8 класс алгебра презентация рациональные числа

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Алгебра. 8 класс.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

« Числа не управляют миром, но они показывают, как управлять им».

( И. Гёте).

(-1)7+(-1)8

Naturalis

Quotient

Ratio

Zahl

Проверка домашнего задания

Множество чисел, которое можно представить в виде ,

называется множеством рациональных чисел и обозна-

чается- Q первой буквой французского слова Quotient

— «отношение».

Для счета предметов используются числа , которые называются натуральными. Для обозначения множества натуральных чисел употребляется буква N -первая буква латинского слова Naturalis, «естественный», «натуральный»

Натуральные числа, числа им противоположные

и число нуль, образуют множество целых чисел,

которое обозначается Z — первой буквой

немецкого слова Zahl — «число».

Тема урока:

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Цель урока:

систематизировать знания о

рациональных числах;

познакомиться с историей возникновения рациональных чисел;

выделить общее свойство рациональных чисел.

Натуральные числа несут ещё

другую функцию –

характеристика порядка предметов,

расположенных в ряд.

Натуральные числа возникли в силу необходимости вести счет любых предметов.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10…

О натуральном,в смысле естественном,

ряде чисел говорится во «Введении в арифметику» греческого математика

( неопифагорийца) Никомаха из Геразы.

В современном смысле

понятие и термин

«Натуральное число»

встречается у французского

философа и математика Ж.Даламбера (1717-1783)

Натуральные числа

1, 2, 3, 4, 5, 6…

Сумма и произведение натуральных

чисел есть число натуральное.

n — натуральное

Дроби естественно возникли при решении

задач о разделе имущества, измерении

земельных участков, исчислении времени.

Дробные числа

Сумма, произведение и частное

дробных чисел есть число дробное.

1) доли или единичные дроби,

у которых числитель единица,

знаменателем же может быть

любое целое число;

3)дроби общего вида, у которых числители и знаменатели могут быть любыми числами.

2) дроби систематические, у которых

числителями могут быть любые числа,

знаменателями же – только числа некоторого

частного вида, например,

степени десяти или шестидесяти;

Десятичные дроби в XV веке

ввел самаркандский ученый

ал — Каши.

Ничего, не зная об открытии ал – Коши,

десятичные дроби открыл второй раз,

приблизительно через 150 лет, после него,

фламандский ученый математик и инженер

Симон Стевин в труде «Децималь» (1585 г).

Отрицательные числа трактовались

так же как долг при финансовых и

бартерных расчетах.

Понятие отрицательных чисел

возникло в практике решения алгебраических уравнений.

Отрицательные числа ввели

в математический обиход

Михаэль Штифель (1487—1567)

в книге «Полная арифметика» (1544),

и Никола Шюке (1445—1500)-

его работа была обнаружена в 1848 году.

Натуральные числа

Числа,

им противоположные

1

2

3

4

6

5

-5

-4

-3

-2

-1

-6

Целые

Сумма, произведение и разность

целых чисел есть число целое.

Целые числа

…-3;-2;-1;0,1, 2, 3,…

m — целое

Целые числа

Дробные числа

1

0

-4

9

10

58

7,1

3,2

0,(2)

0,1

2/7

Рациональные

Сумма, произведение, разность и

частное рациональных чисел есть

число рациональное.

Рациональные числа

r — рациональное

Леонард Эйлер жил в России в

середине XYΙΙΙ века и внес большой вклад

в развитие математики.

Отношения между множествами натуральных,

целых и рациональных чисел наглядно демонстрирует

геометрическая иллюстрация – круги Эйлера.

Задание 1.

Вычислите значения числовых выражений и изобразите их на диаграмме Эйлера.

Вместо недостающего числа впишите букву к.

а

в

с

d

m

k

л

Выясните, какие из высказываний

истинные:

л

и

молодец

и

молодец

и

молодец

и

молодец

и

молодец

молодец

л

молодец

л

молодец

и

ошибся

и

молодец

и

ошибся

и

ошибся

ошибся

л

ошибся

л

ошибся

л

ошибся

л

ошибся

л

ошибся

Замените данные рациональные числа

десятичными дробями.

чисто периодические

смешанные периодические

• 0,(2) 2) 2,(21) 3) 1,(1)

Прочитайте дроби:

4) -3,0(3) 5) -0,1(6) 6) 12,45(7)

Пусть х = 0,222…

10х = 2,222…

х =0,222…

10х = 2,222…

10х – х = 2,222…- 0,222

9х= 2

0,222…

Пусть х = 0,4666…

10х = 4,666…

10х =4,666…

100х = 46,666…

100х – 10х = 46,666…- 4,666

90х= 42

0,4666..

Чтобы обратить чисто периодическую дробь

в обыкновенную, нужно в числителе обыкновенной дроби поставить число,

образованное из цифр, стоящих в периоде,

а в знаменателе – написать цифру 9 столько раз,

сколько цифр в периоде.

0,(2)=

2

9

1 цифра

0,(81)=

81

2 цифры

99

Чтобы обратить смешанную периодическую дробь

в обыкновенную, нужно в числителе обыкновенной дроби

поставить число, равное разности числа, образованного цифрами, стоящими после запятой до начала второго периода, и числа, образованного из цифр, стоящих после запятой до начала первого периода;

а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, и со столькими нулями, сколько цифр между запятой и началом периода.

0,4(6)=

4

6

4

1 цифра

9

1 цифра

0

Проверь соседа

нет

да

Проверь себя

МОЛОДЦЫ !

ТВОЕ НАСТРОЕНИЕ

http://www.free-lancers.net/users/vixen/

http://www.librus.ru/childrens-corner/scientifically-cognitive-literature

/5676-mir-chisel.html

http://odur.let.rug.nl/magazijn/decennia/1745-1754_45.htm

http://project-gym6.narod.ru/1/62/euler.htm

http://sferica.by.ru/history/pi.html

http://www.peoples.ru/science/mathematics/simon_stevin/

http://www.proshkolu.ru/user/galrybo/file/455559/

Ресурсы интернета:

http://www.15a20.com.mx/images/sections/thumbs/thumb_7312558.jpg

http://gr-matem.narod.ru/

http://www.i-u.ru/biblio/archive/depman_mir/01.aspx

Обухова Наталия Семеновна, МОУ СОШ №17 г.Заволжья Нижегородской области

Для счета предметов используются числа, которые называются натуральными . Для обозначения множества натуральных чисел употребляется буква N — первая буква латинского слова Naturalis — «естественный», «натуральный»

N — натуральные

1 , 2, 3, 4, 5, …

Числа,

им противоположные

Натуральные числа

5

3

6

4

2

1

-5

-4

-3

-2

-6

-1

Целые

Натуральные числа, числа им противоположные и число нуль, образуют множество целых чисел, которое обозначается Z — первой буквой немецкого слова Zahl — «число».

Z — целые

… , -3, -2, — 1 , 0,

1 , 2, 3, …

Целые числа

Дробные числа

58

10

9

-4

0

1

7,1

0,1

2/7

3,2

0,(2)

Рациональные

Множество чисел, которое можно представить в виде , называется множеством рациональных чисел и обозначается буквой Q — первой буквой французского слова Quotient — «отношение». Есть также версия, что название рациональных чисел связано с латинским словом ratio – разум.

Q — рациональные

… , -3, -2, — 1 , 0, 1, 2, 3, …

+ дроби

Отношения между множествами натуральных,

целых и рациональных чисел наглядно демонстрирует

геометрическая иллюстрация – круги Эйлера .

N  Z  Q

Математический символ   ∈   называют знаком принадлежности ( элемент принадлежит множеству ) .

«n — натуральное число»

можно писать n ∈ N  

«m — целое число»

можно писать m ∈ Z

«r — рациональное число»

можно писать r ∈ Q  

Математический символ ⊂  называют знаком включения ( одно множество содержится в другом ).

«N — часть множества Z»

можно писать N ⊂ Z ,

«Z — часть множества Q»

можно писать Z ⊂ Q  

Множества обозначают большими буквами,

элементы множества — маленькими буквами.

«x  не принадлежит множеству X» 

можно писать x ∉ X

«A  не является частью (подмножеством) B»

можно писать A  B .

N  Z  Q

Число 5 — ?

N, Z, Q

Число -7 — ?

Z, Q

Z, Q

Число -6,7 — ?

Число — ?

Q

Переведите обыкновенные дроби в десятичные:

= 0,375 – конечная десятичная дробь

Если в знаменателе стоят 2, 5, их произведение или произведение комбинацийэтих чисел – всегда КОНЕЧНАЯ ДЕСЯТИЧНАЯ ДРОБЬ!

Переведите обыкновенные дроби в десятичные:

= 0,272727272727272727… — бесконечная периодическая десятичная дробь

Для краткости написания – ПЕРИОД (круглые скобки)

0,272727272727272727…= 0,(27)

Прочитайте дроби:

• 0,(2) 2) 2,(21) 3) 1,(1)

• 0,(2) 2) 2,(21) 3) 1,(1)

4) -3,0(3) 5) -0,1(6) 6) 12,45(7)

4) -3,0(3) 5) -0,1(6) 6) 12,45(7)

чисто периодические

смешанные периодические

Любое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби?

N  Z  Q

5 = 5,000… = 5,(0)

-8,37 = -8,37000… = -8,37(0)

Дроби — ?

Алгоритмы перевода рациональных чисел

в бесконечную десятичную периодическую дробь

= 0,375 = 0,375(0)

= 0,272727… = 0,(27)

Делим числитель

на знаменатель

Любое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби?

Переведем б.п.д. дробь 0,(2)

в обыкновенную

Пусть х = 0,(2)

Это для

чисто периодической !!!

10х = 2,(2)

10х = 2,(2)

 10 ( число цифр в периоде )

х = 0,(2)

10х – х = 2,(2) — 0,(2)

9х = 2

0,(2)

Переведем б.п.д. дробь 0,4(6)

в обыкновенную

Это для

смешанной периодической !!!

Пусть х = 0,4(6)

10х = 4,(6)

100х = 46,(6)

 10 ( число цифр в периоде )

10х = 4,(6)

100х – 10х = 46,(6) — 4,(6)

90х = 42

0,4(6)

21

Действительные числа

Рациональные числа

Натуральные числа (N- naturalis)

•  — это числа, возникающие естественным образом при счёте предметов (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).
• Иногда в иностранной и переводной литературе начинают счёт с нуля. В этом случае нуль считается натуральным числом.
• В русской литературе обычно нуль исключён из числа натуральных чисел  N , а множество натуральных чисел с нулём обозначается как  N 0 .

Множества чисел:

• Натуральные числа, противоположные им числа и число нуль составляют множество  целых чисел (Z – zahl – ( нем.) число ) .
• Кроме целых, вам известны  дробные числа   (положительные и отрицательные).  Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел (Q – quotinent – (фр.) отношение ).

Математические обозначения

• ∈ — «принадлежит», символ принадлежности — ∈ (от греч. εστι — быть) 
• ∪ — «объединение»,
• ∩ — «пересечение»,
• ⊂ — «содержится».

Для того чтобы записать, что какое-либо число принадлежит рассматриваемому множеству, используют знак ∈. Например, утверждение, что число 2 является натуральным (или что число 2 принадлежит множеству натуральных чисел), можно записать так: 2 ∈  N . Число –2 не является натуральным; это можно записать с помощью знака ∉: −2 ∉  N .

Математические обозначения:

Пусть каждый элемент множества  B  является элементом множества  A . В таких случаях множество  B  называют  подмножеством  множества  A .

Это записывают так:  B  ⊂  A (читают:  B  — подмножество множества  A ).

Джузеппе Пеано продолжил развитие теории логики Шрёдера. Работы Шрёдера считали основополагающими для современной высшей алгебры и истории логики.

Эрнст Шрёдер  (1841—1902) — немецкий математик и логик

Джузеппе Пеано  (1858—1932) — итальянский математик и логик. 

Запись числа

• Рациональное число записывается в виде

m/n

где m – целое число, n – натуральное.

Одно и то же рациональное число можно записать в таком виде разными способами.

• Правильной  называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя.
• Правильные дроби представляют рациональные числа, по модулю меньшие единицы.
• Дробь называется  неправильной  и представляет рациональное число, большее или равное единице по модулю.
• Неправильную дробь можно представить в виде суммы целого числа и правильной дроби, называемой смешанной  дробью.

• Среди дробей, с помощью которых записывается данное рациональное число, всегда можно указать дробь с наименьшим знаменателем. Эта дробь несократима. Для целых чисел такая дробь имеет знаменатель, равный 1.

Десятичные дроби

• Конечная десятичная дробь  — это дробь, знаменатель которой равен 10 n . Эта дробь записывается с помощью десятеричной позиционной системы счисления.
• Бесконечные десятичные дроби с повторяющимися группами цифр называются периодическими. Для целей сокращения повторяющаяся группа цифр (период) записывается в скобках, начиная с того места, откуда начинается повторяющаяся последовательность.
• Если период начинается сразу после запятой, то дробь называется  чисто периодической . Если же период не начинается сразу после запятой, а ему предшествуют несколько цифр, то такая десятичная дробь называется  смешанной периодической.

Десятичные дроби

• Период десятичной дроби  — это повторяющаяся группа цифр после запятой.
• Чтобы  представить обыкновенную дробь в виде десятичной , нужно числитель дроби разделить на её знаменатель.

В данной презентации присутствует как теоретический материал, так и дидактика по указанной теме.

Урок  «Рациональные числа»

(8 класс)

Цели урока:

Создать условия, при которых ученик:

— расширит представления о числе, сформирует понятие «рациональное число»;

— систематизирует знания о числовых множествах;

— приобретет навыки перевода рациональных чисел в десятичную (конечную или бесконечную)  дробь; бесконечных десятичных периодических дробей в рациональные числа; различные способы перевода бесконечной десятичной  периодической дроби в обыкновенную дробь;

— приобретет умения работать в парах,

— разовьет  навыки самостоятельной работы, умения анализировать, сравнивать, внимательно выполнять необходимые действия.

В результате ученик:  

—  знает, как определить вид числа, его принадлежность к числовым множествам;

— умеет правильно пользоваться математической символикой в процессе выполнения заданий;

— умеет представлять рациональное число в виде конечной или бесконечной периодической дроби;

— сможет научиться представлять бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби;

1. Организационный этап, повторение ранее изученного.

Приветствие, проверка готовности к уроку, работа в тетради – число, тема урока (слайд).

Учащиеся работают на трех уровнях сложности. Чтобы было проще организовать работу, каждый знает свой «вариант» — уровень.

Ученики получают задание на 3 варианта (от самого простого – базового, потом средний уровень и самый сложный).  

как вариант: Тест проходит в режиме on-line по ссылке: http://onlinetestpad.com/ru-ru/Go/Racionalnye-chisla-8-klass-18935/Default.aspx

Я делаю тесты сама в программе INDIGO.

Учащиеся сидят по рядам в соответствии с вариантом, но у них всегда есть право выбора при проверочных работах. Такая форма рассадки хороша тем, что легко организовать работу в парах «равноценных» учеников. Ученики 1 варианта (самый легкий – базовый) работают с учителем — игра «Верю – не верю». У учащихся на бланках распечатаны вопросы. Они точно такие же, как у учителя, но напечатаны вразброс и на отдельных полосках. Задача учеников – найти тот вопрос, который сейчас задал учитель и ответить на него прямо на этом листе. Такая форма объясняется тем, что слабые ученики, как правило – это кинестетики, поэтому для них и добавляется движение во время работы. Учитель зачитывает вопросы в следующем порядке:

Верите ли вы:

1. что число -5  —  натуральное?
2. что натуральные числа использовали для счета предметов?
3. что самое маленькое натуральное число – это 0?
4. что любое натуральное число (например, 4) можно записать в виде обыкновенной дроби?
5. что дроби появились, когда люди стали делить между собой имущество, измерять земельные участки, исчислять время?
6. что — это натуральное число?
7. что любое целое число (например, -67) можно записать в виде десятичной дроби?
8. что знак Î означает «принадлежит»?
9. что запись «(3;5) Ì (2;9)» означает «промежуток от 3 до пяти является частью промежутка от 2 до 9»?
10.  что утверждение «2 Ï Z» — верное?
11.  что -7 > 0?
12.  что знак Ë означает «является частью»?
13.  что — это дробь?
14.  что дробь и рациональное число – это одно и то же?
15.  что множество целых чисел – самое маленькое?

Выполнение тестов заканчивается в одно время для всех учащихся (не более 10 минут с учетом орг. момента). 2 и 3 варианты не запускают проверку результатов.

2.  Основной этап урока с сообщение нового блока теории и проверки имеющихся знаний.

Далее учитель рассказывает блок теории, в это время ученики должны в это время откорректировать свои ответы или убедиться в их правильности.

Блок теории – на слайдах и к ним комментарии учителя:

После этого дается время ученикам последний раз просмотреть свои ответы и проверить результаты. Для 1 варианта на слайде появляются правильные ответы. После этого еще раз вопрос: остались ли неправильные ответы и они обсуждаются вслух вместе со всеми учениками.

Следующий блок теории учащиеся фиксируют в тетрадях одновременно с объяснением учителя. Демонстрация идет на слайдах с краткими пояснениями.

3. Рефлексивно-оценочный этап

Теперь необходимо самостоятельно или с помощью соседа по парте или учителя попробовать воспроизвести алгоритмы на конкретных примерах. Работа в парах, по необходимости, с привлечением учителя. Задания для каждого варианта составлены по суммирующему принципу – чем больше решишь, тем выше отметка.

«НА 3»:

1. Определите какое множество является подмножеством множества [8;21]

а)  (6;21]                     б)  (9;20)                     в)  [6;21]                     г)  (6;8)

2. Для записи используется математический символ  

а) ⊂                 б)  ∈                в) ∩                г)  ∅

3. Отметьте числа  -72;  6;   -35,13;   106,4 на координатной оси

4. Соотнесите обыкновенные дроби с равными им десятичными.

А.      Б.      В.      Г.

1) 0,5              2) 0,02                        3) 0,12                        4) 0,625

5. Сравните числа:

а) -5,7  и  0,334          б) 5,(7)  и  5, 773      

«НА 4»:

6. Переведите в бесконечную периодическую десятичную дробь число

8. Представьте в виде обыкновенной дроби число  1,(72)

«НА 5»:

9. Представьте в виде обыкновенной дроби число  2,9(12)

Работы сдаются учителю. Самопроверка будет осуществлена на следующем уроке после выполнения домашнего задания и повторения теории. Работа обучающего характера, поэтому важна не отметка. а понимание материала.

Подведем итог урока. Какие цели ставились в начале урока? (слайд). В тетради запишите то, в чем вы уверены, что научились делать

Давайте проговорим то, что вы написали:

— знаем, что  все числа  объединены во множество рациональных чисел;

— умеем пользоваться символикой и определять принадлежность чисел и промежутков;

— умеем любое число представлять в виде дроби , где  или в виде бесконечной периодической дроби;

— получили возможность научиться переводить бесконечные периодические дроби в обыкновенные двумя способами,  заметили, что второй способ  трудно формулировать,  но его применение ускорит  получение результата).

4. Домашнее задание (презентация и слайды домашнего задания вывешиваются в специально для этого созданной группе в Контакте или фотографируются учащимися).

1. Дана фраза: «28 — рациональное число». Как можно записать иначе?

а) 28 ∈ N                    б) 28 ∈ Q                    в) 28 ∈ Z

2. Вычисли значение дроби   − d, если a = 13; b = 36; c = 0,9; d=1,76;

3. Утверждение    «−17∈(−17;5]»   является: а) ложным;     б) истинным

4. Выясни при каком наименьшем целом значение p число 3p+15p+2 является целым

5. Вычислить значение выражения:

Просмотр содержимого документа

«урок алгебры 8 класс «Рациональные числа» »