На странице вы найдете все формулы тригонометрии в удобном для использования оформлении. Формулы структурированы в блоки по количеству аргументов, степеням, арифметическим операциям над ними.
Содержание:
- Основные тригонометрические тождества
- Формулы двойного угла
- Формулы тройного угла
- Формулы понижения степени
- Вторая степень
- Третья степень
- Четвертая степень
- Пятая степень
- Формулы половинного угла
- Формулы понижения степени половинного угла
- Формулы сложения аргументов
- Формулы вычитания аргументов
- Формулы суммы
- Формулы разности
- Формулы произведения
- Формулы произведения в степени
- Все формулы на одном листе
Все формулы тригонометрии
Основные тригонометрические тождества
tg alpha = dfrac {sin alpha}{ cos alpha} = dfrac{1}{ctg alpha}
ctg alpha = dfrac {cos alpha}{ sin alpha} = dfrac{1}{tg alpha}
sin ^2 alpha + cos ^2 alpha = 1
1+tg^2alpha=dfrac{1}{cos^2alpha}
1+ctg^2alpha=dfrac{1}{sin^2alpha}
tgalpha cdot ctgalpha=1
Формулы двойного угла (аргумента)
sin(2alpha)=2 cdot cos alpha cdot sin alpha
sin(2alpha)=dfrac{2 cdot tg alpha}{1+tg ^2 alpha}=dfrac{2 cdot ctg alpha}{1+ctg ^2 alpha}=dfrac{2}{tg alpha + ctg alpha}
cos(2alpha)=cos ^2 alpha- sin ^2 alpha = 2 cdot cos ^2 alpha- 1 = 1- 2 cdot sin ^2 alpha
cos(2alpha)=dfrac{1 -tg ^2 alpha}{1+tg ^2 alpha}=dfrac{ctg ^2 alpha- 1}{ctg ^2 alpha +1}=dfrac{ctg alpha-tg alpha}{ctg alpha + tg alpha}
tg(2alpha) = dfrac{2 cdot tg alpha}{1-tg ^2 alpha}=dfrac{2 cdot ctg alpha}{ctg ^2 alpha- 1}=dfrac{2}{ctg alpha- tg alpha}
ctg(2alpha) = dfrac{ctg ^2 alpha-1}{2 cdot ctg alpha}=dfrac{ctg alpha- tg alpha}{2}
Формулы тройного угла (аргумента)
sin(3alpha)=3 cdot sin alpha- 4 cdot sin ^3 alpha
cos(3alpha)= 4 cdot cos ^3 alpha- 3 cdot cos alpha
tg(3alpha)= dfrac{3 cdot tg alpha- tg ^3 alpha}{1-3 cdot tg ^2 alpha}
ctg(3alpha)= dfrac{ctg ^3 alpha- 3 cdot ctg alpha}{3 cdot ctg ^2 alpha -1}
Формулы понижения степени тригонометрических функций
Вторая степень
sin ^2 alpha = dfrac{1-cos(2alpha)}{2}
cos ^2 alpha = dfrac{1+cos(2alpha)}{2}
tg ^2 alpha = dfrac{1-cos(2alpha)}{1+cos(2alpha)}
ctg ^2 alpha = dfrac{1+cos(2alpha)}{1-cos(2alpha)}
(sin alpha- cos alpha)^2=1-sin(2 alpha)
(sin alpha+ cos alpha)^2=1+sin(2 alpha)
Третья степень
sin ^3 alpha = dfrac{3 cdot sin(alpha)-sin(3 alpha)}{4}
cos ^3 alpha = dfrac{3 cdot cos(alpha)+cos(3 alpha)}{4}
tg ^3 alpha = dfrac{3 cdot sin (alpha)-sin(3 alpha)}{3 cdot cos (alpha)+cos(3 alpha)}
ctg ^3 alpha = dfrac{3 cdot cos (alpha)+cos(3 alpha)}{3 cdot sin (alpha)-sin(3 alpha)}
Четвёртая степень
sin ^4 alpha = dfrac{3-4 cdot cos(2 alpha)+cos(4 alpha)}{8}
cos ^4 alpha = dfrac{3+4 cdot cos(2 alpha)+cos(4 alpha)}{8}
Пятая степень
sin ^5 alpha = dfrac{10 cdot sin(alpha)-5 cdot sin(3 alpha)+sin(5 alpha)}{16}
cos ^5 alpha = dfrac{10 cdot cos(alpha)+5 cdot cos(3 alpha)+cos(5 alpha)}{16}
Формулы половинного угла (аргумента)
sin Big( dfrac{alpha}{2} Big)=pm sqrt{dfrac{1-cos alpha}{2}}
cos Big( dfrac{alpha}{2} Big)=pm sqrt{dfrac{1+cos alpha}{2}}
tg Big( dfrac{alpha}{2} Big)= dfrac{1-cos alpha}{sin alpha}= dfrac{sin alpha}{1+cos alpha}
ctg Big( dfrac{alpha}{2} Big)= dfrac{1+cos alpha}{sin alpha}= dfrac{sin alpha}{1-cos alpha}
Формулы понижения степени половинного угла (аргумента)
sin ^2 Big( dfrac{alpha}{2} Big)=dfrac{1-cos alpha}{2}
cos ^2 Big( dfrac{alpha}{2} Big)=dfrac{1+cos alpha}{2}
tg ^2 Big( dfrac{alpha}{2} Big)=dfrac{1-cos alpha}{1+cos alpha}
ctg ^2 Big( dfrac{alpha}{2} Big)=dfrac{1+cos alpha}{1-cos alpha}
Формулы сложения аргументов
sin(alpha + beta)=sin alpha cdot cos beta + cos alpha cdot sin beta
cos(alpha + beta)=cos alpha cdot cos beta- sin alpha cdot sin beta
tg(alpha + beta)= dfrac{tg alpha + tg beta}{1-tg alpha cdot tg beta}
ctg(alpha + beta)= dfrac{ctg alpha cdot ctg beta-1}{ctg alpha + ctg beta}
Формулы вычитания аргументов
sin(alpha- beta)=sin alpha cdot cos beta- cos alpha cdot sin beta
cos(alpha- beta)=cos alpha cdot cos beta+ sin alpha cdot sin beta
tg(alpha- beta)= dfrac{tg alpha- tg beta}{1+tg alpha cdot tg beta}
ctg(alpha- beta)= dfrac{ctg alpha cdot ctg beta+1}{ctg beta — ctg alpha}
Формулы суммы тригонометрических функций
sin alpha+ sin beta=2 cdot sin big( dfrac{alpha + beta}{2} big) cdot cos big( dfrac{alpha- beta}{2} big)
cos alpha+ cos beta=2 cdot cos big( dfrac{alpha + beta}{2} big) cdot cos big( dfrac{alpha- beta}{2} big)
tg alpha + tg beta = dfrac{sin(alpha + beta)}{cos alpha cdot cos beta}
ctg alpha + ctg beta = dfrac{sin(alpha + beta)}{cos alpha cdot cos beta}
sin (alpha)+cos(alpha)=sqrt{2} cdot sin Big( alpha+ dfrac{pi}{4} Big)
Формулы разности тригонометрических функций
sin alpha- sin beta=2 cdot sin big( dfrac{alpha- beta}{2} big) cdot cos big( dfrac{alpha+ beta}{2} big)
cos alpha- cos beta=-2 cdot sin big( dfrac{alpha + beta}{2} big) cdot sin big( dfrac{alpha- beta}{2} big)
tg alpha- tg beta = dfrac{sin(alpha- beta)}{cos alpha cdot cos beta}
ctg alpha- ctg beta = dfrac{sin(alpha + beta)}{sin alpha cdot sin beta}
sin (alpha)-cos(alpha)=sqrt{2} cdot sin Big( alpha- dfrac{pi}{4} Big)
Формулы произведения тригонометрических функций
sin alpha cdot sin beta = dfrac{cos (alpha- beta)-cos(alpha + beta)}{2}
sin alpha cdot cos beta = dfrac{sin (alpha- beta)+sin(alpha + beta)}{2}
cos alpha cdot cos beta = dfrac{cos (alpha- beta)+cos(alpha + beta)}{2}
tg alpha cdot tg beta = dfrac{cos(alpha- beta)- cos(alpha+beta)}{cos(alpha- beta)+ cos(alpha+beta)}=dfrac{tg alpha + tg beta}{ctg alpha + ctg beta}
ctg alpha cdot ctg beta = dfrac{cos(alpha- beta)+ cos(alpha+beta)}{cos(alpha- beta)- cos(alpha+beta)}=dfrac{ctg alpha + ctg beta}{tg alpha + tg beta}
tg alpha cdot ctg beta = dfrac{sin(alpha- beta)+ sin(alpha+beta)}{sin(alpha+ beta)- sin(alpha-beta)}
Формулы произведения тригонометрических функций в степени
sin ^2 (alpha) cdot cos ^2 (alpha) = dfrac{1-cos(4 alpha)}{8}
sin ^3 (alpha) cdot cos ^3 (alpha) = dfrac{3 cdot sin(2 alpha)- sin(6 alpha)}{32}
sin ^4 (alpha) cdot cos ^4 (alpha) = dfrac{3-4 cdot cos(4 alpha)+ cos(8 alpha)}{128}
sin ^5 (alpha) cdot cos ^5 (alpha) = dfrac{10 cdot sin (2 alpha)-5 cdot sin(6 alpha)+sin (10 alpha)}{512}
Все формулы тригонометрии на одном листе
На этой картинке собраны все формулы тригонометрии для печати. Лист можно распечатать и использовать при решении задач ЕГЭ или вырезать таблицы и использовать как шпаргалку. Распечатанный лист можно применять как справочный материал при решении задач по тригонометрии в 10 и 11 классе.
subjects:mathematics:тригонометрические_выражения_и_формулы
Содержание
Тригонометрические выражения и тригонометрические формулы
Отметим на координатной оси Ох справа от точки О точку А и построим окружность с центром в точке О и радиусом ОА (так называемым начальным радиусом).
Окружность с центром в точке О и радиусом ОА
Рис.1
Пусть при повороте на угол a против часовой стрелки начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ.
Тогда:
-
Синусом (sin α) угла α называется отношение ординаты точки В к длине радиуса.
-
Косинусом (cos α) угла α называется отношение абсциссы точки В к длине радиуса.
-
Тангенсом (tg α) угла α называется отношение ординаты точки В к ее абсциссе.
-
Котангенсом (ctg α) угла α называется отношение абсциссы точки В к ее ординате.
-
Секанс определяется как sec α = 1/(cos α)
-
Косеканс определяется как cosec α = 1/(sin α)
-
В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x
Если координаты точки В равны x и y, то:
$$sin{alpha} = frac{y}{R};;; cos{alpha} = frac{x}{R};;; {rm tg}, alpha = frac{y}{x};;; {rm ctg}, alpha = frac{x}{y}$$
Таблица значений sin α, cos α, tg α, ctg α
Приведем таблицу значений тригонометрических функций некоторых углов (прочерк сделан, когда выражение не имеет смысла):
| Таблица значений sin α, cos α, tg α, ctg α | ||||||||
| 0º | 30º | 45º | 60º | 90º | 180º | 270º | 360º | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 рад | $frac{pi}{6}$ | $frac{pi}{4}$ | $frac{pi}{3}$ | $frac{pi}{2}$ | $pi$ | $frac{3pi}{2}$ | $2pi$ | |
| $sin alpha$ | 0 | $frac{1}{2}$ | $frac{sqrt{2}}{2}$ | $frac{sqrt{3}}{2}$ | 1 | 0 | -1 | 0 |
| $cos alpha$ | 1 | $frac{sqrt{3}}{2}$ | $frac{sqrt{2}}{2}$ | $frac{1}{2}$ | 0 | -1 | 0 | 1 |
| $textrm{tg}, alpha$ | 0 | $frac{1}{sqrt{3}}$ | 1 | $sqrt{3}$ | — | 0 | — | 0 |
| $textrm{ctg}, alpha$ | — | $sqrt{3}$ | 1 | $frac{1}{sqrt{3}}$ | 0 | — | 0 | — |
Свойства sin, cos, tg и ctg
Свойства синуса (sin), косинуса (cos), тангенса(tg) и котангенса(ctg):
-
Определение знака
-
Если α-угол I или II координатной четверти, то sin α > 0;
-
Если α-угол III или IV координатной четверти, то sin α < 0;
-
Если α-угол I или IV координатной четверти, то cos α > 0;
-
Если α-угол II или III координатной четверти, то cos α < 0;
-
Если α-угол I или III координатной четверти, то tg α > 0 и ctg α > 0;
-
Если α-угол II или IV координатной четверти, то tg α < 0 и ctg α < 0.
-
-
Синус, тангенс и котангенс — нечетные функции; косинус — четная функция.
-
Для чётной функции справедливо равенство: y(-x) = y(x). Примеры чётных функций: y = cos(x), y = x2.
-
Для НЕчётной функции справедливо равенство: y(-x) = -y(x). Примеры НЕчётных функций: y = sin(x), y = x.
-
-
При изменении угла на целое число оборотов значения тригонометрических функций не меняются.
-
У sin α и cos α период – $2pi$ или 360°.
-
У tg α и ctg α – $pi$.
-
1 радиан — это мера центрального угла, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности.
Связь радианов с градусами: $1° =frac{pi}{180}text{рад; 1 рад }=frac{180°}{pi}$.
Основные тригонометрические тождества
Формулы приведения
| X | $frac{pi}{2}-alpha$ | $frac{pi}{2}+alpha$ | $pi-alpha$ | $pi+alpha$ | $frac{3pi}{2}-alpha$ | $frac{3pi}{2}+alpha$ | $2pi-alpha$ | $2pi+alpha$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin x | cos α | cos α | sin α | -sin α | -cos α | -cos α | -sin α | sin α |
| cos x | sin α | -sin α | -cos α | -cos α | -sin α | sin α | cos α | cos α |
| tg x | ctg α | -ctg α | -tg α | tg α | ctg α | -ctg α | -tg α | tg α |
| ctg x | tg α | -tg α | -ctg α | ctg α | tg α | -tg α | -ctg α | ctg α |
Формулы сложения
Формулы двойного угла
Формулы двойного угла или двойного аргумента:
Формулы половинного аргумента
Формулы половинного аргумента (для sin и cos — формулы понижения степени):
Формулы суммы и разности
Формулы произведения
Соотношения между sin x, cos x и tg(x/2)
Один из способов использования: свести всё к tg(x/2) и путём замены получить обычное алгебраическое выражение.
Простейшие тригонометрические уравнения
Дополнительно
· Последние изменения: 2021/03/24 18:37 —
¶
В данном материале, мы изучим основное определение тригонометрии, какие свойства ей характерны, применение в математике, приведем примеры решения уравнений.
Определение
Тригонометрия — это раздел алгебры, в котором изучаются тригонометрические функции и их применение.
В математике применяются основные определения, связанные с тригонометрией, а именно:
- синус — соотношение стороны противолежащего катета к стороне гипотенузы, (sin);
- косинус — это прилежащая сторона катет к гипотенузе, обозначается как (cos);
- тангенс — отношение стороны противолежащего катета к стороне прилежащего, (tg);
- котангенс — отношение прилежащей стороны катета к противолежащей (это значение, обратное значению тангенса), обозначается как (ctg).
В науке чаще всего применяются два основных вида функций: прямые и косвенные, реже обратные функции.
Стоит выделить главные тригонометрические тождества, существующие в математике:
[
sin ^{2 alpha}+cos ^{2} alpha=1;
]
[
tan alpha=frac{sin alpha}{cos alpha};
]
[
cot alpha=frac{cos alpha}{sin alpha};
]
[
tan alpha cdot cot alpha=1;
]
[tan ^{2} alpha+1=frac{1}{cos ^{2} alpha};]
[cot ^{2} alpha+1=frac{1}{sin ^{2} alpha}.]
Применим основные формулы тригонометрии, решая задачи.
Пример:
Известно: cosα=0.8;
Необходимо определить: косинус, тангенс, котангенс, соответствующего угла a.
Решение:
Для определения значения косинуса в квадрате, возводим число 0,8 в квадрат и вычисляем синус. Полученное значение подставляем в формулу и можем определить тангенс угла 0,8. Таким же методом, вычисляем котангенс.
Решение довольно простое и особых сложней не вызывает.
Основные тригонометрические тождества формул приведения
Формулы помогают, преобразовать основные тождества и перейти к вычислению углов в пределах 90 градусов. Это очень удобно, не только в алгебре, но и во всей математике.
Существует два основных способа, использования формул приведения:
- Если угол можно записать как (π/2 ±α) или (3*π/2 ±α), то название функции меняется с косинуса на определение синус, тангенс, в свою очередь на котангенс, либо наоборот. Если же угол можно представить в виде (π±α) или (2*π±α), то название функции не меняется.
- Обозначение приведенного уравнения не изменяется. Если изначально функция была со знаком «+», тогда и приведенная функция будет со знаком «+», с отрицательным знаком тоже самое.
Формулы приведения, примеры:
При расчетах очень часто возникают трудности при вычислении больших значений степеней. Для этого в тригонометрии, существует такое понятие как понижение значения степени.
Тождества понижения степени, помогают справиться с этой непростой задачей. Они выражают степень sin и cos через sin и cos первой степени, но определенного кратного угла. Поэтому, тригонометрические уравнения снижают степень первоначальных функций с определенной до первой степени, но при этом повышают кратность угла от до n.
Тригонометрические формулы для косинуса и синуса понижения степени, записываются в следующем виде:
После преобразования основных формул понижения получаем их общий вид. Рассмотрим на примерах ниже.
Для четных значений уравнения:
Для нечетных значений уравнения:
Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений
Тригонометрические тождества можно выражать различным способом, для облегчения решения уравнения.
Рассмотрим характеристики тригонометрических функций для косинуса, синуса, тангенса и котангенса.
а) Сложение и вычитание тригонометрических функций.
Сложение и вычитание тригонометрических функций можно представить как — произведение. Преобразовать на множители косинус или синус, и тем самым упростить процесс вычисления.
б) Произведение тригонометрических функций.
Произведение функций можно вычислить путем сложения и вычитания тождеств.
В свою очередь произведение тригонометрических функций, позволяет вычислить сумму. Эти два действия являются противоположными по отношению к друг другу.
в) Тригонометрические формулы сложения.
При их применении можно сложение и вычитание углов выразить через тригонометрические функции заданных значений угла.
Преобразовав формулы сложения, мы получим тригонометрические уравнения угла.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Формулы кратности значения угла
Формулы угла, определяющие половину значения (половинного угла):
Универсальное использование тригонометрических функций
Все изученные математические уравнения в тригонометрии — синус, косинус, тангенс и котангенс — имеют свойство выражаться через тангенс (tg) половинного угла.
Тригонометрические функции имеют характерные особенности. Они способны преобразовывать основные уравнения и тем самым выражать различные функции. Понижать степень, для удобства расчета и другие полезные действия
Наиболее часто встречающиеся тригонометрические формулы:
(blacktriangleright) Основные тождества: [begin{array}{|l|l|}
hline sin^2 alpha+cos^2 alpha =1& mathrm{tg}, alpha cdot
mathrm{ctg}, alpha =1 \
&(sinalphane 0, cosalphane 0)\[0.5ex]
hline &\
mathrm{tg}, alpha=dfrac{sin alpha}{cos alpha}
&mathrm{ctg}, alpha
=dfrac{cos alpha}{sin alpha} \&\
1+mathrm{tg}^2, alpha =dfrac1{cos^2 alpha} & 1+mathrm{ctg}^2, alpha=dfrac1{sin^2 alpha}\&\
(cosalphane 0)& (sinalphane 0) \
hline
end{array}]
(blacktriangleright) Формулы сложения углов: [begin{array}{|l|r|}
hline &\
sin{(alphapm beta)}=sinalphacdot cosbetapm sinbetacdot
cosalpha & cos{(alphapm beta)}=cosalphacdot cosbeta mp
sinalphacdot sinbeta\ &\
hline &\
mathrm{tg}, (alphapm beta)=dfrac{mathrm{tg}, alphapm
mathrm{tg}, beta}{1 mp mathrm{tg}, alphacdot
mathrm{tg}, beta} & mathrm{ctg}, (alphapmbeta)=-dfrac{1mp mathrm{ctg}, alphacdot mathrm{ctg}, beta}{mathrm{ctg}, alphapm mathrm{ctg}, beta}\&\
cosalphacosbetane 0&sinalphasinbetane 0\
hline
end{array}]
(blacktriangleright) Формулы двойного и тройного углов: [begin{array}{|lc|cr|}
hline sin {2alpha}=2sin alphacos alpha & qquad &qquad & cos{2alpha}=cos^2alpha -sin^2alpha\
sin alphacos alpha =dfrac12sin {2alpha} && & cos{2alpha}=2cos^2alpha -1\
& & & cos{2alpha}=1-2sin^2 alpha\
hline &&&\
mathrm{tg}, 2alpha = dfrac{2mathrm{tg},
alpha}{1-mathrm{tg}^2, alpha} && & mathrm{ctg}, 2alpha
= dfrac{mathrm{ctg}^2, alpha-1}{2mathrm{ctg}, alpha}\&&&\
cosalphane 0, cos2alphane 0 &&& sinalphane 0,
sin2alphane 0\
hline &&&\
sin {3alpha}=3sin alpha -4sin^3alpha && &
cos{3alpha}=4cos^3alpha -3cos alpha\&&&\
hline
end{array}]
(blacktriangleright) Формулы понижения степени: [begin{array}{|lc|cr|}
hline &&&\
sin^2alpha=dfrac{1-cos{2alpha}}2 &&&
cos^2alpha=dfrac{1+cos{2alpha}}2\&&&\
hline
end{array}]
(blacktriangleright) Формулы произведения функций: [begin{array}{|c|}
hline \
sinalphasinbeta=dfrac12bigg(cos{(alpha-beta)}-cos{(alpha+beta)}bigg)\\
cosalphacosbeta=dfrac12bigg(cos{(alpha-beta)}+cos{(alpha+beta)}bigg)\\
sinalphacosbeta=dfrac12bigg(sin{(alpha-beta)}+sin{(alpha+beta)}bigg)\\
hline
end{array}]
(blacktriangleright) Формулы суммы/разности функций: [begin{array}{|lc|cr|}
hline &&&\
sinalpha+sinbeta=2sin{dfrac{alpha+beta}2}cos{dfrac{alpha-beta}2}
&&&
sinalpha-sinbeta=2sin{dfrac{alpha-beta}2}cos{dfrac{alpha+beta}2}\&&&\
cosalpha+cosbeta=2cos{dfrac{alpha+beta}2}cos{dfrac{alpha-beta}2}
&&& cosalpha
-cosbeta=-2sin{dfrac{alpha-beta}2}sin{dfrac{alpha+beta}2}\&&&\
mathrm{tg}, alpha pm mathrm{tg},
beta=dfrac{sin{(alphapmbeta)}}{cosalphacosbeta} &&&
mathrm{ctg}, alphapm mathrm{ctg}, beta= — dfrac{sin{(alphapm beta)}}{sinalphasinbeta}\&&&\
hline
end{array}]
(blacktriangleright) Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла: [begin{array}{|l|r|}
hline &\
sin{2alpha}=dfrac{2mathrm{tg}, alpha}{1+mathrm{tg}^2, alpha} & cos{2alpha}=dfrac{1-mathrm{tg}^2, alpha}{1+mathrm{tg}^2, alpha}\&\
cosalphane 0 & sinalphane 0\
hline
end{array}]
(blacktriangleright) Формула вспомогательного аргумента: [begin{array}{|c|}
hline text{Частный случай}\
hline \
sinalphapm cosalpha=sqrt2cdot
sin{left(alphapm dfrac{pi}4right)}\\
sqrt3sinalphapm cosalpha=2sin{left(alphapm dfrac{pi}6right)}\\
sinalphapm sqrt3cosalpha=2sin{left(xpm dfrac{pi}3right)}\\
hline text{Общий случай}\
hline\
asinalphapm bcosalpha=sqrt{a^2+b^2}cdot sin{(alphapm
phi)}, cosphi=dfrac a{sqrt{a^2+b^2}}, sinphi=dfrac
b{sqrt{a^2+b^2}}\\
hline
end{array}]
Зная идею вывода формул, вы можете запомнить лишь несколько из них. Тогда остальные формулы вы всегда сможете быстро вывести.
Вывод всех основных тождеств был рассказан в предыдущем разделе “Введение в тригонометрию”.
(blacktriangleright) Вывод формулы косинуса разности углов (cos{(alpha
-beta)}=cosalphacosbeta+sinalphasinbeta)
Рассмотрим тригонометрическую окружность и на ней углы (alpha) и (beta). Пусть этим углам соответствуют точки (A) и (B) соответственно. Тогда координаты этих точек: (A(cosalpha;sinalpha), B(cosbeta;sinbeta)).
Рассмотрим (triangle AOB: angle AOB=alpha-beta). По теореме косинусов:
(AB^2=AO^2+BO^2-2AOcdot BOcdot
cos(alpha-beta)=1+1-2cos(alpha-beta) (1)) (т.к. (AO=BO=R) – радиус окружности)
По формуле расстояния между двумя точками на плоскости:
(AB^2=(cosalpha-cosbeta)^2+(sinalpha-sinbeta)^2=cos^2alpha-2cosalphacosbeta+cos^2beta+)
(+sin^2alpha-2sinalphasinbeta+sin^2beta=big(cos^2alpha+sin^2alphabig)+big(cos^2beta+sin^2betabig)-2big(cosalphacosbeta+sinalphasinbetabig)=)
(=1+1-2big(cosalphacosbeta+sinalphasinbetabig) (2))
Таким образом, сравнивая равенства ((1)) и ((2)):
(1+1-2big(cosalphacosbeta+sinalphasinbetabig)=1+1-2cos(alpha-beta))
Отсюда и получается наша формула.
(blacktriangleright) Вывод остальных формул суммы/разности углов:
Остальные формулы с легкостью выводятся с помощью предыдущей формулы, свойств четности/нечетности косинуса/синуса и формул приведения (sin x=cos(90^circ-x)) и (cos x=sin (90^circ-x)):
1) (cos(alpha+beta)=cos(alpha-(-beta))=cosalphacos(-beta)+sinalphasin(-beta)=cosalphacosbeta-sinalphasinbeta)
2) (sin(alpha+beta)=cos(90^circ-(alpha+beta))=cos((90^circ-alpha)-beta)=)
(+cos(90^circ-alpha)cosbeta+sin(90^circ-alpha)sinbeta=sinalphacosbeta+cosalphasinbeta)
3) (sin(alpha-beta)=sin(alpha+(-beta))=sinalphacos(-beta)+sin(-beta)cosalpha=sinalphacosbeta-sinbetacosalpha)
4) (mathrm{tg},(alphapmbeta)=dfrac{sin (alphapmbeta)}{cos
(alphapmbeta)}=dfrac{sinalphacosbetapmsinbetacosalpha}{cosalphacosbetampsinalphasinbeta}=)
разделим числитель и знаменатель дроби на (cosalphacosbetane
0)
(при (cosalpha=0 Rightarrow
mathrm{tg},(alphapmbeta)=mp mathrm{ctg},beta), при (cosbeta=0 Rightarrow
mathrm{tg},(alphapmbeta)=pm mathrm{ctg},alpha)):
(=dfrac{mathrm{tg},alphapmmathrm{tg},beta}{1mpmathrm{tg},alphacdot
mathrm{tg},beta})
Таким образом, данная формула верна только при (cosalphacosbetane 0).
5) Аналогично, только делением на (sinalphasinbetane 0), выводится формула котангенса суммы/разности двух углов.
(blacktriangleright) Вывод формул двойного и тройного углов:
Данные формулы выводятся с помощью предыдущих формул:
1) (sin
2alpha=sin(alpha+alpha)=sinalphacosalpha+sinalphacosalpha=2sinalphacosalpha)
2) (cos2alpha=cos(alpha+alpha)=cosalphacosalpha-sinalphasinalpha=cos^2alpha-sin^2alpha)
Используя основное тригонометрическое тождество (sin^2alpha+cos^2alpha=1), получим еще две формулы для косинуса двойного угла:
2.1) (cos2alpha=cos^2alpha-sin^2alpha=cos^2alpha-(1-cos^2alpha)=2cos^2alpha-1)
2.2) (cos2alpha=cos^2alpha-sin^2alpha=(1-sin^2alpha)-sin^2alpha=1-2sin^2alpha)
3) (mathrm{tg},2alpha=dfrac{sin2alpha}{cos2alpha}=dfrac{2sinalphacosalpha}{cos^2alpha-sin^2alpha}=)
разделим числитель и знаменатель дроби на (cos^2alphane 0) (при (cosalpha=0 Rightarrow mathrm{tg},2alpha=0)):
(=mathrm{tg},2alpha=dfrac{2mathrm{tg},alpha}{1-mathrm{tg}^2,alpha})
Таким образом, эта формула верна только при (cosalphane 0), а также при (cos2alphane 0) (чтобы существовал сам (mathrm{tg},2alpha)).
4) (mathrm{ctg},2alpha=dfrac{cos^2alpha-sin^2alpha}{2sinalphacosalpha}=dfrac{mathrm{ctg}^2,alpha-1}{2mathrm{ctg},alpha})
По тем же причинам при (sinalphane 0, sin2alphane 0).
5) (sin3alpha=sin(alpha+2alpha)=sinalphacos2alpha+cosalphasin2alpha=sinalpha(1-2sin^2alpha)+cosalphacdot
2sinalphacosalpha=)
(=sinalpha-2sin^3alpha+2sinalpha(1-sin^2alpha)=3sinalpha-4sin^3alpha)
6) Аналогично выводится, что (cos3alpha=cos(alpha+2alpha)=4cos^3alpha-3cosalpha)
(blacktriangleright) Вывод формул понижения степени:
Данные формулы — просто по-другому записанные формулы двойного угла для косинуса:
1) (cos2alpha=2cos^2alpha-1 Rightarrow
cos^2alpha=dfrac{1+cos2alpha}2)
2) (cos2alpha=1-2sin^2alpha Rightarrow
sin^2alpha=dfrac{1-cos2alpha}2)
Заметим, что в данных формулах степень синуса/косинуса равна (2) в левой части, а в правой части степень косинуса равна (1).
(blacktriangleright) Вывод формул произведения функций:
1) Сложим формулы косинуса суммы и косинуса разности двух углов:
(cos(alpha-beta)=cosalphacosbeta+sinalphasinbeta)
(cos(alpha+beta)=cosalphacosbeta-sinalphasinbeta)
Получим: (cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)=2cosalphacosbeta
Rightarrow
cosalphacosbeta=dfrac12Big(cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta)Big))
2) Если вычесть из формулы косинуса суммы косинус разности, то получим:
(sinalphasinbeta=dfrac12Big(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)Big))
3) Сложим формулы синуса суммы и синуса разности двух углов:
(sin(alpha+beta)=sinalphacosbeta+sinbetacosalpha)
(sin(alpha-beta)=sinalphacosbeta-sinbetacosalpha)
Получим: (sinalphacosbeta=dfrac12Big(sin(alpha-beta)+sin(alpha+beta)Big))
(blacktriangleright) Вывод формул суммы/разности функций:
Обозначим (alpha+beta=x, alpha-beta=y). Тогда: (alpha=dfrac{x+y}2, beta=dfrac{x-y}2). Подставим эти значения в предыдущие три формулы:
1) (2cos{dfrac{x+y}2}cos{dfrac{x-y}2}=cos x+cos y)
Получили формулу суммы косинусов.
2) (2sin {dfrac{x+y}2}sin {dfrac{x-y}2}=cos y-cos x)
Получили формулу разности косинусов.
3) (2sin {dfrac{x+y}2}cos {dfrac{x-y}2}=sin y+sin x)
Получили формулу суммы синусов.
4) Формулу разности синусов можно вывести из формулы суммы синусов:
(sin x-sin y=sin x+sin(-y)=2sin {dfrac{x-y}2}cos
{dfrac{x+y}2})
5) (mathrm{tg},alphapmmathrm{tg},beta=dfrac{sinalpha}{cosalpha}pmdfrac{sinbeta}{cosbeta}=dfrac{sinalphacosbetapmsinbetacosalpha}{cosalphacosbeta}=dfrac{sin(alphapmbeta)}{cosalphacosbeta})
Аналогично выводится формула суммы котангенсов.
(blacktriangleright) Вывод формул выражения синуса и косинуса через тангенс половинного угла:
1) (sin2alpha=dfrac{sin2alpha}1=dfrac{2sinalphacosalpha}{sin^2alpha+cos^2alpha}=)
(разделим числитель и знаменатель дроби на (cos^2alphane 0) (при (cosalpha=0) и (sin2alpha=0)):)
(=dfrac{2mathrm{tg},alpha}{1+mathrm{tg}^2,alpha})
2) Так же, только делением на (sin^2alpha), выводится формула для косинуса.
(blacktriangleright) Вывод формул вспомогательного угла:
Данные формулы выводятся с помощью формул синуса/косинуса суммы/разности углов.
Рассмотрим выражение (asin x+bcos x). Домножим и разделим это выражение на (sqrt{a^2+b^2},):
(asin x+bcos x=sqrt{a^2+b^2}left(dfrac a{sqrt{a^2+b^2}}sin x+
dfrac b{sqrt{a^2+b^2}}cos x right)=sqrt{a^2+b^2}big(a_1sin x+b_1cos xbig))
Заметим, что таким образом мы добились того, что (a_1^2+b_1^2=1),
т.к. (left(dfrac a{sqrt{a^2+b^2}}right)^2+left(dfrac
b{sqrt{a^2+b^2}}right)^2=dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1)
Таким образом, можно утверждать, что существует такой угол (phi), для которого, например, (cos phi=a_1, sin phi=b_1). Тогда наше выражение примет вид:
(sqrt{a^2+b^2},big(cos phi sin x+sin phicos
xbig)=sqrt{a^2+b^2},sin (x+phi)) (по формуле синуса суммы двух углов)
Значит, формула выглядит следующим образом: [{large{asin x+bcos x=sqrt{a^2+b^2},sin (x+phi),}} quad text{где } cos phi=dfrac
a{sqrt{a^2+b^2}}] Заметим, что мы могли бы, например, принять за (cos phi=b_1, sin phi=a_1) и тогда формула выглядела бы как [asin x+bcos x=sqrt{a^2+b^2},cos (x-phi)]
(blacktriangleright) Рассмотрим некоторые частные случаи формул вспомогательного угла:
(a) sin xpmcos x=sqrt2,left(dfrac1{sqrt2}sin
xpmdfrac1{sqrt2}cos xright)=sqrt2, sin
left(xpmdfrac{pi}4right))
(b) sqrt3sin xpmcos x=2left(dfrac{sqrt3}2sin xpm
dfrac12cos xright)=2, sin left(xpmdfrac{pi}6right))
(c) sin xpmsqrt3cos x=2left(dfrac12sin
xpmdfrac{sqrt3}2cos
xright)=2,sinleft(xpmdfrac{pi}3right))