Math us теорема виета

После того, как вы внимательно изучите, как решать квадратные уравнения обычным образом с помощью
формулы для корней
можно рассмотреть другой способ решения квадратных уравнений — с помощью теоремы Виета.

Перед тем, как изучить теорему Виета, хорошо потренируйтесь в
определении коэффициентов
«a», «b» и «с» в квадратных уравнениях.
Без этого вам будет трудно применить теорему Виета.

Когда можно применить теорему Виета

Не ко всем квадратным уравнениям имеет смысл использовать эту теорему.
Применять теорему Виета имеет смысл только к приведённым квадратным уравнениям.

Обратите внимание, что разница с обычным общим видом
квадратного уравнения «ax² + bx + c = 0» в том, что в
приведённом уравнении «x² + px + q = 0» коэффициент
«а = 1».

Если сравнить приведенное квадратное уравнение «x² + px + q = 0» с обычным общим видом квадратного
уравнения «ax² + bx + c = 0», то становится видно,
что
«p = b», а «q = c».

Теперь давайте на примерах разберем, к каким уравнениям можно применять теорему Виета, а где это не целесообразно.

Уравнение	Коэффициенты	Вывод
x2 − 7x + 1 = 0	a = 1 p = −7 q = 1	Так как «a = 1» можно использовать теорему Виета.
3x2 − 1 + x = 0 Приведем уравнение к общему виду: 3x2 + x − 1 = 0	a = 3 p = 1 q = −1	Так как «a = 3» не следует использовать теорему Виета.
−x2 = −3 + 2x Приведем уравнение к общему виду: −x2 + 3 − 2x = 0 −x2 − 2x + 3 = 0	a = −1 p = −2 q = 3	Так как «a = −1» не следует использовать теорему Виета.

Как использовать теорему Виета

Теперь мы готовы перейти к самому методу Виета для решения квадратных уравнений.

Чтобы было проще запомнить формулу Виета, следует запомнить:
«Коэффициент «p» —
значит плохой, поэтому он берется со знаком минус».

---

Рассмотрим пример.

x² + 4x − 5 = 0

Так как в этом уравнении «a = 1», квадратное уравнение
считается приведённым, значит, можно
использовать метод Виета.
Выпишем коэффициенты «p» и «q».

• p = 4
• q = −5

Запишем теорему Виета для квадратного уравнения.

	x1 + x2 = −4
x1 · x2 = −5

Методом подбора мы приходим к тому, что корни уравнения
«x₁ = −5» и «x₂ = 1». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = −5; x₂ = 1

---

Рассмотрим другой пример.

x² + x − 6 = 0

Старший коэффициент «a = 1» поэтому можно применять теорему Виета.

	x1 + x2 = −1
x1 · x2 = −6

Методом подбора получим, что корни уравнения
«x₁ = −3» и «x₂ = 2». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = −3; x₂ = 2

---

Деление уравнение на первый коэффициент

Рассмотрим уравнение, которое по заданию требуется решить, используя теорему Виета.

2x² − 16x − 18 = 0

Сейчас в уравнении «a = 2»,
поэтому перед тем, как использовать теорему Виета нужно сделать так, чтобы «a = 1».

Для этого достаточно разделить все уравнение на «2».
Таким образом, мы сделаем квадратное уравнение приведённым.

2x² − 16x − 18 = 0            | (:2)
2x²(:2) − 16x(:2) − 18(:2) = 0
x² − 8x − 9 = 0

Теперь «a = 1» и можно смело записывать формулу Виета и находить корни методом подбора.

	x1 + x2 = −(−8)
x1 · x2 = −9

Методом подбора получим, что корни уравнения
«x₁ = 9» и «x₂ = −1». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = 9; x₂ = −1

---

Бывают задачи, где требуется найти не только корни уравнения, но и коэффициенты самого уравнения. Например, как в такой задаче.

Корни «x₁» и
«x₂» квадратного уравнения
«x² + px + 3 = 0» удовлетворяют
условию «x₂ = 3x₁».
Найти «p», «x₁»,
«x₂».

Запишем теорему Виета для этого уравнения.

По условию дано, что
«x₂ = 3x₁».
Подставим это выражение в систему вместо «x₂».

	x1 + 3x1 = −p
x1 · 3x1 = 3

Решим полученное квадратное уравнение «x₁² = 1»
методом подбора и найдем «x₁».

   x₁² = 1

• (Первый корень) x₁ = 1
• (Второй корень) x₁ = −1

Мы получили два значения «x₁».
Для каждого из полученных значений найдем «p» и запишем все полученные результаты в ответ.

(Первый корень) x₁ = 1

Найдем
«x₂»

x₁ · x₂ = 3
1 · x₂ = 3
x₂ = 3

Найдем «p»

x₁ + x₂ = −p
1 + 3 = −p
4 = −p
p = −4;
(Второй корень) x₁ = −1

Найдем «x₂»

x₁ · x₂ = 3
−1 · x₂ = 3
                 −x₂ = 3         | ·(−1)
x₂ = −3

Найдем «p»

x₁ + x₂ = −p
−1 + −3 = −p
−4 = −p
p = 4

Ответ: (x₁ = 1; x₂ = 3; p = −4)     и    
(x₁ = −1; x₂ = −3; p = 4)

---

Теорема Виета в общем виде

В школьном курсе математики теорему Виета используют только для приведённых уравнений,
где старший коэффициент «a = 1», но, на самом деле, теорему Виета можно применить к любому квадратному уравнению.

В общем виде теорема Виета для квадратного уравнения выглядит так:

Убедимся в правильности этой теоремы на примере. Рассмотрим неприведённое квадратное уравнение.

3x² + 3x − 18 = 0

Используем для него теорему Виета в общем виде.

	x1 + x2 = −1
x1 · x2 = −6

Методом подбора получим, что корни уравнения
«x₁ = −3» и «x₂ = 2». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = −3; x₂ = 2

В заданиях школьной математики мы не рекомендуем использовать теорему Виета в общем виде.

Другими словами, реальную пользу теорема Виета приносит только для приведённых квадратных уравнений, в
которых «a = 1».
Именно в таких случаях она не усложняет жизнь, а позволят без дополнительных расчетов быстро найти корни.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Факт 1.
(bullet) Теорема Виета для квадратного уравнения:
если квадратное уравнение (ax^2+bx+c=0) имеет корни (x_1) и (x_2) (необязательно различные), то [x_1+x_2=-dfrac baqquad {small{text{и}}}qquad
x_1x_2=dfrac ca] (bullet) Если квадратное уравнение (ax^2+bx+c=0) имеет корни (x_1) и (x_2) (необязательно различные), то [ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)]
 

Факт 2.
(bullet) Теорема Виета для кубического уравнения:
если кубическое уравнение (ax^3+bx^2+cx+d=0) имеет корни (x_1), (x_2) и (x_3) (необязательно все различные), то [x_1+x_2+x_3=-dfrac baqquad {small{text{и}}}qquad
x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=dfrac caqquad {small{text{и}}}qquad
x_1x_2x_3=-dfrac da] (bullet) Если кубическое уравнение (ax^3+bx^2+cx+d=0) имеет корни (x_1), (x_2) и (x_3) (необязательно все различные), то [ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)]

Библиографическое описание:

Шведова, В. А. Теорема Виета в решении задач и уравнений степени n / В. А. Шведова, Н. И. Трояновская. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2021. — № 5 (46). — С. 36-40. — URL: https://moluch.ru/young/archive/46/2510/ (дата обращения: 01.04.2023).



В статье автор рассматривает применение формул Виета как универсального способа решения уравнений степени n. Представляется созданный автором уникальный онлайн тренажер как способ самостоятельной подготовки к решению олимпиадных задач, заданий ЕГЭ с использованием формул Виета.

В заданиях ЕГЭ и олимпиадных задачах часто встречается необходимость решать уравнения n степени и задачи, связанные с ними. На уроках математики часто приходится решать уравнения n степени и различные основанные на них задачи, но некоторым способам их решения уделяется недостаточно внимания при изучении, из-за чего они не используются учениками.

В школе ученики достаточно подробно изучают

теорему Виета

для квадратных уравнений. Однако сфера применения

формул Виета

значительно шире.

Представим общий вид формул Виета (1), где

— основные симметрические многочлены, а

— корни многочлена. При этом

является многочленом первой степени,

является многочленом второй степени и т. д.

(1)

Для того, чтобы упростить решение задач, представим некоторые часто встречающиеся выражения через основные симметрические многочлены:

—

;

—

;

—

.

Анализ дополнительной литературы позволил составить подробные алгоритмы решения уравнений 3 и 4 степени с помощью теоремы Виета. В ходе анализа также было отмечено, что данный способ применим только к уравнениям, имеющим целые корни.

Рассмотрим алгоритм решения уравнения вида

с помощью

теоремы Виета

:

1) найти один корень уравнения подбором;

2) используя формулы

и

, найти сумму и произведение двух оставшихся корней (

,

);

3) найти оставшиеся корни, при необходимости составив вспомогательное квадратное уравнение вида

;

4) записать ответ.

При решении уравнения

алгоритм выглядит следующим образом.

Запишем

теорему Виета

для данного уравнения, используя только две из трех

формул Виета

:

,

.

— корень уравнения, таким образом

,

.

Тогда

.

Ответ: 1, 2, 3.

Теперь выделим основные шаги решения задач, связанных с корнями уравнения n степени:

1) определить степень многочлена;

2) записать

теорему Виета

для выражения необходимой степени;

3) представить данный многочлен через

основные симметрические многочлены

;

4) вычислить необходимые значения;

5) записать ответ.

Для

задачи

: «Числа -1 и 2 являются корнями многочлена

. Найдите

и

» решение в соответствии с алгоритмом выглядит следующим образом.

Записав

теорему Виета

для данного многочлена, получаем:

,

,

.

Зная, что

, находим

. Теперь можем найти

из суммы корней:

, а

из суммы их попарных произведений:

.

Ответ: 5, -8.

Ситуация обращения к формулам Виета при решении квадратных уравнений и не только побудила нас к поиску сервисов, позволяющих создавать тренажеры. Несколько сетевых сервисов сравнивались по указанным представленным в таблице критериям.

Для создания тренажера был выбран сервис Wizer.me, который соответствует наибольшему количеству критериев и является самым удобным. Данный сетевой сервис позволяет создавать разнообразные рабочие листы для практики.

В результате был создан уникальный интерактивный тренажер, направленный на практику в решении уравнений 3 и 4 степени. Тренажер содержит разнотипные задания, которые направлены на отработку ключевых умений данной темы. Успешное выполнение заданий будет являться показателем понимания темы. После отправки ответов вы сразу же можете проверить их правильность.

Ниже представлена краткая инструкция по использованию тренажера:

1) отсканируйте QR-код или перейдите по ссылке (https://app.wizer.me/learn/OGEZ2B) и зарегистрируйтесь;

2) выполните задания;

3) сдайте работу;

4) проверьте правильность.

Результаты апробации тренажеры позволили констатировать факт его соответствия заявленной идее. Онлайн-тренажер, действительно, помогает разобраться в теме и дает возможность практиковаться в ней. Интерфейс сайта удобен, а предоставляемая информация понятна и доступна.

Во время разработки проекта стали понятны основные возможности применения

теоремы Виета:

— решение уравнений высших степеней;

— решение задач, основанных на поиске корней многочлена степени выше 2;

— использование при решении заданий ЕГЭ и олимпиадных задач.

Созданный тренажер может использоваться учениками для дополнительной практики в данной теме и подготовки к ЕГЭ, а также учителями математики, например, при подготовке учащихся к олимпиадам.

Литература:

1. Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: базовый и углубленный уровни. М.: Просвещение, 2019. — 384 с.
2. Пратусевич М. Я., Столбов К. М., Головин А. Н. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: профильный уровень. М.: Просвещение, 2009. — 415 с.
3. Яковлев И. В. Уравнения высших порядков, https://mathus.ru/