300 способов доказательства теоремы пифагора

4.1. Древнекитайское доказательство [4]

На древнекитайском
чертеже четыре равных прямоугольных
треугольника с катетами a,
b
и гипотенузой с
уложены так, что их внешний контур
образует квадрат со стороной a+b,
а внутренний – квадрат со стороной с,
построенный на гипотенузе

a²
+ 2ab +b²
= c²
+ 2ab

a²
+b²
= c²

4.2. Доказательство Дж. Гардфилда (1882 г.) [4]

Расположим
два равных прямоугольных треугольника
так, чтобы катет одного из них был
продолжением другого.

Площадь
рассматриваемой трапеции находится
как произведение полусуммы оснований
на высоту

S
=

C
другой стороны, площадь трапеции равна
сумме площадей полученных треугольников:

S
=

Приравнивая данные
выражения, получаем:

или с²
= a²
+ b²

4.3. Старейшее доказательство (содержится в одном из произведений Бхаскары). [4]

Пусть АВСD
квадрат, сторона которого равна гипотенузе
прямоугольного треугольника АВЕ (АВ =
с, ВЕ = а,

АЕ = b);

Пусть СКВЕ
= а, DLCK,
AMDL

ΔABE =
∆BCK = ∆CDL = ∆AMD,

значит
KL = LM = ME = EK = a-b.

.

4.4. Доказательство простейшее [21]

Это доказательство получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, — по два. Теорема доказана.

4.5. Доказательство древних индусов [2]

а)
б)

Квадрат со стороной
(a+b),
можно разбить на части либо как на
рисунке а), либо как на рисунке b).
Ясно, что части 1,2,3,4
на обоих рисунках одинаковы. А если от
равных (площадей) отнять равные, то и
останутся равные, т.е. с²
= а²
+ b².

Впрочем,
древние индусы, которым принадлежит
это рассуждение, обычно не записывали
его, а сопровождали лишь одним словом:

Смотри!

4.6. Доказательство Евклида [1, 20]

В течение двух
тысячелетий наиболее распространенным
было доказательство теоремы Пифагора,
придуманное Евклидом. Оно помещено в
его знаменитой книге «Начала».

Евклид опускал
высоту BН
из вершины прямого угла на гипотенузу
и доказывал, что её продолжение делит
достроенный на гипотенузе квадрат на
два прямоугольника, площади которых
равны площадям соответствующих квадратов,
построенных на катетах.

Чертёж, применяемый
при доказательстве этой теоремы, в шутку
называют «пифагоровы штаны». В течение
долгого времени он считался одним из
символов математической науки.

Доказательство
теоремы Пифагора учащиеся средних веков
считали очень трудным и называли его
Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство
«убогих», так как некоторые «убогие»
ученики, не имевшие серьезной математической
подготовки, бежали от геометрии. Слабые
ученики, заучившие теоремы наизусть,
без понимания, и прозванные поэтому
«ослами», были не в состоянии
преодолеть теорему Пифагора, служившую
для них вроде непреодолимого моста.
Из-за чертежей, сопровождающих теорему
Пифагора, учащиеся называли ее также
«ветряной мельницей», составляли
стихи вроде «Пифагоровы штаны на все
стороны равны», рисовали карикатуры.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Теорема Пифагора

О чем эта статья:

Основные понятия

Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.

Формула Теоремы Пифагора выглядит так:

где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из этой формулы можно вывести следующее:

• a = √c 2 − b 2
• b = √c 2 − a 2
• c = √a 2 + b 2

Для фигуры со сторонами a, b и c, где c самая длинная сторона действуют следующие правила:

• если c 2 2 + b 2 , значит угол, обращенный к стороне c, является острым.
• если c 2 = a 2 + b 2 , значит угол, обращенный к стороне c, является прямым.
• если c 2 > a 2 +b 2 , значит угол, обращенный к стороне c, является тупым.

Записывайтесь на обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Теорема Пифагора: доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

Доказать: a 2 + b 2 = c 2 .

Пошаговое доказательство:

• Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.
• Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам:

• Также прямоугольная фигура ∆CBH подобна ∆ABC:

• Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.

• Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b.

• Значит a 2 = c * HB, b 2 = c * AH.
• Сложим полученные равенства:

a 2 + b 2 = c * HB + c * AH

a 2 + b 2 = c * (HB + AH)

a 2 + b 2 = c * AB

Обратная теорема Пифагора: доказательство

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такая фигура является прямоугольной.

Дано: ∆ABC

Доказать: ∠C = 90º

Пошаговое доказательство:

• Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.
• Отложим на его сторонах отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.

• Проведём отрезок A₁B₁.
• Получилась фигура ∆A₁B₁C₁, в которой ∠C₁=90º.

• В этой фигуре ∆A₁B₁C₁ применим теорему Пифагора: A₁B₁ 2 = A₁C₁ 2 + B₁C₁ 2 .
• Таким образом получится:

• Значит, в фигурах треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:

1. C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB по результату построения,
2. A₁B₁ = AB по доказанному результату.

• Поэтому, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC по трем сторонам.
• Из равенства фигур следует равенство их углов: ∠C =∠C₁ = 90º.

Обратная теорема доказана.

Решение задач

Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 10 см. Какое значение у гипотенузы?

значит c 2 = a 2 + b 2 = 6 2 + 10 2 = 36 + 100 = 136

Задание 2. Является ли фигура со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным треугольником?

• Выберем наибольшую сторону и проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

Ответ: треугольник не является прямоугольным.

Источник

Различные способы доказательства теоремы Пифагора

учащаяся 9 «А» класса

Теорема Пифагора по праву считается самой важной в курсе геометрии и заслуживает при­стального внимания. Она являет­ся основой решения множества геометрических задач, базой для изучения теоретического и практического курса геометрии в дальнейшем. Теорема окружена богатей­шим историческим материалом, связанным с её появлением и способами доказательства. Изучение истории развития геометрии прививает любовь к данному предмету, способствует развитию познава­тельного интереса, общей культу­ры и творчества, а так же развивает навыки научно-исследовательской работы.

В результате поисковой деятельности была достигнута цель работы, заключающаяся в пополнении и обобщении знаний по доказательству теоремы Пифагора. Удалось найти и рассмотреть различные способы доказательства и углубить знания по теме, выйдя за страницы школьного учебника.

Собранный материал ещё больше убеждает в том, что теорема Пифагора является великой теоремой геометрии, имеет огромное теоретическое и практическое значение.

Введение. Историческая справка 5 Основная часть 8

3. Заключение 19

4. Используемая литература 20
1. ВВЕДЕНИЕ. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА.

Суть истины вся в том, что нам она — навечно,

Когда хоть раз в прозрении ее увидим свет,

И теорема Пифагора через столько лет

Для нас, как для него, бесспорна, безупречна.

На радостях богам был Пифагором дан обет:

За то, что мудрости коснулся бесконечной,

Он сто быков заклал, благодаря предвечных;

Моленья и хвалы вознес он жертве вслед.

С тех пор быки, когда учуят, тужась,

Что к новой истине людей опять подводит след,

Ревут остервенело, так что слушать мочи нет,

Такой в них Пифагор вселил навеки ужас.

Быкам, бессильным новой правде противостоять,

Что остается? — Лишь глаза закрыв, реветь, дрожать.

Неизвестно, каким способом доказывал Пифагор свою теорему. Несомненно лишь то, что он открыл ее под силь­ным влиянием египетской науки. Частный случай теоре­мы Пифагора — свойства треугольника со сторонами 3, 4 и 5 — был известен строителям пирамид задолго до рожде­ния Пифагора, сам же он более 20 лет обучался у египет­ских жрецов. Сохранилась легенда, которая гласит, что, доказав свою знаменитую теорему, Пифагор принес богам в жертву быка, а по другим источникам, даже 100 быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и ре­лигиозных воззрениях Пифагора. В литературных источ­никах можно прочитать, что он «запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы». Пифагор питался только медом, хлебом, овощами и изредка рыбой. В связи со всем этим более правдоподобной можно считать следующую запись: «. и даже когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипо­тенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста».

Популярность теоремы Пифагора столь велика, что ее доказательства встречаются даже в художественной литературе, например, в рассказе известного английско­го писателя Хаксли «Юный Архимед». Такое же Доказа­тельство, но для частного случая равнобедренного пря­моугольного треугольника приводится в диалоге Плато­на «Менон».

«Далеко-далеко, куда не летают даже самолеты, находится страна Геометрия. В этой необычной стране был один удиви­тельный город — город Теорем. Однажды в этот город пришла красивая девочка по имени Гипотенуза. Она попробовала снять комнату, но куда бы она ни обращалась, ей всюду отказывали. Наконец она подошла к покосившемуся домику и постучала. Ей открыл мужчина, назвавший себя Прямым Углом, и он предло­жил Гипотенузе поселиться у него. Гипотенуза осталась в доме, в котором жили Прямой Угол и два его маленьких сына по имени Катеты. С тех пор жизнь в доме Прямого Угла пошла по-ново­му. На окошке гипотенуза посадила цветы, а в палисаднике развела красные розы. Дом принял форму прямоугольного тре­угольника. Обоим катетам Гипотенуза очень понравилась и они попросили ее остаться навсегда в их доме. Ло вечерам эта друж­ная семья собирается за семейным столом. Иногда Прямой Угол играет со своими детишками в прятки. Чаще всего искать при­ходится ему, а Гипотенуза прячется так искусно, что найти ее бывает очень трудно. Однажды во время игры Прямой Угол подметил интересное свойство: если ему удается найти катеты, то отыскать Гипотенузу не составляет труда. Так Прямой Угол пользуется этой закономерностью, надо сказать, очень успешно. На свойстве этого прямоугольного треугольника и основана тео­рема Пифагора.»

(Из книги А. Окунева «Спасибо за урок, дети»).

Шутливая формулировка теоремы:

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим –

И таким простым путем

К результату мы придем.

Изучая алгебру и начала анализа и геометрию в 10 классе, я убедилась в том, что кроме рассмотренного в 8 классе способа доказательства теоремы Пифагора существуют и другие способы доказательства. Представляю их на ваше обозрение.
2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.

Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат

гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пользуясь свойствами площадей многоугольников, установим замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, в и гипотенузой с (рис.1, а).

Докажем, что с²=а²+в².

Доказательство.

Достроим треугольник до квадрата со стороной а + в так, как показано на рис. 1, б. Площадь S этого квадрата равна (а + в)² . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ½ав , и квадрата со стороной с, поэтому S= 4 * ½ав + с² =2ав + с².

Теорема доказана.
2 СПОСОБ.

После изучения темы «Подобные треугольники» я выяснила, что можно применить подобие треугольников к доказательству теоремы Пифагора. А именно, я воспользовалась утверждением о том, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом С, СD– высота (рис. 2). Докажем, что АС² +СВ² = АВ².

На основании утверждения о катете прямоугольного треугольника:

АС = , СВ = .

Возведем в квадрат и сложим полученные равенства:

АС² = АВ * АD, СВ² = АВ * DВ;

АС² + СВ² = АВ * ( АD + DВ), где АD+DB=AB, тогда

Доказательство закончено.
3 СПОСОБ.

К доказательству теоремы Пифагора можно применить определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Рассмотрим рис. 3.

Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту СD из вершины прямого угла С.

По определению косинуса угла:

cos А = АD/АС = АС/АВ. Отсюда АВ * АD = АС²

cos В = ВD/ВС = ВС/АВ.

Отсюда АВ * ВD = ВС² .

Складывая полученные равенства почленно и замечая, что АD + DВ = АВ, получим:

Доказательство закончено.
4 СПОСОБ.

Изучив тему «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника», я думаю, что теорему Пифагора можно доказать ещё одним способом.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, в и гипотенузой с. (рис. 4).

sinВ= в/с ; cosВ= a/с, то, возведя в квадрат полученные равенства, получим:

Сложив их, получим:

1= (в²+ а²) / с², следовательно,

Данное доказательство основано на разрезании квадратов, построенных на катетах (рис. 5), и укладывании полученных частей на квадрате, по­строенном на гипотенузе.

Для доказательства на катете ВС строим BCD ABC (рис.6 ). Мы знаем, что пло­щади подобных фигур отно­сятся как квадраты их сход­ственных линейных размеров:

Вычитая из первого равенства второе, получим

,

,

с2 = а2 + b2.

ABС, = 90°, ВС = а, АС=b, АВ = с.

Пусть катет b а. Продолжим отре­зок СВ за точку В и построим треугольник BMD так, что­бы точки М и А лежали по одну сторону от прямой CD и, кроме того, BD = b, BDM = 90°, DM = a, тогда BMD = ABC по двум сторонам и углу между ними. Точки А и М соединим отрезками AM. Имеем MD CD и AC CD, значит, прямая АС параллельна прямой MD. Так как MD

Источник

Теорема Пифагора – в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Вы узнаете, как доказать теорему, формула Пифагора и как решать задачи.

«Различные способы доказательства теоремы Пифагора»

На протяжении многих лет людей интересовал вопрос о теореме Пифагора и о различных способах её доказательства. Причина такой популярности теоремы: это простота, красота и широкая значимость. В современных школьных учебниках рассматриваются традиционные доказательства теоремы Пифагора. Это — алгебраическое доказательство, основанное на площади (применяется в учебнике «Геометрия 7-9», Л. С. Атанасян), доказательство Евклида. Постепенно, появлялись новые способы доказательства теоремы…

Целью исследовательской работы является: — познакомиться с историей открытия теоремы; — рассмотреть классические и малоизвестные доказательства теоремы, такие как доказательства Гарфилда, Хоукинса, Бхаскари-Ачарна, векторное доказательство теоремы и другие; — изучить области применения теоремы; — сделать выводы о значении теоремы Пифагора.

Из биографии Пифагора

Пифагор Самосский – великий греческий учёный. Его имя знакомо каждому школьнику. Если попросят назвать одного древнего математика, то абсолютное большинство назовёт Пифагора. Его известность связана с названием теоремы Пифагора. Хотя сейчас уже мы знаем, что эта теорема была известна в древнем Вавилоне за 1200 лет до Пифагора, а в Египте за 2000 лет до него был известен прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5, мы по-прежнему называем её по имени этого древнего учёного.

Про жизнь Пифагора достоверно почти ничего не известно, но с его именем связано большое количество легенд.

Пифагор родился в 570 году до н. э на острове Самос. Отцом Пифагора был Мнесарх – резчик по драгоценным камням. Мнесарх, по словам Апулея, «славился среди мастеров своим искусством вырезать геммы», но стяжал скорее славу, чем богатство. Имя матери Пифагора не сохранилось.

Пифагор имел красивую внешность, носил длинную бороду, а на голове золотую диадему. Пифагор — это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор — «убеждающий речью».)

Среди учителей юного Пифагора были старец Гермодамант и Ферекид Сиросский. Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера.

Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Таким образом, если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя.

Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым — Фалесом. Фалес посоветовал ему отправиться за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал.

В 550 году до н. э. Пифагор принимает решение и отправляется в Египет. После одиннадцати лет обучения в Египте Пифагор отправляется на родину, где по пути попадает в Вавилонский плен. Там он знакомится с вавилонской наукой, которая была более развита, чем египетская. Вавилоняне умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений. Они успешно применяли теорему Пифагора более чем за 1000 лет до Пифагора. Сбежав из плена, он не смог долго оставаться на родине из-за царившей там атмосферы насилия и тирании. Он решил переселиться в Кротон (греческая колония на севере Италии).

Пифагор организовал в греческой колонии на юге Апенинского полуострова религиозно-этическое братство, типа монашеского ордена, который впоследствии назовут пифагорейским союзом. Члены союза должны были придерживаться определённых принципов: во-первых, стремиться к прекрасному и славному, во-вторых, быть полезными, в-третьих, стремиться к высокому наслаждению.

Пифагорейская система занятий состояла из трёх разделов:

• учения о числах – арифметике,

• учения о фигурах – геометрии,

• учения о строении Вселенной – астрономии.

Музыка, гармония и числа были неразрывно связаны в учении пифагорейцев. Математика и числовая мистика были фантастически перемешаны в нём. Пифагор считал, что число есть сущность всех вещей и что Вселенная представляет собой гармоническую систему чисел и их отношений.

Школа Пифагора много сделала, чтобы придать геометрии характер науки. Основной особенностью метода Пифагора было объединение геометрии с арифметикой.

Пифагор много занимался пропорциями и прогрессиями и, вероятно, подобием фигур, так как ему приписывают решение задачи: «По данным двум фигурам построить третью, равновеликую одной из данных и подобную второй».

Пифагор и его ученики ввели понятие о многоугольных, дружественных, совершенных числах и изучали их свойства. Арифметика как практика вычислений не интересовала Пифагора, и он с гордостью заявил, что «поставил арифметику выше интересов торговца».

Пифагор одним из первых считал, что Земля имеет форму шара и является центром Вселенной, что Солнце, Луна и планеты имеют собственное движение, отличное от суточного движения неподвижных звезд.

Учение пифагорейцев о движении Земли Николай Коперник воспринял как предысторию своего гелиоцентрического учения. Недаром церковь объявила систему Коперника «ложным пифагорейским учением».

В школе Пифагора открытия учеников приписывались учителю, поэтому практически невозможно определить, что сделал сам Пифагор, а что его ученики.

Споры ведутся вокруг пифагорейского союза уже третье тысячелетие, однако общего мнения так и нет. У пифагорейцев было множество символов и знаков, которые были своего рода заповедями: например, «через весы не шагай», т.е. не нарушай справедливости; «огня ножом не вороши», т. е. не задевай гневных людей обидными словами.

Но главным пифагорейским символом – символом здоровья и опознавательным знаком – была пентаграмма или пифагорейская звезда – звёздчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника.

Союз процветал более двадцати лет, а потом начались гонения на его членов, многие из учеников были убиты.

О смерти самого Пифагора ходило много самых разных легенд. Но учение Пифагора и его учеников продолжало жить.

Из истории создания теоремы Пифагора

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что именно Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих «Начал». С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в «Началах» принадлежит самому Евклиду.

Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных конкретных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Многим известен сонет немецкого писателя-романиста Шамиссо:

Пребудет вечной истина, как скоро Ее познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век.  Обильно было жертвоприношенье  Богам от Пифагора. Сто быков  Он отдал на закланье и сожженье  За света луч, пришедший с облаков.  Поэтому всегда с тех самых пор,  Чуть истина рождается на свет,  Быки ревут, ее почуя, вслед.  Они не в силах свету помешать,  А могут лишь, закрыв глаза, дрожать  От страха, что вселил в них Пифагор.

Исторический обзор теоремы Пифагора начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:

«Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4».

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).

По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели веревок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Несколько больше было известно о теореме Пифагора вавилонянам. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т.е. к 2000 году до нашей эры, приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника; отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях.

Геометрия у индусов была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 8 века до нашей эры. Наряду с чисто ритуальными предписаниями, существуют и сочинения геометрически теологического характера, называемые Сульвасутры. В этих сочинениях, относящихся к 4 или 5 веку до нашей эры, мы встречаемся с построением прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36, 39.

В средние века теорема Пифагора определяла границу, если не наибольших возможных, то, по крайней мере, хороших математических знаний. Характерный чертеж теоремы Пифагора, который ныне иногда превращается школьниками, например, в облаченного в мантию профессора или человека в цилиндре, в те времена нередко употреблялся как символ математики.

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):

«В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол».

Латинский перевод арабского текста Аннариции (около 900 года до нашей эры), сделанный Герхардом Кремонским (12 век) гласит (в переводе):

«Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол»

В Geometry Culmonensis (около 1400 года) теорема читается так (в переводе):

“Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу”

В русском переводе евклидовых «Начал», теорема Пифагора изложена так:

«В прямоугольном треугольнике квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».

Как видим, в разных странах и разных языках существуют различные варианты формулировки знакомой нам теоремы. Созданные в разное время и в разных языках, они отражают суть одной математической закономерности, доказательство которой также имеет несколько вариантов.

Различные способы доказательства теоремы Пифагора

1. Древнекитайское доказательство. Это любопытное древнекитайское доказательство получило название «Стул невесты» — из-за похожей на стул фигуры, которая получается в результате всех построений:

Рис.1. Рис. 2.

Если мысленно отрезать от чертежа на рис.1 два зеленых прямоугольных треугольника, перенести их к противоположным сторонам квадрата со стороной с и гипотенузами приложить к гипотенузам сиреневых треугольников, получится фигура под названием «стул невесты» (рис.2). Для наглядности можно то же самое проделать с бумажными квадратами и треугольниками. Вы убедитесь, что «стул невесты» образуют два квадрата: маленькие со стороной b и большой со стороной а.

На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе

a² + 2ab +b² = c² + 2ab

a² +b² = c²

2. Доказательство Дж. Гардфилда (1882 г.)

Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого. Площадь рассматриваемой трапеции находится как произведение полусуммы оснований на высоту

S =

C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников:

S =

Приравнивая данные выражения, получаем:

или с² = a² + b²

3. Старейшее доказательство (содержится в одном из произведений Бхаскары).

Пусть АВСD квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВЕ (АВ = с, ВЕ = а,

АЕ = b);

Пусть СКВЕ = а, DLCK, AMDL

ΔABE = ∆BCK = ∆CDL = ∆AMD,

значит KL = LM = ME = EK = a-b.

.

4. Доказательство древних индусов

Квадрат со стороной (a+b), можно разбить на части либо как на рисунке а), либо как на рисунке b). Ясно, что части 1,2,3,4 на обоих рисунках одинаковы. А если от равных (площадей) отнять равные, то и останутся равные, т.е. с² = а² + b².

а) б)

Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали лишь одним словом:

Смотри!

5. Доказательство простейшее

Это доказательство получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, — по два. Теорема доказана.

6. Доказательство теоремы Пифагора через косинус угла:

Пусть АВС — данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С. По определению косинуса угла (Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе) соsА=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC2. Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB. Отсюда AB*BD=ВС2. Складывая полученные равенства, замечая, что AD+DB=AB, получим: АС2+ВС2=АВ(AD+DB)=АВ2  Теорема доказана.

7. Векторное доказательство теоремы:

Пусть АВС — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство: b + c = a откуда имеем c = a – b возводя обе части в квадрат, получим c²=a²+b²-2ab. Так как a перпендикулярно b, то ab=0, откуда c²=a²+b² или c²=a²+b². Теорема Пифагора снова доказана. Если треугольник АВС — произвольный, то та же формула дает теорему косинусов, обобщающую теорему Пифагора. 

8. Доказательство Хоукинса:

Приведем еще одно доказательство, которое имеет вычислительный характер, однако сильно отличается от всех предыдущих. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого — трудно сказать.

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A’CB’. Продолжим гипотенузу A’В’ за точку A’ до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В’D будет высотой треугольника В’АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A’АВ’В. Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA’ и СВВ’ (или на два треугольника A’В’А и A’В’В).

SCAA’=b²/2

SCBB’=a²/2

SA’AB’B=(a²+b²)/2

Треугольники A’В’А и A’В’В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому: SA’AB’B=c*DA/2+c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2

Сравнивая два полученных выражения для площади, получим: a²+b²=c² Теорема доказана.

9. Доказательство Евклида

В течение двух тысячелетий наиболее распространенным было доказательство теоремы Пифагора, придуманное Евклидом. Оно помещено в его знаменитой книге «Начала».

Евклид опускал высоту BН из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах.

Чертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство «убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей», составляли стихи вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны», рисовали карикатуры.

Шутливая формулировка теоремы:

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим –

И таким простым путем

К результату мы придем.

Пару слов о Пифагоровых тройках

Этот вопрос мало или вообще не изучается в школьной программе. А между тем он является очень интересным и имеет большое значение в геометрии. Пифагоровы тройки применяются для решения многих математических задач. Представление о них может пригодиться вам в дальнейшем образовании.

Так что же такое Пифагоровы тройки? Так называют натуральные числа, собранные по трое, сумма квадратов двух из которых равна третьему числу в квадрате.

Пифагоровы тройки могут быть:

• примитивными (все три числа – взаимно простые);

• не примитивными (если каждое число тройки умножить на одно и то же число, получится новая тройка, которая не является примитивной).

Еще до нашей эры древних египтян завораживала мания чисел Пифагоровых троек: в задачах они рассматривали прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц. К слову, любой треугольник, стороны которого равны числам из пифагоровой тройки, по умолчанию является прямоугольным.

Примеры Пифагоровых троек: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 35, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) и т.д.

Применение теоремы Пифагора

Задачи теоретические современные

1. Периметр ромба 68 см., а одна из его диагоналей равна 30 см. Найдите длину другой диагонали ромба.

1. Гипотенуза КР прямоугольного треугольника КМР равна см., а катет МР равен 4 см. Найдите медиану РС.

2. На сторонах прямоугольного треугольника построены квадраты, причем S₁-S₂=112 см², а S₃=400 см². Найдите периметр треугольника.

3. Дан треугольник АВС, угол С=90⁰, CD AB, AC=15 см., AD=9 см. Найдите АВ.

Задачи практические старинные

Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?

Задача индийского математика XII века Бхаскары

«На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?»

Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого

   «Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать.»

Задача из китайской «Математики в девяти книгах»

   «Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?»

Теорема Пифагора находит применение не только в математике, но и в архитектуре и строительстве, астрономии и даже литературе.

В строительстве теорема Пифагора находит широкое применение в задачах разного уровня сложности. Например, посмотрите на окно в романском стиле:

Обозначим ширину окна как b, тогда радиус большой полуокружности можно обозначить как R и выразить через b: R=b/2. Радиус меньших полуокружностей также выразим через b: r=b/4. В этой задаче нас интересует радиус внутренней окружности окна (назовем его p).

Теорема Пифагора как раз и пригодиться, чтобы вычислить р. Для этого используем прямоугольный треугольник, который на рисунке обозначен пунктиром. Гипотенуза треугольника состоит из двух радиусов: b/4+p. Один катет представляет собой радиус b/4, другой b/2-p. Используя теорему Пифагора, запишем: (b/4+p)2=(b/4)2+(b/2-p)2. Далее раскроем скобки и получим b2/16+ bp/2+p2=b2/16+b2/4-bp+p2. Преобразуем это выражение в bp/2=b2/4-bp. А затем разделим все члены на b, приведем подобные, чтобы получить 3/2*p=b/4. И в итоге найдем, что p=b/6 – что нам и требовалось.

С помощью теоремы можно вычислить длину стропила для двускатной крыши. Определить, какой высоты вышка мобильной связи нужна, чтобы сигнал достигал определенного населенного пункта. И даже устойчиво установить новогоднюю елку на городской площади. Как видите, эта теорема живет не только на страницах учебников, но и часто бывает полезна в реальной жизни.

Что касается литературы, то теорема Пифагора вдохновляла писателей со времен античности и продолжает это делать в наше время. Например, немецкого писателя девятнадцатого века Адельберта фон Шамиссо она вдохновила на написание сонета:

Свет истины рассеется не скоро,
Но, воссияв, рассеется навряд
И, как тысячелетия назад,
Не вызовет сомнения и спора.
Мудрейшие, когда коснется взора
Свет истины, богов благодарят;
И сто быков, заколоты, лежат –
Ответный дар счастливца Пифагора.
С тех пор быки отчаянно ревут:
Навеки всполошило бычье племя
Событие, помянутое тут.
Им кажется: вот-вот настанет время,
И сызнова их в жертву принесут
Какой-нибудь великой теореме.

(перевод Виктора Топорова)

А в двадцатом веке советский писатель Евгений Велтистов в книге «Приключения Электроника» доказательствам теоремы Пифагора отвел целую главу. И еще полглавы рассказу о двухмерном мире, какой мог бы существовать, если бы теорема Пифагора стала основополагающим законом и даже религией для отдельно взятого мира. Жить в нем было бы гораздо проще, но и гораздо скучнее: например, там никто не понимает значения слов «круглый» и «пушистый».

А еще в книге «Приключения Электроника» автор устами учителя математики Таратара говорит: «Главное в математике – движение мысли, новые идеи». Именно этот творческий полет мысли порождает теорема Пифагора – не зря у нее столько разнообразных доказательств. Она помогает выйти за границы привычного, и на знакомые вещи посмотреть по-новому.

Теорема Пифагора настолько известна, что трудно представить себе человека, не слышавшего о ней. Теорема Пифагора интересна не только своей историей, но и тем, что она занимает важное место в жизни и науке. Об этом свидетельствуют различные трактовки текста этой теоремы и пути её доказательств.

Итак, теорема Пифагора — одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c²=a²+b². Поэтому для её доказательства часто используют наглядность.

Заслуга же Пифагора состояла в том, что он дал полноценное научное доказательство этой теоремы.

Интересна личность самого учёного, память о котором неслучайно сохранила эта теорема. Пифагор – замечательный оратор, учитель и воспитатель, организатор своей школы, ориентированной на гармонию музыки и чисел, добра и справедливости, на знания и здоровый образ жизни. Он вполне может служить примером для нас, далёких потомков.

Литература и Интернет-ресурсы:

1. Геометрия, 7-9 классы: учебник для общеобразовательный организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. – М.: Просвещение, 2015

2. Математика в стихах: задачи, сказки, рифмованные правила. 5-11 классы / авт.-сост. О.В. Панишева. – Изд. Волгоград: Учитель. – 219с. 

3. Остренкова, Г. Учебно-методическая газета «Математика», где рассматриваются сведения о жизни Пифагора, а также материал о Пифагоровых тройка

4. Интернет- ресурсы:

— http://bankreferatov.ru/

— http://kvant.ru/

— http://th-pif.narod.ru/formul.html

Стоило мне более суток окунуться в глубокие дебри геометрии.

Вы понимаете, что развёрнутому ответу с описанием всех возможных доказательств теоремы Пифагора можно было бы уделить отдельный ресурс и посвятить книгу. Геометрия, тригонометрия, алгебра — точные науки, как и бухгалтерия свода копейки к копейке, предполагают такое множество выведенных формул и пропорций, что применив их возрастает количество комбинаций как доказательств.

Теорема пифагора устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Возьмём прямоугольный треугольник, в котором один угол прямой, т.е. = 90°.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами.

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой.

Итак, теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

A² + B² = C²

Это утверждение одно из основных в геометрии, на котором построено множество вычислений, и на основе которого строятся даже здания и передаются данные GPS. Теорема названа в честь гревнеческого философа и математика 6 столетия до н.э. Однако свою известность теорема получила более чем через тысячу лет. Вавилонская глиняная табличка содержала в себе 15 наборов чисел, удовлетворяющих условию этой теоремы.

Некоторые историки считают, что теорема была придумана ещё древними египтянами, использующими набор цифр 3, 4, 5. Эта теория основана на том, что в распоряжении геодезистов находилась верёвка с 12 промежутками, где узлы завязаны через равные промежутки. Из этой верёвки можно было сформировать треугольник со сторонами, где количество промежутков каждой стороны удовлетворяло бы этим цифрам.

Притом такой треугольник получился бы прямоугольным.

Ранняя индийская запись, датированная между 800 и 600 годами до н.э. утверждает, что длина верёвки, растянутой по диагонали квадрата может послужить новой стороной для квадрата в два раза больше начального.

Вот где прослеживается связь с теоремой Пифагора.

Но это не доказывает, что теорема выполняется для каждого прямоугольного треугольника на плоскости. Мы должны просто поверить древним геодезистам? Нет, мы знаем множество способов доказательства данной теоремы. Сегодня теорема Пифагора насчитывает около 500 возможных, включая глупые доказательства. Из них до 350 вполне достойны гениальности.

Такие доказательства построены на математических законах и логике.

________________­_________________­_________________­___

1.Классическое доказательство теоремы Пифагора заключается в перестановочном способе.

Возьмём четыре прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой c.

Расположим их так, чтобы гипотенузы образовали квадрат.

Ясно, что на полученной плоскости, площадь такого квадрата равна c².

Теперь сделаем из треугольников два прямоугольника, направив меньшие катеты друг к другу.

Площади получившихся квадратов равны a² и b².

И вот, в чём весь смысл. Общая площадь фигур не изменилась при одинаковых площадях треугольников.

Следовательно, пустые области на равной площади равны. То есть, c² = a² + b².

2.Ещё одно доказательство принадлежит Евклиду, на которое почти 2000 лет наткнулся и 12-летний Эйнштейн. Нам понадобится один большой треугольник и два меньших, из которых он состоит. В этом случае один большой прямоугольный треугольник делится на два других (под прямым углом).

Используется принцип, что если соответственные углы треугольника равны, то соотношение их сторон также равно.

Для трёх подобных треугольников мы можем написать соотношение их сторон.

Теперь раскроем пропорции: AC² = BC × DC и AB² = BC × BD.

Сложим одинаковые части AC² + AB² = BC × (DC + BD).

Видим, DC + BD является гипотерузой BC исходного треугольника, следовательно DC + BD = BC.

Отсюда, AC² + AB² = BC² или A² + B² = C².

3.Более современное доказательство при тиселяции — повтора геометрического рисунка для наглядного визуального доказательства.

Пояснение.

Возьмём прямоугольный треугольник. У нас есть три ключевых элемента:

1)чёрная площадь со стороной равной длине одного катета (a).

2)серая площадь со стороной равной длине другого катета (b).

3)большая площадь синего квадрата, являющегося квадратом гипотенузы (c, d).

Чёрная и серая площади закономерно укладывются в большую площадь синего квадрата. При внимательном рассмотрении замечаем, что каждый синий квадрат вмещает ровно все составные площади для целого серого квадрата (одного катета) плюс площади для целого чёрного квадрата (другого катета). Ни больше, ни меньше.

4.Ещё один оригинальный способ доказательства, заключается в наполнении ёмкостей жидкостью. Можно попробовать соорудить вращающийся механизм, где к трём граням вала прямоугольного тетраэдра прикрепить равные по толщине квадратные ёмкости, и начать вращать вал. Жидкость начнёт вытекать из большей ёмкости в две меньшие, и ровно войдёт в обе, заполнив их.

Наша школьная учительница по математике на уроке заявила, что нашла очередной способ доказательства теоремы Пифагора. Беда в том, что дело было 20 лет назад.

Потенциал к творчеству обычно приписывают гуманитарным дисциплинам, естественно научным оставляя анализ, практический подход и сухой язык формул и цифр. Математику к гуманитарным предметам никак не отнесешь. Но без творчеств в «царице всех наук» далеко не уедешь – об этом людям известно с давних пор. Со времен Пифагора, например.

Школьные учебники, к сожалению, обычно не объясняют, что в математике важно не только зубрить теоремы, аксиомы и формулы. Важно понимать и чувствовать ее фундаментальные принципы. И при этом попробовать освободить свой ум от штампов и азбучных истин – только в таких условиях рождаются все великие открытия.

К таким открытиям можно отнести и то, которое сегодня мы знаем как теорему Пифагора. С его помощью мы попробуем показать, что математика не только может, но и должна быть увлекательной. И что это приключение подходит не только ботаникам в толстых очках, а всем, кто крепок умом и силен духом.

Из истории вопроса

Строго говоря, хоть теорема и называется «теоремой Пифагора», сам Пифагор ее не открывал. Прямоугольный треугольник и его особенные свойства изучались задолго до него. Есть две полярных точки зрения на этот вопрос. По одной версии Пифагор первым нашел полноценное доказательство теоремы. По другой доказательство не принадлежит авторству Пифагора.

Сегодня уже не проверишь, кто прав, а кто заблуждается. Известно лишь, что доказательства Пифагора, если оно когда-либо существовало, не сохранилось. Впрочем, высказываются предположения, что знаменитое доказательство из «Начал» Евклида может принадлежать как раз Пифагору, и Евклид его только зафиксировал.

Также сегодня известно, что задачи о прямоугольном треугольнике встречаются в египетских источниках времен фараона Аменемхета I, на вавилонских глиняных табличках периода правления царя Хаммурапи, в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» и древнекитайском сочинении «Чжоу-би суань цзинь».

Как видите, теорема Пифагора занимала умы математиков с древнейших времен. Подтверждением служит и около 367 разнообразных доказательств, существующих сегодня. В этом с ней не может тягаться ни одна другая теорема. Среди знаменитых авторов доказательств можно вспомнить Леонардо да Винчи и двадцатого президента США Джеймса Гарфилда. Все это говорит о чрезвычайной важности этой теоремы для математики: из нее выводится или так или иначе с нею связано большинство теорем геометрии.

Доказательства теоремы Пифагора

В школьных учебниках в основном приводят алгебраические доказательства. Но суть теоремы в геометрии, так что давайте рассмотрим в первую очередь те доказателства знаменитой теоремы, которые опираются на эту науку.

Доказательство 1

Для самого простого доказательства теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника нужно задать идеальные условия: пусть треугольник будет не только прямоугольным, но и равнобедренным. Есть основания полагать, что именно такой треугольник первоначально рассматривали математики древности.

Утверждение «квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах» можно проиллюстрировать следующим чертежом:

Посмотрите на равнобедренный прямоугольный треугольник ABC: На гипотенузе АС можно построить квадрат, состоящий из четырех треугольников, равных исходному АВС. А на катетах АВ и ВС построено по квадрату, каждый из которых содержит по два аналогичных треугольника.

Кстати, этот чертеж лег в основу многочисленных анекдотов и карикатур, посвященных теореме Пифагора. Самый знаменитый, пожалуй, это «Пифагоровы штаны во все стороны равны»:

Доказательство 2

Этот метод сочетает в себе алгебру и геометрию и может рассматриваться как вариант древнеиндийского доказательства математика Бхаскари.

Постройте прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c (рис.1). Затем постройте два квадрата со сторонами, равными сумме длин двух катетов, – (a+b). В каждом из квадратов выполните построения, как на рисунках 2 и 3.

В первом квадрате постройте четыре таких же треугольника, как на рисунке 1. В результате получаться два квадрата: один со стороной a, второй со стороной b.

Во втором квадрате четыре построенных аналогичных треугольника образуют квадрат со стороной, равной гипотенузе c.

Сумма площадей построенных квадратов на рис.2 равна площади построенного нами квадрата со стороной с на рис.3. Это легко проверить, высчитав площади квадратов на рис. 2 по формуле. А площадь вписанного квадрата на рисунке 3. путем вычитания площадей четырех равных между собой вписанных в квадрат прямоугольных треугольников из площади большого квадрата со стороной (a+b).

Записав все это, имеем: a²+b²=(a+b)² – 2ab. Раскройте скобки, проведите все необходимые алгебраические вычисления и получите, что a²+b²= a²+b². При этом площадь вписанного на рис.3. квадрата можно вычислить и по традиционной формуле S=c². Т.е. a²+b²=c² – вы доказали теорему Пифагора.

Доказательство 3

Само же древнеиндийское доказательство описано в XII веке в трактате «Венец знания» («Сиддханта широмани») и в качестве главного аргумента автор использует призыв, обращенный к математическим талантам и наблюдательности учеников и последователей: «Смотри!».

Но мы разберем это доказательство более подробно:

Внутри квадрата постройте четыре прямоугольных треугольника так, как это обозначено на чертеже. Сторону большого квадрата, она же гипотенуза, обозначим с. Катеты треугольника назовем а и b. В соответствии с чертежом сторона внутреннего квадрата это (a-b).

Используйте формулу площади квадрата S=c², чтобы вычислить площадь внешнего квадрата. И одновременно высчитайте ту же величину, сложив площадь внутреннего квадрата и площади всех четырех прямоугольных треугольников: (a-b)²2+4*12*a*b.

Вы можете использовать оба варианта вычисления площади квадрата, чтобы убедиться: они дадут одинаковый результат. И это дает вам право записать, что c²=(a-b)²+4*12*a*b. В результате решения вы получите формулу теоремы Пифагора c²=a²+b². Теорема доказана.

Доказательство 4

Это любопытное древнекитайское доказательство получило название «Стул невесты» — из-за похожей на стул фигуры, которая получается в результате всех построений:

Рис.1.

Рис. 2.

В нем используется чертеж, который мы уже видели на рис.3 во втором доказательстве. А внутренний квадрат со стороной с построен так же, как в древнеиндийском доказательстве, приведенном выше.

Если мысленно отрезать от чертежа на рис.1 два зеленых прямоугольных треугольника, перенести их к противоположным сторонам квадрата со стороной с и гипотенузами приложить к гипотенузам сиреневых треугольников, получится фигура под названием «стул невесты» (рис.2). Для наглядности можно то же самое проделать с бумажными квадратами и треугольниками. Вы убедитесь, что «стул невесты» образуют два квадрата: маленькие со стороной b и большой со стороной a.

Эти построения позволили древнекитайским математикам и нам вслед за ними прийти к выводу, что c²=a²+b².

Доказательство 5

Это еще один способ найти решение для теоремы Пифагора, опираясь на геометрию. Называется он «Метод Гарфилда».

Постройте прямоугольный треугольник АВС. Нам надо доказать, что ВС²=АС²+АВ².

Для этого продолжите катет АС и постройте отрезок CD, который равен катету АВ. Опустите перпендикулярный AD отрезок ED. Отрезки ED и АС равны. Соедините точки Е и В, а также Е и С и получите чертеж, как на рисунке ниже:

Чтобы доказать терему, мы вновь прибегаем к уже опробованному нами способу: найдем площадь получившейся фигуры двумя способами и приравняем выражения друг к другу.

Найти площадь многоугольника ABED можно, сложив площади трех треугольников, которые ее образуют. Причем один из них, ЕСВ, является не только прямоугольным, но и равнобедренным. Не забываем также, что АВ=CD, АС=ED и ВС=СЕ – это позволит нам упростить запись и не перегружать ее. Итак, S_ABED=2*1/2(AB*AC)+1/2ВС².

При этом очевидно, что ABED – это трапеция. Поэтому вычисляем ее площадь по формуле: S_ABED=(DE+AB)*1/2AD. Для наших вычислений удобней и наглядней представить отрезок AD как сумму отрезков АС и CD.

Запишем оба способа вычислить площадь фигуры, поставив между ними знак равенства: AB*AC+1/2BC²=(DE+AB)*1/2(AC+CD). Используем уже известное нам и описанное выше равенство отрезков, чтобы упростить правую часть записи: AB*AC+1/2BC²=1/2(АВ+АС)². А теперь раскроем скобки и преобразуем равенство: AB*AC+1/2BC²=1/2АС²+2*1/2(АВ*АС)+1/2АВ². Закончив все преобразования, получим именно то, что нам и надо: ВС²=АС²+АВ². Мы доказали теорему.

Конечно, этот список доказательств далеко не полный. Теорему Пифагора также можно доказать с помощью векторов, комплексных чисел, дифференциальный уравнений, стереометрии и т.п. И даже физики: если, например, в аналогичные представленным на чертежах квадратные и треугольные объемы залить жидкость. Переливая жидкость, можно доказать равенство площадей и саму теорему в итоге.

Пару слов о Пифагоровых тройках

Этот вопрос мало или вообще не изучается в школьной программе. А между тем он является очень интересным и имеет большое значение в геометрии. Пифагоровы тройки применяются для решения многих математических задач. Представление о них может пригодиться вам в дальнейшем образовании.

Так что же такое Пифагоровы тройки? Так называют натуральные числа, собранные по трое, сумма квадратов двух из которых равна третьему числу в квадрате.

Пифагоровы тройки могут быть:

• примитивными (все три числа – взаимно простые);
• не примитивными (если каждое число тройки умножить на одно и то же число, получится новая тройка, которая не является примитивной).

Еще до нашей эры древних египтян завораживала мания чисел Пифагоровых троек: в задачах они рассматривали прямоугольный треугольник со сторонами 3,4 и 5 единиц. К слову, любой треугольник, стороны которого равны числам из пифагоровой тройки, по умолчанию является прямоугольным.

Примеры Пифагоровых троек: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) и т.д.

Практическое применение теоремы

Теорема Пифагора находит применение не только в математике, но и в архитектуре и строительстве, астрономии и даже литературе.

Сначала про строительство: теорема Пифагора находит в нем широкое применение в задачах разного уровня сложности. Например, посмотрите на окно в романском стиле:

Обозначим ширину окна как b, тогда радиус большой полуокружности можно обозначить как R и выразить через b: R=b/2. Радиус меньших полуокружностей также выразим через b: r=b/4. В этой задаче нас интересует радиус внутренней окружности окна (назовем его p).

Теорема Пифагора как раз и пригодиться, чтобы вычислить р. Для этого используем прямоугольный треугольник, который на рисунке обозначен пунктиром. Гипотенуза треугольника состоит из двух радиусов: b/4+p. Один катет представляет собой радиус b/4, другой b/2-p. Используя теорему Пифагора, запишем: (b/4+p)²=(b/4)²+(b/2-p)². Далее раскроем скобки и получим b²/16+ bp/2+p²=b²/16+b²/4-bp+p². Преобразуем это выражение в bp/2=b²/4-bp. А затем разделим все члены на b, приведем подобные, чтобы получить 3/2*p=b/4. И в итоге найдем, что p=b/6 – что нам и требовалось.

С помощью теоремы можно вычислить длину стропила для двускатной крыши. Определить, какой высоты вышка мобильной связи нужна, чтобы сигнал достигал определенного населенного пункта. И даже устойчиво установить новогоднюю елку на городской площади. Как видите, эта теорема живет не только на страницах учебников, но и часто бывает полезна в реальной жизни.

Что касается литературы, то теорема Пифагора вдохновляла писателей со времен античности и продолжает это делать в наше время. Например, немецкого писателя девятнадцатого века Адельберта фон Шамиссо она вдохновила на написание сонета:

(перевод Виктора Топорова)

А в двадцатом веке советский писатель Евгений Велтистов в книге «Приключения Электроника» доказательствам теоремы Пифагора отвел целую главу. И еще полглавы рассказу о двухмерном мире, какой мог бы существовать, если бы теорема Пифагора стала основополагающим законом и даже религией для отдельно взятого мира. Жить в нем было бы гораздо проще, но и гораздо скучнее: например, там никто не понимает значения слов «круглый» и «пушистый».

А еще в книге «Приключения Электроника» автор устами учителя математики Таратара говорит: «Главное в математике – движение мысли, новые идеи». Именно этот творческий полет мысли порождает теорема Пифагора – не зря у нее столько разнообразных доказательств. Она помогает выйти за границы привычного, и на знакомые вещи посмотреть по-новому.

Заключение

Эта статья создана, чтобы вы могли заглянуть за пределы школьной программы по математике и узнать не только те доказательства теоремы Пифагора, которые приведены в учебниках «Геометрия 7-9» (Л.С. Атанасян, В.Н. Руденко) и «Геометрия 7-11» (А.В. Погорелов), но и другие любопытные способы доказать знаменитую теорему. А также увидеть примеры, как теорема Пифагора может применяться в обычной жизни.

Во-первых, эта информация позволит вам претендовать на более высокие баллы на уроках математики – сведения по предмету из дополнительных источников всегда высоко оцениваются.

Во-вторых, нам хотелось помочь вам прочувствовать, насколько математика интересная наука. Убедиться на конкретных примерах, что в ней всегда есть место творчеству. Мы надеемся, что теорема Пифагора и эта статья вдохновят вас на самостоятельные поиски и волнующие открытия в математике и других науках.

Расскажите нам в комментариях, показались ли вам приведенные в статье доказательства интересными. Пригодились ли вам эти сведения в учебе. Напишите нам, что думаете о теореме Пифагора и этой статье – нам будет приятно обсудить все это с вами.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.