Sin alfa cos alfa теорема

Для нахождения элементов в произвольном треугольнике используется теорема синусов или теорема косинусов.

4cepure.JPG

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: 

asinA=bsinB=csinC

(в решении задачи одновременно пишутся две части, они образуют пропорцию).

Теорема синусов используется для вычисления:

  • неизвестных сторон треугольника, если даны два угла и одна сторона;

  • неизвестных углов треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

Так как один из углов треугольника может быть тупым, значение синуса тупого угла находится по формуле приведения

sin180°−α=sinα

.

Наиболее часто используемые тупые углы:

sin120°=sin180°−60°=sin60°=32;sin150°=sin180°−30°=sin30°=12;sin135°=sin180°−45°=sin45°=22.

Радиус описанной окружности

Треуг2.jpg

asinA=bsinB=csinC=2R

, где (R) — радиус описанной окружности.

Выразив радиус, получаем

R=a2sinA

, или

R=b2sinB

, или

R=c2sinC

.

Для вычисления элементов прямоугольного треугольника достаточно (2) данных величин (две стороны или сторона и угол).

Для вычисления элементов произвольного треугольника необходимо хотя бы (3) данных величины.

4cepure.JPG

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Также теорема исполняется для любой стороны треугольника:

Теорема косинусов используется для вычисления:

  • неизвестной стороны треугольника, если даны две стороны и угол между ними;

  • вычисления косинуса неизвестного угла треугольника, если даны все стороны треугольника.

Значение косинуса тупого угла находится по формуле приведения

cos180°−α=−cosα

.

Наиболее часто используемые тупые углы:

cos120°=cos180°−60°=−cos60°=−12;cos150°=cos180°−30°=−cos30°=−32;cos135°=cos180°−45°=−cos45°=−22. 

Если необходимо найти приблизительное значение синуса или косинуса другого угла или вычислить угол по найденному синусу или косинусу, то используется таблица или калькулятор.

Источники:

Рис. 1-3. Треугольник, окружность, © ЯКласс.

§4. Теоремы косинусов и синусов. Применение тригонометрии к решению геометрических задач

Как обычно, в треугольнике $$ ABC$$ стороны, противолежащие углам `A`, `B` и `C`,  обозначим `a`, `b` и `c`. Справедливы две теоремы, устанавливающие соотношения между сторонами и углами треугольника, утверждения которых можно кратко записать так:

теорема  косинусов: $$ {c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}-2abmathrm{cos}C;$$

теорема синусов:  $$ {displaystyle frac{a}{mathrm{sin}A}}={displaystyle frac{b}{mathrm{sin}{displaystyle B}}}={displaystyle frac{c}{mathrm{sin}{displaystyle C}}}=2R$$.

Покажем на примерах, как применяются эти теоремы.

Рис. 26

Доказать,  что  в  параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

Пусть  в  параллелограмме $$ ABCD$$ (рис. 26) длины сторон  равны a u b,a;u;b, длины  диагоналей  равны $$ {d}_{1}$$ и $$ {d}_{2}: AC={d}_{2}$$, $$ AB=DC=a$$, $$ BD={d}_{1}$$.

Если φ=∠BAD,varphi=angle BAD, то ∠ADC=180°-φ.angle ADC=180^circ-varphi. Из треугольников $$ ABD$$ и $$ ACD$$ по   теореме  косинусов   будем  иметь:

d12=a2+b2-2abcosφ, d22=a2+b2-2abcos(180°-φ).d_1^2=a^2+b^2-2abcosvarphi,;d_2^2=a^2+b^2-2abcos(180^circ-varphi).

 Складывая  почленно эти  равенства  и  учитывая, что cos(180°-φ)=-cosφ,cos(180^circ-varphi)=-cosvarphi, получим требуемое равенство: d12+d22=2a2+2b2overline{){d}_{1}^{2}+{d}_{2}^{2}=2{a}^{2}+2{b}^{2}}.

Рис. 26

Из решения данной задачи легко получить выражение медианы $$ {m}_{c}$$ треугольника через его  стороны $$ a, b$$ и  $$ c$$. Пусть  в  `ABD:AB=a`, `AD=b`, `BD=c`; `AM` — медиана, `AM=m_c` (рис. 26). Достроим этот треугольник $$ ABD$$ до параллелограмма $$ ABCD$$ и воспользуемся результатом задачи 11, получим:

$$ {c}^{2}+{left(2{m}_{c}right)}^{2}=2{a}^{2}+2{b}^{2}$$, откуда

mc=a2+b22-c24overline{){m}_{c}=sqrt{frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}-frac{{c}^{2}}{4}}.

Рис. 27

На стороне $$ AD$$ ромба $$ ABCD$$ взята точка $$ M$$, при этом $$ MD={displaystyle frac{3}{10}}AD, BM=MC=11.$$ Найти площадь треугольника $$ BCM.$$

1. Обозначим длину стороны ромба $$ x, angle BAD=varphi  $$

(рис. 27). По условию $$ MD={displaystyle frac{3}{10}}xRightarrow AM={displaystyle frac{7}{10}}x.$$  Из треугольников $$ ABM$$ и  $$ MCD$$ по теореме  косинусов получаем:

$$ B{M}^{2}={x}^{2}+{left({displaystyle frac{7}{10}}xright)}^{2}-2x{displaystyle frac{7}{10}}xmathrm{cos}varphi $$,

$$ M{C}^{2}={x}^{2}+{left({displaystyle frac{3}{10}}xright)}^{2}-2x{displaystyle frac{3}{10}}xmathrm{cos}(180°-varphi )$$.

Приравниваем правые части (по условию $$ BM=MC$$), подставляем cos(180°-φ)=-cosφ,cos(180^circ-varphi)=-cosvarphi, сокращаем на $$ {x}^{2},$$ приводим подобные члены и получаем $$ mathrm{cos}varphi ={displaystyle frac{1}{5}}.$$ Подставляя найденное значение $$ mathrm{cos}varphi $$ и $$ BM=11$$ в первое равенство, находим $$ x=10$$.

2. В равнобедренном треугольнике $$ BMC$$ основание равно `10`, находим высоту $$ MK$$:

$$ MK=sqrt{B{M}^{2}-B{K}^{2}}=sqrt{B{M}^{2}-{displaystyle frac{1}{4}}B{C}^{2}}=sqrt{96}$$,

тогда  площадь  треугольника `BMC` равна $$ {displaystyle frac{1}{2}}BC·MK=20sqrt{6}$$.

Рис. 28

В равнобедренном треугольнике $$ ABC (AB=BC)$$ проведена      биссектриса $$ AD$$ (рис. 28). Найти радиус описанной около треугольника $$ ABC$$ окружности, если  $$ AD=4$$ и $$ DC=sqrt{6}.$$

1. Углы при основании $$ AC$$ в треугольнике $$ ABC$$ равны, обозначим $$ angle BAC=2alpha ,$$ тогда $$ angle DAC=alpha .$$ По теореме синусов из треугольника  $$ ADC$$ следует $$ {displaystyle frac{4}{mathrm{sin}2alpha }}={displaystyle frac{sqrt{6}}{mathrm{sin}{displaystyle alpha }}}$$ откуда $$ mathrm{cos}alpha =sqrt{{displaystyle frac{2}{3}}}$$. Находим: $$ mathrm{cos}2alpha =2{mathrm{cos}}^{2}alpha -1={displaystyle frac{1}{3}}$$ и $$ mathrm{sin}2alpha ={displaystyle frac{2sqrt{2}}{3}}$$.

2. Вычисляем   сторону $$ AC$$:

$$ AC=AK+KC=ADmathrm{cos}alpha +DCmathrm{cos}2alpha ={displaystyle frac{5}{3}}sqrt{6}$$.

3. Как следует из теоремы синусов, радиус $$ R$$ описанной около треугольника `ABC` окружности может быть найден из равенства: 

$$ R={displaystyle frac{AC}{2mathrm{sin}B}}$$ т. е. $$ R={displaystyle frac{AC}{2mathrm{sin}(180°-4alpha )}}={displaystyle frac{AC}{4mathrm{sin}2alpha ·mathrm{cos}2alpha }}={displaystyle frac{15}{8}}sqrt{3}$$.

В решении следующих задач существенно используется знание тригонометрических тождеств, умение решать тригонометрические уравнения. Подобные задачи не рассматривались в заданиях 9 — 10 классов, поскольку большинство учащихся в то время не обладало знаниями по тригонометрии в достаточном объёме.

В этих задачах в качестве неизвестной выбирается некоторый угол и по данным задачи и известным метрическим соотношениям составляется тригонометрическое уравнение или система уравнений. Их составление  и  решение является основным   этапом всего решения задачи, а искомые  элементы  определяются  через значения тригонометрических функций введённого угла.

Рис. 29

Точки $$ K$$ и $$ M$$ расположены соответственно на стороне $$ BC$$ и высоте $$ BD$$ остроугольного треугольника $$ ABC$$. Треугольник $$ AMK$$ — равносторонний  (рис. 29). Найти его площадь, если $$ AD=3$$, $$ DC={displaystyle frac{11}{2}}$$, $$ BK:KC=10:1$$.   

1. Обозначим сторону правильного треугольника $$ AMK$$  через $$ x, angle KAC=varphi $$  (рис. 29). Пусть $$ FKleft|right|AC$$ и $$ KNperp AC$$. Из подобия треугольников  $$ CKN$$ и $$ CBD$$  следует $$ NC={displaystyle frac{1}{11}}DC={displaystyle frac{1}{2}}$$. Тогда $$ DN=5, AN=8.$$

 2. Заметим, что $$ angle FKA=varphi $$ и $$ angle MKF={displaystyle frac{mathrm{pi }}{3}}-varphi $$.  Из прямоугольных треугольников  $$ AKN$$ и  $$ MKF$$ следует:

$$ AN=AKmathrm{cos}varphi $$ и $$ FK=MKmathrm{cos}({displaystyle frac{mathrm{pi }}{3}}-varphi )$$, т. е. $$ 8=xmathrm{cos}varphi $$ и $$ 5=xmathrm{cos}({displaystyle frac{mathrm{pi }}{3}}-varphi )$$. Из тригонометрического  уравнения `5cosvarphi=8cos(pi/3-varphi)`  получаем

$$ mathrm{cos}varphi =4sqrt{3}mathrm{sin}varphi $$ и $$ mathrm{tg}varphi ={displaystyle frac{1}{4sqrt{3}}}$$.

3. По формуле $$ mathrm{cos}varphi ={displaystyle frac{1}{sqrt{1+mathrm{tg}^{2}varphi }}}$$ находим  $$ mathrm{cos}varphi ={displaystyle frac{4sqrt{3}}{7}}$$ и $$ x={displaystyle frac{8}{mathrm{cos}varphi }}={displaystyle frac{14}{sqrt{3}}}$$.  Площадь правильного  треугольника со стороной $$ x$$ равна $$ {displaystyle frac{{x}^{2}sqrt{3}}{4}}$$. Находим $$ {S}_{AMK}={displaystyle frac{49sqrt{3}}{3}}$$.

Обратим внимание, что в этой задаче один треугольник повёрнут относительно другого. В качестве промежуточной переменной и был введён этот угол поворота.

Рис. 30

Окружность проходит через вершины $$ A$$ и $$ B$$  треугольника  $$ ABC,$$ пресекает стороны $$ BC$$ и $$ AC$$ в точках $$ M$$ и $$ N$$ соответственно (рис. 30). Известно, что `AB=4`, `MN=2`, $$ angle ACB=mathrm{arcsin}frac{3}{5}$$. Найти радиус окружности.                                                                                

1. Обозначим $$ angle ACB=varphi $$ тогда $$ mathrm{sin}varphi ={displaystyle frac{3}{5}}$$, $$ varphi $$ — острый угол, $$ mathrm{cos}varphi ={displaystyle frac{4}{5}}$$.

Надо  найти  радиус окружности, поэтому разумно ввести вписанный угол: $$ angle NMB=alpha $$. Угол $$ ANB$$ — внешний  для треугольника $$ BNC,$$ поэтому  $$ angle ANB=alpha +varphi $$.

2. Если $$ R$$ — радиус окружности, то $$ AB=2Rmathrm{sin}(alpha +varphi )$$, и $$ MN=2Rmathrm{sin}alpha $$ т. е. получаем систему:

$$ left{begin{array}{l}4=2Rmathrm{sin}(alpha +varphi ),\ 2=2Rmathrm{sin}alpha .end{array}right.$$

Исключая `R`, придём к уравнению $$ 2mathrm{sin}alpha =mathrm{sin}(alpha +varphi )$$.

Так как $$ mathrm{sin}(alpha +varphi )=mathrm{sin}alpha ·mathrm{cos}varphi +mathrm{sin}varphi ·mathrm{cos}alpha ={displaystyle frac{4}{5}}mathrm{sin}alpha +{displaystyle frac{3}{5}}mathrm{cos}alpha $$, 

то уравнение приводится к виду

$$ 10mathrm{sin}alpha =4mathrm{sin}alpha +3mathrm{cos}alpha $$, `6sinalpha=3cosalpha`, `»tg»alpha=1/2`.

3. Находим: $$ mathrm{sin}alpha ={displaystyle frac{mathrm{tg}alpha }{sqrt{1+mathrm{tg}^{2}alpha }}}={displaystyle frac{1}{sqrt{5}}}$$ тогда $$ R={displaystyle frac{MN}{2mathrm{sin}alpha }}=sqrt{5}$$.

В задаче 15 угловая величина была задана значением $$ mathrm{arcsin}{displaystyle frac{3}{5}}$$. По определению функции $$ y=mathrm{arcsin}x$$ это означало, что заданный угол острый и $$ mathrm{sin}varphi ={displaystyle frac{3}{5}}$$. Мы заменили условие $$ varphi =mathrm{arcsin}{displaystyle frac{3}{5}}$$ равносильным ему. Аналогично следует поступать во всех задачах, условия которых содержат значения обратных тригонометрических функций для величин углов. Например, если угол задан в виде $$ alpha =pi -mathrm{arccos}sqrt{{displaystyle frac{2}{3}}}$$,  то это означает, что $$ alpha $$ — тупой угол,  $$ mathrm{cos}alpha =-sqrt{{displaystyle frac{2}{3}} }$$, $$ mathrm{sin}alpha ={displaystyle frac{1}{sqrt{3}}}$$ и могут быть найдены, если окажется необходимым, значения  $$ mathrm{cos}2alpha $$, $$ mathrm{sin}{displaystyle frac{alpha }{2}}$$ и т. п.

Некоторые учащиеся, проводя решение задачи в общем виде и подставляя числовые данные лишь в конце (что, заметим, обычно делает решение громоздким), получают, например, ответ для длины стороны в виде $$ alpha =3mathrm{sin}left(2mathrm{arccos}{displaystyle frac{1}{sqrt{3}}}right)$$. Если далее это значение не записано в виде $$ a=2sqrt{2}$$,  то решение не считается доведённым до конца. Т. е. ответ задачи, когда угловая величина задана значением обратной тригонометрической функции, не должен содержать значения тригонометрических и обратных тригонометрических функций (если только сама искомая величина не является углом).

В заключение параграфа решим задачу об определении угла треугольника. Обратим внимание, что решение требует отбора в соответствии с условием задачи.

Рис. 31

В треугольнике $$ ABC$$ высота $$ BD$$, медиана $$ CM$$ и биссектриса  $$ AK$$ пересекаются в точке $$ O$$. (рис. 31).  Найти угол $$ A$$, если   известно, что он больше $$ 60°$$ и  $$ AM=sqrt{3}OM$$.                                                                

1. Обозначим 

$$ AM=x$$ (тогда `AB=2x`), $$ angle BAC=2alpha $$ и $$ AO=y$$.

Из прямоугольных треугольников $$ AOD$$ и $$ ABD$$ имеем: $$ AD=ymathrm{cos}alpha $$ и $$ AD=2xmathrm{cos}2alpha $$. Выражаем $$ y={displaystyle frac{2xmathrm{cos}2alpha }{mathrm{cos}alpha }}$$.

2. Применяем теорему косинусов к треугольнику $$ AMO$$, учитывая, что $$ M{O}^{2}={displaystyle frac{1}{3}}{x}^{2}: {displaystyle frac{{x}^{2}}{3}}={x}^{2}+{y}^{2}-2xy·mathrm{cos}alpha $$.

 Подставляем выражение для  $$ y$$, сокращаем на $$ {x}^{2},$$ приводим уравнение к виду:

$$ 2{mathrm{cos}}^{2}alpha +12{mathrm{cos}}^{2}2alpha -12mathrm{cos}2alpha ·{mathrm{cos}}^{2}alpha =0$$.

Используем тождество: $$ 2{mathrm{cos}}^{2}alpha =1+mathrm{cos}2alpha ,$$  получаем уравнение:

$$ 6{mathrm{cos}}^{2}2alpha -5mathrm{cos}2alpha +1=0$$.

Находим: $$ mathrm{cos}2alpha ={displaystyle frac{1}{3}}$$ или $$ mathrm{cos}2alpha ={displaystyle frac{1}{2}}$$.

3. По условию: $$ 2alpha =angle BAC$$, $$ 2alpha  > {displaystyle frac{mathrm{pi }}{3}}$$, значит $$ mathrm{cos}2alpha  < {displaystyle frac{1}{2}}$$, поэтому

$$ mathrm{cos}2alpha =mathrm{cos}A={displaystyle frac{1}{3}}$$, $$ angle A=mathrm{arccos}{displaystyle frac{1}{3}}$$.

Свойства тригонометрических функций

Отсюда вытекает много интересных свойств и тригонометрических формул.
Во-первых, надеюсь, все знают, что в прямоугольном треугольнике самая большая сторона – это гипотенуза.
Поэтому из определения синуса и косинуса ((sin(alpha)=frac{a}{c}; quad cos(alpha)=frac{b}{c})) следует, что они всегда меньше единицы, ведь мы катет (меньшую сторону) делим на гипотенузу (большую сторону треугольника). И как мы узнаем позже, синус и косинус всегда больше минус единицы. То есть синус и косинус могут принимать только значения из промежутка:

$$ sin(alpha) in [-1;1];$$
$$ cos(alpha) in [-1;1];$$

Для тангенса и котангенса никаких ограничений нет, они могут принимать абсолютно любые значения.

Теперь выведем несколько формул, без которых нам точно потом не обойтись. Например, можно обратить внимание, что тангенс выражается через деление синуса на косинус, просто расписав их по определению:

$$frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}=frac{frac{a}{c}}{frac{b}{c}}=frac{a}{c}*frac{c}{b}=frac{a}{b};$$

А последняя формула есть ни что иное, как определение тангенса:
$$ tg(alpha)=frac{a}{b};$$
Значит
$$ tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}.$$

Аналогичные рассуждения можно провести для котангенса:
$$frac{cos(alpha)}{sin(alpha)}=frac{frac{b}{c}}{frac{a}{c}}=frac{b}{c}*frac{c}{a}=frac{b}{a};$$
А котангенс по определению:
$$ctg(alpha)=frac{b}{a};$$
Значит
$$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)}.$$

Кроме этого, легко заметить, что функции тангенса и котангенса взаимно обратны:
$$tg(alpha)*ctg(alpha)=frac{a}{b}*frac{b}{a}=1.$$

А теперь мы подобрались к не самой очевидной тригонометрической формуле, но одной из самых главных во всей тригонометрии. Основное тригонометрическое тождество:

$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1. qquad (1)$$

Выводится оно тоже из определений синуса и косинуса с использованием теоремы Пифагора (гипотенуза в прямоугольном треугольнике равна сумме квадратов катетов (c^2=a^2+b^2;)):
$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=left(frac{a}{c}right)^2+left(frac{b}{c}right)^2=left(frac{a^2}{c^2}right)+left(frac{b^2}{c^2}right)=frac{a^2+b^2}{c^2}=frac{c^2}{c^2}=1.$$
С основным тригонометрическим тождеством вы будете сталкиваться постоянно и в 9-м и в 10-м классах.

И разберем еще две важные формулы:
$$1+tg^2(alpha)=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
Выводится она очень легко, опять же, используя определения тангенса и косинуса. Рекомендую потренироваться и сделать это самим.
$$1+left(frac{a}{b}right)^2=frac{1}{frac{b^2}{c^2}};$$
$$left(frac{b^2}{b^2}right)+left(frac{a^2}{b^2}right)=1*frac{c^2}{b^2};$$
$$frac{b^2+a^2}{b^2}=frac{c^2}{b^2};$$
Используем теорему Пифагора:
$$frac{c^2}{b^2}=frac{c^2}{b^2};$$
Получили верное равенство, значит формула верна.

И вторая аналогичная формула для котангенса:
$$1+сtg^2(alpha)=frac{1}{sin^2(alpha)};$$
Вывод один в один, сделайте сами.

Для удобства соберем все формулы вместе.
$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1. qquad(1)$$
$$ tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}. qquad(2)$$
$$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)}. qquad(3)$$
$$tg(alpha)*ctg(alpha)=1.qquad(4)$$
$$1+tg^2(alpha)=frac{1}{cos^2(alpha)}. qquad(5)$$
$$1+сtg^2(alpha)=frac{1}{sin^2(alpha)}. qquad(6)$$

Это далеко не все тригонометрические формулы, их гораздо больше. Но для начала и для 9-го класса этого вполне достаточно.

Зачем же они нужны? Оказывается, эти формулы помогают связать тригонометрические функции между собой. Посмотрите внимательно на первую формулу (1): зная, например, чему равен косинус, можно легко найти синус, и наоборот.

Пример 1
Пусть (cos(alpha) =frac{1}{2}), найдите (sin(alpha)=?)

Берем основное тригонометрическое тождество (формула (1)) и подставляем в него известный по условию задачи (cos(alpha)=frac{1}{2}:)
$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1;$$
$$sin^2(alpha)+left(frac{1}{2}right)^2=1;$$
А дальше просто решаем получившееся уравнение относительно синуса:
$$sin^2(alpha)=1-left(frac{1}{2}right)^2;$$
$$sin^2(alpha)=1-frac{1}{4};$$
Приводим к общему знаменателю:

$$sin^2(alpha)=frac{4}{4}-frac{1}{4};$$
$$sin^2(alpha)=frac{3}{4};$$
И здесь внимательно решаем квадратное уравнение:
$$sin(alpha)=pmfrac{sqrt{3}}{2};$$
Обратите внимание на (pm). Синус может быть как положительным, так и отрицательным, так как при подстановке и возведении в квадрат минус сгорает. Значит здесь получается два ответа.

Ответ:(sin(alpha)=pmfrac{sqrt{3}}{2}.)

Аналогично, зная хотя бы одну тригонометрическую функцию, можно найти все остальные, используя тригонометрические формулы. Рассмотрим еще пример:

Пример 2
Пусть (sin(alpha) =frac{1}{3}), найдите (ctg(alpha)=?)

Смотрим на наш список формул и находим такую, в которой есть и синус и котангенс — это формула (6):
$$1+сtg^2(alpha)=frac{1}{sin^2(alpha)}.$$
Подставляем известный из условия синус (sin(alpha) =frac{1}{3}):
$$1+сtg^2(alpha)=frac{1}{left(frac{1}{3}right)^2}.$$
Перевернем правую часть:
$$1+сtg^2(alpha)=left(frac{3}{1}right)^2.$$
$$1+сtg^2(alpha)=9.$$
Теперь решим уравнение и найдем котангенс:
$$сtg^2(alpha)=8.$$
$$сtg(alpha)=pmsqrt{8}=pmsqrt{4}*sqrt{2}=pm2sqrt{2}.$$

Ответ:(сtg(alpha)=pm2sqrt{2}).

Выглядит пугающе, но учить вам это НЕ НУЖНО! В некоторых школах есть изверги, которые заставляют учить такую таблицу, но в этом совершенно нет необходимости. В дальнейшем мы научимся сами выводить все значения тригонометрических функций только из маленькой таблицы.

Обратите внимание, что синус некоторого угла в треугольнике всегда положителен, неважно, тупой или острый угол. А вот косинус, тангенс и котангенс в треугольнике положительны только от острых углов и отрицательны от тупых.

Тут может возникнуть вопрос, как может существовать синус, косинус, тангенс или котангенс от тупого угла, большего чем (90^o), если мы давали определение всех тригонометрических функций через прямоугольный треугольник, в котором нет углов больших (90^o). Ну что ж, да тригонометрические функции существуют для любых углов и острых, и тупых, но для самого начала тригонометрии определения через прямоугольный треугольник нам более чем достаточно. Просто запомните выводы, которые мы сделали в предыдущем абзаце.

Рассмотрим пример на тригонометрию по типу схожий с заданиями ОГЭ. Обычно задачи сводятся просто к нахождению тригонометрической функции некоторого угла, нарисованного на рисунке:

Пример 2
По рисунку определить значение (sin(alpha)=?)

По определению синус в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Первым делом достроим наш синий угол (angle{ABC}) до прямоугольного треугольника, для этого опустим из точки (A) высоту (AH) к (BC). Получили прямоугольный треугольник (AHB). Теперь можем воспользоваться определением синуса:
$$sin(alpha)=frac{AH}{AB};$$
По клеточкам на рисунке найдем длину отрезка (AH=15). А гипотенузу (AB) найти по клеточкам не выйдет, так как она идет по диагонали. Но мы можем найти опять по клеточкам второй катет в прямоугольном треугольнике (BH=12) и применить теорему Пифагора:
$$AB^2=AH^2+BH^2;$$
$$AB^2=15^2+12^2=225+144=369;$$
$$AB=sqrt{369}=3sqrt{41};$$
Подставим в формулу для синуса и найдем его:
$$sin(alpha)=frac{AH}{AB}=frac{15}{3sqrt{41}};$$

Ответ: (sin(alpha)= frac{15}{3sqrt{41}}.)

Разберем еще примеры посложнее на нахождение тригонометрических функций друг через друга. Некоторые даже будут из реального ЕГЭ:

Пример 3
Пусть (tg(alpha)=sqrt{3}), найти (cos(alpha)=?), если известно, что (alpha<90^o).
Задание из ЕГЭ по профильной математике.

Условие аналогично условию в примерах №1 и 2, но появилось еще какое-то ограничение на угол (alpha), пока не будем обращать на него внимания, и решаем как обычно. Воспользуемся формулой (5), в ней есть и косинус, и тангенс, как раз одна из функций нам дана, а другую надо найти:
$$1+tg^2(alpha)=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$1+(sqrt{3})^2=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$1+3=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$4=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$cos^2(alpha)=frac{1}{4};$$
$$cos(alpha)=pmfrac{1}{2}.$$

У нас опять получилось два ответа из-за квадрата. В условии сказано, что задание из первой части ЕГЭ, а значит два ответа быть не может. Для этого нам и дано, что (alpha<90^o). Это означает, что угол (alpha) острый, а значит косинус у острого угла обязательно должен быть положительный.

Ответ: (cos(alpha)=frac{1}{2}.)

Пример 4
Пусть (tg(alpha) =-2), найти (sin(alpha)=?), при (90^o<alpha<180^o).

Опять обратимся к нашим формулам (1-6) и пытаемся найти такую, в которой есть и синус и тангенс. И тут оказывается, что такой формулы нет. Но нам никто не запрещает, зная тангенс и используя формулу (5), найти косинус:
$$1+tg^2(alpha)=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$1+(-2)^2=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$5=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$cos^2(alpha)=frac{1}{5};$$
$$cos^2(alpha)=pmsqrt{frac{1}{5}};$$
Так как согласно условию (alpha>90^o), то значение косинуса должно быть отрицательным:
$$cos(alpha)=-sqrt{frac{1}{5}};$$

А потом, уже зная косинус, по основному тригонометрическому тождеству (1) можно найти требуемый в задаче синус:
$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1;$$
$$sin^2(alpha)+left(-sqrt{frac{1}{5}}right)^2=1;$$
$$sin^2(alpha)+frac{1}{5}=1;$$
$$sin^2(alpha)=-frac{1}{5}+1;$$
$$sin^2(alpha)=frac{4}{5};$$
$$sin(alpha)=pmsqrt{frac{4}{5}};$$
Синус у нас положительный и при острых ((alpha<90^o)) и при тупых углах ( (90<alpha<180) ):
$$sin(alpha)=sqrt{frac{4}{5}};$$

Ответ: (sin(alpha)=sqrt{frac{4}{5}}.)

Итак, зная значение хотя бы одной из четырех тригонометрических функций, при помощи формул (1-6) можно найти три оставшихся, именно для этого формулы и нужны.

Зная угол (angle{A}=60^o), мы знаем все тригонометрические функции от этого угла. Смотрите в таблицу (1):
$$sin(60^o)=frac{sqrt{3}}{2};$$
$$cos(60^o)=frac{1}{2};$$
$$tg(60^o)=sqrt{3};$$
$$ctg(60^o)=frac{1}{sqrt{3}};$$
С другой стороны, можно расписать функции по определению через отношение сторон в прямоугольном треугольнике:
$$sin(angle{A})=frac{BC}{AB};$$
$$cos(angle{A})=frac{AC}{AB};$$
$$tg(angle{A})=frac{BC}{AC};$$
$$ctg(angle{A})=frac{AC}{BC};$$

Не пугайтесь, все нам не понадобится. Воспользуемся пока формулами:
$$cos(60^o)=frac{1}{2};$$
$$cos(angle{A}=60^o)=frac{AC}{AB};$$
Нам известны косинус (angle{A}) и сторона (AC), а значит, мы можем найти гипотенузу (AB):
$$frac{1}{2}=frac{5}{AB};$$
$$AB=frac{5}{frac{1}{2}}=5*frac{2}{1}=10;$$
Нашли гипотенузу, теперь найдем последнюю сторону (BC). Для этого нам нужна любая формула с (BC), например:
$$sin(angle{A})=frac{BC}{AB};$$
Синус знаем, (AB) только что нашли — выражаем (BC):
$$BC=AB*sin(60^o)=10*frac{sqrt{3}}{2}=5*sqrt{3}.$$

Ответ: (AB=10;) (BC=5*sqrt{3}.)

Подведем итоги. Зная любую сторону в прямоугольном треугольнике и хотя бы один из острых углов, можно найти все остальные стороны при помощи тригонометрии.

Рассмотрим задачу посложнее.

Пример 6
Дан прямоугольный треугольник (bigtriangleup{ABC}), в котором угол (angle{C}=90^o), угол (tg(angle{A})=frac{1}{5}), сторона (AB=13). В треугольнике из прямого угла (angle{C}) проведена высота (CH). Найти (AH).

Первым делом обратите внимание на один очень важный факт. Если провести высоту в прямоугольном треугольнике из прямого угла, то она поделит треугольник еще на два прямоугольных. В нашем случае (bigtriangleup{ACH}) и (bigtriangleup{CHB}) тоже будут прямоугольными. А значит в них выполняются все соотношения для тригонометрических функций.
Например, в (bigtriangleup{ACH}) для угла (angle{A}) противолежащим катетом будет (CH), а прилежащим — сторона (AH), гипотенуза будет соответственно (AC). А значит можно записать формулы, следующие из определения тригонометрических функций:

$$sin(angle{A})=frac{CH}{AC};$$
$$cos(angle{A})=frac{AH}{AC};$$
$$tg(angle{A})=frac{CH}{AH};$$
$$ctg(angle{A})=frac{AH}{CH};$$

Аналогичные соотношения можно записать и для (bigtriangleup{CHB}) и (bigtriangleup{ABC}). Не буду нагромождать, запишите эти соотношения сами в качестве тренировки.

Следующий важный момент, на который следует обратить внимание — это углы в получившихся треугольниках. Обозначим угол (angle{CAB}=alpha). Тогда, так как (angle{CHA}=90^o), можно выразить угол:
$$angle{ACH}=180-angle{CAB}-angle{CHA}=180-alpha-90=90-alpha;$$
Напомню, что треугольник (bigtriangleup{ABC}) прямоугольный с прямым углом (angle{ACB}=90^o).
Значит
$$angle{HCB}=angle{ACB}-angle{ACH}=90-(90-alpha)=alpha=angle{CAB};$$

Важный факт: (angle{HCB}=angle{CAB})! А равенство этих углов само собой означает и равенство всех тригонометрических функций. То есть, например, (sin(angle{HCB})=sin(angle{ACB})). Точно так же у них равны и косинусы, и тангенсы, и даже котангенсы!

Аналогичные рассуждения можно провести для углов (angle{ACH}=angle{CBA}).
Запомните это!

А теперь приступим непосредственно к решению задачи. Нам известна гипотенуза (AB) и (tg(alpha)). По определению тангенса в (bigtriangleup{ABC}):
$$tg(angle{A})=frac{CB}{AC};$$
Либо из (bigtriangleup{ACH}):
$$tg(angle{A})=frac{CH}{AH};$$

В этих формулах есть проблема: нет известной нам стороны, гипотенузы (AB). А значит, у нас две неизвестные, и решить мы не можем.

Но зная тангенс, мы легко можем найти косинус по формуле:
$$1+tg(alpha)^2=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$1+left(frac{1}{5}right)^2=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$1+frac{1}{25}=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$frac{26}{25}=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$cos^2(alpha)=frac{1}{frac{26}{25}}=1*frac{25}{26}=frac{25}{26};$$
$$cos(alpha)=pmsqrt{frac{25}{26}}=pmfrac{5}{sqrt{26}};$$
Так как (anglealpha) это острый угол из прямоугольного треугольника, то его косинус точно будет положительным:
$$cos(alpha)=frac{5}{sqrt{26}}.$$
Не самый приятный косинус, но что делать, будем решать так, как есть.

С другой стороны, из (bigtriangleup{ABC}):
$$cos(alpha)=frac{AC}{AB};$$
Подставим известное (AB):
$$frac{5}{sqrt{26}}=frac{AC}{13};$$
$$AC=13*frac{5}{sqrt{26}}=frac{13*5}{sqrt{26}};$$
Либо косинус еще можно расписать в (bigtriangleup{ACH}):
$$cos(alpha)=frac{AH}{AC}=frac{5}{sqrt{26}};$$
Подставим найденное (AC):
$$frac{AH}{frac{13*5}{sqrt{26}}}=frac{5}{sqrt{26}};$$
$$AH=frac{5}{sqrt{26}}*frac{13*5}{sqrt{26}}=frac{5*13*5}{26}=frac{25}{2}=12,5.$$

Ответ: (AH=12,5.)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *