятности трех событий А1, А2, А3, состоящих в следующем: в круг на удачу бросается точка М. А1-«попадание М1 в сектор ВОС». На дугу окружности наугад бросается точка N. А2-«попадание N на дугу ВОС». На рисунок на удачу бросается вектор OS, начало которого закреплено в точке О.

А3-«попадание OS в угол α»

Пусть ОС=r — радиус круга. Тогдa:

Тот факт, что Р(А1) =Р(А2) =Р(А3), подтверждает вышеизложенное суждение и позволяет обобщить формулу (х):

если событие А состоит в попадании точки М на отрезок [α; β] при ее бросании наугад на отрезок [а; в] (рис.12), то

Р(А) = β — αчв-а;

если позиция А состоит в попадании вектором ОМ в угол α при бросании наугад, когда начало вектора закреплено в точке О (рис13), то Р(А) = αч2π (в радианах) = α ч360°(в градусах);

если событие А состоит в попадании точки М в пространство Т при бросании ее наугад в пространство S, то Р(А) =VтчVs

Геометрическая интерпретация вероятности события является важным средством подхода к расчету вероятностей сложных событий.

Определение 3. вероятностью случайного события А называется численная мера возможности наступления этого события при некотором испытании.

П.4. Аксиомотическое определение вероятности

Пусть Ω — произвольное пространство элементарных событий, а И – некоторый класс подмножеств множества Ω.

Класс подмножеств И называется алгеброй событий, если Ω в И и если А; ВЄИ, А+ВЄИ, А/ВЄИ при любом АЄИ, ВЄИ. Отсюда следует, что ǿ= Ω ΩЄИ. Наименьшей системой подмножеств, является алгеброй, очевидно являясь системой И={d, Ω }. Нетрудно проверить следующие утверждение. Если И – система всех подмножеств множества Ω, то и алгебра, если Ω-конечное множество, то система всех подмножеств будет так же конечным числом.

Пример.

Подбрасывание игральной кости один раз. В этом опыте Ω={W1,W2…,W6}, где Wк обозначен исход опыта, заключающийся в выпадении k очков. Имеем шесть исключающих друг друга исходов. Выпишем все события алгебры И, состоящих из всех подмножеств Ω:

{W1},{W2},…. {W6};

{W1,W2},{W1,W3},…. {W5,W6},{W1,W2,W3},…. .;

{W1,W2,W3,W4,W5,W6}= Ω

В этом примере алгебра и состоит из 2=64 событий. Если множества Ω состоит из N элементов, то число всех подмножеств равно 2N. Действительно, число последовательностей из 0 и 1 длины N равно 2N, а между такими последовательностями и подмножествами Ω можно установить взаимнооднозначное соответствие по следующему правилу: элемент с номером i из множества Ω включается в подмножество, соответствующее данной последовательности стоит 1.

Определение 4. числовая функция Р, определенная на классе событий И, называется вероятностью, если выполнимы следующие условия:

А1. не является алгеброй событий;

А2. Р(А) ≥0 для любого а АЄИ.

А3. Р(Ω) =1

А4. (аксиома конечной аудитивности)

Если А и В несовместимы, то Р(А+В) =Р(А) +Р(В).

Для решения задач, связанных с бесконечными последовательностями событий, требуется дополнить приведенные аксиомы следующей аксиомой непрерывности:

А5. для любой убывающей последовательности А1эА2э…. эАnэ…событий из И такой, что__Аn= ǿ имеет место равенство е1m Р(Аn) =0.

Укажите несколько простых свойств вероятности, которые непосредственно следуют из аксиом А2-А4. Из аксиом А3-А4 и равенства А+А= Ω следует, что Р(А) =1-Р(А).

Полагая здесь А= Ω, получим Р(ǿ) =0.

§6. Теоремы о вероятности суммы событий

Определение 1. несколько событий называются несовместимыми в данном опыте, если никакие два из них не могут появится вместе.

Примеры.

появление 1,2,4очков при бросании игральной кости;

попадание и промах при одном выстреле – несовместимые события.

Теорема 1. вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятности этих событий:

Р(А+В) =Р(А) +Р(В) (1)

Докажем эту теорему для схемы случаев.

Пусть возможные исходы опыта сходятся к совокупности случаев. Для наглядности изобразим их в виде n точек.

mnAknB

……………………………………

n

Предположим, что из этих случаев m благоприятны событию А, а k событию В. Тогда Р(А) =mчn; P(B) =kчn.

Так как события А и В несовместны, то нет таких случаев, которые благоприятны m+k случаев И

Р(А+В) =m+kчn.

Подставим полученные выражения в формулу (1) получим тождество. Теорема доказана.

Обобщим теорему сложения на случай трех событий. Обозначая события А+В буквой Д и присоединяя к сумме еще одно событие С, легко доказать, что: Р(А+В+С) =Р(Д+С) =Р(Д) +Р(С) =Р(А+В) +Р(С) =

=Р(А) +Р(В) +Р(С).

Методом полной индукции можно обобщить теорему сложения на произвольное число несовместных событий. Предположим, что она справедлива для n событий: А1, А2,… Аn, и докажем, что она будет справедлива для n+1 событий: А1, А2,…… Аn,An+1

Обозначим: А1+А2+…. +Аn=C

Имеем: Р(А1+А2+…. +Аn+An+1) =P(C+An+1) =P(C) +P(An+1).

Но т. к. для n событий теорема справедлива, то Р(С) =Р(А1) +Р(А2) +…. +Р(Аn), откуда Р(А1+А2+…+Аn+An+1) =P(A1) +P(A2) +…. P(An) +P(An+1), что и требовалось доказать.

Таким образом, теорема сложения вероятностей применима к любому конечному числу несовместных событий. Ее удобно записать в виде: Р(∑Аi) =∑P(Ai)

Отметим следствия, вытекающие из теоремы сложения вероятностей.

Предварительно введем вспомогательное понятие.

Определение 2. говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них.

Примеры.

3) выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты;

4) попадание и промах при выстреле – полные группы событий.

Следствие 1. если события А1, А2,…Аn, образу4ют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице: ∑P(Ai) =1.

Доказательство. Так как события А1, А2,…. Аn образуют полную группу, это появление хотя бы одного из них – достоверное событие.

P(A1+A2+… +An) =1

Т. к. А1, А2,…. Аn – несовместные события, то к ним применима теорема сложения вероятностей.

P(A1+A2,… .,+An) =P(A1) +P(A2) +…. +P(An) = ∑P(Ai),

откуда ∑P(Ai) =1, что и требовалось доказать.

Перед тем, как ввести второе следствие теоремы сложения, определим понятия о «противоположных событиях».

Определение 3. противоположными событиями называются два несовместных события, образующие полную группу.

Событие, противоположное событию А, принято обозначать А.

Примеры.

5) А-попадание при выстреле;

А-промах при выстреле;

6) В-выпадение герба при бросании монеты;

В-выпадение цифры при бросании монеты – противоположные события.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице. Р(А) +Р(А) =1.

Доказательство. Вспомним для доказательства, что А+А=И, Р(И) =1, А*А= ǿ, Тогда по теореме 1 получаем:

1=Р(И) =Р(А+А) =Р(А) +Р(А), что и требовалось доказать.

Это следствие есть частный случай следствия 1. оно важно в практическом применении теории вероятностей. На практике весьма часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события А, чем вероятность прямого события А. в этих случаях вычисляют Р(А) и находят Р(А) =1-Р(А).

Пример 7.

Круговая мишень (рис 14) состоит из трех зон: I, II, III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле – 0,15, во вторую – 0,23, в третью — 0,17. Найти вероятность промаха.

Решение. Обозначим А-промах при выстреле, тогда А-попадание. Тогда А=А1+А2+А3, где А1, А2, А3-непопадание соответственно в первую, вторую, третью зоны.

По теореме 1 Р(А) =Р(А1) +Р(А2) +Р(А3) =0,15+0,23+0,17=0,55, откуда Р(А) =1-Р(А) =0,45

В ряде случаев приходится вычислять вероятность суммы событий, которые могут быть совместными.

Теорема 2. для любых двух событий справедливо равенство: Р(А+В) =Р(А) +Р(В) — Р(АВ) (2)

Доказательство. Событие А состоит из компонент А*В и А*В, а событие в из компонент А*В и А*В. Поэтому А+В=(АВ) +(АВ) +(АВ) +(АВ) =(АВ) +(АВ) +(АВ), и поскольку входящие в это положение компоненты попорио не пересекаются, то

Р(А+В) =Р(АВ) +Р(АВ) +Р(АВ) (3)

С другой стороны имеем Р(А) =Р(АВ) +Р(АВ); и Р(В) =Р(АВ) +Р(АВ), а потому P(A) +P(B) =2P(AB) +P(AB) +P(AB).

Сравнивая эти равенства с (3) получаем доказываемую формулу (2)

Для произвольного числа событий формула выглядит так: Р(∑Ai) = ∑P(Ai) — ∑P(Ai-Aj) + ∑P(AiAjAk)…. +(-1) n-1P(A1A2… An).

В частности при n=3 имеем: Р(А+В+С) =Р(А) +Р(В) +Р(С) — Р(АВ) — Р(АС) — Р(ВС) +Р(АВС).

§7. Теорема умножения вероятностей

Условная вероятность.

Второй основной теоремой теории вероятностей является терема умножения вероятностей.

Перед тем как излагать теорему умножения введем важное понятие: понятие о независимых и зависимых событиях.

Определение 1. событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В, или нет.

Определение 2. событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А является в зависимости от того, произошло ли событие В, или нет.

Примеры.

1) опыт состоит в бросании двух монет; рассматриваются события:

А-появления герба на первой монете

В-появление герба на второй монете

В данном случае вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В, или нет; событие А независимо от события В.

2) в урне два белых шара и один черный; два лица вынимают из урны по одному шару; рассматриваются события:

А-появление белого шара у первого лица

В-появление белого шара у второго лица

Вероятность события А до того, как известно что-либо о событие В, равна 2/3. если стало известно, что событие В произошло, то вероятность события А становится равной Ѕ, из чего заключаем что событие А зависит от события В.

Определение 3. вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В).

Условие независимости события А от события В можно записать в виде: Р(А/В) ≠Р(А).

Сформулируем теорему умножения вероятностей.

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место: Р(АВ) =Р(А) Р(В/А)

Докажем теорему для схемы случаев.

Пусть возможные исходы опыта сводятся n случаям. Изобразим их для наглядности в виде n точек:

…………………………………

Предположим, что событию А благоприятны m случаев, а событию В благоприятны k случаев. Т.к. мы не предполагали события АиВ несовместными, то вообще существуют случаи, благоприятные и событию А, и событию В одновременно. Пусть число таких случаев L. Тогда Р(АВ) = L/n; P(A) =m/n

Вычислим Р(В/А), т.е. условную вероятность события В в предположении, что А имело место.

Если известно, что событие А произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те m, которые благоприятны событию А. из них L случаев благоприятны событию В. Следовательно, Р(В/А) =Ln

Подставляя выражения Р(АВ) и Р(А), Р(В/А) в формулу (1) получаем тождество. Теорема доказана.

При применении теоремы умножения безразлично, какое из событий А и В считать первым, а какое вторым, и теорему умножения можно записать так: Р(АВ) =Р(В) Р(А/В)

Следствие 1. если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Доказательство. Дано, что событие А не зависит от события В, т.е. Р(А) =Р(А/В).

Требуется доказать, что событие В не зависит от события А, т.е. Р(В) =Р(В/А) (2)

Будем предполагать, что Р(А) ≠0.

Напишем теорему умножения вероятностей в двух формах:

Р(АВ) =Р(А) Р(В/А),

Р(АВ) =Р(В) Р(А/В), откуда

Р(А) Р(В/А) =Р(В) Р(А/В) или согласно условию (2)

Р(А) Р(В/А) =Р(В) Р(А).

Разделим обе части последнего равенства на Р(А). получим:

Р(В/А) =Р(В), что и требовалось доказать.

Следствие 2. если событие А не зависит от события В, то справедливо равенство:

Р(АВ) =Р(А) Р(В) (3)

Доказательство. Событие А не зависит от события В, если выполняется равенство Р(А/В) =Р(А) (4)

По теореме о вероятности произведения двух событий Р(АВ) =Р(В) Р(А/В). (5)

Если в правой части равенства (5) заменить Р(А/В) на Р(В), то придем к (3), причем Р(В) ≠0, то событие А не зависит от события В. Действительно из (3) следует, Р(А) = Р(АВ) чР(В) и следовательно, Р(А) =Р(А/В), что и требовалось доказать.

Пример 3.

В урне 2 белых и 3черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение:

А-появление двух белых шаров.

Событие А представляет собой произведение двух событий:

А=А1А2, где А1-появление белого шара, при первом вынимании, А2-появление белого шара при втором вынимании.

По теоремам умножения вероятности Р(А) =Р(А1) Р(А2/А1) =25*14=0,1.

Понятие независимости событий может быть распространено на случай произвольного числа событий.

Определение 4. несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.

§8. Формула полной вероятности. Теорема гипотез

п.1. Формула полной вероятности.

Следствием обеих основных теорем –теорем сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей является так называемая формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А1, которое может произойти вместе с одним из событий: Н1, Н2…Hn, образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами. Докажем, что в этом случае P(A) = ∑P(Hi) P(A/Hi), (1)

Т.е. вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.

Формула (1) носит название формулы полной вероятности.

Доказательство. Т.к. гипотезы Н1, Н2,…Нn образуют полную группу, то событие А может появится только в колебании с какой-либо из этих гипотез.:

А=Н1А+Н2А+…+НnA.

Так как гипотезы Н1, Н2,… Нn, несовместны, то комбинации Н1, А1, Н2А,…НnA так же несовместны; применяя к ним теорему сложения, получим: Р(А) =Р(Н1А) +Р(Н2А) +…+Р(НnA) = ∑P(Hi) P(A/Hi), что и требовалось доказать.

Пример 1.

Имеются три одинаковые на вид урны; в первой урне 2 белых и 1 черный шар; во второй урне 3 белых и 1 черный шар; в третьей 2 белых и 2 черных шара.

Некто выбирает одну из урн наугад и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение:

Рассмотрим три гипотезы:

Н1-выбор первой урны

Н2-выбор второй урны

Н3-выбор третьей урны

Н1Н2Н3-полная группа несовместных событий.

Пусть событие А-появление белого шара. Т.к. гипотезы, по условию задачи равно возможны, то Р(Н1) =Р(Н2) =Р(Н3) =13

Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны: Р(А/Н1) =23; Р(А/Н2) =34; Р(А/Н3) =1/2.

По формуле полной вероятности

Р(А) =13*32+13*34+13*12=2336

Ответ: 2336

П.2. Теорема гипотез.

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез, или формула Бейса (Байеса).

Поставим следующею задачу.

Имеется полная группа несовместных гипотез Н1, Н2,.. Нn. вероятности этих гипотез до опытов известны и равны соответственно Р(Н1), Р(Н2) …, Р(Нn). Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события А. Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез, в связи с появлением этого события?

Здесь, по существу речь идет о том, чтобы найти условную вероятность Р(Н1/А) для каждой гипотезы.

Из теоремы умножения имеем:

Р(A*Нi) =P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi), (i=1,2,3,… n) или, отбрасывая левую часть

P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi),(i=1,2,. .,n)

Откуда P (Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi) чP(A),(i=1,2,3,…. n)

Выражая с P(A) помощью полной вероятности, имеем

P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi) ч∑P(Hi) P(AHi),(i=1,2,3,…. n) (2)

Формула (2) носит название формулы Бейса или теоремы гипотез

Пример 2. на фабрике 30%продукции производится машиной I, 25% продукции — машиной II, остальная часть продукции – машиной III. У машины I в брак идет 1% сей производимой его продукции, у машины II-1.5%, у машины III-2% наугад выбранная единица продукции оказалась браком. Какова вероятность того, что она произведена машиной I?

Решение.

Введем обозначения для событий.

А-выбранное изделие оказалось браком

Н1-изделие произведено машиной I

H2 — изделие произведено машиной II

H3 — изделие произведено машиной III

P(H1) =0,30; Р(Н2) =0,25; Р(Н3) =0,45

Р(А/Н1) =0,01,

Р(А/Н2) =0,015

Р(А/Н3) =0,02

Р(А) =0,01*0,30+0,015*0,25+0,02*0,45=0,015,

Р(Н1/А) = 0,01*0,30ч0,015=0, 20

Ответ: 20%всех бракованных изделий выпускается машиной I.

§9. Формула Бернулли

Закон больших чисел

Пусть А случайное событие по отношению к некоторому опыту σ. Будем интересоваться лишь тем, наступило или не наступило в результате опыта событие А, поэтому примем следующую точку зрения: пространство элементарных событий, связанное с опытом σ, состоит только из двух элементов — А и А. Обозначим вероятности этих элементов соответственно, через p и q, (p+q=1).

Допустим теперь, что опыт σ в неизменных условиях повторяется определенное число раз, например, 3 раза. Условимся троекратное осуществление σ рассматривать как некий новый опыт η. Если по прежнему интересоваться только наступлением или не наступлением А., то следует очевидно принять, что пространство элементарных событий, отвечающее опыту η, состоит из всевозможных последовательностей длины 3: (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), которое можно составить из А и А.

Каждая из указанных последовательностей означает ту или иную последовательность появления или не появления событий А в трех опытах σ, например, последовательность (А, А, А), означает, что в первом опыте наступило А, а во втором и третьем — А. Определим, какие вероятности следует приписать каждой из последовательностей (1)

Условие, что все три раза опыт σ проводится в неизменных условиях, по смыслу должно означать следующие — исход каждого из трех опытов не зависит от того, какие исходы имели место в остальных двух опытах. Т.е. любая комбинация исходов трех опытов представляет собой тройку независимых событий. В таком случае, элементарному событию (А, А, А), естественно приписать вероятность, равную p*q*q, событию (А, А, А),-вероятность q*y*y и т.д.

Т. о. приходим к следующему описанию вероятностной модели для опыта η (т.е. для трехкратного осуществления опыта σ). Пространство Ω элементарных событий есть множество из 2 в 3степени последовательностей. (1). Каждой последовательности сопоставляется в качестве вероятности число р в степени k, q в степени e, где показатели степеней определяют, сколько раз символы А и А входят в выражение для данной последовательности.

Вероятностные модели такого рода называются схемами Бернулли. В общем случае схема Бернулли определяется значением чисел n и p, где n – число повторений исходного опыта σ (в предыдущем опыте мы считали n=3), а p-вероятность события А по отношению к опыту σ.

Теорема 1. пусть вероятность события А равна p, и пусть Pmn-вероятность того, что в серии из n независимых испытаний это событие произойдет m-раз.

Тогда справедлива формула Бернулли.

Pmn=Cn в степени m *P в степени m *q в степени n-m [20, стр58]

Пример 1.

Монета подбрасывается 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет при этом ровно 3раза?

Решение:

В данном случае успехом считается выпадение герба, вероятность pэтого события в каждом опыте равна 12.

Отсюда: Р10,3=С10в 3степени*(12) в 3степени*(12) в 7степени=10*9*8ч1*2*3*(1ч2в 10степени) =15128

Ответ: 15128

При большом числе испытаний относительная частота появления события мало отличается от вероятности этого события. Математическую формулировку этого качественного это качественного утверждения дает принадлежащий Бернулли закон больших чисел, который уточнил Чебышев.

Теорема 2. Пусть вероятность события А в испытании p равна p, и пусть проводятся серии состоящие из n независимых повторений этого испытания.

Через m обозначим число испытаний, в которых происходило событие А. тогда для любого положительного числа α выполняется неравенство:

З(|mn-p|> α) <pqч2во 2степени n(3) [20, стр. 148]

Смысл этого неравенства состоит в том, что выражение mчn равно относительной частоте события А в серии опытов, а |mn-p|> α означает, что отклонение этой относительной от теоретического значения p. Неравенство |mn-p|> α означает, что отклонение оказалось больше чем α. Но при постоянном значении α с ростом n правая часть неравенства (3) стремится к нулю. Иными словами, серии в которых отклонение экспериментальной частоты от теоретической велико, составляют малую долю всех возможных серий испытаний.

Из теоремы вытекает утверждение, полученное Бернулли: в условиях теоремы при любом значении α>0 имеем

P(|mn-p|) > α) =0.

Глава II. Методические особенности изучения основ

Теории вероятностей в классах с углубленным изучением математике

§1. Основные цели изучения теории вероятностей в классах с углубленным изучением математики

Математические школы и классы с углубленным изучением математики были созданы в нашей стране в начале 60-х годов, когда выяснялась необходимость в подготовке специалистов, умеющих использовать прикладные возможности математики: программистов, инженеров-конструкторов, физиков, экономистов и других.

В настоящее время в математических школах и класса с углубленным изучением математики обучение ведется по программам разработанным коллективом ученых и преподавателей ВУЗов.

При сравнении программ массовой и математической школы можно отметить, что алгебраический материал, изучаемый в математических классах, включает темы, отсутствующие в программе массовой школы. Среди них теория вероятностей.

Содержание обучения теме «элементы теории вероятностей», выделены в «программе для общеобразовательных учреждений. Математика» [18] обеспечивает дальнейшее развитие у учащихся их математических способностей, ориентации на профессии, существенным образом связанных с математикой, подготовку к обучению в ВУЗе. Специфика математического содержания рассматриваемой темы позволяет конкретизировать выделенную основную задачу углубленного изучения математики следующим образом.

1. продолжить раскрытие содержания математики, как дедуктивной системы знаний.

А) построить систему определений основных понятий;

Б) выявить дополнительные свойства введенных понятий;

В) установить связи введенных и ранее изученных понятий.

2. Систематизировать некоторые вероятностные способы решения задач; раскрыть операционный состав поиска решений задач определенных типов.

3. Создать условия для понимания и осознания учащимися основной идеи практической значимости теории вероятностей путем анализа основных теоретических фактов. Раскрыть практические приложения изучаемой в данной теме теории.

Достижению поставленных образовательных целей будет способствовать решение следующих задач:

1. Сформировать представление о различных способах определения вероятности события (статистическое, классическое, геометрическое, аксиоматическое)

2. Сформировать знание основных операций над событиями и умения применять их для описания одних событий через другие.

3. Раскрыть сущность теории сложения и умножения вероятностей; определить границы использования этих теорем. Показать их применения для вывода формул полной вероятности и формул Байеса.

4. Выявить алгоритмы нахождения вероятностей событий

а) по классическому определению вероятности;

б) по теории сложения и умножения;

в) по формуле полной вероятности;

г) по формуле Байеса.

Сформировать предписание, позволяющее рационально выбрать один из алгоритмов при решении конкретной задачи.

Выделенные образовательные цели для изучения элементов теории вероятностей дополним постановкой развивающих и воспитательных целей.

Развивающие цели:

· формировать у учащихся устойчивый интерес к предмету, выявлять и развивать математические способности;

· в процессе обучения развивать речь, мышление, эмоционально-волевую и конкретностно-мотивационную области;

· самостоятельное нахождение учащимися новых способов решения проблем и задач;

· применение знаний в новых ситуациях и обстоятельствах;

· развивать умение объяснить факты, связи между явлениями, преобразовывать материал из одной формы представления в другую (вербальная, знако-символическая, графическая);

· учить демонстрировать правильное применение методов, видеть логику рассуждений, сходство и различие явлений.

Воспитательные цели:

· формировать у школьников нравственные и эстетические представления, систему взглядов на мир, способность следовать нормам поведения в обществе;

· формировать потребности личности, мотивы социального поведения, деятельности, ценностей и ценностных ориентаций;

· воспитывать личность, способную к самообразованию и самовоспитанию.

§2. Анализ содержания темы «Элементы теории вероятностей» в школьных учебниках

Теория вероятностей не изучается на базовом уровне. Эта тема становится актуальной лишь для учащихся классов с углубленным изучением математики.

С понятием «вероятность» учащиеся впервые встречаются в9классе.

В содержании темы учебника «Алгебра 9» [4] выделяются три взаимосвязанных направления, имеющие особое значение для развития логического и вариационного мышления. Во-первых, это подготовка в области комбинаторики, с целью создания аппарата для решения вероятностных задач и формирования важного вида практически ориентированной математической деятельности; во-вторых, формирование умений связанных со сбором, представлением и анализом данных; и в — третьих, формирование представлений о вероятности случайных событий и умение решать вероятностные задачи.

На данном этапе изучения уточняются способы представления и нахождения информации в таблицах, на диаграммах, в каталогах, рассматриваются задачи на перебор вариантов, формируются начальные представления о частоте и вероятности событий.

Дальнейшее изучение теории вероятностей осуществляется в 11 классе.

В учебнике «Алгебра 11» [5] глава «элементы теории вероятностей» начинается с рассмотрения достоверных, невозможных и случайных событий пока только на интуитивном уровне. Приводятся примеры на каждый вид событий и говорится о том, что случайные события представляют для нас особый интерес, к их изучению привели математиков потребности практики.

Основное понятие, с которым связан весь курс теории вероятностей – это понятие опыта (или испытания). Но ему не дается четкое математическое определение, а вводится на интуитивном уровне.

Материал в теме изложен дедуктивно, если вводимым понятиям даются точные математические определения. Можно построить несколько логических цепочек определений:

1. По количеству благоприятных исходов из возможных, относительно одного события.

Событие

достоверное невозможное случайное

2. По количеству благоприятных исходов, относительно нескольких событий:

События

несовместные

противоположные

независимые

3. операции над событиями

объединение разность событий

событий пересечение

событий следствие

событий

Перечисленные понятия вводятся описательно, на каждое из них приводится пример.

В темы сформулированы и доказаны следующие утверждения:

1. Если события А и В несовместны, то Р(АUВ) =P(A) +P(B).

В основе доказательства лежит подсчет всевозможных исходов события А и В и определения объединения событий.

2. Если события А1, А2,…… Аn попарно несовместны, то вероятность объединения этих событий равна сумме их вероятностей:

Р(А1UA2U…. UAn) =P(A1) +P(A2) +… +P(An)

Для доказательства применяется определение несовместных событий и утверждение 1.

3. Для любого события А имеем:

Р(А) =1-Р(А).

Для доказательства исполняются факты: AUA — есть достоверное событие (И) и Р(И) =1. А∩А – невозможное событие (ǿ) и утверждение 1.

4. Для любых двух событий справедливо равенство Р(АUВ) =P(A) +P(B) — Р(А∩В)

Идея доказательства состоит из:

· разложения событий А и В на компоненты;

· нахождение объединения события А и события В;

· нахождение вероятности объединения событий А и В;

· нахождение суммы вероятности события А и события В.

5. пусть вероятностное пространство И представлено в виде объединения попарно несовместных событий Х1,,……, Хn: И=Х1UX2U…. UХn, где Xi∩Xj=ǿ при i≠j. Тогда для любого события А верно равенство: Р(А) =Р(Х1) Р(А/Х1) +…+Р(Хn) P(A/Xn).

Для доказательства находится пересечение события А и вероятностного пространства И. пользуясь законом дистрибутивности операции пересечения событий, теоремой сложения вероятностей и условием, что Xi∩Xj-невозможное событие, получается, что событие А является объединением попарно несовместных событий А∩Х1,…А∩Хn. Находится вероятность Р(А) и применяется формула условной вероятности.

6. Пусть вероятность события А равна Р, и пусть Рmn-вероятность того, что в серии из n независимых испытаний это событие произойдет m раз. Тогда справедлива формула Бернулли Pmn=Cnв степени m* p в степени m * q в степени n-m.

Идея доказательства: подсчет благоприятных серий испытаний, нахождение вероятности каждой из них и использование условия, что любые две различные серии несовместны.

Теория вероятности рассматривается в учебниках Ю.М. Колягина и других «Алгебра и начало анализа 11» для общеобразовательных классов и А.Л. Вершера, А.П. Харпа «Математика 11» для учащихся гуманитарного профиля.

Представленные в учебном пособии задачи считаем возможным квалифицировать следующим образом: (Основа классификации — теоретические сведения основ теории вероятностей).

Вычисление вероятности как относительной частоты (частости) появления события (NN 493-499)

Определение множества исходов испытания (NN 499-508)

вычисление вероятности по классическому определению вероятности:

а) число исходов испытания определяется методом «перебора» (NN 516-521)

б) число исходов испытания определяется с применением формул комбинаторики (NN 522-548)

4. Алгебра событий (NN 533-548)

5. Вычисление вероятности по теоремам сложения вероятностей (NN 549-553)

6. Вычисление условной вероятности (NN 565-579).

§3. Методические особенности изучения основ теории вероятностей в классах с углубленным изучением математике

П.1. Виды событий

Изучение теории вероятностей начинается с введения понятий событий: достоверных, невозможных и случайных. Это можно сделать следующим образом: в жизни вы часто слышали или употребляли в разговоре следующие фразы: «Важное событие», «Вот это событие», и т.д. А что же такое событие? Как вы понимаете это слово? Приведите примеры событий. После этого учитель может подвести итог, введя определенные события (это исход наблюдения или опыта).

Рассмотрим следующие события:

1) при понижении температуры до 90° вода превращается в лед;

2) при понижении температуры вода закипает;

3) при бросании монеты выпал герб.

Охарактеризуем эти события: насколько достоверно каждое из них? Вероятно ли то, что они утверждают? Первое верно, т. к вода обязательно замерзнет, если понизить температуру, поэтому это событие называется достоверным. Второе никогда не произойдет, поэтому оно называется невозможным. К какому же виду событий следует отнести третье? Всегда ли оно имеет место? Нет! Может случится, что выпадет решка и сто выпадет герб. Поэтому это событие называется случайным. Вводится определение случайного события (это такой исход наблюдения или эксперимента, который может произойти, а может не произойти).

После беседы учащимся целесообразно предложить устную работу. Ее содержание может быть следующим:

1. Определить вид следующих событий.

При нагревании проволоки ее длина увеличилась;

При бросании игральной кости выпало 4очка;

При бросании монеты выпала решка;

При осмотре почтового найдены 3 письма;

При бросании игральной кости количество выпавших очков есть натуральное число;

При стрельбе по мишени стрелок дважды попал в цель.

2. Являются ли следующие события невозможными?

Получение всеми учениками вашего класса отличных оценок за очередную контрольную работу по математике;

Замена всех завтрашних уроков просмотром приключенческого фильма.

3. Приведите примеры событий, которые вы считаете:

Достоверными;

Невозможными

Случайными

Целесообразно подготовить сообщения учеников на темы:

1) Теория вероятности как наука.

2) Применение теории вероятности.

Цель: показать учащимся обширность областей применения теории вероятностей, ее значимость в науке и в жизни.

Для ознакомления учащихся с понятием частоты появления какого-либо события в длинной серии испытаний рекомендуется выполнение ряда упражнений, которые требуют ответа на вопрос: «Какое из событий вероятней? ».

Учителю необходимо пояснить учащимся, что сравнивать события следует по их вероятностям.

Например. Что вероятнее –появление герба при бросании монеты или появления нечетного числа очков при бросании игральной кости?

Решение.

Вероятность появления герба при бросании монеты равна 12, а появление нечетного числа очков при бросании игральной кости равна 36 или 12.

Следовательно, эти события равновероятные.

После изучения данного материала, ученики должны уметь:

Приводить примеры достоверных, невозможных и случайных событий;

Уметь классифицировать события на достоверные, невозможные и случайные;

Из нескольких событий выделять наиболее вероятное, объяснять свой выбор.

П.2. Вероятностное пространство

При введении понятия «вероятностное пространство» ученики сталкиваются с понятием опыта или испытания. Но этому понятию нельзя дать математическое определение. Ученики должны понимать, что значат слова: «подбросим монету и посмотрим упала она вверх гербом и цифрой» или «зажжем свечу и посмотрим, когда она сгорит». Ученикам следует объяснить, что существенно лишь то, что данное испытание может иметь различные исходы. Для простоты удобно рассматривать лишь случаи, когда множество исходов конечно.

Для того, чтобы ученики убедились в том, что действительно при испытании возможны различные исходы, т.е. множество исходов, проведем эксперимент.

Для эксперимента потребуется игральная кость и свободный стол, на котором будет производиться испытание.

Один из учеников несколько раз подбрасывает игральную кость и каждый раз на доске записывает результат.

В конце испытания полезно подвести итог о возможных множествах исходов:

1. {A1,A2,A3,A4,A5,A6}, Аk –выпадение k очков;

2. {В0, В1}, В0-выпадение четного числа очков, В1-выпадение нечетного числа очков;

3. {C1,C2}, С1-выпадение очков меньше или равно 4, С2-выпадение очков больше или равно 5.

Учителю рекомендуется предложить еще несколько возможных множеств исходов, например, множество {A1,A2}, где Аk выпадение k очков, или множество {В1, С2}, где В1-выпадение нечетного числа очков, С2 — выпадение очков больше или равно 5 и предложить учащимся выяснить: являются ли эти множества исходов множествами исходов данного опыта!

Для того, чтобы можно было выразить вероятность каждого исхода числом, потребуется выбрать «единицу измерения». Можно сказать ученикам, что математики договорились, что сумма вероятностей всех исходов равна 1.

С ребятами рекомендуется обратиться к проведенному эксперименту и выяснить, какой из исходов имеет возможность происходить чаще других.

Выяснив, что ни один из исходов не отвечает этому требованию, учитель делает вывод, что все элементарные исходы равно возможны, а т. к. их сумма равна 1, то вероятность каждой из них равна 1n, где n-число исходов.

Следует пояснить учащимся, что этот подход называется классической схемой теории вероятностей.

Полезно выполнить следующие упражнение:

Вероятностное пространство задано следующей таблицей:

Исход Х1 Х2 Х3 Х4
Вероятность 0,2 0,1 0,5 0,4

Во сколько раз исход Х3 вероятнее исхода Х2. какие исходы равно вероятностны?

Это задание предложено с целью формирования у учащихся умений выявлять вероятностное пространство, а так же умений выделять равновероятностные исходы, сравнивая их.

Необходимо пояснить учащимся, что существует несколько подходов к определению вероятности.

1. Классическое определение вероятности.

Урок можно провести в форме лекции-диалога [Гл.1§5] т. к. это определение фиксирует долю благоприятных для данного события исходов среди всех равновозможных, необходимо научить определять число всех равновозможных исходов. После определения вероятности рекомендуется решить несколько задач на непосредственное нахождение вероятностей событий согласно классическому определению, тем саамы выявить алгоритм решения таких задач.

Алгоритм:

1) обозначить событие (Н1)

2) сосчитать число всех исходов (n)

3) сосчитать число исходов благоприятствующих данному событию m

4) найти отношение благоприятствующих исходов к числу всех исходов

На отработку алгоритма предлагается решить следующие задачи.

Задача 1. В урне 3красных шара, 2 белых и 4 синих. Какова вероятность того, что с первого раза вынут красный шар?

Задача 2. При броске игральной кости вычислить вероятность следующих событий

«выпало 3 очка»

«выпало 6 очков»

«выпало четное число очков»

«выпало простое число очков»

«число выпавших очков кратно 3».

Задача 3. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее на удачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Задача 4. Бросили две монеты. Какова вероятность того, что на одной монете выпал герб, а на другой цифра?

Для запоминания учащимися формулы Р(Н) =mn, полезно придать ей наглядную иллюстрацию. (рис.15)

Р(Н) =

Рис.15.

Н — случайное событие, n-число всех равновозможных элементарных событий, m-число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию Н.

Затем следует перейти к изучению свойств вероятности и совместно с учащимися установить, что:

1) если А некоторое событие, то 0≤Р(А) ≤1;

2) 0(И) =1, где И-достоверное событие;

3) 0(√) =0, где √-невозможное событие.

2. Статистическое определение вероятности.

Главное, чтобы учащиеся поняли, что при статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.

Ученикам следует пояснить, что существует еще геометрическое определение вероятности и существует аксиоматическое определение вероятности события.

П.3. Теоремы сложения

Прежде чем приступать к формулированию и доказательству этих теорем, необходимо вспомнить определение суммы и произведения событий; совместных и несовместных событий.

Вначале на примере задачи следует дать учащимся представление о формулировке теоремы 1.

Задача 1. экзаменационные работы абитуриентов зашифрованы целыми числами от 1 до 90 включительно. Какова вероятность того, что номер наудачу взятой работы кратен 10 или 11?

Решение.

Пусть событие А –номер работы кратный10. событие В-номер работы кратный 11, тогда событие А+В состоит в том, что номер работы кратен 10 или 11. Легко видеть это Р(А) =990 (1), и Р(В) =890 (2), а т. к. число исходов благоприятствующих событию А+В равно 17 и, следовательно Р(А+В) =1790 (3).

Сравнивая (3) с (1) и (2), видим что вероятность события А+В и сумма вероятностей событий А и В равны между собой, т. е Р(А+В) =Р(А) +Р(В)

Формулировка теоремы достаточно проста, поэтому учащиеся самостоятельно и могут предложить.

Решение задачи может быть использована для выявления способа доказательства сформулированной теоремы. Достаточно обратить внимание на основные моменты решения.

1) подсчет числа всех исходов испытания

2) нахождение числа исходов испытания, благоприятствующих появлению событий А; В;

3) отыскание числа исходов испытания, благоприятствующих появлению события А+В.

Полная аналогия доказательства теоремы с решением задачи позволяет учащимся самостоятельно ее доказать. Можно предложить специальную запись доказательства в виде таблицы, клетки которой заполняются учащимися.

n — число всех исходов испытания.

Р(А+В) =Р(А) +Р(В)

События Число исходов испытания, благоприятствующих появлению события Вероятность события
А m mn
B K kn
A+B m+k m+kn

Важно, чтобы ученики видели необходимость обоснования шагов доказательства и умели это делать, ссылаясь на определение несовместных событий и классическое определение вероятности.

После доказательства теоремы целесообразно дать геометрическую интерпретацию выведенной формулы и пояснить: m,n,k – величины площадей нарисованных фигур.

В тетрадях учащимся рекомендуется зафиксировать правило, которое выражается последним равенством и может быть распространено на любое конечное число попарно несовместных событий: вероятность объединение попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

+

Для закрепления этой формулы ученикам предлагается решить ряд задач.

Задача 2. в лотерее выпущено 10000билетов и установлено: 10 выигрышей по 200рублей, 100выигрышей по 100рублей, 500-по 25рублей и 1000 выигрышей по 5рублей. Гражданин купил один билет. Какова вероятность того, что он выиграет не меньше 25рублей?

Решение задачи предполагается учащимися оформить в таблицу, с целью формирования навыка решать задачи по алгоритму.

Алгоритм Конкретное соответствующие задание заданному алгоритму
Ввести обозначение для заданных величин А-выигрыш не менее 25рублей
А1-выигрыш равен 25рублям
А2-выигрыш равен 100рублям
А3-выигрыш равен 200рублям
Подобрать формулу

Т. к. куплен один билет, то А+А1UA2UA3

Где события А1, А2, А3 попарно несовместимы, поэтому

Р(А) =Р(А1UA2UA3) =P(A1) +P(A2) +P(A3)

P(A1) =0.05; P(A2) =0.01; P(A3) =0.001

P(A) =0.05+0.01+0.001=0.061

Ответ 0,061

С целью выявления разнообразных способов решение задач на применение теоремы сложения вероятностей событий предлагаем рассмотреть следующие задачи:

Задача 3. Бросают две монеты. Чему равна вероятность появления хотя бы одного герба?

Решая эту задачу по известной схеме учащиеся приходят к выводу, что формула Р(АUB) =P(A) +P(B) не применима, т. к. события в этом испытании совместны.

Для решения сложившийся ситуации учителю рекомендуется предложить учащимся избрать другой путь решения, а именно:

1) обозначить событие с-«выпадение герба не состоялось»

2) найти вероятность этого события Р(С) =i

3) CUC-достоверное событие

4) Р(И) +Р(CUC) =P(C) +P(C) =1-по теореме 1.

5) Р(С) =1-Р(С) =1-14=34.

Таким образом, учащиеся с помощью учителя устанавливают связь между вероятностями противоположных событий: сумма вероятности двух противоположных событий равна единице.

Доказательство в общем виде учащимся предлагается выполнить самостоятельно, использовать для этого решение задачи.

С целью формирования умения решать задачи с помощью доказанной формулы предлагается решить задачу.

Задача 4. стрелок трижды стреляет по мишени. Вероятность попадания первого выстрела равна 0,4; второго 0,5; третьего 0,7. Какова вероятность того, что произошло хотя бы одно попадание.

Изучение теории о вероятности объединения совместных событий целесообразно провести следующим образом.

Пусть m-число равновозможных элементарных событий, благоприятствующие событию В. Среди m+k событий содержится в таких, которые благоприятствуют и событию А, и событию В. Если n-общее число равновозможных элементарных событий, то учащиеся без труда по классическому определению вероятности найдут:

Р(А) =mn, P(B) =kn, P(A∩B) =Ln.

Ученикам необходимо пояснить, что запись AUB означает: «произойдет или событие А, или событие В, или и то и другое вместе» и что такому событию благоприятствуют (m+k-L) поэтому P(AUB) =m+k-Ln=mn+kn-Ln Подставляя значения получим:

P(AUB) =P(A) +P(B) — P(A∩B)

Школьники должны понять, что эта формула представляет собой обобщение формулы Р(AUB) =P(A) +P(B)

Зафиксировав доказательство теоремы в тетрадь целесообразно дать геометрическую интерпретацию полученной формулы.

Р(AUB) =

Где m,k,L,n — величины площадей изображенных фигур.

Вернемся к задаче 3 и решим ее, пользуясь теоремой о вероятности объединения совместных событий.

Будем продолжать работать по алгоритму.

Алгоритм Конкретное соответствие задания заданному алгоритму
Ввести обозначения для заданных величин А-появление герба при подбрасывании монеты;
В-появление герба при подбрасывании второй монеты. Найти С=AUB
Подобрать формулу

Т. к. АиВ — совместные события, то Р(С) =Р(AUB) =P(A) +P(B) — P(A ∩B)

P(A) =12,P(B) =12,P(A∩B) =14

P(C) =12+12-14=34

Ответ 34

Для того, чтобы показать, что доказанная теорема справедлива не только для двух совместных событий можно предложить следующие задание.

Задача 5. А, В, С-совместные события. Доказать Р(АUBUC) =P(A) — P(B) — P(C) — P(A∩B) — P(A∩C) — P(B∩C) +P(A∩B∩C)

Это задание способствует формированию умений учащихся доказывать вероятностные формулы.

Предлагаем систему задач, основной функцией которой является иллюстрация и закрепление положений теорий (теория о сумме вероятностей совместных событий).

I. (на применении теоремы о вероятности суммы не совместных событий).

1. в урне 30шаров: 10красных, 5синих, 15белых. найти вероятность появления цветного шара.

2. Стрелок стрелял по мишени, разделенной на три области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую 0,25. найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую.

3. Консультационный пункт института получает пакеты С контрольными работами из городов А, В, С. Вероятность получения пакета из города А 0,7; из города В 0,2. найти вероятность того, сто очередной пакет будет получен из города С.

II. (на применение теоремы о вероятности противоположного события)

1. вероятность того, что день будет дождливый р равна 0,7. найти вероятность того, что день будет ясным.

2. в денежно-вещевой лотереи на каждые 10 000 билетов разыгрываются 150вещевых и 50денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета?

3. берется на удачу трехзначное натуральное число от 100 до 999. какова вероятность того, что хотя бы две его цифры совпадают?

III. (на применение теоремы о вероятности суммы событий, которые могут быть совместными)

1. вероятность попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р1=0,7; р2=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обеих орудий) двух орудий.

2. подбрасываются две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба?

После изучения теорем о вероятности суммы событий учащиеся должны уметь: вычислять вероятность случайного события, используя правила вычисления вероятностей одних событий по известным вероятностям других событий, с ним связанных.

Для этого удобно пользоваться алгоритмом, который ученикам рекомендуется зафиксировать в тетрадь:

1. ввести обозначение для всех количеств. Присвоить имена событиям, участвующим в задании. Те вероятности, которые указаны в задаче явно, сразу выписать (если доля задана в процентах – заданные проценты поделить на 100).

2. те вероятности, которые заданы не в явном виде сосчитать и выписать.

Указание к шагу.

Считать вероятности по следующим правилам.

А) если задано общее число исходов n и число благоприятных событию А исходов m (или их можно сосчитать), то Р(А) =mn;

Б) если все возможные исходы можно изобразить с помощью геометрической фигуры (отрезок, круг, полоса — полное пространство событий Ω), то нарисовать ее, а внутри нее нарисовать фигуру, соответствующую исходам, благоприятным событию А, вычислить площади фигур А и Ω, сосчитать отношение этих фигур P(А) =S(A) S(Ω);

В) если по заданным в задаче вероятностям надо сосчитать вероятность еще одного события (С), то надо выписывать формулу связи этого события с теми событиями, вероятность которых известны. (А, В,…). После этого воспользоваться формулами: С=А=>Р(С) =1-Р(А);

С=А+В=>Р(С) =Р(А) +Р(В) — Р(А*В).

Для закрепления этого алгоритма в системе задач, следует предусмотреть задачи, связанные с геометрическим определением вероятности. Примером такой задачи может быть следующая.

Задача 6. в квадрате находится другой квадрат, сторона которого вдвое меньше. Найти вероятность того, что точка брошенная в квадрат так, что любое ее положение в квадрате – равновозможное, окажется внутри второго квадрата.

Согласно алгоритму, учащийся должен выполнить рисунок и заполнить таблицу, подобрав к алгоритму конкретное содержание.

А

Алгоритм Конкретное соответствие задания заданному алгоритму
Ввести обозначения для заданных величин а-длинна стороны квадрата;
а/2-длина стороны второго квадрата;
S(Ω) — площадь квадрата;
S(A) — площадь внутреннего квадрата;

А-точка попала во внутренний квадрат;

S(Ω) =а І, S(A) =aІ4, найти Р(А)?

Подобрать формулу Р(А) =S(A) S(Ω) = aІ4 aІ=14=0.25
Ответ 0,25

На контрольно-коррекционном этапе изучения теорем о вероятности суммы независимых событий считаем возможным предложить самостоятельную работу, с целью проверки умения учащихся применять изученные формулы в конкретных ситуациях, атак же для выявления пробелов в знаниях.

Перед самостоятельной работой целесообразно провести устную работу с целью повторения правила сложения вероятностей событий и основных формул.

Обсуждение следует сориентировать:

· на выяснение правила сложения вероятности несовместных событий;

· на определение несовместных событий, с приведением учениками достаточного числа примеров;

· на выяснение обобщенного правила сложения вероятностей;

· на выяснение символической записи правила сложения вероятностей 2,3-несовместных (совместных) событий;

· на выяснение формулы выражающей связь между вероятностями противоположных событий;

Содержание самостоятельной работы может быть следующим:

· на военных учениях летчик получил задание «уничтожить» 3рядом расположенных склада боеприпасов противника. На борту самолета одна бомба. Вероятность попадания в первый склад примерно равна 0,01, во второй 0,008, в третий 0,025.

Любое попадание в результате детонации вызывает взрыв и остальных складов. Какова вероятность того, что склады противника будут уничтожены?

подбрасывается игральная кость. Чему равна вероятность того, что на гранях выпадет 4и6 очков.

найти вероятность того, что брошенная в квадрат точка окажется внутри вписанного в этот квадрат круга, если ее любое положение в квадрате является равновозможным.

бросают две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одной цифры.

Цель задания 3: выявить способности учащихся решать задачи, в которых события описываются с помощью геометрических фигур.

Цель задания 4: выявление пробелов в знании формулы сложения двух несовместных событий.

П.4. Условная вероятность. Формула умножения

Изучению формулы умножения следует предварить беседу о зависимости одного события от другого, и об условной вероятности. Это можно осуществить на опыте: из ящика в котором 5белых и 3черных шара, наугад вынимают последовательно один за другим два шара. Какова вероятность вынуть второй шар белый?

Проводя опыт, учащиеся сталкиваются с двумя ситуациями: когда вероятность вынуть второй шар белый зависит от того, вынут в первый раз шар белый или черный.

Следует пояснить учащимся, что в таком случае будем говорить, что одно событие зависит от другого, а вероятность появления зависимого события условная.

Пусть событие В зависит от события А. Уловную вероятность появления события В, если событие А произошло, будем обозначать Р(В/А). и в дальнейшем встречаясь с такой записью, учащиеся без труда должны узнавать и понимать, что речь идет о вероятности события В, если произошло событие А.

При выведении формулы умножения вероятностей можно воспользоваться рисунком.

Событию А благоприятствуют m событий, событию В благоприятствуют k событий, событию А∩В благоприятствуют r событий.

Если событие А произошло, то событию В благоприятствуют r и только r событий Ai, благоприятствующих А∩В.

Р(В/А) =rm=rn ч mn=P(A∩B) P(A);

По аналогии формулу Р(А/В) учащиеся могут ввести самостоятельно

Р(А/В) =rk=rn ч kn=P(A∩B) P(B)

На основании этих формул делаем вывод: P(A∩B) =Р(В) *Р(А/В) =Р(А) *Р(В/А).

Учащимся следует обратить внимание на то, что выведенное правило умножения имеет место лишь в том случае, если имеют смысл события А/В и В/А. А они имеют смысл тогда, когда события А и В совместны.

На формирование умений у учащихся решать задачи с применением правила умножения вероятностей предлагается решить ряд задач.

1. из колоды в 32карты наугад одну за другой вынимают две карты. Найти вероятность того, что:

— вытянуты два валета;

— вытянуты две карты пиковой масти;

— вытянуты валет и дама;

2. в ящике 5 белых и 7 черных шаров. Последовательно вынимаем два шара. Какова вероятность того, что они оба белые?

3. имеется 3ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наугад вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все 3 вынутые детали окажутся стандартными.

§4. Описание опытной работы

В качестве основной цели опытно — экспериментальной работы была представлена апробация предложенных методических рекомендаций по изучению основных теоретико-вероятностных вопросов в школьном курсе математики в классах с углубленным изучением математике.

Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач:

— разработать содержание цикла уроков по теории вероятностей;

— проверить целесообразность разработанных методических рекомендаций.

Основная гипотеза опытной работы: включение элементов в теории вероятностей в математическую подготовку учащихся способствует общему повышению интеллектуального уровня учащихся и качества их математической подготовки.

При проведении опытной работы мы пользовались следующими методами:

— наблюдение за процессом усвоения знаний учащимися;

— беседы с учителем математики этого класса и учениками;

— проведение диагностической контрольной работы;

количественная и качественная обработка полученных данных.

Эксперимент был проведен в Татьяновской средней школе Благовещенского района Алтайского края в 11 классе.

В классе 20 учащихся. Из них 5 имеют высокий уровень подготовки, материал усваивается ими без пробелов в знаниях; трое имеют низкий уровень подготовки, усвоение материала или происходят с большими трудностями; остальные учащиеся занимаются хорошо.

Ребята легко вступают в контакт с педагогом, проявляют интерес к получению знаний, охотно помогают учителю в подготовке и проведении занятий.

Учащиеся занимаются на повышенном уровне обучения математике. Для хорошо подготовленных учащихся учитель предусматривает индивидуальные задания, а со слабыми, занимается дополнительно.

При обучении учащихся математике учитель использует методы проблемного обучения, эмпирические методы (наблюдение, опыт, измерение), метод сравнения и аналогии. Часто на уроках педагог организует самостоятельную работу и придерживается индивидуализации в обучении.

Было проведено семь уроков. Ниже представлены основные содержательные компоненты теоретического материала темы, изученные на уроках;

— виды событий (достоверные, невозможные, случайные);

— вероятностное пространство;

— классическое определение вероятности;

— определение события;

— вероятность события;

— теоремы о сумме и произведений вероятности событий.

Дидактический процесс был ориентирован на усвоение выделенных теоретических основ и на формирования навыка решения типовых задач, представленных в Гл II §2.

Проектирование процесса обучения осуществлялось в направлении реализации следующих методических положений:

— в начале изучения теории вероятностей рассмотрение основ теории, поиск решения задач целесообразно предварить постановкой опытов;

— формулировка определений основных теоретико-вероятностных понятий, формулы сложения и умножения вероятностей полезно, наряду с символической записью, представлять в виде наглядных схем;

— решение систем задач определенного типа важно обобщать выделением алгоритма. Дальнейшее решение задач проводится в рамках принятого алгоритма с определенной формой записи решения;

— предварительное решение специально подобранных задач способствует самостоятельному открытию учащимися теорем, их формулировок, выявлению способа доказательства теорем и проведению доказательства;

— целесообразно использование различных форм проведения учебных занятий: лекций, уроков-практикумов и других.

На первом уроке проведенном в форме беседы с учащимися, были выделены 3 класса событий: достоверные, невозможные, случайные. Ребята с интересом приняли участие в беседе: приводили примеры событий, классифицировали предложенные учителем события, выделяли их в группы. На этом же уроке были представлены заранее подготовленные сообщения учеников на темы: «теория вероятностей как наука», «применение теории вероятностей». Было введено понятие вероятностного пространства. С целью подготовки введения этого понятия был проведен опыт, описанный в Гл II. §3.

По окончанию опыта ребята сами выдвигали гипотезу о возможных множествах вероятностного пространства одного и того же испытания. Урок был интересен учащимся, так как работа была нетрадиционной; каждому ученику, была дана возможность лично убедится, в справедливости теоретических фактов.

На втором уроке было рассмотрено классическое определение вероятности события. Урок был проведен в форме лекции, содержание которой составил материал, представленный в Гл. I. §5.

На уроке был выявлен алгоритм решения задач по классическому определению вероятности. Очень продуктивной оказалась работа по геометрическому представлению формулы нахождения вероятности события по классическому определению, что помогло учащимся хорошо ее запомнить. Дальнейшее аналогичное интерпретирование теоретического материала позволяет учащимся систематизировать свои знания по теории вероятностей и успешно применять их при решении задач.

Третий урок был посвящен решению задач по классическому определению вероятности. Дидактический материал представлен в Гл II. § 3.

На четвертом и пятом уроках были изучены теоремы о сумме и произведении вероятности событий. При проведении этих уроков были использованы дидактические материалы, представленные в Гл II. § 3.

На шестом уроке рассматривались решения задач на применение теории суммы и произведения вероятностей событий, дидактический материал для которого представлен в Гл II. § 3.

На последнем седьмом уроке была проведена разработанная контрольная работа, представленная в приложении, с целью проверки качества знаний учащихся по теме «элементы теории вероятностей».

Задания первого и второго уровней были предложены с целью проверки знаний формул теорем о сумме и произведении вероятностей событий.

Задание третьего уровня преследует цель анализа знаний по классификации событий на достоверные, невозможные и случайные.

Задание четвертого уровня направлено на проверку умения решать задачи по классическому определению вероятности.

Большинство учащихся (57%) справилось с работой на «отлично», 32% — «на хорошо», остальные 11% — «на удовлетворительно».

Анализируя результаты работы учеников, можно сделать вывод, что большая часть учащихся усвоила основные теоретико-вероятностные вопросы и умеет решать задачи с применением классического определения вероятности.

Такие результаты возможно связанны с применением в процессе обучения разработанных методических рекомендаций.

Заключение

На основе проведенного анализа психолого-педагогической и методической литературы, а так же проведенной опытно-экспериментальной работой можно сделать выводы.

1. Основной целью изучения темы «элементы теории вероятностей» в классах с углубленным изучением математики как дедуктивной системе знаний; систематизация некоторых способов решения задач; создание условий для понимания основной идеи практической значимости теории вероятностей.

2. Анализ содержания темы элементы теории вероятностей различных учебных пособий, предназначенных для изучения в школе, позволяет в качестве основного предложить учебное пособие под редакцией Н.Я. Виленкина [5], материал в котором изложен на высокой ступени абстракции, дедуктивно; система задач, в котором полна.

3. При изучении теории вероятностей считаем целесообразным использование следующих методических рекомендаций:

— в начале изучения теории вероятностей рассмотрение основ теории, поиск решения задачи предварить постановкой опытов;

— формулировки определений основных теоретико-вероятностных вопросов, формулы сложения и умножения возможностей на ряду с символической записью, представлять в виде наглядных схем;

— решение систем задач определенного типа обобщать выделением алгоритма. Дальнейшее решение задач проводить в рамках принятого алгоритма с определенной формой записи решения;

— предварительно подбирать задачи, способствующие самостоятельному открытию учащимися теорем их формулировок, выявлению способа доказательства теорем и проведению доказательства;

— использовать различные формы проведения учебных занятий: лекций, уроков –практикумов и других.

Список использованной литературы

1. Баженов М.А. Из опыта преподавания теории вероятностей // Математика в школе, 1972 №2.

2. Вейц Б.Е. Элементы теории вероятностей и комбинаторика // Математика в школе, 1969 №1.

3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей – М.: Наука, 1964.

4. Виленкин Н.Я. Алгебра 9 – М.: Просвещение, 1999.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбург С.И. Алгебра и математический анализ 11 – М.: Просвещение, 1979.

6. Виленкин Н.Я., Потапов Задачник – практикум по теории вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики: учебное пособие для студентов физико-математических факультетов 4курса – М.: Просвещение, 1979.

7. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика – М.: Просвящение, 1988.

8. Гнеденко Б.В. Теория вероятностей и математическая статистика – М.: Просвещение, 1974.

9. Колмогоров А.Н. Теория вероятности и комбинаторика // Математика в школе 1968 №2, №3.

10. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей – М.: Наука, 1982.

11. Журбенко А.Н. Введение в теорию вероятностей и комбинаторику // Математика в школе, 1968 №2.

12. Колмогоров А.Н., Журбенко И.Г. Введение в теорию вероятностей – М.: Наука, 1982.

13. Колмогоров А.Н. Введение в теорию вероятностей и комбинаторику // Математика в школе, 1968.

14. Колягин М.Ю. и др. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики – М.: Просвещение, 1977.

15. Колягин Ю.М., Текан В. В о прикладной и практической направленности обучения математике // Математика в школе, 1985 №6.

16. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике. Теория вероятностей – М.: Просвещение, 1999.

17. Майстров Л.Е. Развитие понятия вероятности – М.: Наука, 1980.

18. Программа для школ (классов) с углубленным изучением математики – М.: Просвещение, 1994.

19. Савельев Л.Я. Комбинаторика и вероятность – М.: Наука, 1975.

20. Солодовников А.С. Теория вероятностей – М.: Просвещение, 1978.

Открытая

 Международная

 научно – исследовательская

конференция

 старшеклассников и студентов

 «Образование. Наука. Профессия»

Секция «Математика»

«Теория вероятности в нашей жизни»

Выполнила: Денисова Екатерина, ученица 11 класса

МОУ Кабановская СОШ

Руководитель: Золотарёва Валентина Викторовна,

 учитель математики

г. Отрадный

2012 год

Содержание

  1. Вступление. Миром правит случайность
  2. Основная часть
  1. История возникновение теории вероятности
  2. Основные понятия теории
  3. Задачи и примеры
  4. Прогнозирование результатов сдачи ЕГЭ по математики в 2012 году
  1. Заключение. Практическое применение теории вероятности
  1. Вступление. Миром правит случайность

«Теория вероятностей есть в сущности

 не что иное, как здравый смысл, сведенной к исчислению»

      Лаплас

   С первого взгляда может показаться, что никаких законов, управляющих  явлениями в нашей жизни нет и быть не может. Однако, если разобраться, случайные явления происходят не так уж хаотически. Во многих случаях обнаруживаются закономерности. Эти закономерности не похожи на обычные законы физических явлений; они весьма разнообразны. Так, каждому из нас каждый день приходиться принимать множество решений в условиях неопределенности. Однако эту неопределенность можно «превратить» в некоторую определенность. И тогда это знание может оказать существенную помощь при принятии решения.

У каждого «случайного» события есть четкая вероятность его наступления.

В стабильной системе вероятность наступления событий сохраняется из год в год. То есть, с точки зрения человека с ним произошло случайное событие. А с точки зрения системы, оно было предопределенно.

Разумный человек должен стремиться мыслить, исходя из законов вероятностей (статистики). Но в жизни о вероятности мало кто думает. Решения принимаются эмоционально.

Люди боятся летать самолетами. А между тем, самое опасное в полете на самолете — это дорога в аэропорт на автомобиле. Но попробуй кому-то объяснить, что машина опасней самолета.

По исследованиям: в США в первые 3 месяца после терактов 11 сентября 2001 года погибло еще одна тысяч людей… косвенно. Они в страхе перестали летать самолетами и начали передвигаться по стране на автомобилях. А так как это опасней, то количество смертей возросло.

Миром правит вероятность и нужно помнить об этом.

II.Основная часть

  1. История возникновение теории вероятности

Слово «вероятность», синонимом которого является, например, слово «шанс» достаточно часто применяется в повседневной жизни. Думаю, каждому знакомы фразы: «Завтра, вероятно, выпадет снег», или «вероятнее всего в выходные я поеду на природу», или «это просто невероятно», или «есть шанс получить зачет автоматом». Такого рода фразы на интуитивном уровне оценивают вероятность того, что произойдет некоторое случайное событие.

Исходы многих явлений невозможно предсказать заранее, какой бы полной информацией мы о них не располагали.  Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет брошенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону.

Такие непредсказуемые явления называются случайными.

Теория вероятностей оформилась в самостоятельную науку относительно не давно, хотя история теории вероятностей началась еще в античности. Так, Лукреций, Демокрит, Кар и еще некоторые ученые древней Греции в своих рассуждениях говорили о равновероятностных исходах такого события, как возможность того, что вся материя состоит из молекул. Таким образом, понятие вероятности использовалось на интуитивном уровне, но оно не было выделено в новую категорию. Тем не менее, античные ученые заложили прекрасный фундамент для возникновения этого научного понятия. В средние века, можно сказать, и зародилась теория вероятности, когда были приняты первые попытки математического анализа, таких азартных игр как кости, орлянка, рулетка.   В археологических раскопках специально обработанные для игры кости животных встречаются, начиная с  V века до н.э. Самый древний игральный кубик найден в Северном Ираке и относится к IV тысячелетию       до н.э.  Люди, многократно следившие за бросанием игральных костей, замечали некоторые закономерности, управляющие этой игрой.

Результаты этих наблюдений формулировались как «Золотые правила» и были  известны многим игрокам.

Одна из самых знаменитых задач, способствовавших развитию теории вероятностей, была задача о разделе ставки, помещенная в книге Луки Паччиоли (1445- ок.1514).

Книга называлась «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношении и пропорции» и была опубликована в Венеции в 1494 году.

Следующим человеком, который внес значительный вклад в осмысление законов, управляющих случаем, был Галилео Галилей (1564 -1642).

Именно он заметил, что результаты измерений носят случайный характер.

Первые научные работы по теории вероятностей появились в 17 веке. Когда такие ученые как Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли некоторые закономерности, которые возникают при бросании костей. В ту же пору к данному вопросу проявлял интерес еще один ученый Христиан Гюйгенс. Он в 1657 в своей работе ввел следующие понятия теории вероятностей: понятие вероятности как величины шанса или возможности; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса, а также теоремы сложения и умножения вероятностей, которые правда не были сформулированы в явном виде.  Тогда же теория вероятностей стала находить сферы своего применения – демографию, страховое дело, оценку ошибок наблюдений.

Но как математическая наука теории вероятностей начинается с работы выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли (1654 -1705) «Искусство предположений».

В этом трактате доказано ряд теорем, в том числе и самая известная теорема «Закон больших чисел»

Самый существенный вклад в заложение основ теории внес Колмогоров А.Н.

На сегодняшний день теории вероятностей это самостоятельная наука, имеющая огромную сферу применения.

  1. Основные понятия теории

Возьмем, к примеру, игру в монету. При бросании может быть два равновероятных исхода: монета может упасть кверху гербом или решкой. Бросая монету один раз нельзя предугадать, какая сторона окажется сверху. Однако, бросив монету 100 раз, можно сделать выводы. Можно заранее сказать, что герб выпадет не 1 и не 2 раза, а больше, но и не 99 и не 98 раз, а меньше. Число выпадений герба будет близко к 50. На самом деле, и на опыте можно в этом убедиться, что это число будет заключено между 40 и 60.

Так же статистически установлено, что на 1000 детей приходится 511 мальчиков и 489 девочек (т.е. 48,9% и 51,1% соответственно). Эта информация позволяет нам с большой точностью предсказывать вероятность количества мальчиков или девочек в тот или иной год (эти расчеты, например, используются призывной комиссией).

  • Предметом исследования в теории вероятностей являются события, появляющиеся при определенных условиях, которые можно воспроизводить неограниченное количество раз.
  • Каждое осуществление этих условий называют испытанием

Примеры испытаний:  бросание игральной кости, взвешивание тела на аналитических весах

Примеры событий:   выпадение шестерки или выпадение четного числа очков, ошибка измерения не превзойдет заранее заданного числа

Степень объективной возможности случайного события можно измерять числом.

Это число называется вероятностью случайного события. 

Около этого числа группируются относительные частоты данного случайного события

Событие называется   достоверным, если оно наступает всегда, при любом испытании.

   Вероятность достоверного события всегда равна 1.

Примеры достоверных событий

  1. На игральном кубике выпадет меньше семи очков;
  2. После лета наступит осень.

Событие называют  невозможным, если  оно не наступает никогда, то есть благоприятных исходов для него 0.

   Вероятность невозможного события равна 0 .

Примеры невозможных событий

     1.   Падение монеты на ребро

  1. Выпадение на игральной кости семерки

Событие называется случайным, если при одних и тех же условиях оно может как произойти, так и не произойти.

 Примеры случайных событий

  1. Выпадение на игральном кубике четного числа очков;
  2. Выпадение орла при бросании монеты;
  3. Выигрышное сочетание чисел на карточках русского лото.

Объединением событий A и B называется событие, состоящее в том, что в результате опыта произошло хотя бы одно из этих событий (т.е. ).

Пересечением событий A и B называется событие, состоящее в том, что в результате опыта произошли оба из этих событий (т.е. ).

События A и B называются несовместными, если они не могут наступить одновременно, или, на языке множеств, AB = .

Примеры несовместных событий

  1. При бросании двух кубиков выпадение нечетной суммы очков и равных чисел на обоих кубиках;
  2. Из короба с разноцветными шарами вытащить 2 шара. Несовместными будут события: оба шара красные и оба шара синие.

События A и B называются независимыми, если вероятность их произведения равна произведению их вероятностей: P(AB) = P(A)P(B).

      Примеры независимых событий

  1. На обоих  кубах выпадет шестерка;
  2. При подбрасывании  двух монет выпадут два орла;
  3. При вытаскивании двух шаров из урны оба шара будут красными.

   С каждым событием A связано противоположное событие, состоящее в том, что событие A не осуществляется.

Противоположные события, очевидно, несовместны.

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1

Примеры противоположных событий

  1. На кубике выпадет четное число и на кубике выпадет нечетное число;
  2. Монета упала орлом вверх и монета упала вверх решкой;
  3. Лампа горит и лампа не горит.

Событие A благоприятствует событию B, если из того, что произошло событие A следует событие B. (т.е. )

    Условной вероятностью события В при условии А называют отношение

Закон больших чисел.

Пусть K раз мы проделали испытания, и N раз в результате опыта произошло событие A. Тогда число  будет называться частотой появления события А.

Всегда можно выбрать достаточно большое N, чтобы выполнялось соотношение:

где (ипсилон) — сколь угодно малое положительное неравное нулю число.

Это значит, что при достаточно большом количестве испытаний частота появления того или иного события будет сколь угодно мало отличаться от нуля.

Это соотношение дает возможность устанавливать опытным путем с достаточно хорошим приближением вероятность неизвестного нам события.

           3. Задачи и примеры.

Первые расчеты вероятностей событий начались еще в XVII веке с подсчета шансов игроков в азартных играх. В первую очередь это была игра в кости.

Задача 1.

Бросили кость. Какова вероятность того, что выпало число 5?

Решение.

Всего существует 6 вариантов выпадения кости (n = 6). Все эти варианты равновероятны, т.к. кость сделана так, что у всех сторон есть одинаковые шансы оказаться сверху, следовательно, m = 1; значит

Где Р(5) – вероятность выпадения пятерки.

Задача 2.

Какова вероятность того, что при бросании выпадет четное число очков?

Решение.

Благоприятных возможностей здесь три: 2; 4; 6. Поэтому m = 3, всего исходов 6 (n = 6), следовательно

Где P(четн.) – вероятность выпадения четного номера.

Задача 3.

Бросили 2 игральные кости и подсчитали сумму выпавших очков. Что вероятней – получить в сумме 7 или 8?

Решение.

Нас интересуют события  A = «выпало 7 очков» и B = «выпало 8 очков». Число всех возможных исходов n = 62 = 36 (каждое из 6 очков на белой кости может сочетаться с любым из 6 очков на черной кости). Из этих 36 исходов событию  A будут благоприятствовать исходы: (1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1), т.е. всего 6 (m = 6). По формуле имеем:

Событию B будут благоприятствовать исходы: (2;6); (3;5); (4;4); (5;3); (6;2), т.е. всего 5. По формуле, имеем:

, следовательно, получить в сумме 7 очков – более вероятное событие, чем получить 8.

Эта задача впервые была решена игроками в кости, и уже потом – решена математически. Она стала одной из первых, при обсуждении которых начала складываться Теория.

Определение: Два события А и В называются независимыми, если выполняется равенство:

Задача 4.

Два охотника независимо друг от друга одновременно стреляют по зайцу. Заяц будет убит, если попали оба. Какие у зайца шансы выжить, если первый охотник попадает с вероятностью 0,8, а второй с вероятностью 0,75?

Решение.

Рассмотрим два события: А = «в зайца попал 1-й охотник» и В = «в зайца попал 2-й охотник». Нас интересует событие  (т.е. произошло и событие A и событие В). В силу независимости событий, имеем:

Это значит, что в 6 случаях из 10 зайца пристрелят.

Задача 5.

Один французский рыцарь, де Мере, был страстным игроком в кости. Он всячески старался разбогатеть и придумывал для этого разные усложненные правила.

Он, в частности, придумал такие правила: бросают 4 кости и он бьется об заклад, что хотя бы на одной выпадет 6. Он считал, что в большей части случаев он останется в выигрыше. Чтобы подтвердить это, он обратился к своему старому знакомому – Блезу Паскалю с просьбой рассчитать, какова вероятность выигрыша в этой игре.

Приведем расчет Паскаля.

При каждом отдельном бросании вероятность события A = «выпала  шестерка» =  . Вероятность события B = «не выпала шестерка» = . Кубики не зависят друг от друга, следовательно, по формуле

вероятность того, что шестерка не выпадет два раза подряд, составляет

Точно так же показывается, что при трехкратном бросании вероятность невыпадения 6 составляет

А при четырехкратном –

А , следовательно, вероятность выигрыша . Значит, при каждой игре больше половины шансов было за то, что де Мере выиграет; при многократном повторении игры он наверняка оставался в выигрыше.

Резонно поставить вопрос, какой должна быть вероятность события, чтобы можно было считать его достоверным? Известно, что примерно 5% назначенных концертов отменяется, однако это не мешает нам покупать билеты. Но если бы 5% самолетов разбивались, то вряд ли бы кто-нибудь стал пользоваться воздушным транспортом.

III.Заключение. Практическое применение теории вероятности

Однако уже в конце XVII в. начали пользоваться Теорией при страховании кораблей, т.е. начали подсчитывать, сколько шансов на то, что корабль вернется в порт невредимым, не будет потоплен бурей, что груз не подмокнет, что он не будет захвачен пиратами и т.д. Такой расчет позволял определять, какую страховую сумму следует выплачивать и какой страховой взнос брать, чтобы это было выгодно для компании.

В первой половине XVIII в. для теории много сделал Яков Бернулли – член Российской Академии наук. Следует отметить труды С. Лапласа, С. Пуассона, К. Гаусса.

При всем при том, в течение второй половины XVIII в. Теория в известном смысле «топталась на месте». В то время была еще не ясна связь между различными явлениями в жизни и наукой о массовых явлениях. В середине XIX в. большой сдвиг в развитии Теории сделал русский математик П. Чебышев. Внесли большой вклад Марков, Ляпунов, Бернштейн, Колмогоров.

Теория сыграла большую практическую роль во Второй Мировой войне. Приведем пример из военной области. Понятно, что очень трудно сбить самолет одним выстрелом из винтовки. Ведь стрелок должен не только попасть в самолет, но поразить самое уязвимое место, например топливный бак. Поэтому вероятность того, что один стрелок собьет винтовкой самолет, ничтожна. Совсем другое дело – массовый обстрел. Если предположить, что вероятность сбить самолет одной винтовкой равна 0,004; соответственно, вероятность промаха – 0,996. Теперь предположим, что стреляют 500 стрелков; как мы доказали выше, вероятность промаха составляет

Таким образом, вероятность сбить самолет одним залпом равна 0,86. А если есть возможность произвести 2 – 3 залпа, то шансы у самолета уцелеть близки к нулю.

Так же Теория позволяла определять районы, в которых имели смысл поиски самолетов и подводных лодок или указывать пути, чтобы избежать встречи с ними. Типичной здесь является задача о том, как выгоднее вести караваны торговых судов по океану, в котором действуют вражеские подлодки. Если организовывать караваны из большого числа судов, то можно будет обойтись меньшим числом рейдов, но и возможные потери при встрече с флотом врага будут больше. Теория помогла рассчитать оптимальные размеры караванов и частоту их отправления. Задач такого рода возникало немало, поэтому при штабах организовывались специальные группы, занимающиеся расчетами вероятностей. После войны подобные расчеты стали применяться к хозяйственным вопросам мирного времени. Они составляли содержание нового большого направления, названного исследованием операций, которое оформляется в целую науку.

Множество людей начиная играть в рулетку, вспоминают о том, что они когда-то слышали о теории вероятности.

К сожалению, вся эта «теория вероятности» не поможет при игре в рулетку, а только причинит вред.

Что из этого следует — только то, что использовать вероятности можно при неограниченном увеличении числа повторений опыта. Когда же мы играем в рулетку, мы имеем достаточно ограниченное число повторений опыта (вращений колеса рулетки). Для неограниченном увеличении числа опытов, у нас нет в запасе неограниченного количества денег и времени.

Оглавление

Введение

Теория
вероятности

Заключение

Литература

Введение

Цель работы: донести до слушателя основные сведения об этой теории, показать, как
правильно производить расчёты, как нужно рассуждать при решении задачи.

Задачи
работы:
рассказать о
принципах теории, формулах вычисления вероятностей, интересных фактах и
практическом применении.

Проблемные вопросы:

·                  
Чем занимается теория
вероятностей?

·                  
Каковы её основные
принципы?

·                  
С какими другими разделами
математики граничит?

·                  
Где она применяется?

Актуальность
исследования
состоит в
том, что теория вероятностей имеет практическое применение, в некоторых случаях
может встретиться в обыденных ситуациях, таких как участие в лотерее, розыгрыш
призов и пр.

Объект исследования: теория вероятностей как раздел математики.

Методы
исследования:
просмотр
сайтов в Интернете, чтение книги, применение собственных знаний, полученных
ранее.

Теория
вероятности

Определение

Теория вероятностей –
один из
разделов математики, изучающий закономерности
случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и
операции над ними.

История

Возникновение теории
вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического
анализа азартных игр, таких как кости, рулетка и др.

Исследуя
прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер
Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при
бросании костей. Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов
решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с перепиской
Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл
самостоятельно. Также важный вклад в развитие теории вероятностей внесли Якоб
Бернулли, Пьер-Симон Лаплас, Симеон Пуассон и некоторые другие. В результате
теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала
восприниматься как один из разделов математики.

Simeon Poisson.jpgPierre-Simon, marquis de Laplace (1745-1827) - Guérin.jpg

Надпись:              Якоб Бернулли                                   Пьер-Симон Лаплас                                  Симеон Пуассон
27 декабря 1654 - 16 августа 1705         23 марта 1749 — 5 марта 1827         21 июня 1781, — 25 апреля 1840

Суть этого раздела математики

Теория вероятностей
в общем виде показывает, каковы шансы определенного случая (на математическом
языке такие случаи называются благоприятными исходами). Например, у нас
есть монета с орлом и решкой. Какова вероятность того, что, подкинув монету, выпадет
орёл? Очевидно, что ½. А какова вероятность того, что выпадет решка? Опять же,
½. Как видим, шансы выпадения орла и решки равны. В таком случае говорят, что
события равновероятны. В общем виде равновероятными событиями называются
такие события, которые могут случиться с одинаковой вероятностью. Вот еще
пример: игральная кость. Если она является правильной фигурой, и её грани
отличаются лишь количеством очков, то вероятность выпадения любого числа равна
1/6.

Я провёл эксперимент.
С помощью Интернет-программы (ссылка на сайт будет в разделе «Источники
информации») смоделировал бросок монеты сначала 10, потом 100, и, наконец, 1000
раз.

Стоимость монеты 2003 года 1 рубль

Результаты
представлены в таблице:

Количество бросков

Количество выпавших решек

Количество выпавших орлов

Процентное соотношение решек ко всем броскам

Процентное соотношение орлов ко всем броскам

10

4

6

40%

60%

100

54

46

54%

46%

1000

492

508

49,2%

50,8%


Как мы знаем, ½ = 50%. Из таблицы видно, что с бОльшим числом бросков отношение
выпавших решек и орлов к общему количеству бросков стремится к
50%, то есть к ½.

Из этого
эксперимента можно сделать несколько выводов: во-первых, в некоторых случаях,
когда это возможно, наши предположения о вероятностях можно проверить
практическим путём. Во-вторых, с увеличением количества проводимых опытов
вероятность становится очень близкой к вычисленной. Последний вывод лежит в
основе закона больших чисел. В «идеале» вычисленная вероятность и
практическая должны быть равны, но быть уверенным полностью в этом можно тогда,
когда опыт будет проводиться бесконечное число раз, что в реальной жизни
невозможно. Поэтому, вычисленную вероятность можно назвать как бы «эталоном», к
которому стремятся результаты подобных экспериментов.

Комбинаторика и формулы

Определение
комбинаторики как раздела математики довольно трудное для понимания, поэтому
приведу несколько примеров, чтобы стало понятно, чем же она занимается. Также
разберём некоторые формулы, которые помогут нам в дальнейшем.

Пример 1. У нас есть 2 книги, назовём их А и В. Сколько
существует способов их размещения по порядку вертикально на пустой полке?
Очевидно, можно поставить сначала А, потом В. Или же сначала В, потом А. А еще
как-то можно? Нет, больше никак. Значит, существует 2 способа их размещения.   Идём
дальше.

Пример 2. У нас есть уже не 2, а три книги, А, В, и С.
Сколько же здесь существует способов размещения таким же образом? Чувствуется,
что уже посчитать будет немного труднее, но здесь еще можно перебрать разные
варианты. Получим число 6. Но математика все-таки точная наука, нужно как-то
посчитать «по-правильному». Да и не всегда можно таким интуитивным способом
посчитать: либо долго, либо трудно, или же вообще и то, и другое. Нужны
какие-то формулы, которые бы помогали нам вести подсчёт проще и быстрее. Но об
этом чуть позже.

Пример 3. В забеге участвуют 5 спортсменов. Сколько
существует вариантов первых пришедших к финишу троек? Будем считать, что
никакие 2 и более участников не пришли одновременно, и все дошли до финиша.

Надпись: Схема 1В данном случае для нас важен не столько САМ ответ, сколько понимание
решения задачи. Этот способ рассуждения применим и к прошлым задачам. Итак, 1
место может получить любой из 5 участников. 2 место – любой из оставшихся
4 (ведь не может один и тот же человек занять несколько мест!). 3 место – любой
из оставшихся 3. И вот здесь нужно применить формулу. Но прежде нужно
понять, почему мы применяем именно её, а не другую. Сделаем схематический
рисунок, называемый «деревом».

Посчитав количество
кружков в последнем столбце, получим число 60. Вроде бы и нашли метод
нахождения числа возможных вариантов, но этим методом трудно решить задачи с
большими числами. Если мы возьмём 10 участников, и попробуем найти возможные
пятёрки лучших, нам потребуется нарисовать такое дерево, которое либо займёт
много места, либо, если рисовать на обычном листочке, будет маленькое в
размерах, можно будет запутаться. Да и считать придётся много в последнем
столбце (всего-то 30240 «кружков»,    т.е. вариантов, получится!). Итак,
формула для     подсчета вариантов такова:

А = n1*n2*…*nk

Где А – искомое
число благоприятных исходов;
n1, n2, nk
количество возможных отдельных событий (под каждым множителем стоит отдельное
событие).

По формуле получаем: А (троек первых мест) =
5*4*3 = 60

В приведённых выше
примерах порядок участников на пьедестале имел значение. Нам было важно, кто
будет первым, вторым и третьим. Однако существуют ситуации, когда порядок
выбора не важен, и на эти ситуации тоже есть своя формула. Снова для начала
рассмотрим пример, затем – формулу.

Пример 4. В классе 15 учеников. Один из них, Петя,
имеет 10 одинаковых наклеек. Однажды он решил подарить по одной наклейке 10
своим одноклассникам. Сколько существует способов распределения наклеек между
детьми? Может показаться, что достаточно найти кол-во человек, которые могут
получить наклейки (их 14, Петя сам себе не подарит наклейку), и найти
количество способов по уже известной формуле: 14*13*12*11*10*9*8*7*6*5 =
3 632 428 800. Но нет! Способов гораздо меньше. Сравним задачу о
бегунах с этой задачей. В первом случае нам был важен ПОРЯДОК финиширования людей
(говоря математическим языком, размещения людей по местам). Здесь же нет
разницы, кто получит первую наклейку, кто получит вторую и т.д. Значит,
способов должно быть меньше, так как в эти 3 с лишним миллиарда входят и те
случаи, в которых люди, получившие наклейки, те же самые, отличие между этими
случаями только в порядке получения. Если сократить это число, получим
правильный ответ. Но как же это сделать? Достаточно посчитать, сколько
существует «порядков» из 10 человек, которые получат наклейки (что мы уже умеем
делать). После этого разделить на это произведение число, получившееся у нас в
результате «неверного» решения, а именно 3 632 428 800. Тем самым мы избавимся от одинаковых
«десятков» людей. Получаем следующее выражение: 14*13*12*…*5 / 10*9*8*…*1

Сократим числитель и
знаменатель, получим 14*13*12*11 / 4*3*2*1

Продолжим преобразование: 7*13*11 = 1001

Как видим, число
получилось намного меньше того, которое мы рассчитали вначале. Поэтому, следует
различать случаи в комбинаторике, которые называются РАЗМЕЩЕНИЯМИ и
СОЧЕТАНИЯМИ. Размещение требует учёта порядка каких-либо предметов (под этим
словом будем понимать элементы множества, множество же – совокупность
каких-либо предметов, объединённых общим свойством
); сочетание не требует
порядка. Как видно из прошлого примера, это очень важно понимать. А чтобы
выяснить, какой из этих случаев содержится в задаче, нужно просто немного
подумать, логически поразмышлять: нужно ли учитывать порядок или нет?

А теперь перейдём к
формуле. Приводить ещё один пример не стану, остановимся на этом.

В общем виде
выражение выглядит так: 14*13*12*…*5 / 10*9*8*…*1

В некоторых случаях
удобно использовать факториал – произведение всех натуральных чисел от 1
до
n включительно. Записывается факториал с помощью значка
восклицательного знака (!). Например, факториал числа 4 пишется так: 4!. Применим
это и к нашему выражению: 14*…*5/10!

Если мы посчитаем
количество множителей в числителе, то увидим, что это число равно числу,
записанному в знаменателе, если мы уберём значок факториала. Это и логично:
ведь в знаменателе мы и написали произведение всех чисел от 10 до 1, так как
это число показывало количество способов размещения наклеек среди 10 человек
(не среди класса, а в уже как бы отобранной «десятке»!). Запишем общую формулу
нахождения количества способов: С = А /
N!, где А – количество исходов ситуации с
учётом порядка,
N – количество множителей в числителе, т.е. множителей,
образующих произведение А.

Итак, чем же
занимается комбинаторика? Комбинаторика занимается вычислением (нахождением)
возможных исходов события. Это может помочь находить вероятности каких-либо
исходов.

Как подсчитать вероятность?

Для того чтобы найти
вероятность какого-либо случая, нужно тоже применять некоторые формулы. Но для
начала разберём свойства в теории вероятностей, принимаемые как аксиомы.

1) Любая
вероятность, принадлежащая данному множеству, больше либо равна 0.

2) Вероятность
достоверного события равна 1.

3) Для совокупности несовместных
событий из множества исходов случайного эксперимента справедливо следующее
равенство:

P (S1 или S2
илиили Sn …) = P (S1) + P (S2)
+ … + P (Sn),

где P (Sk) – вероятность какого-либо события, S1, S2, Sn – события какого-либо эксперимента.

Разберём эти
аксиомы.

Первая гласит о том,
что любая вероятность события либо равна 0, то есть событие невозможно, либо
больше 0, т.е. событие может случиться.

Вторая говорит о
том, что событие, которое произойдёт в абсолютно всех экспериментах, имеет
вероятность, равную 1.

Третья аксиома о
том, что вероятность некоторых несовместных событий (т.е. тех, которые не могут
случиться в одних и тех же экспериментах одновременно) можно определить как
сумму отдельных вероятностей этих событий. Например, вероятность того, что,
подбросив игральный кубик, выпадет либо 1 очко, либо 2 очка, равна сумме
отдельных вероятностей этих исходов:

P (1
или 2 очка) =
P (1 очко) + P (2 очка) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Исходя из этих
аксиом, можно найти и другие важные свойства:

1) Вероятность
какого-либо события равна 1 минус вероятность противоположного ему события:

P (Sa) = 1 — P (Sb),

где Sa
и Sb
– противоположные события.

2) Вероятность любого
события меньше либо равна 1, так как достоверное событие обладает наибольшей
вероятностью по определению, а оно равно 1.

3) Вероятность
невозможного события равна 0:

P (~ varnothing) = 0,

где ~ varnothing — невозможное
событие.

4) Для двух
произвольных событий определённого множества исходов какого-либо эксперимента
справедливо следующее равенство:

P (S1S2) = P (S1) + P (S2) — P (S1 S2),

где S1 и S2 – произвольные события, P (S1S2) – вероятность того, что произойдёт либо S1, либо S2, P (S1 S2) – вероятность того, что эти два события
произойдут одновременно.

Теперь, зная аксиомы
и свойства событий и вероятностей, перейдём к рассмотрению примеров и формул, с
помощью которых мы будем находить искомые вероятности.

Пример 1. Снова возьмём игральный кубик. Вероятность
того, что выпадет 1 очко (равно как и 2 или 3 или 4 и т.д.), равна 1/6. Как мы
нашли это число? Разделили число благоприятных исходов (а именно 1) на число
всех возможных исходов (их 6). Чтобы понять, почему производились такие
расчёты, давайте снова нарисуем чертёж. Мы знаем, что все исходы броска кубика
равновероятны. Помним, что вероятность достоверного события равна 1.
Получается, нахождение вероятности сводится к решению уравнения: 6х=1, где х –
искомая вероятность. Отсюда х = 1/6.

Чтобы не прибегать к
составлению уравнения и решению его, выведем формулу для подсчёта вероятности:

P = n/m,

где n
число благоприятных исходов

m – число всех возможных исходов.

Надпись: Схема 2Как видим, нам нужно найти вероятность  выпадения ОДНОЙ из ВСЕХ сторон,
т.е. число благоприятных исходов равно 1, всех возможных – 6 (так как сторон в
кубике 6). Отсюда получаем ту же самую вероятность, 1/6.

Пример 2. Найдём вероятность того, что в кубике выпадет
ЛИБО 1 очко, ЛИБО 2 (вместо этих очков можно брать и другие числа, это не имеет
значения в данном случае). В этом примере благоприятными будут исходы выпадения
и 1 очка, и 2, так как нам нужно, чтобы выпало хотя бы одно из этих значений.
Зная формулу, рассчитаем вероятность:
P = 2/6 = 1/3. Но можно рассчитать и
по-другому. Вспомним 3 аксиому: «Для совокупности несовместных событий из
множества исходов случайного эксперимента справедливо следующее равенство:
P (S1 или S2 или … или Sn …)
=
P (S1)
+
P (S2)
+ … +
P (Sn)» Несовместные события, как уже говорилось
ранее, — те, которые НЕ могут происходить одновременно. Действительно, не могут
выпасть 1 очко и 2 очка после одного броска (да и вообще любые две стороны). Значит,
чтобы посчитать вероятность того же исхода (выпадет либо 1 очко, либо 2), нужно
сложить вероятности ОТДЕЛЬНЫХ событий. Каждое из них имеет вероятность
1/6, как мы уже видели ранее. Значит, искомая
вероятность равна: 1/6 + 1/6 = 1/3.  

Если мы захотим
рассчитать вероятность для выпадения либо 1, либо 2, либо 3 очков, можем
сделать это с помощью тех же формул:

1) 3/6 = 1/2

2) 1/6 + 1/6 + 1/6 =
1/2

Напомню, формулы из
3-ей аксиомы действует в том случае, если события НЕ могут произойти
одновременно.

Надпись: Схема 3Пример 3. Подбросим 2
игральных кубика, полностью одинаковых между собой. Какова вероятность того,
что и у первого, и у второго выпадет по 1 очку? Будет грубой ошибкой сложить
вероятности отдельных событий, так как они МОГУТ произойти одновременно
(вероятность чего мы и ищем). Поэтому, здесь нужно найти другое решение.
Обратимся к рисунку. В левом столбике изображены исходы броска 1-ого кубика, в
правом – 2-ого. На каждую грань «приходится» по 6 исходов броска 2-ого кубика,
т.е. если у нас выпадет, например, 4 очка, то на втором кубике может выпасть ЛЮБАЯ
из 6 его сторон. Посчитав количество всех исходов этого эксперимента, получим
число 36. Значит, общее число исходов равно 36. Благоприятных исходов – 1. Для
нахождения вероятности нужно разделить 1 на 36: 1/36. Общее число исходов
найдено тем способом, которым, как уже было сказано, неудобно считать. Проще
найти произведение исходов броска 1-ого кубика и исходов броска 2-ого кубика,
так как на каждый исход броска 1-ого кубика (а их 6) приходится 6 исходов
броска 2-ого: 6*6 = 36. Как видим, запись «6*6» можно заменить «6^2» (^ — знак
возведения в степень). Если мы возьмем не 2, а, к примеру, 4 кубика, то
количество общих исходов равно 6^4 = 1296. Итак, в общем виде формула для
нахождения вероятности исхода, зависящего от нескольких событий такова:
P (S1 и S2 и … и Sn) = Р (S1) * Р (S2) * … * Р (Sn),
где Р (
S1 и
S2 и
… и
Sn) – вероятность исхода, при котором происходят
несколько событий одновременно, Р (
S1), Р (S2),
…, Р (
Sn) – вероятность исходов отдельных событий,
происходящих одновременно.

Итак, мы разобрали
основные формулы нахождения общего числа исходов и вероятностей. С их помощью можно
решать различные задачи, не забывая при этом, в каком случае мы применяем тут
или иную формулу.

Практическое применение

Страхование

Как мы знаем,
страховые компании выплачивают деньги застрахованному лицу, если произошёл
какой-либо несчастный случай. Сумма, которую должен заплатить человек страховой
компании и застраховать тем самым что-либо или кого-либо, рассчитывается
определённым образом. Основой, на которую опираются страховые компании,
является статистика
 отрасль
знаний, в которой излагаются общие вопросы сбора, измерения и анализа массовых
статистических данных. Эти данные несут информацию о том, сколько за прошедшее
время произошло несчастных случаев одного вида (например, аварий, ДТП и пр.),
вероятность того, что они произойдут и некоторые другие сведения. Таким
образом, для подсчёта стоимости страхового полиса и компенсации, выплачиваемой
страховой компанией, требуются накопленные ранее знания о случившихся
несчастных случаях, о теории вероятностей и т.д.

Пенсии

Граждане,
проработавшие некоторое количество времени и получавшие так называемые «белые
зарплаты», по наступлении пенсионного возраста получают пенсии – регулярные
денежные пособия. Для того чтобы рассчитать пенсионный возраст, нужно учитывать
такие статистические данные, как продолжительность жизни, ожидаемая
продолжительность предстоящей жизни, некоторые другие показатели.

Также применение
теории вероятностей, статистики, различных таблиц используется, как я уже
сказал, в медицине, в механике и инженерном деле. Например, таблицы смертности
в медицине, срок полезного функционирования детали или механизма в механике,
инженерии. Как видим, математика может пригодиться в вышеприведённых сферах государства,
промышленности и т.д.

Интересные факты

Парадокс Монти Холла

Вы попали в финал
телевизионного конкурса, и перед вами – три закрытые двери. За одной из них –
главный приз, автомобиль, за двумя другими – козы. Нужно выбрать одну из трёх
дверей. Когда вы указали на одну из дверей, ведущий должен открыть одну из
оставшихся дверей, за которой находится коза. Он даёт вам шанс изменить выбор.
Вы можете воспользоваться этим, а можете оставить своё решение без изменения. Как
нам поступить, чтобы увеличить шансы на выигрыш? Или же они не изменятся, и от
нашего решения вероятность не зависит?

Сперва покажется,
что вероятность одинакова и равна ½. Рассуждения таковы: так как перед нами 2
закрытых дверей, и за одной из них находится приз, значит, мы можем с
одинаковой вероятностью как выиграть, так и проиграть (не будем принимать козу
за выигрыш). Но такой ход мыслей неверен. Рассуждения с математической точки
зрения следующие: перед нами 3 двери, на каждую приходится вероятность выигрыша
по 1/3. Когда мы выбираем дверь, ведущий показывает, за какой дверью приза нет.
Значит, если он открыл именно эту дверь, то, скорее всего, приз находится за
той, которую он не открыл. На эту невыбранную закрытую дверь приходится
вероятность 2/3. Чтобы лучше понять эту ситуацию интуитивно, изменим количество
дверей. Пусть их будет не 3, а 1000. Мы выбрали одну из них, вероятность победы
– 1/1000. Ведущий убрал 998 дверей. Скорее всего, приз окажется за той дверью, которую
он не открыл. Сначала была вероятность выигрыша 1/1000, теперь, изменив выбор,
можно увеличить её на 998/1000. Я думаю, это число показывает, что выгоднее
изменить выбор, нежели оставить.  Напомню, он открывает только ту дверь или те
двери, которые выбраны не были, и за которыми находятся коза или несколько коз.
Для подтверждения этих рассуждений можно провести подобный опыт со своим
напарником: взять, к примеру, 3 коробка от спичек, 2 монеты по 50 копеек и 1
монету в 1 рубль (можно взять и другие, лишь бы 2 были одинаковы, а 1 – либо
больше, либо меньше). Один человек играет роль ведущего, другой – участника.
Далее правила ясны: ведущий наугад располагает монеты под коробками, участник
не знает, где какая монета. Игрок выбирает любой из них. Ведущий убирает тот
коробок, под которым меньшая по достоинству монета, и который не был выбран
игроком. Далее участник меняет свой выбор. Если он выиграл, на листок записать
букву В, если проиграл – букву П. Желательно проводить этот опыт большое число
раз (вспомните закон больших чисел: чем больше количество проводимых экспериментов,
тем ближе практическая вероятность будет к теоретической). Лично я со своим
папой однажды провёл его 50 раз. Получилось так, что выиграл 31 раз, а проиграл
– 19. Не стоит забывать, что монеты желательно располагать в случайном порядке
под коробками после проведения очередного опыта.

Парадокс о днях рождения

В классе учатся 23
человека. Какова вероятность того, что хотя бы 2 ученика этого класса родились
в один и тот же день?

В очередной раз
интуиция подсказывает, что вероятность крайне мала. Но на самом деле это не
так. Давайте разберёмся.

Примем, что число
дней в году равно 365. Рассмотрим общую ситуацию для
N
человек,
N не больше 365.

Возьмём первого
человека, он мог родиться в любой из 365 дней, равно как и второй, третий и
т.д. до
N. Следовательно, число всех возможных вариантов дней
рождений равно 365^
N. Из этих случаев найдём такие, в которых нет
совпадающих дат рождения. В таких случаях первый человек мог родиться в любой
из 365 дней, второй – в любой из 364, третий – в любой из 363 и т.д. до
N
человека, отмечающего день рождения в любой из 365 –
N + 1
дней. Получается, что число случаев с несовпадающими датами рождения равно    
365 * 364 * 363 * … * (365 –
N + 1) = 365! / (365 – N)!

Напомню, что для
нахождения вероятности нужно число благоприятных исходов разделить на число
всех возможных исходов. Поэтому, вероятность того, что все ученики будут
отмечать дни рождения в разные дни, равна

. Но нас интересует вероятность рождения как
минимум 2 учеников в одинаковые дни. Так как найденная нами вероятность
противоположна той, которую мы собираемся найти, то нам нужно из 1 вычесть это
выражение, подставить вместо
N число 23 и произвести расчёты.

Получим следующее:

При N = 23
вероятность равна 0,507, т.е. 50,7 %. Именно при этом значении вероятность
больше 1/2. При
N = 30 она становится больше 70 %, а при N = 45
она примерно равна 94 %. Не так уж всё и очевидно на первый взгляд!

Заключение

Теория вероятностей
– довольно интересный, хотя в некоторых случаях и непростой для понимания, раздел
математики. Он связан со многими важными для общества отраслями: медициной,
страхованием, статистикой и др. Для понимания теории вероятностей нужно владеть
азами некоторых других разделов математики, таких как комбинаторика, теория
множеств.

Литература

·       
https://ru.wikipedia.org/wiki/Теория_вероятностей

·       
https://ru.wikipedia.org/wiki/Лаплас,_Пьер-Симон

·       
https://ru.wikipedia.org/wiki/Пуассон,_Симеон_Дени

·       
http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_305_g_3_t_5.html?from=topic_t_5.html
(моделирование броска кубика)

·       
https://ru.wikipedia.org/wiki/Факториал

·       
https://ru.wikipedia.org/wiki/Статистика

·       
https://ru.wikipedia.org/wiki/Пенсия

·       
https://ru.wikipedia.org/wiki/Бернулли,_Якоб

·       
http://sky911.ru

·       
http://www.dubrovno.by/?p=1783

·       
http://kasko-osago1.ru/

·       
http://allpozitive.ru/pensiya-s-pelenok-novovvedenie-ot-mintruda/

·       
http://www.ex.ua/17765162

·       
http://www.zastavki.com/rus/Holidays/Birthday/5/

·       
http://www.dubrovno.by/?p=1783

·       
http://2014godloshadi.com/2013/09/novogodnie-kartinki-risunki-i-foto-na-novyj-2014-god-loshadi/

·       
Фернандо Корбалан, Херардо
Санц. Мир математики. Укрощение случайности. Теория вероятностей. – М.: Де
Агостини, 2014. – 160 с.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *