Sin cos это алгебра или геометрия

admin

Именно тригонометрия это раздел геометрии. Но тригонометрические функции используются и в алгебре, и даже в физике. К примеру для описания циклических процессов. Это могут быть всякие волновые процессы, колебания и даже некоторые электрические счётчики показывают «косинус фи», про который 95% населения понятия не имеет. И я не буду рассказывать, это не интересно никому. 🙂

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим

Татья­на Шабун­я
[1.8K]

2 года назад

Тригонометрию раньше в школе (узнала со слов знаменитого учителя математики

Шаталова Виктора Фёдоровича) изучали отдельно от алгебры и геометрии. Сейчас тригонометрию в школе изучают, как раздел, на уроках алгебры.

Тригонометрия — это раздел МАТЕМАТИКИ. Которая используется в геометрии, алгебре. А также физике и других науках, «заточенных» под математику. Также как используются число «пи» или «число Эйлера».

Знаете ответ?

Источник

Свойства тригонометрических функций

Отсюда вытекает много интересных свойств и тригонометрических формул.
Во-первых, надеюсь, все знают, что в прямоугольном треугольнике самая большая сторона – это гипотенуза.
Поэтому из определения синуса и косинуса ((sin(alpha)=frac{a}{c}; quad cos(alpha)=frac{b}{c})) следует, что они всегда меньше единицы, ведь мы катет (меньшую сторону) делим на гипотенузу (большую сторону треугольника). И как мы узнаем позже, синус и косинус всегда больше минус единицы. То есть синус и косинус могут принимать только значения из промежутка:

$$ sin(alpha) in [-1;1];$$
$$ cos(alpha) in [-1;1];$$

Для тангенса и котангенса никаких ограничений нет, они могут принимать абсолютно любые значения.

Теперь выведем несколько формул, без которых нам точно потом не обойтись. Например, можно обратить внимание, что тангенс выражается через деление синуса на косинус, просто расписав их по определению:

$$frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}=frac{frac{a}{c}}{frac{b}{c}}=frac{a}{c}*frac{c}{b}=frac{a}{b};$$

А последняя формула есть ни что иное, как определение тангенса:
$$ tg(alpha)=frac{a}{b};$$
Значит
$$ tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}.$$

Аналогичные рассуждения можно провести для котангенса:
$$frac{cos(alpha)}{sin(alpha)}=frac{frac{b}{c}}{frac{a}{c}}=frac{b}{c}*frac{c}{a}=frac{b}{a};$$
А котангенс по определению:
$$ctg(alpha)=frac{b}{a};$$
Значит
$$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)}.$$

Кроме этого, легко заметить, что функции тангенса и котангенса взаимно обратны:
$$tg(alpha)*ctg(alpha)=frac{a}{b}*frac{b}{a}=1.$$

А теперь мы подобрались к не самой очевидной тригонометрической формуле, но одной из самых главных во всей тригонометрии. Основное тригонометрическое тождество:

$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1. qquad (1)$$

Выводится оно тоже из определений синуса и косинуса с использованием теоремы Пифагора (гипотенуза в прямоугольном треугольнике равна сумме квадратов катетов (c^2=a^2+b^2;)):
$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=left(frac{a}{c}right)^2+left(frac{b}{c}right)^2=left(frac{a^2}{c^2}right)+left(frac{b^2}{c^2}right)=frac{a^2+b^2}{c^2}=frac{c^2}{c^2}=1.$$
С основным тригонометрическим тождеством вы будете сталкиваться постоянно и в 9-м и в 10-м классах.

И разберем еще две важные формулы:
$$1+tg^2(alpha)=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
Выводится она очень легко, опять же, используя определения тангенса и косинуса. Рекомендую потренироваться и сделать это самим.
$$1+left(frac{a}{b}right)^2=frac{1}{frac{b^2}{c^2}};$$
$$left(frac{b^2}{b^2}right)+left(frac{a^2}{b^2}right)=1*frac{c^2}{b^2};$$
$$frac{b^2+a^2}{b^2}=frac{c^2}{b^2};$$
Используем теорему Пифагора:
$$frac{c^2}{b^2}=frac{c^2}{b^2};$$
Получили верное равенство, значит формула верна.

И вторая аналогичная формула для котангенса:
$$1+сtg^2(alpha)=frac{1}{sin^2(alpha)};$$
Вывод один в один, сделайте сами.

Для удобства соберем все формулы вместе.
$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1. qquad(1)$$
$$ tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}. qquad(2)$$
$$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)}. qquad(3)$$
$$tg(alpha)*ctg(alpha)=1.qquad(4)$$
$$1+tg^2(alpha)=frac{1}{cos^2(alpha)}. qquad(5)$$
$$1+сtg^2(alpha)=frac{1}{sin^2(alpha)}. qquad(6)$$

Это далеко не все тригонометрические формулы, их гораздо больше. Но для начала и для 9-го класса этого вполне достаточно.

Зачем же они нужны? Оказывается, эти формулы помогают связать тригонометрические функции между собой. Посмотрите внимательно на первую формулу (1): зная, например, чему равен косинус, можно легко найти синус, и наоборот.

Пример 1
Пусть (cos(alpha) =frac{1}{2}), найдите (sin(alpha)=?)

Берем основное тригонометрическое тождество (формула (1)) и подставляем в него известный по условию задачи (cos(alpha)=frac{1}{2}:)
$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1;$$
$$sin^2(alpha)+left(frac{1}{2}right)^2=1;$$
А дальше просто решаем получившееся уравнение относительно синуса:
$$sin^2(alpha)=1-left(frac{1}{2}right)^2;$$
$$sin^2(alpha)=1-frac{1}{4};$$
Приводим к общему знаменателю:

$$sin^2(alpha)=frac{4}{4}-frac{1}{4};$$
$$sin^2(alpha)=frac{3}{4};$$
И здесь внимательно решаем квадратное уравнение:
$$sin(alpha)=pmfrac{sqrt{3}}{2};$$
Обратите внимание на (pm). Синус может быть как положительным, так и отрицательным, так как при подстановке и возведении в квадрат минус сгорает. Значит здесь получается два ответа.

Ответ:(sin(alpha)=pmfrac{sqrt{3}}{2}.)

Аналогично, зная хотя бы одну тригонометрическую функцию, можно найти все остальные, используя тригонометрические формулы. Рассмотрим еще пример:

Пример 2
Пусть (sin(alpha) =frac{1}{3}), найдите (ctg(alpha)=?)

Смотрим на наш список формул и находим такую, в которой есть и синус и котангенс — это формула (6):
$$1+сtg^2(alpha)=frac{1}{sin^2(alpha)}.$$
Подставляем известный из условия синус (sin(alpha) =frac{1}{3}):
$$1+сtg^2(alpha)=frac{1}{left(frac{1}{3}right)^2}.$$
Перевернем правую часть:
$$1+сtg^2(alpha)=left(frac{3}{1}right)^2.$$
$$1+сtg^2(alpha)=9.$$
Теперь решим уравнение и найдем котангенс:
$$сtg^2(alpha)=8.$$
$$сtg(alpha)=pmsqrt{8}=pmsqrt{4}*sqrt{2}=pm2sqrt{2}.$$

Ответ:(сtg(alpha)=pm2sqrt{2}).

Выглядит пугающе, но учить вам это НЕ НУЖНО! В некоторых школах есть изверги, которые заставляют учить такую таблицу, но в этом совершенно нет необходимости. В дальнейшем мы научимся сами выводить все значения тригонометрических функций только из маленькой таблицы.

Обратите внимание, что синус некоторого угла в треугольнике всегда положителен, неважно, тупой или острый угол. А вот косинус, тангенс и котангенс в треугольнике положительны только от острых углов и отрицательны от тупых.

Тут может возникнуть вопрос, как может существовать синус, косинус, тангенс или котангенс от тупого угла, большего чем (90^o), если мы давали определение всех тригонометрических функций через прямоугольный треугольник, в котором нет углов больших (90^o). Ну что ж, да тригонометрические функции существуют для любых углов и острых, и тупых, но для самого начала тригонометрии определения через прямоугольный треугольник нам более чем достаточно. Просто запомните выводы, которые мы сделали в предыдущем абзаце.

Рассмотрим пример на тригонометрию по типу схожий с заданиями ОГЭ. Обычно задачи сводятся просто к нахождению тригонометрической функции некоторого угла, нарисованного на рисунке:

Пример 2
По рисунку определить значение (sin(alpha)=?)

По определению синус в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Первым делом достроим наш синий угол (angle{ABC}) до прямоугольного треугольника, для этого опустим из точки (A) высоту (AH) к (BC). Получили прямоугольный треугольник (AHB). Теперь можем воспользоваться определением синуса:
$$sin(alpha)=frac{AH}{AB};$$
По клеточкам на рисунке найдем длину отрезка (AH=15). А гипотенузу (AB) найти по клеточкам не выйдет, так как она идет по диагонали. Но мы можем найти опять по клеточкам второй катет в прямоугольном треугольнике (BH=12) и применить теорему Пифагора:
$$AB^2=AH^2+BH^2;$$
$$AB^2=15^2+12^2=225+144=369;$$
$$AB=sqrt{369}=3sqrt{41};$$
Подставим в формулу для синуса и найдем его:
$$sin(alpha)=frac{AH}{AB}=frac{15}{3sqrt{41}};$$

Ответ: (sin(alpha)= frac{15}{3sqrt{41}}.)

Разберем еще примеры посложнее на нахождение тригонометрических функций друг через друга. Некоторые даже будут из реального ЕГЭ:

Пример 3
Пусть (tg(alpha)=sqrt{3}), найти (cos(alpha)=?), если известно, что (alpha<90^o).
Задание из ЕГЭ по профильной математике.

Условие аналогично условию в примерах №1 и 2, но появилось еще какое-то ограничение на угол (alpha), пока не будем обращать на него внимания, и решаем как обычно. Воспользуемся формулой (5), в ней есть и косинус, и тангенс, как раз одна из функций нам дана, а другую надо найти:
$$1+tg^2(alpha)=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$1+(sqrt{3})^2=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$1+3=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$4=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$cos^2(alpha)=frac{1}{4};$$
$$cos(alpha)=pmfrac{1}{2}.$$

У нас опять получилось два ответа из-за квадрата. В условии сказано, что задание из первой части ЕГЭ, а значит два ответа быть не может. Для этого нам и дано, что (alpha<90^o). Это означает, что угол (alpha) острый, а значит косинус у острого угла обязательно должен быть положительный.

Ответ: (cos(alpha)=frac{1}{2}.)

Пример 4
Пусть (tg(alpha) =-2), найти (sin(alpha)=?), при (90^o<alpha<180^o).

Опять обратимся к нашим формулам (1-6) и пытаемся найти такую, в которой есть и синус и тангенс. И тут оказывается, что такой формулы нет. Но нам никто не запрещает, зная тангенс и используя формулу (5), найти косинус:
$$1+tg^2(alpha)=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$1+(-2)^2=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$5=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$cos^2(alpha)=frac{1}{5};$$
$$cos^2(alpha)=pmsqrt{frac{1}{5}};$$
Так как согласно условию (alpha>90^o), то значение косинуса должно быть отрицательным:
$$cos(alpha)=-sqrt{frac{1}{5}};$$

А потом, уже зная косинус, по основному тригонометрическому тождеству (1) можно найти требуемый в задаче синус:
$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1;$$
$$sin^2(alpha)+left(-sqrt{frac{1}{5}}right)^2=1;$$
$$sin^2(alpha)+frac{1}{5}=1;$$
$$sin^2(alpha)=-frac{1}{5}+1;$$
$$sin^2(alpha)=frac{4}{5};$$
$$sin(alpha)=pmsqrt{frac{4}{5}};$$
Синус у нас положительный и при острых ((alpha<90^o)) и при тупых углах ( (90<alpha<180) ):
$$sin(alpha)=sqrt{frac{4}{5}};$$

Ответ: (sin(alpha)=sqrt{frac{4}{5}}.)

Итак, зная значение хотя бы одной из четырех тригонометрических функций, при помощи формул (1-6) можно найти три оставшихся, именно для этого формулы и нужны.

Зная угол (angle{A}=60^o), мы знаем все тригонометрические функции от этого угла. Смотрите в таблицу (1):
$$sin(60^o)=frac{sqrt{3}}{2};$$
$$cos(60^o)=frac{1}{2};$$
$$tg(60^o)=sqrt{3};$$
$$ctg(60^o)=frac{1}{sqrt{3}};$$
С другой стороны, можно расписать функции по определению через отношение сторон в прямоугольном треугольнике:
$$sin(angle{A})=frac{BC}{AB};$$
$$cos(angle{A})=frac{AC}{AB};$$
$$tg(angle{A})=frac{BC}{AC};$$
$$ctg(angle{A})=frac{AC}{BC};$$

Не пугайтесь, все нам не понадобится. Воспользуемся пока формулами:
$$cos(60^o)=frac{1}{2};$$
$$cos(angle{A}=60^o)=frac{AC}{AB};$$
Нам известны косинус (angle{A}) и сторона (AC), а значит, мы можем найти гипотенузу (AB):
$$frac{1}{2}=frac{5}{AB};$$
$$AB=frac{5}{frac{1}{2}}=5*frac{2}{1}=10;$$
Нашли гипотенузу, теперь найдем последнюю сторону (BC). Для этого нам нужна любая формула с (BC), например:
$$sin(angle{A})=frac{BC}{AB};$$
Синус знаем, (AB) только что нашли — выражаем (BC):
$$BC=AB*sin(60^o)=10*frac{sqrt{3}}{2}=5*sqrt{3}.$$

Ответ: (AB=10;) (BC=5*sqrt{3}.)

Подведем итоги. Зная любую сторону в прямоугольном треугольнике и хотя бы один из острых углов, можно найти все остальные стороны при помощи тригонометрии.

Рассмотрим задачу посложнее.

Пример 6
Дан прямоугольный треугольник (bigtriangleup{ABC}), в котором угол (angle{C}=90^o), угол (tg(angle{A})=frac{1}{5}), сторона (AB=13). В треугольнике из прямого угла (angle{C}) проведена высота (CH). Найти (AH).

Первым делом обратите внимание на один очень важный факт. Если провести высоту в прямоугольном треугольнике из прямого угла, то она поделит треугольник еще на два прямоугольных. В нашем случае (bigtriangleup{ACH}) и (bigtriangleup{CHB}) тоже будут прямоугольными. А значит в них выполняются все соотношения для тригонометрических функций.
Например, в (bigtriangleup{ACH}) для угла (angle{A}) противолежащим катетом будет (CH), а прилежащим — сторона (AH), гипотенуза будет соответственно (AC). А значит можно записать формулы, следующие из определения тригонометрических функций:

$$sin(angle{A})=frac{CH}{AC};$$
$$cos(angle{A})=frac{AH}{AC};$$
$$tg(angle{A})=frac{CH}{AH};$$
$$ctg(angle{A})=frac{AH}{CH};$$

Аналогичные соотношения можно записать и для (bigtriangleup{CHB}) и (bigtriangleup{ABC}). Не буду нагромождать, запишите эти соотношения сами в качестве тренировки.

Следующий важный момент, на который следует обратить внимание — это углы в получившихся треугольниках. Обозначим угол (angle{CAB}=alpha). Тогда, так как (angle{CHA}=90^o), можно выразить угол:
$$angle{ACH}=180-angle{CAB}-angle{CHA}=180-alpha-90=90-alpha;$$
Напомню, что треугольник (bigtriangleup{ABC}) прямоугольный с прямым углом (angle{ACB}=90^o).
Значит
$$angle{HCB}=angle{ACB}-angle{ACH}=90-(90-alpha)=alpha=angle{CAB};$$

Важный факт: (angle{HCB}=angle{CAB})! А равенство этих углов само собой означает и равенство всех тригонометрических функций. То есть, например, (sin(angle{HCB})=sin(angle{ACB})). Точно так же у них равны и косинусы, и тангенсы, и даже котангенсы!

Аналогичные рассуждения можно провести для углов (angle{ACH}=angle{CBA}).
Запомните это!

А теперь приступим непосредственно к решению задачи. Нам известна гипотенуза (AB) и (tg(alpha)). По определению тангенса в (bigtriangleup{ABC}):
$$tg(angle{A})=frac{CB}{AC};$$
Либо из (bigtriangleup{ACH}):
$$tg(angle{A})=frac{CH}{AH};$$

В этих формулах есть проблема: нет известной нам стороны, гипотенузы (AB). А значит, у нас две неизвестные, и решить мы не можем.

Но зная тангенс, мы легко можем найти косинус по формуле:
$$1+tg(alpha)^2=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$1+left(frac{1}{5}right)^2=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$1+frac{1}{25}=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$frac{26}{25}=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$cos^2(alpha)=frac{1}{frac{26}{25}}=1*frac{25}{26}=frac{25}{26};$$
$$cos(alpha)=pmsqrt{frac{25}{26}}=pmfrac{5}{sqrt{26}};$$
Так как (anglealpha) это острый угол из прямоугольного треугольника, то его косинус точно будет положительным:
$$cos(alpha)=frac{5}{sqrt{26}}.$$
Не самый приятный косинус, но что делать, будем решать так, как есть.

С другой стороны, из (bigtriangleup{ABC}):
$$cos(alpha)=frac{AC}{AB};$$
Подставим известное (AB):
$$frac{5}{sqrt{26}}=frac{AC}{13};$$
$$AC=13*frac{5}{sqrt{26}}=frac{13*5}{sqrt{26}};$$
Либо косинус еще можно расписать в (bigtriangleup{ACH}):
$$cos(alpha)=frac{AH}{AC}=frac{5}{sqrt{26}};$$
Подставим найденное (AC):
$$frac{AH}{frac{13*5}{sqrt{26}}}=frac{5}{sqrt{26}};$$
$$AH=frac{5}{sqrt{26}}*frac{13*5}{sqrt{26}}=frac{5*13*5}{26}=frac{25}{2}=12,5.$$

Ответ: (AH=12,5.)

Источник

Тригонометрия




Когда-то в школе на изучение тригонометрии выделялся отдельный курс. В аттестат выставляли оценки по трём математическим дисциплинам: алгебре, геометрии и тригонометрии.

Затем в рамках реформы школьного образования тригонометрия перестала существовать как отдельный предмет. В современной школе первое знакомство с тригонометрией происходит в курсе геометрии 8 класса. Более глубокое изучение предмета продолжается в курсе алгебры 10 класса.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса сначала даются в геометрии через связь сторон прямоугольного треугольника.

Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Эти определения применимы только для острых углов (от 0º до 90°).

sinus-v-pryamougolnom-treugolnikeНапример,

в треугольнике ABC, где ∠C=90°, BC — катет, противолежащий углу A, AC — прилежащий к углу A катет, AB — гипотенуза.

    [ sin A = frac{{BC}}{{AB}},cos A = frac{{AC}}{{AB}}, ]

    [ tgA = frac{{BC}}{{AC}},{mathop{rm c}nolimits} tgA = frac{{AC}}{{BC}}. ]

В курсе алгебры 10 класса вводятся определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для любого угла (в том числе, отрицательного).

Рассмотрим окружность радиуса R с центром в начале координат — точке O(0;0). Точку пересечения окружности с положительным направлением оси абсцисс обозначим P0.

В геометрии угол рассматривается как часть плоскости, ограниченная двумя лучами. При таком определении величина угла изменяется от 0° до 180°.

В тригонометрии угол рассматривают как результат поворота луча OP0 вокруг начальной точки O.

При этом поворот луча против часовой стрелки договорились считать положительным направлением обхода, по часовой стрелке — отрицательным (это соглашение связано с истинным движением Солнца вокруг Земли).

ugol-v-trigonometrii

Например, при повороте луча OP0 вокруг точки O на угол α против часовой стрелки точка P0  перейдёт в точку Pα,

при повороте на угол α по часовой стрелке — в точку F.

При таком определении величина угла может принимать любые значения.

Если продолжить вращение луча OP0 против часовой стрелки, при повороте на угол α°+360°, α°+360°·2,…,α°+360°·n, где n — целое число (n∈Ζ), снова попадём в точку Pα:

    [ P_alpha = P_{alpha + 360^o cdot n} ]

trigonometricheskij-ugol

Углы измеряют в градусах и в радианах.

1° — это угол, равный 1/180 части градусной меры развёрнутого угла.

1 радиан — это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности:

ugol-v-1-radian

∠AOB=1 рад.

∪ AB=OA=R.

    [ 1papartial = frac{{180^o }}{pi }, ]

    [ 1^o = frac{pi }{{180}}papartial . ]

1 рад≈57°

Обозначения радиана обычно не пишут. Обозначение градуса в записи пропускать нельзя.

Например,

    [ frac{pi }{3} = 60^o . ]

Точка Pα, полученная из точки P0 поворотом луча OP0 вокруг точки O на угол α против часовой стрелки, имеет координаты Pα(x;y).

Опустим из точки Pα перпендикуляр PαA на ось абсцисс.

trigonometriya

В прямоугольном треугольнике OPαA:

∠PαOA=α,

PαA — катет, противолежащий углу α,

OA — катет, прилежащий к углу α,

OPα — гипотенуза.

PαA=y, OA=x, OPα=R.

По определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике имеем:

    [ sin angle P_alpha OA = frac{{P_alpha A}}{{OP_alpha }};cos angle P_alpha OA = frac{{OA}}{{OP_alpha }}; ]

    [ tgangle P_alpha OA = frac{{P_alpha A}}{{OA}};{mathop{rm c}nolimits} tgangle P_alpha OA = frac{{OA}}{{P_alpha A}}; ]

то есть

    [ sin alpha = frac{y}{R},cos alpha = frac{x}{R}, ]

    [ tgalpha = frac{y}{x},{mathop{rm c}nolimits} tgalpha = frac{x}{y}. ]

Таким образом, в случае окружности с центром в начале координат произвольного радиуса синусом угла α называется отношение ординаты точки Pα к длине радиуса.

Косинусом угла α называется отношение абсциссы точки Pα к длине радиуса.

Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки Pα к её абсциссе.

Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки Pα к её ординате.

trigonometriya-edinichnaya-okruzhnostЗначения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят только от величины α и не зависят от длины радиуса R (это следует из подобия окружностей).

Поэтому удобно выбрать R=1.

Окружность с центром в начале координат и радиусом R=1 называется единичной.

Определения

1) Синусом угла α называется ордината точки Pα(x;y) единичной окружности:

    [ sin alpha = y ]

2) Косинусом угла α называется абсцисса точки Pα(x;y) единичной окружности:

    [ cos alpha = x ]

3) Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки Pα(x;y) к её абсциссе, то есть отношение sinα к cosα (где cosα≠0):

    [ tgalpha = frac{{sin alpha }}{{cos alpha }} ]

4) Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки Pα(x;y) к её ординате, то есть отношение cosα к sinα (где sinα≠0):

    [ {mathop{rm c}nolimits} tgalpha = frac{{cos alpha }}{{sin alpha }}.]

Введённые таким образом определения позволяют рассматривать не только тригонометрические функции углов, но и тригонометрические функции числовых аргументов (если рассматривать sinα, cosα, tgα и ctgα как соответствующие тригонометрические функции угла в α радиан, то есть  синус числа α — это синус угла в α радиан, косинус числа α — это косинус угла в α радиан и т.д.).

Свойства тригонометрических функций изучаются в курсе алгебры в 10 или 11 классе отдельной темой. Тригонометрические функции широко применяются в физике.

       

Источник

Рис. 1
Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса

Тригонометрические фу́нкции — математические функции от угла. Они безусловно важны при изучении геометрии, а также при исследовании периодических процессов. Обычно тригонометрические функции определяют как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определённых отрезков в единичной окружности. Более современные определения выражают тригонометрические функции через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на произвольные вещественные числа и даже на комплексные числа.

В настоящее время выделяют шесть основных тригонометрических функций, указанных ниже вместе с уравнениями, связывающими их друг с другом. Для последних четырёх функций, эти соотношения часто называют определениями этих функций, однако можно определять эти функции геометрически или как-нибудь по-другому. Кроме того, существуют другие функции, такие как {displaystyle operatorname {versin} } и {displaystyle operatorname {exsec} }, но они в настоящее время редко используются (см. Редко используемые тригонометрические функции). С тригонометрическими функциями тесно связаны обратные им функции (см. Обратные тригонометрические функции)

Основные тригонометрические функции

Функция Обозначение Соотношение
Си́нус {displaystyle sin } {displaystyle sin x=cos left({frac {pi }{2}}-xright)}
Ко́синус {displaystyle cos } {displaystyle cos x=sin left({frac {pi }{2}}-xright)}
Та́нгенс {displaystyle operatorname {tg} } или {displaystyle tan } {displaystyle operatorname {tg} ;x={frac {sin x}{cos x}}=operatorname {ctg} ;left({frac {pi }{2}}-xright)={frac {1}{operatorname {ctg} ;x}}}
Кота́нгенс {displaystyle operatorname {ctg} } или {displaystyle cot } {displaystyle operatorname {ctg} ;x={frac {cos x}{sin x}}=operatorname {tg} ;left({frac {pi }{2}}-xright)={frac {1}{operatorname {tg} ;x}}}
Се́канс {displaystyle sec } {displaystyle sec x={frac {1}{cos x}}=csc left({frac {pi }{2}}-xright)}
Косе́канс {displaystyle operatorname {cosec} } или {displaystyle csc } {displaystyle operatorname {cosec} ;x={frac {1}{sin x}}=sec left({frac {pi }{2}}-xright)}

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

Чтобы определить тригонометрические функции произвольного угла {displaystyle alpha ,} возьмём произвольный прямоугольный треугольник, содержащий угол {displaystyle alpha }. Стороны этого треугольника мы будем называть так:

Будем предполагать, что треугольник лежит в евклидовой плоскости, поэтому сумма его углов равна {displaystyle pi .} Это означает, что углы между катетами и гипотенузой лежат между {displaystyle 0} и {displaystyle {frac {pi }{2}}.} Используя формулы приведения или определение через единичную окружность, можно расширить область определения тригонометрических функций на множество вещественных чисел.

Си́нус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе: {displaystyle sin alpha ={frac {a}{c}}.} Это отношение не зависит от выбора треугольника {displaystyle {ABC}}, содержащего угол {displaystyle alpha ,} так как все такие треугольники подобны.

Ко́синус угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: {displaystyle cos alpha ={frac {b}{c}}.} Так как {displaystyle sin beta ={frac {b}{c}},} синус одного острого угла в треугольнике равна косинусу второго, и наоборот.

Та́нгенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему: {displaystyle operatorname {tg} ,alpha ={frac {a}{b}}.}

Кота́нгенс угла — отношение прилежащего катета к противолежащему: {displaystyle operatorname {ctg} ,alpha ={frac {b}{a}}.} Котангенс одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен тангенсу второго, и наоборот.

Се́канс угла — отношение гипотенузы к прилежащему катету: {displaystyle sec alpha ={frac {c}{b}}.}

Косе́канс угла — отношение гипотенузы к противолежащему катету: {displaystyle operatorname {cosec} ,alpha ={frac {c}{a}}.}

Из определений тригонометрических функций следует:

{displaystyle a=csin alpha ,,}
{displaystyle b=ccos alpha ,,}
{displaystyle a=b,operatorname {tg} ,alpha ,}
{displaystyle b=a,operatorname {ctg} ,alpha ,}
{displaystyle c=bsec alpha ,,}
{displaystyle c=a,operatorname {cosec} ,alpha ,}

и симметрично:

{displaystyle b=csin beta ,,}
{displaystyle a=ccos beta ,,}
{displaystyle b=a,operatorname {tg} ,beta ,}
{displaystyle a=b,operatorname {ctg} ,beta ,}
{displaystyle c=asec beta ,,}
{displaystyle c=b,operatorname {cosec} ,beta .}

Определение тригонометрических функций через окружность

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с началом в точке {displaystyle O} и с осями {displaystyle {OX}} и {displaystyle {OY}} . Возьмём в этой системе координат окружность с центром в точке {displaystyle O} и радиусом, равным единице. Пусть отрезок {displaystyle {OA}} поворачивается на произвольный угол {displaystyle vartheta } вокруг центра {displaystyle O.}

Синусом угла {displaystyle vartheta } называется отношение ординаты точки {displaystyle A} к длине отрезка {displaystyle {OA}.} Обозначают {displaystyle sin vartheta ={frac {AC}{OA}}.} Так как длина отрезка {displaystyle {OA}} равна {displaystyle 1}, то {displaystyle sin vartheta ={AC}.}

Косинусом угла {displaystyle vartheta } называется отношение абсциссы точки {displaystyle A} к длине отрезка {displaystyle {OA}.} Обозначают {displaystyle cos vartheta ={frac {OC}{OA}}.} Так как длина отрезка {displaystyle {OA}} равна 1, то {displaystyle cos vartheta ={OC}.}

Тангенсом угла {displaystyle vartheta } называется отношение ординаты точки {displaystyle A} к абсциссе точки {displaystyle A}. Обозначают {displaystyle operatorname {tg} ,vartheta ={frac {AC}{OC}}} (в англоязычной литературе {displaystyle tan vartheta ).} Так как {displaystyle {AC}=sin vartheta } и {displaystyle {OC}=cos vartheta ,} то {displaystyle operatorname {tg} ,vartheta ={frac {sin vartheta }{cos vartheta }}.}

Котангенсом угла {displaystyle vartheta } называется отношение абсциссы точки {displaystyle A} к ординате точки {displaystyle A}. Обозначают {displaystyle operatorname {ctg} ,vartheta ={frac {OC}{AC}}} (в англоязычной литературе {displaystyle cot vartheta ).} Так как {displaystyle {AC}=sin vartheta } и {displaystyle {OC}=cos vartheta ,} то {displaystyle operatorname {ctg} ,vartheta ={frac {cos vartheta }{sin vartheta }}.} Котангенс равен обратному значению тангенса: {displaystyle operatorname {ctg} ,vartheta ={frac {1}{operatorname {tg} ,vartheta }}.}

Секансом угла {displaystyle vartheta } называется отношение длины отрезка {displaystyle {OA}} к абсциссе точки {displaystyle A}. Обозначают {displaystyle sec vartheta ={frac {OA}{OC}}.} Так как длина отрезка {displaystyle {OA}} равна 1, то {displaystyle sec vartheta ={frac {1}{OC}}.} Секанс равен обратному значению косинуса: {displaystyle sec vartheta ={frac {1}{cos vartheta }}.}

Косекансом угла {displaystyle vartheta } называется отношение длины отрезка {displaystyle {OA}} к ординате точки {displaystyle A}. Обозначают {displaystyle operatorname {cosec} ,vartheta ={frac {OA}{AC}}} (в англоязычной литературе {displaystyle csc vartheta ).} Так как длина отрезка {displaystyle {OA}} равна {displaystyle 1}, то {displaystyle operatorname {cosec} ,vartheta ={frac {1}{AC}}.} Косеканс равен обратному значению синуса: {displaystyle operatorname {cosec} ,vartheta ={frac {1}{sin vartheta }}.}

Из определения следует: если косинус угла равен нулю, то тангенс и секанс этого угла не существуют. Аналогично для котангенса и косеканса: если синус угла равен нулю, то котангенс и косеканс этого угла не существуют.

Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенных рядов:

{displaystyle sin x=x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-{frac {x^{7}}{7!}}+{frac {x^{9}}{9!}}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},}
{displaystyle cos x=1-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{4}}{4!}}-{frac {x^{6}}{6!}}+{frac {x^{8}}{8!}}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.}

Пользуясь этими формулами, а также уравнениями {displaystyle operatorname {tg} ,x={frac {sin x}{cos x}},} {displaystyle operatorname {ctg} ,x={frac {cos x}{sin x}},} {displaystyle sec x={frac {1}{cos x}}} и {displaystyle operatorname {cosec} ,x={frac {1}{sin x}},} можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:

{displaystyle operatorname {tg} ,x=x+{frac {x^{3}}{3}}+{frac {2x^{5}}{15}}+{frac {17x^{7}}{315}}+{frac {62x^{9}}{2835}}+cdots =sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}quad left(-{frac {pi }{2}}<x<{frac {pi }{2}}right),quad } где {displaystyle B_{n}} — числа Бернулли.
{displaystyle sec x=1+{frac {x^{2}}{2}}+{frac {5x^{4}}{24}}+{frac {61x^{6}}{720}}+{frac {277x^{8}}{8064}}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n},} где {displaystyle E_{n}} — числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.

{displaystyle alpha ,!} 0°(0 рад) 30° (π/6) 45° (π/4) 60° (π/3) 90° (π/2) 180° (π) 270° (3π/2)
{displaystyle sin alpha ,!} {displaystyle {0},!} {displaystyle {frac {1}{2}},!} {displaystyle {frac {sqrt {2}}{2}},!} {displaystyle {frac {sqrt {3}}{2}},!} {displaystyle {1},!} {displaystyle {0},!} {displaystyle {-1},!}
{displaystyle cos alpha ,!} {displaystyle {1},!} {displaystyle {frac {sqrt {3}}{2}},!} {displaystyle {frac {sqrt {2}}{2}},!} {displaystyle {frac {1}{2}},!} {displaystyle {0},!} {displaystyle {-1},!} {displaystyle {0},!}
{displaystyle mathop {mathrm {tg} } ,alpha ,!} {displaystyle {0},!} {displaystyle {frac {1}{sqrt {3}}},!} {displaystyle {1},!} {displaystyle {sqrt {3}},!} {displaystyle infty ,!} {displaystyle {0},!} {displaystyle infty ,!}
{displaystyle mathop {mathrm {ctg} } ,alpha ,!} {displaystyle infty ,!} {displaystyle {sqrt {3}},!} {displaystyle {1},!} {displaystyle {frac {1}{sqrt {3}}},!} {displaystyle {0},!} {displaystyle infty ,!} {displaystyle {0},!}
{displaystyle sec alpha ,!} {displaystyle {1},!} {displaystyle {frac {2}{sqrt {3}}},!} {displaystyle {sqrt {2}},!} {displaystyle {2},!} {displaystyle infty ,!} {displaystyle {-1},!} {displaystyle infty ,!}
{displaystyle operatorname {cosec} ,alpha ,!} {displaystyle infty ,!} {displaystyle {2},!} {displaystyle {sqrt {2}},!} {displaystyle {frac {2}{sqrt {3}}},!} {displaystyle {1},!} {displaystyle infty ,!} {displaystyle {-1},!}

Значения тригонометрических функций нестандартных углов

{displaystyle sin {frac {pi }{10}}=sin 18^{circ }={frac {{sqrt {5}}-1}{4}}}{displaystyle operatorname {tg} {frac {pi }{120}}=operatorname {tg} 1.5^{circ }={sqrt {frac {8-{sqrt {2(2-{sqrt {3}})(3-{sqrt {5}})}}-{sqrt {2(2+{sqrt {3}})(5+{sqrt {5}})}}}{8+{sqrt {2(2-{sqrt {3}})(3-{sqrt {5}})}}+{sqrt {2(2+{sqrt {3}})(5+{sqrt {5}})}}}}}}

{displaystyle cos {frac {pi }{240}}={frac {1}{16}}left({sqrt {2-{sqrt {2+{sqrt {2}}}}}}left({sqrt {2(2+{sqrt {5}})}}+{sqrt {3}}-{sqrt {15}}right)+{sqrt {{sqrt {2+{sqrt {2}}}}+2}}left({sqrt {6(5+{sqrt {5}})}}+{sqrt {5}}-1right)right)}

{displaystyle cos {frac {pi }{17}}={frac {1}{8}}{sqrt {2left({sqrt {2{sqrt {frac {17(17-{sqrt {17}})}{2}}}-{sqrt {frac {17-{sqrt {17}}}{2}}}-4{sqrt {34+2{sqrt {17}}}}+3{sqrt {17}}+17}}+{sqrt {34-2{sqrt {17}}}}+{sqrt {17}}+15right)}}}

Свойства тригонометрических функций

Функция y = cos x — чётная. Функции: y = sin x, y = tg x, y = ctg x — нечётные, то есть:

{displaystyle sin left(-xright)=-sin x,,}
{displaystyle cos left(-xright)=cos x,,}
{displaystyle mathop {mathrm {tg} } ,left(-xright)=-mathop {mathrm {tg} } ,x,,}
{displaystyle mathop {mathrm {ctg} } ,left(-xright)=-mathop {mathrm {ctg} } ,x,.}

Для острых углов {displaystyle alpha <{frac {pi }{2}},!}
справедливо:

{displaystyle sin left({frac {pi }{2}}-alpha right)=cos alpha ,,}
{displaystyle cos left({frac {pi }{2}}-alpha right)=sin alpha ,,}
{displaystyle mathop {mathrm {tg} } ,left({frac {pi }{2}}-alpha right)=mathop {mathrm {ctg} } ,alpha ,,}
{displaystyle mathop {mathrm {ctg} } ,left({frac {pi }{2}}-alpha right)=mathop {mathrm {tg} } ,alpha ,.}

Для углов {displaystyle 0<alpha <pi ,!} справедливо:

{displaystyle sin left(pi -alpha right)=sin alpha ,,}
{displaystyle cos left(pi -alpha right)=-cos alpha ,,}
{displaystyle mathop {mathrm {tg} } ,left(pi -alpha right)=-mathop {mathrm {tg} } ,alpha ,qquad alpha neq {frac {pi }{2}},.}

Рассмотрим треугольник ABO (см. Рис. 1). По теореме Пифагора:

{displaystyle left(ABright)^{2}+left(BOright)^{2}=left(OAright)^{2},,}

если OA = 1, то AB = sin α и OB = cos α, то есть

{displaystyle sin ^{2}alpha +cos ^{2}alpha =1.qquad qquad (1),}

Если разделить выражение (1) на {displaystyle cos ^{2}alpha ,,} то получим следующее тождество:

{displaystyle 1+mathop {mathrm {tg} } ,^{2}alpha ={frac {1}{cos ^{2}alpha }}.qquad qquad (2),}

Если разделить выражение (1) на {displaystyle sin ^{2}alpha ,,} то получим следующее тождество:

{displaystyle 1+{frac {1}{mathop {mathrm {tg} } ,^{2}alpha }}={frac {1}{sin ^{2}alpha }},qquad qquad (3),}

или

{displaystyle 1+mathop {mathrm {ctg} } ,^{2}alpha ={frac {1}{sin ^{2}alpha }}.qquad qquad (4),}

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно дифференцируемы на всей области определения:

{displaystyle (sin x)'=cos x,,}

{displaystyle (cos x)'=-sin x,,}

{displaystyle (mathop {mathrm {tg} } ,x)'={frac {1}{cos ^{2}x}},}

{displaystyle (mathop {mathrm {ctg} } ,x)'=-{frac {1}{sin ^{2}x}}.}

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

История

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива»), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.

Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Термины «тангенс» (от лат. «tangens» — касающийся) и «секанс» (лат. «secans» — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)

См. также

  • Гиперболические функции
  • Обратные тригонометрические функции
  • Редко используемые тригонометрические функции
  • Теорема синусов
  • Тригонометрические формулы

Ссылки

  • GonioLab: Проясненная Единичная Окружность, Тригонометрические и Гиперболические функции (Java Web Start)

ar:تابع مثلثي
ast:Función trigonométrica
bg:Тригонометрична функция
bs:Trigonometrijske funkcije
ca:Funció trigonomètrica
cs:Goniometrická funkce
da:Trigonometrisk funktion
gl:Función trigonométrica
io:Trigonometriala funciono
is:Hornafall
ksh:Sinus
nl:Goniometrische functie
pl:Funkcje trygonometryczne
simple:Trigonometric function
sl:Trigonometrična funkcija
sr:Тригонометријске функције
sv:Trigonometrisk funktion
tg:Функсияҳои тригонометрӣ
th:ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
uk:Тригонометричні функції
vi:Hàm lượng giác
zh-classical:三角函數

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *