X2 25x 4 0 по теореме виета

Альфашкола
Статьи
Теорема Виета

Теорема Виета

Решение квадратного уравнения a·x² + b·x + c = 0.

Решение: Введите коэффициенты в калькулятор уравнений по теореме Виета и нажмите «посчитать»

Давайте вспомним, что такое квадратное уравнение. Квадратное уравнение имеет вид:

Квадратное уравнение

Если a равно (1), то квадратное уравнение называется приведенным, то есть имеет вид:

Приведенное квадратным уравнением

Давайте сегодня научимся решать квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Это возможно, если квадратное уравнение является приведенным и имеет действительные корни (x1) и (x2). Для этого надо подобрать в уме числа, удовлетворяющие условию:

Теорема Виета

Задача 1. Решить квадратное уравнение: (x^2-9x+14=0)

Решение:

Решение по теорема Виета

Ответ: (7) и (2).

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Репетитор по математике

Витебский государственный университет имени П.М. Машерова

Репетитор по математике

Рязанский государственный педагогический университет имени С. А. Есенина

Источник

Квадратное уравнение — это уравнение вида:

$y = ax^{2}+bx+c$

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, в котором коэффициент a равен 1. То есть уравнение вида:

$y = x^{2}+bx+c$

Неполное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором коэффициент b или с (или оба) равен нулю. Пример:

$y = 5x^{2}+c$

Неполных приведенные квадратные уравнения:
$y = x^{2}+c$
$y = x^{2}+bx$
$y = x^{2}$

Наш калькулятор легко решает любые из них.

Калькулятор квадратных уравнений

Введите данные:

Округление:

* — обязательно заполнить

Уравнение:

(a * x^{2} + b * x + c) = (5 * x^{2} + 5 * x + 5) = 0

Дискриминант:

(D = b^{2} — 4 * a * c) = (5^{2} — 4 * 5 * 5) = (25 — 100) = -75

Корни квадратного уравнения:

Так как дискриминант меньше 0, то у этого уравнения нет корней

Решение по теореме Виета

Преобразование в приведённый вид

Преобразуем квадратное уравнение в приведенное (разделим все части нашего уравнения на коэффициент a):
(frac{a}{a}x^{2}+frac{b}{a}*x+frac{c}{a}) = (x^{2}+frac{5}{5}*x+frac{5}{5}) = (x^{2} + x + 1)

Итого, имеем приведенное уравнение:
(x^{2} + x + 1 = 0)

Теорема Виета выглядит следующим образом:
(x_{1}*x_{2}=c)
(x_{1}+x_{2}=-b)

Мы получаем следующую систему уравнений:
(x_{1}*x_{2}=1)
(x_{1}+x_{2}=-1)

Так как дискриминант меньше нуля, то у нашей системы уравнений нет решения.

Источник

Решение квадратных уравнений

Квадратные уравнения начинают разбирать в 8-м классе средней школы. В их решении нет ничего трудного. В интернете существует много разных онлайн площадок, где для решения данных уравнений на помощь придет подходящий калькулятор.

Квадратные уравнения – это алгебраические действия, имеющие 2-ю степень общего вида: a·x² + b·x + c = 0.

Коэффициентами здесь будут являться производные: a, b, c, и a ≠ 0.

В начале изучения всех существующих способов вычислений, следует отметить, что квадратные уравнения разделяются на три вида:

Без корня;
Имеющий только один корень;
Имеющий 2 разных корня.

Метод определения корней

Чтобы вычислить то, сколько имеется корней в уравнении, следует воспользоваться дискриминантом.

Дискриминант

У уравнения a·x² + b·x + c = 0 дискриминант является обычным: D = b² − 4ac.

Представленную формулу желательно хорошенько выучить. Совершенно не важно ее происхождение. Основным является то, сколько именно корней будет находиться в квадратном уравнении. Это определяется по дискриминанту.

Делается все следующим образом:

Если D < 0, корней нет;
Если D = 0, есть только один корень;
Если D > 0, будет два корня.

Очень важно учесть то, что дискриминант всегда говорит о том, сколько корней, а не обозначений.

Если обратиться к примерам, то все станет понятным:

Возьмем задачу именно на количество корней, имеющих квадратные уравнения:

x² − 8x + 12 = 0;
5x² + 3x + 7 = 0;
x² − 6x + 9 = 0.

После чего запишем коэффициенты для 1-го уравнения и таким образом, определим дискриминант:

a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8)² − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

В итоге мы получаем положительный дискриминант. Именно поэтому уравнение будет содержать два разных корня.

У другого уравнения решение точно такое же:

a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3² − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Здесь корней нет, а дискриминант отрицательный.

Сделаем еще один разбор:

a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6)² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Итог: Один корень, дискриминант равняется 0.

Также очень важно, чтобы коэффициенты были написаны к конкретному уравнению. Возможно это нудно и долго — но зато есть гарантия того, что никакие глупые ошибки не произойдут, а коэффициенты не перепутаются. И здесь нужно самостоятельно сделать ставку либо на скорость, либо на качество.

Если выработать определенную сноровку, то через какое-то время выписывать коэффициенты совсем не потребуется. Все эти манипуляции и вычисления будут спокойно выполняться в уме. Это будет происходить у большинства людей примерно после того, как будет решено около 70-ти уравнений. Согласитесь, что цифра не такая уж значительная.

Корни квадратного уравнения

Важнейшая формула корня квадратного уравнения при дискриминанте D > 0

Если D = 0, то, пользуясь такими формулами, можно получить такое же число. Именно оно и будет являться ответом.

А если, например, D < 0 и корней нет, то считать больше не нужно.

Таким образом, когда есть знание формул и умение считать, то никаких проблем не будет. Обычно разного рода накладки могут появляться, когда в формулу подставляются отрицательные коэффициенты.

На помощь придет прием, когда нужно глядя на формулу перед собой, конкретно расписывать свои действия. Тогда можно быстро устранить все ошибки.

Неполные квадратные уравнения

Квадратные уравнения могут иметь отличия от определений. К примеру:

x² + 9x = 0;
x² − 16 = 0.

Видно, что в уравнениях нет одного слагаемого. Эти квадратные уравнения вычисляются намного легче, чем уравнения стандартного плана, потому что тут не нужно считать дискриминант.

Разберем положение:

Неполное квадратное уравнение: ax² + bx + c = 0,

где b = 0 или c = 0, то есть коэффициент или свободный элемент = 0 при переменной x.

Или в более сложном случае b = c = 0, где оба коэффициента = 0.

И тогда уравнение уже выглядит так: ax² = 0.

И у него единственный корень: x = 0.

Также следует изучить и другие способы:

Например: b = 0, и мы здесь получаем неполное квадратное уравнение: ax² + c = 0.

Если чуть-чуть его преобразовать, то получится:

Решение неполного квадратного уравнения

Из-за того, что квадратный корень получается лишь из неотрицательного числа, то крайнее равенство имеет смысл только при (−c/a) ≥ 0.

На основании чего делаем заключение:

1) Когда в неполном квадратном уравнении: ax² + c = 0

есть неравенство (−c/a) ≥ 0, то получится два корня.

2) А когда (−c/a)< 0, то корней не будет.

Таким образом дискриминант нам даже не потребовался. В неполных квадратных уравнениях трудных вычислений нет.

Поэтому не нужно помнить неравенство (−c/a) ≥ 0. Можно указать величину x² и взглянуть, что находится с противоположной стороны от знака (=) равно.

Если какое-то положительное число — то в нем будет два корня.

Если какое-то отрицательное число — то корней здесь вообще не будет.

Далее необходимо разобраться с уравнением: ax² + bx = 0,

Здесь свободный элемент = 0. А значит будет всегда именно 2 корня.

Нужно только многочлен распределить на множители:

Если какой-то множитель = 0, то произведение тоже будет = 0.

Вычисление квадратных уравнений:

x² − 7x = 0;
5x² + 30 = 0;
4x² − 9 = 0.

x² − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x² + 30 = 0 ⇒ 5x² = −30 ⇒ x² = −6.

Корни здесь отсутствуют, поскольку квадрат не является отрицательному числу равным.

4x² − 9 = 0 ⇒ 4x² = 9 ⇒ x2 = 9/4 ⇒ x1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.

Теорема Виета

Квадратное уравнение: x² + bx + c = 0.

Если здесь есть корни x1 и x2, то будут верны такие определения:

1) x1 + x2 = −b.

Здесь сумма корней квадратного уравнения равняется коэффициенту переменной x, который находится с противоположным знаком;

2) x1 · x2 = c.

В данном варианте произведение корней равняется свободному коэффициенту.

Например:

x² − 9x + 20 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−9) = 9; x1 · x2 = 20; корни: x1 = 4; x2 = 5;
x² + 2x − 15 = 0 ⇒ x1 + x2 = −2; x1 · x2 = −15; корни: x1 = 3; x2 = −5;
x² + 5x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1 · x2 = 4; корни: x1 = −1; x2 = −4.

Теорема Виета указывает на добавленную информацию о корнях квадратного уравнения. Кому-то она кажется немного трудной, но если чуть-чуть потренироваться, то корни можно вычислять очень быстро, и также быстро угадывать их.

Данная теорема способна упрощать решение квадратных уравнений. Поэтому ставим большое НЕТ каким-то трудным вычислениям, арифметическим корням и дробям. Нам не понадобился также и дискриминант.

Когда в результате решения получается «не хорошее» квадратное уравнение (коэффициент при x² отличается от 1-го), это исправляется очень легко — стоит только посмотреть на примеры выше.

Как решать квадратные уравнения по теореме?

Шаг 1. Всегда сводить квадратное уравнение к тому, которое приведено, но только если это не выполнено в условиях самой задачи.

Шаг 2. Если коэффициенты в квадратном уравнении являются дробными, решение осуществляется через дискриминант.

Шаг 3. Если коэффициенты целочисленные — решение происходит по теореме Виета.

Шаг 4. Если угадать корни в течение нескольких секунд не удалось, оставляем теорему Виета и делаем решение через дискриминант.

Поделитесь в соцсетях

Если понравилось, поделитесь калькулятором в своих социальных сетях: вам нетрудно, а проекту полезно для продвижения. Спасибо!

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.

Источник

mogishkira

+15

Решено

2 года назад

Алгебра

5 — 9 классы

x2+24x-25=0 за теоремою вієта

Смотреть ответ

Ответ

5
(1 оценка)

elilian

elilian
2 года назад

Светило науки — 335 ответов — 0 раз оказано помощи

Ответ:

-25 i 1

Объяснение:

X1+X2=-24 X1=-25

X1*X2=-25 X2=1

(1 оценка)

Ответ

5
(1 оценка)

kristallistok
2 года назад

Светило науки — 4 ответа — 0 раз оказано помощи

Ответ:

x1= 1

x2= -25

Объяснение:

Теорема Виета

Сумма корней x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

то есть

x1+x2=-b

x1*x2=c

-24=x1+x2

-25=x1*x2

x1= 1

x2= -25

(1 оценка)

Остались вопросы?

Новые вопросы по предмету Алгебра

На кружок по робототехнике записались семиклассники и восьмиклассники, всего 28 человек. Количество семиклассников, записавшихся на кружок, отн …

помогите с алгеброй

1) найдите значение функции у = -3,5 x + 4 при x=6 ответ2) функция задана формулой y=12x — 64. При какой значениий аргумента значение функции р …

Помогите решить 10 все задание и 9 Б , Д

отметьте и подпишите на координатной прямой точки а 4 2/17 б 4.35 с -4 7/15

Источник

После того, как вы внимательно изучите, как решать квадратные уравнения обычным образом с помощью
формулы для корней
можно рассмотреть другой способ решения квадратных уравнений — с помощью теоремы Виета.

Перед тем, как изучить теорему Виета, хорошо потренируйтесь в
определении коэффициентов
«a», «b» и «с» в квадратных уравнениях.
Без этого вам будет трудно применить теорему Виета.

Когда можно применить теорему Виета

Не ко всем квадратным уравнениям имеет смысл использовать эту теорему.
Применять теорему Виета имеет смысл только к приведённым квадратным уравнениям.

Запомните!

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, в котором старший
коэффициент «a = 1».
В общем виде приведенное квадратное уравнение выглядит следующим образом:

x² + px + q = 0

Обратите внимание, что разница с обычным общим видом
квадратного уравнения «ax² + bx + c = 0» в том, что в
приведённом уравнении «x² + px + q = 0» коэффициент
«а = 1».

Если сравнить приведенное квадратное уравнение «x² + px + q = 0» с обычным общим видом квадратного
уравнения «ax² + bx + c = 0», то становится видно,
что
«p = b», а «q = c».

Теперь давайте на примерах разберем, к каким уравнениям можно применять теорему Виета, а где это не целесообразно.

Уравнение	Коэффициенты	Вывод
x² − 7x + 1 = 0	a = 1 p = −7 q = 1	Так как «a = 1» можно использовать теорему Виета.
3x² − 1 + x = 0 Приведем уравнение к общему виду: 3x² + x − 1 = 0	a = 3 p = 1 q = −1	Так как «a = 3» не следует использовать теорему Виета.
−x² = −3 + 2x Приведем уравнение к общему виду: −x² + 3 − 2x = 0 −x² − 2x + 3 = 0	a = −1 p = −2 q = 3	Так как «a = −1» не следует использовать теорему Виета.

Уравнение

Коэффициенты

Вывод

x² − 7x + 1 = 0

a = 1
p = −7
q = 1

Так как «a = 1» можно использовать теорему Виета.

3x² − 1 + x = 0

Приведем уравнение к общему виду:

3x² + x − 1 = 0

a = 3
p = 1
q = −1

Так как «a = 3» не следует использовать теорему Виета.

−x² = −3 + 2x

Приведем уравнение к общему виду:

−x² + 3 − 2x = 0
−x² − 2x + 3 = 0

a = −1
p = −2
q = 3

Так как «a = −1» не следует использовать теорему Виета.

Как использовать теорему Виета

Теперь мы готовы перейти к самому методу Виета для решения квадратных уравнений.

Запомните!

Теорема Виета для приведённых квадратных уравнений «x² + px + q = 0» гласит
что справедливо следующее:

, где «x₁» и «x₂» — корни этого уравнения.

Чтобы было проще запомнить формулу Виета, следует запомнить:
«Коэффициент «p» —
значит плохой, поэтому он берется со знаком минус».

Рассмотрим пример.

x² + 4x − 5 = 0

Так как в этом уравнении «a = 1», квадратное уравнение
считается приведённым, значит, можно
использовать метод Виета.
Выпишем коэффициенты «p» и «q».

p = 4
q = −5

Запишем теорему Виета для квадратного уравнения.

	x₁ + x₂ = −4
x₁ · x₂ = −5

Методом подбора мы приходим к тому, что корни уравнения
«x₁ = −5» и «x₂ = 1». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = −5; x₂ = 1

Рассмотрим другой пример.

x² + x − 6 = 0

Старший коэффициент «a = 1» поэтому можно применять теорему Виета.

	x₁ + x₂ = −1
x₁ · x₂ = −6

Методом подбора получим, что корни уравнения
«x₁ = −3» и «x₂ = 2». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = −3; x₂ = 2

Важно!

Если у вас не получается решить уравнение с помощью теоремы Виета, не отчаивайтесь.
Вы всегда можете решить любое квадратное уравнение, используя
формулу для нахождения корней.

Деление уравнение на первый коэффициент

Рассмотрим уравнение, которое по заданию требуется решить, используя теорему Виета.

2x² − 16x − 18 = 0

Сейчас в уравнении «a = 2»,
поэтому перед тем, как использовать теорему Виета нужно сделать так, чтобы «a = 1».

Для этого достаточно разделить все уравнение на «2».
Таким образом, мы сделаем квадратное уравнение приведённым.

2x² − 16x − 18 = 0 | (:2)
2x²(:2) − 16x(:2) − 18(:2) = 0
x² − 8x − 9 = 0

Теперь «a = 1» и можно смело записывать формулу Виета и находить корни методом подбора.

	x₁ + x₂ = −(−8)
x₁ · x₂ = −9

Методом подбора получим, что корни уравнения
«x₁ = 9» и «x₂ = −1». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = 9; x₂ = −1

Бывают задачи, где требуется найти не только корни уравнения, но и коэффициенты самого уравнения. Например, как в такой задаче.

Корни «x₁» и
«x₂» квадратного уравнения
«x² + px + 3 = 0» удовлетворяют
условию «x₂ = 3x₁».
Найти «p», «x₁»,
«x₂».

Запишем теорему Виета для этого уравнения.

По условию дано, что
«x₂ = 3x₁».
Подставим это выражение в систему вместо «x₂».

	x₁ + 3x₁ = −p
x₁ · 3x₁ = 3

Решим полученное квадратное уравнение «x₁² = 1»
методом подбора и найдем «x₁».

x₁² = 1

(Первый корень) x₁ = 1
(Второй корень) x₁ = −1

Мы получили два значения «x₁».
Для каждого из полученных значений найдем «p» и запишем все полученные результаты в ответ.

(Первый корень) x₁ = 1

Найдем
«x₂»

x₁ · x₂ = 3
1 · x₂ = 3
x₂ = 3

Найдем «p»

x₁ + x₂ = −p
1 + 3 = −p
4 = −p
p = −4;
(Второй корень) x₁ = −1

Найдем «x₂»

x₁ · x₂ = 3
−1 · x₂ = 3
−x₂ = 3 | ·(−1)
x₂ = −3

Найдем «p»

x₁ + x₂ = −p
−1 + −3 = −p
−4 = −p
p = 4

Ответ: (x₁ = 1; x₂ = 3; p = −4) и
(x₁ = −1; x₂ = −3; p = 4)

Теорема Виета в общем виде

В школьном курсе математики теорему Виета используют только для приведённых уравнений,
где старший коэффициент «a = 1», но, на самом деле, теорему Виета можно применить к любому квадратному уравнению.

В общем виде теорема Виета для квадратного уравнения выглядит так:

Убедимся в правильности этой теоремы на примере. Рассмотрим неприведённое квадратное уравнение.

3x² + 3x − 18 = 0

Используем для него теорему Виета в общем виде.

	x₁ + x₂ = −1
x₁ · x₂ = −6

Методом подбора получим, что корни уравнения
«x₁ = −3» и «x₂ = 2». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = −3; x₂ = 2

В заданиях школьной математики мы не рекомендуем использовать теорему Виета в общем виде.

Другими словами, реальную пользу теорема Виета приносит только для приведённых квадратных уравнений, в
которых «a = 1».
Именно в таких случаях она не усложняет жизнь, а позволят без дополнительных расчетов быстро найти корни.

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Оставить комментарий:

Источник

Теорема Виета

Калькулятор квадратных уравнений

Введите данные:

Округление:

Уравнение:

Дискриминант:

Корни квадратного уравнения:

Так как дискриминант меньше 0, то у этого уравнения нет корней

Решение по теореме Виета

Преобразование в приведённый вид

Решение квадратных уравнений

Метод определения корней

Дискриминант

Корни квадратного уравнения

Неполные квадратные уравнения

Решение неполного квадратного уравнения

Теорема Виета

Как решать квадратные уравнения по теореме?

Поделитесь в соцсетях

Есть что добавить?

Остались вопросы?

Новые вопросы по предмету Алгебра

Когда можно применить теорему Виета

Как использовать теорему Виета

Деление уравнение на первый коэффициент

Теорема Виета в общем виде

Ваши комментарии

Добавить комментарий Отменить ответ